Placas Planas Rectangulares - Universidad Nacional de La Plata

Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
ESTRUCTURAS III
Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP
PLACAS PLANAS RECTANGULARES
DE ESPESOR DELGADO
Autores:
Ing. Alejandro J. Patanella
Ing. Marcos D. Actis
-2008-
Estructuras III
PLACAS PLANAS RECTANGULARES DE ESPESOR
DELGADO
Introducción - Hipótesis.
Las placas de espesor pequeño representan un elemento estructural muy común e
importante en estructuras de uso aeroespacial ya que las unidades más grandes se
encuentran cubiertas con este tipo de paneles.
Para el desarrollo de la ecuación general de una placa sometida a esfuerzos de
flexión puros se consideran las siguientes hipótesis simplificativas:
• Se limita al caso de que el material que las compone sea homogéneo, isotrópico y
completamente elástico.
• La placa no experimenta variaciones de espesor debido a la deformación (σz = 0).
• Se considera valida la hipótesis de deformaciones planas de Bernoulli (las normales a la
superficie media se conservan normales a la superficie deformada).
• La flecha para cualquier punto de la placa es muy pequeña con respecto a su espesor (w
<< t), se limita la teoría a pequeñas deformaciones, lo cual permite suponer que la
superficie media de la placa no experimenta variaciones en sus dimensiones.
Desarrollo.
Sea x e y las coordenadas del plano medio de la placa antes de que se produzca la
flexión y z el eje normal a dicho plano. Los puntos del plano xy sufren pequeños
desplazamientos w en la dirección del eje z, estos desplazamientos serán la deflexión de la
placa. Las pendientes de la superficie media en las direcciones x e y luego de la flexión
serán;
ix =
∂w
∂x
iy =
∂w
∂y
Figura 1.
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Estructuras III
Para pequeños desplazamientos la curvatura de la superficie media puede hallarse
∂w ∂w
en forma aproximada omitiendo las potencias de primer orden ( , ). De esta forma, la
∂x ∂y
curvatura del la superficie media en planos paralelos a xz e yz respectivamente es:
1
∂ 2w
1
∂ 2w
=− 2
y
=− 2
Rx
Ry
∂y
∂x
También se puede cuantificar la torsión de la superficie media de la placa a través
de;
∂ 2w
1
=−
∂x∂y
Rxy
A través de la curvatura y la torsión se pueden expresar las deformaciones que
experimenta la placa. Dichas deformaciones en su expresión general queda definida como;
εx =
∂u
∂x
ε xy = γ xy =
εy =
∂u ∂v
+
∂y ∂x
∂v
∂y
(deformaciones lineales en función de los corrimientos u
en al dirección x y v en la dirección y)
(deformación angular, distorsión, en el plano xy)
En el caso de flexión pura de barras prismáticas una solución rigurosa se obtiene a
partir de suponer que las secciones transversales se mantienen planas luego de flexionarse
y rotar de forma tal de seguir siendo perpendiculares a su eje neutro. Combinando esta
suposición en las dos direcciones perpendiculares se puede obtener la ecuación general
para la flexión pura de placas.
Figura 2a.
Figura 2b.
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Estructuras III
La figura 2a representa una fina placa rectangular cargada con un momento flexor
uniformemente distribuido (Mx, My) por unidad de longitud en sus bordes. Se consideran
positivos los momentos que generen un esfuerzo de compresión en la cara superior de la
placa y uno de tracción en la superficie inferior. En la figura 2b se representa un elemento
rectangular tomado de la placa con unas dimensiones dx, dy y t, siendo esta última muy
pequeña comparada con las demás dimensiones. Debido a que este elemento esta extraído
de la placa de la figura 2a, la misma solicitación que existía sobre la placa puede ser
extendida a dicho elemento. Los lados laterales del elemento se mantienen planos durante
la flexión y la rotación debido a la solicitación existente, de forma tal de que permanezcan
normales a la superficie media deflectada; y debido a la simetría existente la superficie
media no sufre ningún cambio en sus dimensiones y es por eso que la misma es la
superficie neutra o media de la placa.
En función del mecanismo de deformación anteriormente presentado los
desplazamientos en las direcciones x, y y z se pueden hallar con el siguiente
procedimiento:
Un punto B de la superficie media (no deformada) se desplazó a la posición B1
(deformada) en la dirección del eje z en una magnitud W. El elemento de superficie dzdy
asociado a este punto ha rotado un ángulo igual a la pendiente de la superficie media
flexionada en una dirección tal que este se mantiene normal esta. (ver figura 3)
Figura 3.
∂w
. De esta
∂x
forma los distintos desplazamientos en cada una de las direcciones en un punto a una
distancia z de la superficie media se pueden escribir como;
Este ángulo de rotación para pequeños desplazamientos es igual a
ux = − z
∂w
∂x
uy = −z
∂w
∂y
(los signos - indican desplazamientos negativos
en x e y para desplazamientos positivos en z)
u z = w(x , y )
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Estructuras III
Las deformaciones correspondientes se pueden hallar a partir de;
∂u x
∂ 2w z
εx =
= −z 2 =
Rx
∂x
∂x
2
∂u y
∂ w z
= −z 2 =
εy =
Ry
∂y
∂y
∂ux ∂u y
∂ 2 w 2z
ε xy = γ xy =
+
= 2z
=
∂x
∂y
∂x∂y Rxy
Ya que para el estudio de las placas se consideró un estado plano de tensiones, a
través de la ley de Hook se obtiene, para un material cuyo modulo de elasticidad sea E y
coeficiente de Poisson µ, las siguientes expresiones para las tensiones en el plano de la
placa;
Ez  1
E z ∂ 2 w
µ
∂ 2w
=
−
+
+
µ




(1 − µ 2 )  Rx Ry 
(1 − µ 2 )  ∂x 2
∂y 2 
Ez  1
E z ∂ 2 w
µ
∂ 2w
+
σy =
µ
=
−
+




(1 − µ 2 )  Ry Rx 
(1 − µ 2 )  ∂y 2
∂x 2 
σx =
Estas tensiones normales están linealmente distribuidas a lo largo del espesor de la
placa y su resultante, debido a las condiciones de equilibrio existente, debe ser igual a Mx
y My respectivamente, es decir;
h
2
∫σ
x
z dydz = M x dy
h
−2
h
2
∫σ
y
z dxdz = M y dx
h
−2
Sustituyendo la expresión para las tensiones nos queda;
h
∂ 2 w
∂ 2 w
E
E
∂ 2w  h3
∂ 2w 2 2
Mx = −
⋅
+µ
⋅
+µ
 ∫ z dz = −
⋅
(1 − µ 2 )  ∂x 2
(1 − µ 2 )  ∂x 2
∂y 2  12
∂y 2  − h
2
De la misma forma se opera para My y se obtiene
∂ 2w
∂ 2w
M x = −D ⋅  2 + µ

∂y 2 
 ∂x
∂ 2w
∂ 2w
M y = −D ⋅  2 + µ

∂x 2 
 ∂y
(Momentos por unidad de longitud para la
flexión pura sobre la placa)
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Estructuras III
E h3
Siendo D la rigidez a flexión de la placa dada por D =
.
12 (1 − µ 2 )
Además de los momentos flectores existe sobre la placa un momento
uniformemente distribuido de torsión a lo largo de las lados de la misma dados por Mxy y
Myx, cada uno de ellos deberá ser igual a la resultante de las fuerzas de corte existentes a lo
largo de las lados del elemento, es decir,
τ xy = τ yx
2Gz
∂ 2w
=
= 2Gz
Rxy
∂x∂y
h
2
M xy dx =
M xy = M yx
∫τ
h
−
2
h
2
xy
M yx dy =
z dxdz
∂ 2w
= D (1 − µ )
∂x∂y
∫τ
h
−
2
yx
z dydz
(Momento por unidad de longitud para torsión
pura sobre la placa debida a la flexión)
Ecuación diferencial de la superficie deformada.
En el desarrollo anterior de la teoría de las pequeñas deformaciones para placas
delgadas se utilizó como hipótesis que en los límites de la placa sus bordes se pueden
mover libremente en el plano de la misma. De esta forma, las fuerzas reactivas en los
bordes debido a los vínculos son normales a la placa. Con el mismo criterio se pueden
despreciar las deformaciones de la superficie media durante la flexión de la placa.
q
Figura 4.
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Estructuras III
Viendo la figura anterior (fig. 4) se estudia un elemento dxdy de la superficie
media, el cual posee distribuido en sus bordes los momentos Mx, My y Mxy. Estos
momentos son los resultantes de las distribuciones lineales de tensiones debido a flexión y
torsión a lo largo del espesor de la placa. Si la placa es solicitada a través de cargas
externas normales a la superficie media a demás de los momentos anteriormente
expresados existirá también un esfuerzo de corte vertical Qx y Qy, que actúan sobre los
lados del elemento.
h
2
h
2
Qx =
∫σ
h
−
2
xz
∫σ
Qy =
dz
h
−
2
yz
dz
Llamando como q a la carga transversal por unidad de área que actúa normal a la
cara superior de la placa y considerando el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje z
del elemento se tiene,
∂Q y
∂Qx
dydx + q dxdy = 0
dxdy +
∂x
∂y
o bien
∂Qx ∂Q y
+
+q= 0
∂x
∂y
Tomando el equilibrio de momentos existentes en la dirección del eje x,
∂M xy
∂M y
dydx + Q y dxdy = 0
dxdy −
∂x
∂y
o bien
∂M xy
∂x
−
∂M y
∂y
+ Qy = 0
Realizando el mismo procedimiento para la dirección y,
∂M xy
∂y
+
∂M x
− Qx = 0
∂x
Eliminando Qx y Qy de las ecuaciones anteriores se obtienen las relaciones de
equilibrio entre momentos,
2
∂ 2 M xy
∂ 2 Mx ∂ My
+
−2
= −q
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
Para representar esta ecuación en términos de la deflexión w de la placa, se
considera que la ecuación desarrollada para el caso de la placa sometida a una solicitación
de flexión pura, es aproximadamente igual a la que correspondería al caso de placas
cargadas lateralmente, es decir
∂ 2w
∂ 2w
M x = −D ⋅  2 + µ

∂y 2 
 ∂x
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∂ 2w
∂ 2w
M y = −D ⋅  2 + µ

∂x 2 
 ∂y
Esta consideración trae como consecuencia despreciar los efectos sobre la flexión
de las fuerzas de corte y de la tensión de compresión σz. Reemplazando se tiene,
∂ 4w ∂ 4w
∂ 4w
q
+
+
=
2
∂x 4
∂y 4
∂x 2 ∂y 2 D
Ecuación de
Germain-Lagrange
La dificultad existente en el análisis de la flexión en placas se concentra en la
integración de la ecuación anterior en términos de w.
Las fuerzas de corte expresadas en términos de los desplazamientos se pueden
expresar como,
∂M xy
∂M x
∂ ∂ 2 w ∂ 2w 
= −D ⋅  2 +

∂y
∂x
∂x  ∂x
∂y 2 
∂M y ∂M xy
∂ ∂ 2 w ∂ 2w 
Qy =
−
= −D ⋅  2 +

∂y
∂x
∂y  ∂x
∂y 2 
Qx =
+
El análisis realizado anteriormente es suficiente para plantear soluciones a
cualquier problema específico. El método general de trabajo consistirá, entonces, en hallar
soluciones aproximadas para la ecuación diferencial de cuarto orden que satisfaga las
condiciones de borde y las condiciones de cargas, dentro de errores apropiadamente
acotados.
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Estructuras III
MÉTODOS PARA HALLAR UNA SOLUCIÓN SATISFACTORIA.
Flexión de placas rectangulares.
La ecuación diferencial general para la flexión dada anteriormente se resolverá
utilizando métodos exactos como el de Serie de Fourier y el método alternativo de Levi,
también se hará mención mas adelante de métodos aproximados a través de diferencias
finitas como ser el método de Marcus.
Para cada uno de los métodos se hará el tratamiento para placas rectangulares con
distintas condiciones de contorno, es decir, de vinculación de la placa al medio
circundante. Las condiciones de contorno se pueden clasificar de la siguiente forma:
• Borde empotrado:
La deflexión a la largo del borde empotrado es cero y la tangente al plano de la
superficie media deflectada es horizontal. Entonces si el eje x coincide con el borde
empotrado tendremos;
 ∂w 
  =0
 ∂y  y =0
( w ) y= 0 = 0
• Borde simplemente apoyado:
La deflexión a lo largo del borde simplemente apoyado es cero y el momento flexor
paralelo a este lado también será nulo. Entonces si el eje x coincide con el borde
simplemente apoyada tendremos;
( )
( w) y = 0 = 0
My
y=0
∂ 2w ∂ 2w
= 2 +
 =0
∂y 2  y = 0
 ∂x
• Borde libre:
El momento flexor, el momento torsor y la fuerza de corte a lo largo de este
lado es nula. Si el lado libre coincide con la línea recta correspondiente a un x=aL se
tiene,
(M )
x
x=a
=0
(M )
xy
x=a
=0
(Q )
x
x=a
=0
Como ha sido probado por Kirchoff, dos condiciones de borde son solo necesarias
para encontrar una única solución al problema de flexión. Aunque el también demostró
que las dos últimas condiciones de Mxy y Qx pueden ser reemplazadas por una sola, es
decir,
∂ 3w
∂ 3w 
 3 + (2 − µ)
 =0
∂x∂y 2  x = a
 ∂x
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Estructuras III
Y finalmente expresando la condición de Mx en términos de w las condiciones
finales para un borde libre queda como,
∂ 2w ∂ 2w
 2 +
 =0
∂y 2  x = a
 ∂x
∂ 3w
∂ 3w 
 3 + (2 − µ)
 =0
∂x∂y 2  x = a
 ∂x
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Estructuras III
Distintos Ejemplos de Placas con distintas condiciones de
Borde.
Placas rectangulares simplemente apoyadas.
Se estudiará una placa rectangular de dimensiones a y b con los ejes x e y colocados
de forma tal que su origen sea este en un vértice de la placa como se ve en la siguiente
figura. La placa se encuentra simplemente apoyada a lo largo de sus cuatro lados y esta
solicitada por una carga distribuida uniformemente q=f(x,y).
x
a
b
q
y
q
Figura 6.
• Solución a través de series dobles de Fourier.
Siempre se puede expresar una función f(x,y) como una serie trigonométrica doble
(Fourier), es decir,
∞ ∞
mπ x nπ y
 sin

q = f ( x , y ) = ∑ ∑ a mn sin
 a   b 
m = 1 n =1
donde:
a mn =
4
ab
a
∫ ∫
0
0
b
 mπ x   n π y 
 sin
 dxdy
f ( x , y ) sin
 a   b 
Las condiciones de borde son:
W=0 y Mx=0
W=0 y My=0
en x=0 y x=a
en y=0 y y=b
o bien
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∂ 2w
=0
∂x 2
∂ 2w
W=0 y
=0
∂y 2
W=0 y
en x=0 y x=a
en y=0 y y=b
Estas condiciones de borde son satisfechas si se toma la siguiente expresión para el
desplazamiento total,
∞ ∞
mπ x nπ y
 sin

W = ∑ ∑ C mn sin
 a   b 
m = 1 n =1
De
ecuación diferencial general de la deformada de la placa
q
∂ w ∂ w
∂ 4w
2
+
+
, hallo cada término reemplazando la serie propuesta
4
4
2
2 =
D
∂x
∂y
∂x ∂ y
anteriormente y derivando.
4
la
4
Esta operación se hace para poder hallar una relación en los coeficientes amn y Cmn.
El calculo de las derivadas parciales queda como,
mπ 
mπ x nπ y
∂w ∞ ∞
 cos
 sin

= ∑ ∑ C mn 
 a 
 a   b 
∂x m = 1 n = 1
 m2 π 2   m π x   n π y 
∂ 2w ∞ ∞
C
=
∑ ∑ − a 2  sin a  sin b 
∂x 2 m=1 n =1 mn 
 m3 π 3 
mπ x nπ y
∂ 3w ∞ ∞

 sin
 cos
3 = ∑ ∑ C mn  −
3
 a   b 
a 
∂x

m =1 n =1
 m4 π 4   m π x   n π y 
∂ 4w ∞ ∞

 sin
C
=
∑∑ 
 sin
∂x 4 m=1 n =1 mn  a 4   a   b 
Análogamente,
 n4 π 4   mπ x   n π y 
∂ 4w ∞ ∞
 sin

= ∑∑C 
 sin
∂y 4 m=1 n =1 mn  b 4   a   b 
Y la derivada cruzada queda como,
∞ ∞
 m2 π 2   n2 π 2   m π x   n π y 
∂ 4w
 sin

C
=
∑
∑


 sin
∂x 2 ∂y 2 m=1 n =1 mn  a 2   a 2   a   b 
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Estructuras III
Quedando le ecuación general de la siguiente forma:
∞
∞
∑∑C
m =1 n =1
 m4 π 4   m π x   n π y  ∞ ∞
 n4 π 4   mπ x   n π y 




 sin
+
+
sin
sin
C
∑
∑


 sin
mn
mn 
4
4
 a   a   b  m=1 n =1
 b   a   b 
∞ ∞
 m2 π 2   n2 π 2   m π x   n π y  q
 sin
=
+ 2 ∑ ∑ Cmn  2   2  sin
 a  a   a   b  D
m =1 n =1
Reemplazando la aproximación de la carga distribuida q(x,y) propuesta en serie de
Fourier tenemos que operando matemáticamente se puede despejar Cmn siendo,
C mn =
a mn
 m2 n2 
π D 2 + 2 
b 
a
2
4
El desplazamiento total queda,
W=
mπ x  nπ y 
a mn
1 ∞ ∞


 sin
sin
∑
∑
4
2
 a   b 
π D m=1 n =1  m 2 n 2 
 2 + 2
b 
a
Como para nuestro caso habíamos considerado solo una carga distribuida
uniformemente, los coeficientes amn se pueden hallar integrando de la siguiente manera,
f(x,y) = qo = cte.
a mn =
4 qo
ab
a
∫ ∫
0
0
b
16 q
 mπ x   n π y 
 sin
 dxdy = 2 o
sin
 a   b 
π mn
Donde m y n son números naturales impares, lo cual al sustituir en la expresión del
desplazamiento total tenemos que;
W=
16 q o
π 6D
∞
∞
∑ ∑
 mπ x   nπ y 
 sin

sin
 a   b 
 m2 n2 
mn 2 + 2 
b 
a
m =1, 3,5 n =1, 3,5
2
Siendo la máxima deflexión en el centro de la placa, dado su valor por,
Wmax
16 q o
= 6
π D
∞
∞
∑ ∑
m =1, 3,5 n =1, 3,5
( −1)
m+ n
−1
2
 m2 n2 
mn 2 + 2 
b 
a
2
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Estructuras III
Esta es una serie cuya convergencia es inmediata y se puede tomar una buena
aproximación considerando solamente el primer termino, lo cual para una placa cuadrada
se convierte en
Wmax ≅
4 qo a 4
qo a 4
0
0454
.
=
h6E
π 6D
(siendo µ = 0.3)
Esta última expresión difiere de la exacta en un 2 ½ % .
La expresión para el momento flector queda como,
Mx =
16 q o
π
4
 mπ x   nπ y 


 sin
sin
2
2
 a   b 


m =1, 3,5 n =1, 3,5
m
n
a2 n  2 + 2 
b 
a
∞
∞
∑ ∑
m
2
Las expresiones para los momentos flectores y torsores finalizan en series cuya
convergencia es más difícil de hallar, es por eso que si no se posee una herramienta de
cálculo potente no es posible hallar estas expresiones a través del método de Series Dobles
de Fourier.
• Solución a través de series simples, Método de Levy:
Este método se desarrolló solo para el caso en que la carga qo sea constante. Levy
sugirió una solución de la forma,
∞
 mπ x 

W = ∑ Ym ( y ) sin
 a 
m =1
Donde Ym es una función de y solamente. Cada termino de la serie satisface las
∂ 2w
condiciones de contorno W=0 y
= 0 , en x=0 y x=a. Queda por determinar la
∂x 2
∂ 2w
función Ym tal que satisfaga las condiciones de borde restantes, es decir W=0 y
=0
∂y 2
en y=0 y y=b.
Una aproximación más se puede realizar si se considera una solución de la forma,
w = w1 + w2
Donde
w=
qo
(x 4 − 2 a x 3 + a 3 x)
24 D
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Estructuras III
Esta expresión representa la deflexión de una larga “tira” con los lados mas largos
en dirección del eje y, que se encuentra cargada uniformemente por una carga qo y
simplemente apoyada en los bordes cortos en x=0 y x=a, y libre en los otros dos.
Aunque esta ultima expresión satisface las condiciones de borde en x=0 y x=a, el
problema estará resuelto si se encuentra la solución de,
∂ 4 w2 ∂ 4 w2
∂ 4 w2
+
+2 2 2 =0
∂x 4
∂y 4
∂x ∂y
tomando como w2 a la solución propuesta por Levy, para que satisfaga con w1 las
∂ 2w
condiciones de borde W=0 y
= 0 en y=±b/2 en la expresión supuesta para w.
∂y 2
(ver figura 7)
a
b/2
x
b/2
y
Figura 7.
Sustituyendo se obtiene,
 IV 2 m 2 π 2 II m 4 π 4   m π x 
=0
Ym +
Ym  sin
∑
Ym −
a2
a4
  a 
m =1 
∞
donde por simetría m solo toma los valores impares (m=1,3,5,....).
Esta ecuación puede ser satisfecha para cualquier valor de x si
Ym IV −
2 m 2 π 2 II m 4 π 4
Ym +
Ym = 0
a2
a4
Siendo su solución general,

mπ y  mπ y 
 mπ y 
 mπ y  
A m ch a  + B m a sh a  + C m sh a  + 
q a





 
Ym ( y) = o 


D
mπ y  mπ y 
ch


+ D m
a
 a 


4
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Estructuras III
Debido a que la deflexión es simétrica con respecto al eje x se tiene que Cm=Dm=0,
entonces;
W=
+
qo
(x 4 − 2a x 3 + a 3 x ) +
24D
qo a 4
D

mπ y  mπ y   mπx 
 mπ y 
A m ch a  + B m a sh a sin  a 




 
m =1, 3, 5 
∞
∑
ó,
qo a 4
W=
D
 4
 mπ
 5 5 + Am ch 
 a
m =1, 3,5  π m
∞
∑
y
mπ y  mπ
 + Bm
sh 

 a
a
y   m π
 sin 
  a
x


∂ 2w
= 0 en y=±b/2, se obtiene,
∂y 2
Sustituyendo las condiciones de borde, W=0 y
4
=0
π m5
( Am + 2 Bm ) ch a m + Bm a m sh a m = 0
Am ch a m + Bm a m sh a m +
siendo a m =
5
mπ b
.
2a
De estas ecuaciones se obtiene,
Am =
2 ( a m tanh( a m ) + 2)
Bm =
π 5 m 5 ch( a m )
2
π 5 m 5 ch( a m )
De esta forma,
4 qo a 4
W=
π 5D
(
)

a m tanh( a m ) + 2  2 a m
1
ch
∑
5 1−
 b
m =1, 3,5 m 
2 ch( a m )

∞
2 y  2 am
y
am
+
sh
 2 ch( a m ) b  b

y
 mπ
 ⋅ sin

 a
La deflexión máxima ocurre en el centro de la placa (x=a/2, y=0) y vale
Wmax
4 qo a 4
=
π 5D
∞
∑
m =1, 3,5
( −1)
m −1
2
m5
(

a tanh( a m ) + 2
1 − m

2 ch( a m )
) 

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x


Estructuras III
La suma de los primeros términos de esta serie corresponde a la solución de la
sección central de una tira cargada uniformemente, es decir,
Wmax
4
4 qo a 4
5 qo a
=
−
384 D
π 3D
∞
∑
( −1)
m −1
2
(a
m5
m =1, 3,5
m
tanh( a m ) + 2
2 ch( a m )
)
Esta serie converge rápidamente. Considerando a una placa cuadrada (a/b=1) se
tiene que
a1 =
π
,
2
a3 =
3π
,
2
etc..
5 qo a 4 4 qo a 4
− 6 ( 0.68562 − 0.00025+...... )
384 D
π D
4
qo a
≅ 0.00406
D
Se puede observar que solo los dos términos de la serie se pueden tomar en cuenta
para hallar un resultado satisfactorio.
Wmax =
Los momentos pueden ser encontrados sustituyendo la expresión de W. Los valores
máximos de estos momentos se hallan en x=a/2 y y=0.
(M )
max
(M )
max
x
y
∞
m −1


qo a 2
2µ
2
2
=
+ (1 − µ ) q o a π ∑ ( −1) 2 m 2  Am −
Bm 
1− µ
8


m =1, 3,5
2
∞
m
−
1


qo a
2µ
B 
=µ
+ (1 − µ ) q o a 2 π 2 ∑ ( −1) 2 m 2  Am +
1− µ m 
8

m =1, 3,5
• Placa rectangular con dos lados simplemente apoyados, uno libre y el
último empotrada o simplemente apoyado.
x
a
b
y
Figura 8.
x= 0 es un borde simplemente apoyado
x= a es un borde simplemente apoyado
y= b es un borde libre
y= 0 es un borde empotrado.
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Estructuras III
Para este caso las condiciones de borde son,
∂ 2w
en x=0 y x=a
W=0 y
=0
∂x 2
∂w
W=0 y
=0
en y=0
∂y
 ∂ 3w
∂ 2w ∂ 2w 
∂ 3w 
 3 + 2 (1 − µ ) 2  = 0
 2 + 2 =0
∂x ∂ y 
∂y 
 ∂y
 ∂x
en y=b
Considerando una carga repartida qo , a través del método de series simples de Levi,
se tiene que,
4 qo a 4
w1 = 5
π D
y
w2 =
mπ x
1
5 sin
a
m =1, 3,5 m
∞
∑
 mπ x 

Ym ( y ) sin
 a 
m =1, 3,5
∞
∑
Es obvio que las dos primeras condiciones de borde para x=0 y x=a son satisfechas
por w=w1+w2. Los coeficientes Am, Bm, Cm y Dm de Ym deben satisfacer las demás
condiciones de borde.
Tomando las condiciones para y=0 se tiene,
Am = −
4
,
π m5
5
Cm = − Dm
Tomando las condiciones para y=b se tiene,
Bm =
( 3 + µ )( 1 − µ ) ch² Bm + 2 µ chBm − µ (1 − µ ) Bm shBm − ( 1 − µ ² )
4
5 ⋅
π m
( 3 + µ )( 1 − µ ) ch² Bm + ( 1 − µ ) 2 Bm 2 + ( 1 + µ ) 2
5
( 3 + µ )( 1 − µ ) sh Bm ch Bm + µ (1 + µ ) shBm − µ (1 − µ ) Bm chBm − ( 1 − µ ) Bm
4
Cm = 5 5 ⋅
π m
( 3 + µ )( 1 − µ ) ch² Bm + ( 1 − µ ) 2 Bm 2 + ( 1 + µ ) 2
2
Sustituyendo estas expresiones, se puede hallar la deflexión de la placa, su máximo
valor estará en el medio del lado que se encuentra libre.
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