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Gráficos Probabilísticos
Un Grafico Probabilístico es una representación del nivel de ajuste de
algunos datos muéstrales a una distribución hipotética, el cual parte de
la linealización de algunas de las funciones características de la
distribución hipotética en función de los tiempos observados. Por
ejemplo:
Modelo Exponencial
tα = γ −
1
λ
Ln(1 − α )
Y = a + bX
− Ln(1 − α ) = −γλ + λtα
Y = tα
X = − Ln(1 − αˆ )
â = γˆ
bˆ = λˆ
Y = − Ln(1 − αˆ )
ˆ ˆ bˆ = λˆ
â = −γλ
λˆ =
1
b̂
X = tα
γˆ = −
aˆ
bˆ
Ejemplo
Los siguientes datos corresponden a una muestra aleatoria de tiempos
de falla. Se supone que la distribución es exponencial. Estime los
parámetros mediante mínimos cuadrados
t Observado
1,98
2,14
2,33
3,16
3,81
4,22
5,08
5,17
5,36
5,53
5,56
5,98
6,12
6,38
6,52
6,53
6,58
7,60
8,12
8,33
8,37
16,30
18,76
Posicion (t) Alpha = F(t) "-LN(1-alpha)"
1
0,04
0,04
2
0,08
0,09
3
0,13
0,13
4
0,17
0,18
5
0,21
0,23
6
0,25
0,29
7
0,29
0,34
8
0,33
0,41
9
0,38
0,47
10
0,42
0,54
11
0,46
0,61
12
0,50
0,69
13
0,54
0,78
14
0,58
0,88
15
0,63
0,98
16
0,67
1,10
17
0,71
1,23
18
0,75
1,39
19
0,79
1,57
20
0,83
1,79
21
0,88
2,08
22
0,92
2,48
23
0,96
3,18
tα = γ −
1
λ
Ln(1 − αˆ ) Teoricamente
tα = 2.3 + 4.52(− ln(1 − α ))
tα
Parámetros de la Estimación
2,30
a
2,30 Gamma
b
4,52 Lambda
0,22
R2
0,86
Dificultades con el Grafico Probabilístico
Existe una dificultad respecto a la forma adecuada de estimar F(t),
frente a ello han surgido diferentes propuestas, todas ellas requieren
del ordenamiento previo de los datos de falla y la asignación de su
respectiva posición i dentro de este ordenamiento.
Fˆ (t ) =
it
n
Sugiere la existencia de un limite para los tiempos
de fallas “F(t) =1”
it
n −1
Solución Rápida al Problema anterior
it − 0.5
n
( Fˆ (ti ) + Fˆ (ti −1 )) *1/ 2
it − 0.3
n + 0.4
Aproximación de Bernard al Rango Mediano
i
1− ∏
j =1
n
0.5 = ∑  MR k (1 − MR ) n − k
k =i  k 
Estimador de Kaplan - Meier
n
n j − rj
nj
OTRAS FUNCIONES DE PROBABILIDAD
Generalmente las funciones de densidad han surgido como resultado del
planteamiento de un modelo hipotético sobre la función de riesgo
β
h(t ) =
η
t 
η 
 
β −1
β t − γ 
h(t ) = 
η  η 
β −1
Este planteamiento fue el propuesto
por Weibull (1939).
γ ≥0
Denota el tiempo a partir del cual se
generaría la primera falla.
η >0
Es un parámetro que ajusta la escala de
tiempo de observación.
β
Determina la velocidad de crecimiento y
curvatura de la función de riesgo.
DISTRIBUCIÓN WEIBULL
Es quizás la más utilizada en el campo del análisis de tiempo de fallo, dada
su versatilidad y capacidad de ajuste a diferentes funciones de riesgo.
Tres Parametros
Dos Parametros
β
f (t ) =
η
t 
η 
 
F (t ) = 1 − e
R(t ) = e
t
− 
η 
β −1
t
− 
η 
e
t
− 
η 
β
β t − γ 
f (t ) = 
η  η 
β
F (t ) = 1 − e
β
R(t ) = e
E (T ) = ηΓ(1 + β −1 )
tα = η (− ln(1 − α ))
1
β
MTTF
 t −γ 
−

 η 
 t −γ 
−

 η 
β −1
e
 t −γ 
−

 η 
β
β
E (T ) = γ + ηΓ(1 + β −1 )
tα = γ + η (− ln(1 − α ))
1
β
β
Ejercicio
• Simule 100 números aleatorios de una distribución Weibull de dos
parámetros (usted escoge los parámetros).
• Demuestre que el tiempo de vida que no es superado por el
α % de
los dispositivos se puede expresar como:
tα = η (− ln(1 − α ))
1
ln( − ln(1−α ))
β
tα = elnη .e
β
• Linealice esta expresión y construya un grafico probabilístico que le
permita estimar los parámetros la distribución.
•Repita el procedimiento para una distribución con 3 parámetros
Grafico Probabilístico Weibull 2 Parametros
F (t ) = 1 − e
t
− 
η 
β
tα = η (− ln(1 − α ))
Ln(tα ) = Ln(η ) + 1 Ln(− Ln(1 − α ))
β
Y = Ln(tα ) X = Ln(− Ln(1 − αˆ ))
aˆ = Ln(η )
b̂ =
1
β
1
β
Ln(− Ln(1 − α )) = − β Ln(η ) + β Ln(tα )
Y = Ln(− Ln(1 − αˆ ))
η = eâ
bˆ = βˆ
1
βˆ =
b̂
aˆ = −β Ln(η )
X = Ln(tα )
ηˆ = e
− aˆ
bˆ
Grafico Probabilístico Weybull
Diferentes esquemas de
nomogramas han sido
propuestos para estimar
de manera aproximada
los parámetros de la
distribución weybull
Porque el parámetro de
escala
puede
ser
estimado como
η = t0.632 ?
Grafico Probabilístico Weibull 3 Parametros
F (t ) = 1 − e
 t −γ 
−

 η 
β
tα = γ + η (− ln(1 − α ))
Ln(tα − γ ) = Ln(η ) + 1 Ln(− Ln(1 − α ))
β
Y = Ln(tα ) X = Ln(− Ln(1 − αˆ ))
aˆ = Ln(η )
b̂ =
1
β
1
β
Ln(− Ln(1 − α )) = − β Ln(η ) + β Ln(tα − γ )
Y = Ln(− Ln(1 − αˆ ))
η = eâ
bˆ = βˆ
1
βˆ =
b̂
aˆ = −β Ln(η )
X = Ln(tα )
ηˆ = e
− aˆ
bˆ
Estimación del Parámetro Posición
Propuesta 1. Consiste en ubicar mediante ensayo error, valores arbitrarios de
este parámetro dentro de un intervalo próximo al mínimo valor observado en al
muestra de tiempos de falla. El criterio de selección seria mediante el mayor
ajuste a la línea recta y la eliminación de concavidades en el grafico de
probabilidades.
Propuesta 2. Se ubican 3 puntos equidistantes sobre la función de distribución
acumulativa y se obtienen los respectivos percentiles asociados:
F (tα1 ); F (tα 2 ); F (tα3 )
1
| α 3 − α 2 = α 2 − α1 = (α 3 − α1 )
2
(t3 − t2 )(t2 − t1 )
γ = t2 −
(t3 − t2 ) − (t2 − t1 )
Grafico Probabilistico – Bajo censura
Cuando se presenta censura generalmente se afecta la estimación de la
función de distribución acumulativa y de confiabilidad, sin embargo la función
de riesgo es un poco más robusta
F (t ) = 1 − e
t
− 
η 
β
= 1− e
− H (t )
t
⇒ H (t ) =  
η 
LINEALIZANDO
Ln( H (t )) = β Ln(t ) − β Ln(η )
β
Ejemplo
El tiempo en días transcurrido desde que una rata es infectada con la célula
cancerigena DMBA, hasta que finalmente esta muere por su causa se presenta
a continuación
Días
Estado
Días
Estado
143
188
188
190
192
206
209
213
216
M
M
M
M
M
M
M
M
M
216
220
227
230
234
244
246
265
304
C
M
M
M
M
C
M
M
M
M=Muerte; C=censura
Ejemplo
Ajuste un modelo probabilístico tipo Weybull o Exponencial y responda
las siguientes preguntas.
1. Según sus estimaciones, cual es el tiempo mínimo de supervivencia
de una rata infectada con esta célula.
2. Al cabo de cuanto tiempo se esperaría que murieran el 50% de las
ratas.
3. Cual es el tiempo de muerte que no supera el 95% de las ratas
4. De una estimación para el tiempo esperado de muerte una vez se ha
adquirido la infección.
5. Una rata que ha sobrevivido los primeros 200 días, que probabilidad
tiene de sobrevivir 100 días adicionales o más.
6. Cual es tiempo promedio de vida adicional para una rata que ha
superado los primeros 180 días de infección.
Otras Distribuciones empleadas en
Fiabilidad
Distribución Gumbel:
h(t ) =
1
β
Distribución Rayleigh:
( t −γ )
e
β
h(t ) = α + β t
Distribucion Gompertz
h(t ) = θ +
1
β
( t −γ )
e
β
Distribución Tipo Bañera
h(t ) = δ t +
β
t +γ
βt 
h(t ) =  
α α 
β −1
e
t 
 
α 
β