MÉTODO SIMPLEX El primer procedimiento de solución lo

MÉTODO SIMPLEX
El primer procedimiento de solución lo proporcionó
Dantzing en 1947, y este método se conoció con el nombre de
método simplex.
El algoritmo del simplex funciona básicamente como hemos
visto en el método algebraico, resolviendo el sistema de
ecuaciones que forman las restricciones, pero de forma
automática, y manteniendo la factibilidad de la solución actual,
para lo cual parte de una solución factible básica inicial y a partir
de
ella
obtiene
otras
soluciones
factibles
básicas
que
proporcionan un mejor valor de la función objetivo, repitiendo el
proceso hasta que no es posible mejorar el valor de la función.
Programa lineal en forma estándar:
Max Z = c x
s.a: A x = b
x≥0
1
Punto de partida: SFBI:
(
)
x 0 = x 10 , x 02 ,L , x 0m ,0,L ,0
B x0 = b,
es decir:
P1 x 10 + P2 x 02 +L+ Pm x 0m = b
Pk = P1y1k+ P2y2k+ · · · + Pmymk
P1 =
1
( Pk − P2 y 2 k −L− Pm y mk )
y 1k
 1

( Pk − P2 y 2 k −L− Pm y mk ) x10 + P2 x 02 +L+ Pm x 0m = b

 y 1k

 0
 0
x 10 
x 10 
x 10
P2  x 2 − y 2 k
=b
 +L+ Pm  x m − y mk
 + Pk
y 1k 
y 1k 
y 1k


Nuevo punto: Es una nueva SFB?. Condiciones:
a) Los m vectores son linealmente independientes, base B.
b) Es una solución factible ( A x = b, x ≥ 0 )
λ2 P2 + ... + λm Pm+λkPk = 0
si λk ≠ 0, entonces:
Pk = -
1
λk
(λ2P2+ L +λmPm)
Pk = P1y1k+ P2y2k+ · · · + Pmymk
Pk = -
1
λk
(λ2P2+ L +λmPm)
2


λ 
λ 
0 = P1 y 1k + P2  y 2 k + 2  +L+ Pm  y mk + m 
λk 
λk 


Vamos a ver ahora la condición b),es decir, que sea una solución
factible (Ax=b, x ≥ 0 ).
Como ya hemos visto verifica A x = b:
 0
 0
x 10 
x 10 
x 10
P2  x 2 − y 2 k
=b
 +L+ Pm  x m − y mk
 + Pk
y 1k 
y 1k 
y 1k


por tanto solo queda por comprobar la no negatividad de las
variables. La estructura de las variables es de la siguiente forma:
Para i =k →
Para i ≠ k →
x >0
>0
x 0i
x 10
>
y ik y1k
y1k > 0,
x 0i
y jk
 0
x 10 
 x i − y ik

y 1k 

x 0i
y 1k
0
i
min {
x 10
y 1k
/ yjk> 0 }.
criterio de salida
criterio de entrada
Z0 =
Z1 =
c 1 x 10 + c 2 x 02 +L+ c m x 0m


x0 
x0
x0 
c 2  x 02 − y 2 k 1  +L+ c m  x 0m − y mk 1  + c k 1
y 1k 
y 1k 
y 1k


habrá que comprobar si Z1>Z0,
1
0
Z - Z = −c1 x
0
1
− c2 y2k
x 10
x 10
x 10
−L− c m y mk
+ ck
y 1k
y 1k
y 1k
3
Z1 - Z0 =
x 10
c k − (c 1 y 1k + c 2 y 2 k +L+ c m y mk )
y 1k
[
]
Zk = cB B-1Pk = c1y1k+ c2y2k+ · · · + cmymk
1
0
x 10
y 1k
0
x 10
y 1k
Z -Z =
1
Z =Z +
(ck - Zk)
(ck - Zk)
:
x 10
y 1k
(ck - Zk) ≥ 0
Max { (ck- Zk / (ck- Zk ≥ 0 }.
4
(8)
(9)
3.- ALGORITMO DEL SIMPLEX EN FORMATO
TABLA.
CB
Cj
0
Xj
Sj
XB
B-1·A
B-1·b
Zj=
CBB-1Pj
Z=
Wj=
Cj-Zj
CBB-1b
Ejemplo:
Max Z = 4 x1 + 5 x2
s.a: 2 x1 + x2 ≤ 8
x2 ≤ 5
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
Max Z = 4 x1 + 5 x2 + 0 s1 + 0 s2
s.a:
2 x 1 + x 2 + s1 = 8
x 2 + s2 = 5
x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , s1 ≥ 0 , s2 ≥ 0 .
 1 0
B=
 = B −1
0
1


5
y entonces
 2 1 1 0


 0 1 0 1
B-1·A = A=
y
B-1·b = b=
 8
 
 5
Así pues la tabla correspondiente a esta solución factible
básica inicia (SFBI) será la siguiente:
0
0
s1
s2
Zj
Wj
4
x1
2
0
4
4
5
x2
1
1
5
5
0
s1
1
0
0
0
0
s2
0
1
0
0
8
5
0
Metodo Algebraico:
Max Z = 4 x1 + 5 x2 + 0 s1 + 0 s2 = 0
Max { (cj - Zj) / (cj - Zj) ≥ 0 }.
min {
x 0i
y ik
/ yik > 0 }.
en nuestro caso como la variable que entra es x2, habrá que elegir
min {
x 0i
y i2
/ yi2 > 0 }.
en nuestro caso
 x 10   s1   8
 0 =   =  
 x 2   s 2   5
 y 12 
 1
−1
  = B P2 = P2 =  
 y 22 
 1
,
por lo que habrá que elegir
6
min {
8
1
, 5}
1
Así pues a partir de la tabla anterior
7
4
x1
0
0
0
0
5
x2
0
s1
0
s2
s1
s2
Zj
Wj
s1
s2
Zj
Wj
4
5
0
0
X1
x2
s1
s2
y11=2 y12=1 y13=1 y14=0
y21=0 y22=1 y23=0 y24=1
4
5
0
0
4
5
0
0
8
8
5
0
0
5
0
5
4
x1
5
x2
0
s1
0
s2
4
x1
2*
0
4
4
5
x2
0
1
5
0
0
s1
1
0
0
0
0
s2
-1
1
5
-5
s1
x2
Zj
Wj
s1
x2
Zj
Wj
2 x1 + s1 - s2 = 3
x2 - s2 = 5
Z = 25 + 4 x1 - 5 s2
9
3
5
25
4
5
4
5
4
x1
5
x2
0
s1
0
s2
4
X1
1
0
4
0
5
x2
0
1
5
0
0
0
s1
s2
1/2 -1/2 3/2
0
1
5
2
3
-2
-3 31
x1
x2
Zj
Wj
x1
x2
Zj
Wj
Las ecuaciones finales del método algebraico eran:
x1 + ½ s1 - ½ s2 = 3/2
x 2 + s2 = 5
Z = 31 - 2 s1 - 3 s2
10
Ejemplo:
Máx Z = 2 x1 + x2
s.a: - x1 + x2 ≤ 2
x1 + 2 x2 ≤ 6
2 x1 + x2 ≤ 6
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
(2/3,8/3)
(0,2)
(2,2)
(0,0)
(3,0)
Gráfico 1
Vértice:
(2,2)
Z = 2·2 + 2 = 6
Vértice:
(3,0)
Z = 2·3 + 0 = 6
Los puntos del segmento lineal que une ambos vértices
(arista) serán de la forma:
x = λ x1 + (1 - λ ) x2 = λ (2,2) + (1 - λ ) (3,0) = (2 λ + 3 - 3 λ, 2 λ
) = (3 - λ, 2 λ )
11
Para cualquier punto genérico de la arista, es decir para (3 λ, 2 λ ), el valor de la función objetivo será:
Z = 2 · (3 - λ) + 2 λ = 6 - 2 λ + 2 λ = 6
como puede comprobarse el valor de la función objetivo es el
mismo que en los dos vértices solución.
Máx Z = 2 x1 + x2 + 0 ·( s1 + s2 + s3)
s.a: - x1 + x2 + s1 = 2
x 1 + 2 x 2 + s2 = 6
2 x 1 + x 2 + s3 = 6
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, s1 ≥ 0, s2 ≥ 0, s3 ≥ 0.
12
2
x1
1
x2
0
s1
0
s2
0
s3
2
x1
-1
1
2*
2
2
1
x2
1
2
1
1
1
0
s1
1
0
0
0
0
0
s2
0
1
0
0
s3
0
0
1
0
0
Zj
Wj
0
0
0
s1
s2
s3
Zj
Wj
13
0
2
6
6
0
0
0
2
0
0
2
2
x1
1
x2
0
s1
0
s2
0
s3
2
x1
0
0
1
2
0
1
x2
3/2
3/2
1/2
1
0
0
s1
1
0
0
0
0
0
s2
0
1
0
0
0
0
s3
1/2
-1/2
1/2
1
-1
s1
s2
x1
Zj
Wj
s1
s2
x1
Zj
Wj
14
5
3
3
6
0
1
2
0
1
2
2
x1
1
x2
0
s1
2
x1
0
0
1
2
0
1
x2
0
1
0
1
0
0
s1
1
0
0
0
0
0
s2
0
s3
s1
x2
x1
Zj
Wj
s1
x2
x1
Zj
Wj
15
0
0
s2
s3
-1
0
2/3 -1/3
-1/3 2/3
0
1
0
-1
2
2
2
6
Ejemplo :
Máx Z = x1 + 2 x2
s.a: - x1 + x2 ≤ 2
x2 ≤ 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Máx Z = x1 + 2 x2+ 0 (s1 + s2)
s.a: - x1 + x2 +s1 = 2
x 2 + s2 = 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, s1≥0, s2≥0.
La tabla inicial del algoritmo del simplex, eligiendo como
variables básicas a la variables de holgura, será:
16
1
x1
2
x2
0
s1
0
s2
1
X1
-1
0
0
1
2
x2
1*
1
0
2
0
s1
1
0
0
0
0
s2
0
1
0
0
Zj
Wj
0
0
s1
s2
Zj
Wj
17
2
4
0
2
0
2
0
1
x1
2
x2
0
s1
0
s2
1
x1
-1
1*
-2
3
2
x2
1
0
2
0
0
s1
1
-1
2
-2
0
s2
0
1
0
0
x2
s2
Zj
Wj
x2
s2
Zj
Wj
18
2
2
4
2
1
2
1
1
x1
2
x2
0
s1
0
s2
1
X1
0
1
1
0
2
x2
1
0
2
0
0
s1
0
-1
-1
1
0
s2
1
1
3
-3
x2
x1
Zj
Wj
x2
x1
Zj
Wj
19
4
2
8
4. VARIABLES ARTIFICIALES. MÉTODO DE LAS
PENALIZACIONES
Si las restricciones son de la forma mayor-igual:
ak1 x1 + ak2 x2 + ... + akn xn ≥ bk
ak1 x1 + ak2 x2 + ... + akn xn - sk = bk
ak1 x1 + ak2 x2 + ... + akn xn - sk + Ak = bk
Restricciones de igualdad:
ak1 x1 + ak2 x2 + ... + akn xn + Ak = bk
Método de las penalizaciones
Ejercicio:
Max Z = 3 x1 + 2 x2
s.a: 2 x1 - x2 ≥ 3
x1 + x2 ≤ 6
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
20
(3,3)
(6,0)
Gráfico 3
Max Z = 3 x1 + 2 x2 + 0 s1 + 0 s1
s.a: 2 x1 - x2 - s1 = 3
x 1 + x 2 + s2 = 6
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, s1 ≥ 0, s2 ≥ 0
Max Z = 3 x1 + 2 x2 + 0 s1 + 0 s1 -M A1
s.a: 2 x1 - x2 - s1 + A1 = 3
x 1 + x 2 + s2 = 6
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, s1 ≥ 0, s2 ≥ 0, A1 ≥ 0
21
3
x1
2
x2
0
s1
-M
A1
0
s2
3
2
x1
x2
2* -1
1
1
-2M M
3+
2
2M -M
0
s1
-1
0
M
0
-M
-M
A1
1
0
-M
0
0
s2
0
1
0
0
Zj
Wj
-M A1
0 s2
Zj
Wj
22
3
6
-3M
3
0
3
0
3
x1
2
x2
0
s1
-M
A1
0
s2
3
x1
1
0
3
0
2
x2
-1/2
3/2*
-3/2
7/2
0
s1
-1/2
1/2
-3/2
3/2
-M
A1
1/2
-1/2
3/2
-3/2
-M
0
s2
0
1
0
0
x1
s2
Zj
Wj
x1
s2
Zj
Wj
23
3/2
9/2
9/2
3
2
3
2
3
x1
2
x2
0
s1
-M
A1
0
s2
3
X1
1
0
3
0
2
x2
0
1
2
0
0
s1
-1/3
1/3*
-1/3
1/3
-M
A1
1/3
-1/3
1/3
-1/3
-M
0
s2
1/3
2/3
7/3
-7/3
x1
x2
Zj
Wj
x1
x2
Zj
Wj
24
3
3
15
3
0
3
0
3
x1
2
x2
0
s1
-M
A1
0
s2
3
x1
1
0
3
0
2
x2
1
3
3
-1
0
s1
0
1
0
0
-M
A1
0
-1
0
0
-M
0
s2
1
2
3
-3
x1
s1
Zj
Wj
x1
s1
Zj
Wj
25
6
9
18
Max Z = 2 x1 + 3 x2
s.a: 3 x1 + x2 ≥ 3
5 x1 + 2 x2 ≤ 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
S=0
Gráfico 4
Max Z = 2 x1 + 3 x2 + 0 s1 + 0 s2 - M A1
s.a: 3 x1 + x2 - s1 + A1 = 3
5 x 1 + 2 x 2 + s2 = 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, s1 ≥ 0, s2 ≥ 0, A1 ≥ 0.
26
-M A1
0 s2
Zj
Wj
-M A1
2 x1
Zj
2
x1
0
1
2
Wj
0
2
3
x1
x2
3
1
*
5
2
-3M -M
2+
3
3M +M
3
x2
-1/5
2/5
4/5+
1/5M
11/51/5M
0
s1
-1
0
M
-M
A1
1
0
-M
0
0
s2
0
1
0
0
3
4
-3M
-M
0
s1
-1
0
M
-M
A1
1
0
-M
0
-M
27
0
s2
-3/5
3/5
1/5
4/5
2/5+
8/5
3/5M
-2/5- -3/5M
3/5M