Cuadernillo para recuperar 1ºESO

LE.S. SOL DE PORTOCARRERO CUADERNILLO
DE ,
MATEMATICAS/ 1° DE LA ESO En qué orden se hacen las 12 : (6 + 2 - 4) - 2 + 3 X 2 =
.0
o
Y
.
Paréntesis 12:(,8;4)
-2+3X2=
Multiplicaciones y divisiones
12:
-2+3x2=
o Sumas
I
4
I
'---1
I
-,--­
3
y restas
-2+
6=[2]
ndo dos operaciones tienen igual preferencia, se realiza primero la que se encuentra más a la izquierda.
. , Realiza las siguientes operaciones:
a) 14 + 3 x 4 - 8 : 2 =
b) (7
+ 5) : (4 -
d) 24 x (13 + 7 - 8) : 2 =
2) x 2 =
e) 32 : (8 x 4) x 18 : 3
e) 8: 2 x 4 - (9 + 1) =
f) (49: 7
=
+ 3) x (3 x 5 -
4 : 2)
=
.,
Resuelve por separado cada uno de los miembros de las siguientes igualdades:
a) 5 x (7 + 8) = 5 x 7 + 5 x 8
b) 9 x (12 + 8) = 9 x 12 + 9 x 8
~Completa las siguientes igualdades con el número que falta:
O
(O -
a) (5 +
b)
x 3
5) : 3
= 27
=7
e) (8 + 4) : (6 -
=6
• Completa las siguientes igualdades con el signo que falta:
a) (22 - 6)
O
8= 2
b) (4+12)02X4=32
e) 5
+5+5
O
8 = 50
./­
Qué es una potencia y cómo se escribe
Base: ______
Número _ ~54
que se repite
" Exponente:
Número de veces
que se repite la base
e
>
Expresa en forma de potencia los siguientes productos:
a) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25
d) 23 x 23 x 23 = .................. b) 6 x 6 x 6 x 6 x 6 X 6 el 10 x 10 =
e"
e) 15 x 15 x 15
= ........
................. f) 4x4x4x4 m . . . . ..
El) Expresa en forma de producto las siguientes potencias:
al 53
= ...................................................... el 122
= .................................................... b) 35
= ...................................................... e) 44
= ......................................................
e
d) 11 7
= .................................................... ',f) 96
= ...................................................... \
Expresa en forma de producto y calcula el resultado de las siguientes potencias:
a) 75
= ............................................................................ d} 182 = ........................................................................... bl 56 =
............................................................................ el 123 = ...........................................................................
el 44
=
............................................................................ f) 26
= ............................................................................. ~ Escribe de forma numérica las siguientes expresiones:
al Seis elevado al cuadrado
b) Siete elevado al cubo
= ................................ = ............~.......................... e) Trece elevado a la sexta
= .................................. dl Ocho elevado a la octava = ..................................................
e) Diecinueve elevado a la novena
f) Dos elevado a la décima = .................................................... ~Escribe y calcula el resultado de las siguientes potencias:
al Base 8 y exponente 6: ....................................................................
bl Base 4 y exponente 3: ....................................................................
e) Base 1 y exponente 7: ....................................................................
d) Base 10 Yexponente 5: .......:.......................................................... ------------~~~~-
PARA AVANZAR
Cómo se calculan potencias de base 10 y para qué se utilizan
103 = 1 000
100000 = lOS
las potencias de 10 se pueden expresar: cantidades muy grandes de forma más sencilla.
"'",,,rlln'
la distancia de la TIerra al Sol son ciento cincuenta millones de kilómetros, es decir:
150000000 km
= 15 x
lO' km
• Escribe el resultado de las siguientes potencias: a) 105
= "".............................................. b) lOS
= ................................................. e) lOS = ................................................. d) la:z
= ................................................. el Escribe en forma de potencia los siguientes números: a) 1000 = ............................................ b) 10000000 =
................................. e) 1000 000 000 = ........................... dJ 10000= .......................................... • Expresa las siguientes cantidades de forma numérica y posteriormente simplifica su expresión utilizando
potencias de 10:
:> a) la población de España es de cuarenta millones de habitantes. 40000000 = 4 X lO'
b) En la lotería de ayer hubo un premio de un millón doscientos mil euros...........................................................................
el
Un año luz es aproximadamente nueve billones de kilómetros.............................................................................................
d) El universo contiene unas cien mil millones de galaxias.. ................................................,........................................................
e) En el mundo hay mil doscientos millones de personas sin acceso al agua potable........................................................
f) El Sol lleva luciendo unos cinco mil millones de años..............................................................................................................
g) En la cabeza de una persona hay aproximadamente trescientos mil pelos.............................:..........................................
h) Una tonelada son mil millones de gramos, ................................................................................................................................... i) En la actualidad se conocen más de un millón de especies animales.................................................................................. •
Desarrolla cada una de las potencias y expresa el resultado en forma de una sola potencia:
>
0.
a) 82 x 83
81 = (8 x 8) x (8 x 8 x 8) x 8 = 82+3+1 = 8s
X
= ...................................................................................................... b) 123 x 12 x 12
e) 55 x 55
= ..................................................................................................................... d} 106 X 103 X 10 = ...................................................................................................... •
Escribe los términos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades:
D
D=
el
D
D =
al 82 x
X
4
8 = 8
b) 42 x 43
X 3
10
X
10
f)
5
= 10
7
3
x 100
d)
el 7 x
48 x
D =
14x~W~ D =
7
11
g) 22 x 22
7
X
22
h} 25 x 25 x
100
X
8
22
D
X
148 D
x 25
= 210
= 25
5
. , Expresa el resultado directamente en forma de una sola potencia:
a) 52 x 54 = .....-........................................................... b} 32 3 x 32
X
323
x
102
X
C) Indica si cada
e)
103
x
X
10
43
x
24
x 24
= 94
............................................................................. 10
= 103
...................................................................... .................................................................... = 77 ....................................................................................... f) 14 x 143 x ,.43
g) 22 x 22
h}
.................................................................................... d) 100 x 1003 = 10 0003
e) 77
x 77
g) 10010 x 100
una de estas igualdades es verdadera o falsa:
a} 62 x 42
= 104
b) 43 x 43
= ................................................... 103
X
X
27 2 = ..................................................
= .....................................__........... e} 156 x 153 = .........................-................................... d} 10
e} 274 x 273
147
.................................................................... 22 X 22 = 28
................................................................... 'h) 3 x 3 x 3 x 3, x 3 -- 53 ............................................................... X
22
= .......................................................... X
2
= .................................................
Cómo se dividen potencias de igual base la base del resultado (7) es la misma que la de las potencias.
El exponente del resultado (3) es la diferencia de los exponentes de las potencias•
. , Expresa el resultado en forma de una sola potencia:
d)
206
b) 205 = ......................................... e)
~~ = .......................................... 27
= ............................................ 8
e)
•
77
= ............................................ 13'0 - ........................................ Expresa el resultado en forma de una sola potencia:_
--'''-''-,
a) 54: 52
•
= ..................................... b) 253 : 25
== ................................. e) 199 : 198
= ................................ d) 96 : 93
el
1007 : 1004 = ............................ f) 3221
:
323
= ................................ Halla el resultado de los siguientes cocientes de potencias:
127
a) 1
= ......................................... 1006
d) 1006 = ....................................... 2'0
b)
1010
-5
= ........................................ e)
y = ........................................... e)
9 = ............................................ 96
f)
~=
38
...........................................
10
8
•
= ...................................... Calcula el término que falta en cada uno de los siguientes cocientes de potencias:
e)
0=1
106
6 12
d) - - = 1
O
@ Indica si cada una de estas igualdades es verdadera o falsa:
2
a)
2
22
= 1 .......................................................................
10S _
b) 10S - 10 ..............................:................................... 7
el -207 = 207 .................................................................................... 20
. 25
d) --¡
2
=2
.......................................................................................... Cómo se halla la potencia de ....una
'
,
. ,
(102J 3= 102X3 = 10 6
La base del resultado (10) es la misma.
El exponente del resultado (6) es el producto de los exponentes•
. _ . , Expresa el resultado en forma de una sola potencia:
y
a) (8 3 = ........................ t
(5sy =
f) (234)S = ...................... b) (3s = ........................ g)
(44)2 =
e)
........................ h)
(2 4
= ...................... i)
(1002y =
(42)2 = ........................ J')
(7
1 2)7_
-
a) (3 3 = ............................................ e)
( 22)2
b) (25)2 = ............................................ f) (32)2 = ............................................. d) (11 3)3
e)
......................... t = ......................... .................... .................•.•.. . . Calcula el resultado de las siguientes expresiones:
Y
e)
(52)2 =
............................................ d) (62)3 = ............................................ •
(42)4 =
............................................. h) (3 2)3 = ............................................. Completa el exponente que falta en cada una de las siguientes igualdades:
a) (18 3) 0 = 189
b) (7 0
e) (25 5)
t
25
= 512
(1~)0 = 10
10
= 316
i) (20y = 24
j) (50t = 518
e) (11 0)3 = 11 15
f) (4 0
g)
h) (3 4) 0
== 724
O = 25
d) (5 4) 0
e
g)
-~'"••l.......................................... )2 = 48
k) (1007)0
1) (12 0
= 10014
r = 12
21
Indica si cada una de las siguientes igualdades es verdadera o falsa:
a) (13 3)3 = 9 13
b)
..................................................................... (44)4= 1~ ...................................................................... t
(15 t = 15
e) (25 3 = 25 15
d)
4
e) (93)3 = 99
16
.......................................................:........... ................................................................... ~
....... ........................:........................................ Raíces - •
PARA EMPEZAR
:' , Qué es la raíz cuadrada exacta de un número
y qué es un cuadrado p,erfecto
Ejemplo: ,3 es la raíz cuadrada exacta de 9,ya que 32 = 9
se esi:ribe
1\79: 31 Se lee "raíz cuadrada de nueve~
Los números que tienen raíz cuadrada exac:.ta se llaman cuadrados perfectos.
Ejemplo: 9 es un cuadrado perfecto ya que tiene una raíz cuadrada exacta que es 3•
. , Escribe qué número multiplicado por sí mismo da com9 resultado: >
e.
a) 36:
/
6
d) /121: ......._......... b) 4: ..................
e) 196: .............__• e) 64: ................
f) 225: ................. ce Escribe los números que faltan para que las siguientes igualdades sean ciertas:
a)
JI
b)
V100
I
= 5
d)
D
e)
e) J D = 1 2
f)
V49 =
JD
Va1 =
= 13
D
@ Señala
los tres cuadrados perfectos de números comprendidos entre 10 y 20 que hay entre ,los siguientes
números:
262
144
200
500
343
256
361
~ Relaciona mediante flechas cada cuadrado perfecto con su raíz cuadrada exacta:
-'
Cuadrados perfectos
Raíces cuadradas
25 36 1
2
3
5
49
4
9
81
6
7
9
Múltiplos y divisores de un número
PARA EMPEZAR
Cuándo un número es múltiplo o divisor de otro. Números
'1~0~~~~~'~~~~1];~~~~3~~4i~'~\~~If~H;~~~E~.{1:¡~~;:~4f~~·JJ:,~~r~~~~~;lr~?f!{13~i;QIj;I;i:JiJr1~]~j&~~~~,'~;~~:;'Hr:\~l'S.~
n numero es muffipfo ce Otro SI resurta (fe multiplicar o por o o
Ejemplo: 128 es múltiplo de ya que resulta de x 4 = 28.
71.
7
Un número es divisor de otro si la división del segundo por el primero es exacta.
Ejemplo:
es divisor de 281, ya que 28 : = 4. Se dice que )28 es divisible por
17
7
71.
su número de divisores, los números pueden ser primos o compuestos:
Número primo es el que solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
Ejemplo:
es un número primo ya que tiene solo dos divisores, 1 y
17
I
7.
Número compuesto es el que tiene más de dos divisores.
Ejemplo: 112 es un número compuesto porque tiene como divisores 12, 1 Y además 2.3,4 Y 6.
I
e Dados los números 18, 10, 15,6,21,8,27, 12,9 Y24, indica cuáles de ellos son:
a) Múltiplos de 2: ................................................................................. b) Múltiplos de 3: ................................................................................. fj Escribe
todos los divisores de los siguientes números:
a) 12
b) 27
@ Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa:
a) 5 es divisor de 25 ......................................................................................... b) 36 es múltiplo de 9 ...................................................................................... e) 5 Y 3 son divisores de 15 ................................................-......................... d) 3 Y 7 son múltiplos de 21 ..........................................................................
@ Completa la tabla:
,; .[)ivisores ','
I
22
15
23
22, 1,2,11
',.¡;Una o más formas'deprodlJdo"
22 x 1
2 x 11
1',. ',PrimoocompÍJesto
I
Compuesto
I
I
._,- -_.,---,6~ __,______,________________'­
Cuándo un número es divisible por 2 o por 3 22, 24, 10, 66, 50 •.. son divisibles por 2 ya que todos terminan en O o cifra par.
Un número es divisible por 3 cuando ra sUl}1a de sus cifras es múltiplo de 3.
.Ejemplos:
o
+ 7 = 9 Y 9 es múltiplo de 3
53 no es divisible por 3 ya que 5 + 3 = 8 Y 8 no es múltiplo de 3
27 es divisible por 3 ya que 2
Busca entre estos números los que son divisibles por 2:
42
73
•
54
71
80
15
73
20
87
Busca entre estos números los que son divisibles por 3:
21
45
14
G Averigua los posibles valores numéricos de la letra a en cada caso para. que el número sea divisible por 2:
al
>...
b) 17a
e
--
e) a9
a8
a = O, 2. 4, 6, 8
d) 7a
Averigua los posibles valores numéricos de la letra a en cada caso para que el número sea divisible por 3:
a) 38a
el
b) 171 a
t) 101 a
e) 77a
g) a77
d) 9a
h) 10a1
@D Haz cuatro grupos con
7a9
los siguientes números: 108, 7, la, 115, 6, 231, 8, 27, 101, 12, 9 Y 24
a) Los que solo son divisibles por 2 son: ..........................................................................................
b) Los que solo son divisibles por 3 son: ..........................................................................................
el
Los que son divisibles a la vez por 2 y por 3 son: ....................................................................
. d) los que no son múltiplos ni de 2 ni de 3 son: .......................................................................... PARA AVANZAR
Cuándo un número es divisible
)~jT'~(m~¿~~~{~~J;~g{i~~fi~1~?~~~
25. lOO, 10. 65.
so ...
Un número es divisible por 10 cuando su última cifra es O. Ejemplos:
20. SO. 700, 1000 .... Un número es divisible por 100 cuando sus dos últimas cifras son OO. Ejemplos:
200,500, 700, 1000 ... Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma las cifras que ocupan lugar impar es O o múltiplo de 11. Ejemplos:
1+ 2 = 3
r'I
1 826 es divisible por 11 ya que 14 - 3 = 11
L¡..J
8
+6 =
2+5=7 r'I
2 353 no es divisible por 11 ya que 7 - 6 = 1
L¡..J
14
3+3=6
~ Busca entre estos números los que son divisibles por 5, por 10 o por 100:
752
420
541
7100
805
1500
1045
151
Divisibles por 5: ............................................................................................................................ Divisibles por 10: ..........._.................................................................................""......................... Divisibles por 100: ...............................................................................................~ ........................ o
Busca entre estos números los que son divisibles por 11:
352
420
514
627
o Averigua el valor de la cifra que falta en cada caso para que el número sea divisible por 11:
a)
601
i@i Escribe los números que cumplen
e) 7 0 5
las condiciones siguientes: a) El mayor número de tres cifras que se puede dividir entre 5: ..........................~............................... b) El menor número de cuatro cifras que se puede dividir entre 10: .................................................. e) El mayor número de dos cifras que se puede dividir entre 11: ......................................................... d) El mayor número de cuatro cifras que se puede dividir entre 100: .~ .............................................. - Cómo se descompone un número en factores primos expresarse como
menor
que sea posible. los cocientes obtenidos se siguen dividiendo igualmente entre el menor número primo que
~J[IOSIOle, hasta obtener la unidad.
45
O 15 15
O
O
lL
15
5~
O
~
5
2
3
3
5
1
1
190
•
90
En la práctica se expresa así:
90
10
=2x
3x 3x 5= 2
X
32 x 51
Descompón en factores primos los siguientes números:
a) 48 d) 36 48 = .................................................. 36 = .................................................
m •••••••
e) 81 b) 80 80 = .................................................. 81 = ............................................................ e) 70 f) 144 144 =
70 = ..................................................
......................................................... ~ ¿A qué número corresponde cada una de estas descomposiciones?
d) 2' = .................,..................~...................... a) 2 x 3 x 5 = .......................................... b) 22
x 33 = ....._........................................ e) 2 x
52 X
7 = ........................................ f) 3xSx7xll
® Relaciona cada número con su descomposición:
100 625 64 243 100 625 64 243
Múltiplos y divisores comunes
a dos números
"
PARA EMPEZAR
Cuántos múltiplos comunes tienen dos números
Múltiplos de 6: 6,'12,18,24,30,36,42.48,54, ... }
. ". Múltiplos comunes de 6 y de 9: 18, 36, 54, ...
Múltiplos de 9: 9, 18, 27, 36,45, 54, 63, 72, ...
..
Calcula los diez primeros múltiplos que se piden en los siguientes casos:
MúIti PIos de 2: ..................................................................................................................._..
Múltiplos de 3: ........................................................................._............................................
¿Qué múltiplos hay, entre ellos, comunes a 2 y 3? .....................................................
• Calcula los diez primeros múltiplos que se piden en los siguientes casos:
Múltiplos de 6: .......................................................................--.............................................
Múltiplos de 8: .................................................................__................................................... ¿Qué múltiplos hay, entre ellos, comunes a 6 y 8? ..................................................... • Halla el menor de los múltiplos comunes de 10 y 15.
MúIti plos de 1O: ........................................__..........................................................................
Múltiplos de 15: .....................................................................................................................
Múltiplos comunes de 10.y de 15: ...................................................................;.......•....:.. El menor de los múltiplos comunes de 10 y 15 es: ..................................................... e
Dados los números 282,150, 152,63,203,82 Y 29: a) Los múltiplos de 2 son: .................................................................................................. b) Los múltiplos de 3 son: .................................................................................................. e) Los múltiplos comunes de 2 y de 3 son: .................................................................. d) Los números que no son múltiplos ni de 2 ni de 3 son: ..................................... Cuántos divisores comunes tienen dos' números
"C7
%~f¿i~¡~h~W:~~~~r~~~~t~{~!~~~\~~~l~~t;'
mo
~~~·¡~JJ?¡i~:::~trf~1M~~~~}~~:~~f)~~~¡~~~W.;f*~i~:·i~¡
mo divisor común al menos el 1. Divisores de 12: 1,2,3,4,6 Y 12 } Divisores de 16: 1,2,4,8 Y 16
Divisores comunes de 12 y de 16: 1, 2 Y 4
. , Calcula:
a) Todos los divisores de 8: ......................_.......................................................................
b) Todos los divisores de 18: •.•...••._.........................................._................._...................
e) Todos los divisores comunes de 8 y de 18: ................................................_............
6) Calcula:
a) Todos los divisores de 20:
b) Todos los divisores de 30: ...........................................................................................
e) Todos los divisores comunes de 20 y de 30: ...........................................................
• Halla el mayor de los divisores comunes de 10 y 15.
Todos los divisores de 1O: ....................................................................................................
Todos los divisores de 15: ....................................................................................................
Todos los divisores comunes de 10 y de 15: ........................................................__•..•... El mayor de los divisores comunes de 10 Y 15 es: ............................_................;.....•• @) Señala en esta lista de números: 8, 5, 2, 3, 4,
12 Y 6 a) los que son divisores de 12: ........................................................................................ b) Los que son divisores de 32: .........................................................,.............................. e) los divisores comunes de 12 y de 32: ....................................................................... d) Los números que no son divisores de 12 ni de 32: ............................................... @) Señala en esta
lista de números: 2, 5,3, 6, 8, 15, 10 Y 4 a) los que son divisores de 30: ........................................................................................ b) Los que son divisores de 45: ........................................................................................ e) Los divisores comunes de 30 y de 45: ....................................................................... .d) los números que no son divisores de 30 ni de 45: ............................................... - 13- .."._------ -
--
.-.-'-
­
PARA AVANZAR
Qué es y cómo se calcula el máximo común divisor de dos números
mayor
Ejemplo: Los divisores comunes de 12 y de 16 son::1, 2 Y 4.
El mayor de estos divisores es 4, es decir, lr­m
-.c-.d
-.-(1-2,-'-6-)-=-4""
Para calcular el máximo común divisor de dos números:
'.0 Se descomponen los números en sus factores primos.
36
36
18
9
2
2
3
3
3
Y 60
60
30
, 15
5
1
1
r
El m.c.d. es el producto de los factores primos comunes
elevados al menor exponente.
36 = 22
X
32
60 = 22
I m.e.d.(36, 60) = 2
2
•
Busca todos los divisores comunes de 12 y 24. ¿Cuál de ellos es el mayor?
•
En<;uentra el máximo común divisor dé 42 Y48.
42 2
21 3
7
7
1
48 24 12 6
3
1
2
2
2
2
3
2
2
3
5
X
X
3x 5
3 = 4 x 3 = '2
I
42 = ....................................................... 48=
................................................... m.c.d.(42, 48) =
.-............... @l Calcula el máximo común divisor de: a) 40 y 50 40 40 = ................
50 50 = .................. m.c.d.(4O, 50) = ........_........ b) 9 y 16 9
9 = ...................
m.c.d.(9, 16) ,= ..................... e) 21 Y35 21 35 21 = ..................
35 = .................. m.c.d.(21, 35) = .................. 16 16 = .................. d) 25 y 35 25 35 25 = ..................
m.c.d.(25, 35)
35 = .................. = .................. -------------------------------, Qué es y cómo se calcula el mínimo común múltiplo de dos números ~emplo:
Múltiplos comunes de 6 y de 9: 18,36,54,72,90, ...
El menor de estos múltiplos es 18, es decir, r-lm-.c-.m~.(6-,-9~)=-1"""'1
81
Para calcular el mínimo común múltiplo de dos números:
1.° Se descomponen los números en sus factores primos.
36 Y 60
36
18
9
3
r
2
2
60
30
15
5
3
3
2
2
3
5
El m.c.m. es el producto de los factores primos comunes
y no comunes elevados al mayor exponente.
. . Busca los 3 menores múltiplos comunes de 20 y 30. ¿Cuál de ellos es el menor?
ti Calcula el m.c.m. de 18 y 26.
18 26 18
= ......
26
= ....................................... .o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. m.c.m.(18,26) = .......................................... ..
Calcula el mínimo común múltiplo, mediante la descomposición en factores primos, de las siguientes
parejas de números:
a) 9 y 12 9
12 9 = ...................
12
= ..........
c) 15 Y 25 15 .o. . . . .. m.c.m.(9, 12) = ................... b) 27 Y 40 27 40 = .................. m.c.m.(27, 40)
= ................. 25 = .................. m.c.m.(15, 25) = ................ 40 27 15 25 d) 32 Y 48 32 32 48 48
= .................. m.c.m.(32, 48) = ................ -.--------.- - ---------- ._-J$:: "____________ PARA AVANZAR
Qué son y cómo se obtienen fracciones equivalentes
decimales. Ejemplo: las fracciones
~
r
!
y
1~
son equivalentes. 2
1
-=05
2
r
-=05
4
J
5
10
=
0,5
En la práctica, para comprobar si dos fracciones son equivalentes, se realiza el producto cruzado de sus términos.
Si el resultado es el mismo, son equivalentes.
2
3
Ejemplos: 6><:9 productos cruzados {2 x 9 = 18
.
6 x 3 = 18 Son equivalentes .
5
"43 no es eqUIvalente
a"6 ya que
{3X6=18
4 x 5 = 20
Para obtener fracciones equival·entes a otra fracción, se multiplican o se dividen sus términos (numerador
y denominador) por el mismo número.
x3
Ejemplos:
8~2
3~9
12~3
x3
:4
-
•
= ­
Averigua cuáles de estos pares de fracciones son equivalentes:
al
•
:4
2~6
4
12
s Y15
3
25
e)
-¡y 56
dl
8 32
g-Y 35
Escribe la fracción equivalente que corresponde en cada caso:
x 3
2............
:3
al-=­
b)
3~
x3
15~
=­
18..........,..
:3
. , Escribe el término que falta en cada caso para que cada pareja de fracciones sean equivalentes:
2
3
al -=-­
40 el
O
b) _5_= 20
28
- /s­
40
-=-­
9
63
~
Cómo se amplifican y simplifican fracciones
1~~t.f~'~~~1;:~W~~;~~;~1¡¡~(~K!~~i;¡lt~iKJf~;~ift~\}J,foU~fi:¡'¡~l~'~~l~'í'\\1)~ii~~J~',\,;;i§g,jT -
~;:'i?'
~;}~i1
Ejemplo:
- = 7
14
= -
= ­
21
35
Para simplificar una fracción se dividen sus términos por un mismo número natural. .
_ ~'t;·~:
=
6
12
4
1
36 = -;a = 12 = "3
E.Jemplo:
[~~~ .
irreducible.
1~;::r.V:;;~:;~~::¡:;:o~;,;~i;;~~;~%tjJ~~~~'~~~~~~Jt:j;¿!1¡¡j~;!i,\ii~2t~fi •
Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas; al lado izquierdo simplificándola y al derecho
amplificándola.
6
a) - = - = ­
8
e) - = - = ­
20
8
b) - = - = ­
d) - = - = ­
10
15
14
42
. , Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fracción irreducible en cada caso:
>
•
4
2
a) -;0=5"
d)
b) ~
60
e) 75
9
15
••
18
30
e) 45
•
Escribe la fracción irreducible que corresponde a cada una y dibújala.
3
9
8
10
7
14
J
J
•
Reduce a común denominador estas fracciones, empleando el m.c.m.:
>
•
1
a) -¡Y
•••
•
7
ro
7 3
d)
8
S' -¡Y g Descomposición en factores primos { 4 =
10 =
m.c.m.(4, 10) =
••
•
••
cl
1 3
-Y­
2
5
8
9
3
4
f) -Y­
. - 11-..­
_ Cómo se comparan fracciones con uno de sus términos iguales ,
ff~!t;
2%'~
n
Ejemplo:
Si dos o más fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.
•
Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas de las siguientes figuras y ordénalas de
mayor a menor.
a)
b)
e)
d)
. , Escribe el signo < o >, según corresponda en cada caso.
a)
40 9"
7
9"
9
b) 12
e)
O 12
d)
5
90 159 .§. O.§.
8
9
5
e)
8 010
14
14 -ª-O-ª­
t) 4
. . Ordena de menor a mayor estas fracciones:
--<--<--<--<-­
5
3
7 10 8 b)
11'"',,'11',,
--<--<--<--<-­
1 1 1 1
e)
5'7'4'10'8
--<--<--<--<-­
1
7
Cómo se comparan fracciones cuando sus términos son diferentes 15
14
Como->-~
18
•
18
B7
->­
6
9
Compara estas parejas de fracciones colocando entre ellas> o <, según proceda.
a)
50 10
8
7
b)!O~
4
6
50 15 e)
12
d)
lL
12
7
O.!!.
9
hecho una pizza familiar. Miguel come ~ de la pizza,
7
Pedro : y Marta 18' ¿Cuál de los tres hermanos ha comido más cantidad y cuál ha comido menos?
@) Para cenar en casa, Miguel, Pedro y Marta han
(Utiliza el m.c.m. para reducir a común denominador.)
_ ..211- _____________ ,)- - ",,
~ •
'
Operaciones con fracciones
.;~.:'
>; '~"',
PARA EMPEZAR
~. Cómo se suman
o
y restan fracciones con el mismo denominador
Se deja el mismo denominador.
~+.!= 3+2
7
7
7
J!I
[1]
En la práctica, estas operaciones se hacen mentalmente.
•
Realiza estas sumas y restas simplificando el resultado, si es posible.
>
•
a) .§.
6
•e.
+±= ~ = ~
6
6
8
2
d) - - - =
9
9
2
O O
O
13
6
f)---=
9 -3 =--=-­
e) 4
•
10
BB
10
Resuelve estas operaciones combinadas. Simplifica el resultado si se puede.
al
•
4
~~ - U2 + ,52)= ~~ -
=
el
U7 - ,37)+ (;; - ,57)=
Escribe la fracción que falta en cada caso para que se obtenga el resultado indicado.
6011
O = 15 al '5 +
b)
4
5
--=­
7
7
803
O = ,,­
el ,,- -
O
O +-25 +
6
d)
8
24
25 = 25
Cómo se multiplica un número natural por una fracción Se deja el mismo denominador.
7
3 x!. = 3 x 5 =[![I 9
9
7x2
lJiI
13 x 2 = -'-3- =ITI]
W
En la práctica, estas operaciones se hacen mentalmente.
• Calcula el doble, el triple y el quíntuplo de
!
Triple
Quíntuplo
¡ xO=
!xO= . . Expresa estas sumas en forma de multiplicación y resuélvelas.
>al 7 + 7 + 7 +
2
2
2
e
2
2
7 +7
2
ITQ]
= 7 x 5 = [[]
7
7
e
e.
Cómo se multiplican dos fracciones . . MultiplIca estas fracciones simplificando el resultado:
4
al -3
7
b) -
8
x-=
1
5
3
x -x
9
,
f)3x-x5=
9
2=
,
7
9) 4 x 2 x"3 =
6
h) - x 2 =
5
3
5
d) - x 7
6
=
12
2
e) x
x 4
5
3
=
7
7'
e) -:¡s + -:¡s + -;s + -:¡s =
3
5 4=
J") -x-x
8
2
-
PARA AVANZAR ~
Cómo se suman y restan fracciones con distinto denominador
ra sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador:
.0
.0
5
10
15
-=-=­
4
8
12
Se reducen las fracciones a común denominador·
(amplificándolas o empleando el m.c.m.).
Se suman o restan las fracciones equivalentes
obtenidas.
•
1. + ~ =
3
4
-ª+ ..!.§.. =
12
12
8
+ 15
12
= /23/
12
Realiza estas sumas y restas empleando la amplificación de fracciones para reducir a común
denominador. Simplifica el resultado. S
3
4
b) 6
+ -8
a) - - - =
6
8
9
9
=
2
e) - - - =
10
6
1
d) -
3
+
5 4
=
G Un hortelano siembra de tomates ~ de la huerta, de legumbres ! y el resto de patatas. ¿Qué parte de la
huerta ha sembrado de patatas?
-23--·-----------­
-_._-------------------------­
Ejercicio resuelto
Suma
~y~
utilizando el m.c.m. para reducir a común denominador. 6=2x3
2
9=3
Se calcula el m.c.m. de los denominadores 6 y 9:
Se divide el m.c.m. por cada denominador:
18: 6 = 3
} m.c.m.(6, 9) =.2
Y
X
3 2
= 2 x 9
=
18
18 : 9 = 2
y se multiplican'
FR.os~
Por último, se suman las fracciones equivalentes, sumando los numeradores y dejando el denominador común:
5
7
15
14
6"+9=18+18=
(NO
18
I
. , Haz estas sumas y restas utilizando el m.c.m. Simplifica el resultado.
7
3
8
10
a) - -
•
b)
=
Completa la siguiente tabla:
12
4
­
9
15
~+.!+..!..
836
-24­
~+ ~ =
6
8
Cómo se dividen fracciones Ejemplo:
inversas
Para dividir una fracción entre un número entero, se multiplica por el inverso del número,
~'2=~x1.=1sl
S'
S
2 [i§]
I
I
• Calcula la mitad, la tercera parte y la quinta parte de
Mitad
!:D= !'
Qu inta pa rte
Tercera parte
~'D=
4'
. , Calcula estos cocientes simplificando el resultado cuando sea posible.
O O O
O O O
5 S
a) - ' - = - - x - - = - ­
6'9
b)
4
el
14
7:"5""
=
6
"5:7 =
• Tenemos, 12? litros de agua para envasar en botellas de litro y medio
se necesitaran?
. , Calcula estas operaciones combinadas, Simplifica los resultados,
b)
(~+1.)
,~ =
5
5 ' 10
e) 8 x
15
(l§.9 _Z)9 =
(74 72) 85=
el - + - x -
f)
-2:5­
(~
-
~) : 4 =
(~ L)' ¿Cuántas botellas
11. NÚMEROS DECIMALES)
Los números decimales •
PARA EMPEZAR
Cómo se escriben y leen los números decimales
Un número declmal consta
d~ una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la corr~
- _. >f~rt~d,écimar'
-- Ejemplo: 26,315
e
o
U
d
2
6,
3
e
m
dm
5
Las unidades decimales resultan de dividir la unidad en lO, lOO, 1000, ..., partes iguales. 1 décima
= _1
=
10
1 centésima =
O1
'
1 milésima
1~ = 0,01
= _11000
1 diezmilésima
= 0001
'
= 10~00 = 0,0001
Ejemplo: Por el valor posicional de sus cifras, el número 26,315 se descompone en: 20 + 6U + 3d + 1e + 5m = 20 + 6 + 0,3 + 0,01 + 0,005 Se lee: 26 unidades y 315 milésimas.
• Haz la descomposición de estos números según el valor posicional de sus cifras.
>
a) 8.065
= 8U + 6c + 5m =
••
b) 17,38
e) 0,6317 = ...__...._..._..........._..............................._...........................................__....._..._....................._ d) 384,2 = ....._......._...._......._........._..__......._.___.._......_...........__....__._......_.............._.__.....__...... •
Completa la tabla con lo que falta (número decimal. nombre o descomposición).
f..---
7 unidades y 58 centésimas
---f-----.----------f--------------¡
10 + 6 + 0,8 + 0,05 + 0,001
27,3
--------+----------+--------------j
1234 diezmilésimas
4
+ 0,05 •
Coloca las unidades (enteras y decimales) en su lugar correspondiente.
8,365
0,26
72.1864
9317.6
•
Completa la siguiente tabla:
3,15
6
72
25,063
7 unidades y 40 centésimas
257
6
•
Completa la siguiente tabla:
10
7C
+
10
+
+
50
+ Od +
5U
+ 9d Se
+ OU + 2d + Oc + 8m 1U + 7d
2C
7U
+
+ 3c + 6m + 5dm 3U
+
1d
+
Se
+
2m -2.1-­
..•.
•
~.~
Suma y resta con decimales
PARA EMPEZAR
Cómo se suman y restan números decimales (con el mismo número
de cifras decimales)
Para sumar o restar números decimales se coloca uno debajo del otro. hadendoeoincidir en columna las unidades dL_
mismo orden y las comas. Se opera y se pone la coma en el resultado.
Ejemplos:
2
3.
6
5
4
4.
3
8
5
7
+
8
5
9.
7
6
2
4
8,
9
1
6
8
8
3.
4
1
6
2
5.
4
6
9
23.654
+ 859.762
= 1883,416
I
74.385 - 48,916 = 125,4691
Minuendo Sustraendo
• Calcula estas sumas: a} 19,672
+ 6,851
=
b) 0.36
+ 7,75 + 166.28 =
. , Calcula el resultado de estas restas:
a) 65,493 - 18,576 =
b) 14,74 - 6,97
=
• ¿Cuál es la diferencia entre los perímetros de los dos triángulos?
al
10,52 cm
b)
14,32 cm
- 2;:g­
PARA AVANZAR =Cómo se suman y restan dos números decimales si uno tiene
-más cifras decimales que el otro
,
"
.,
-
,
.
,
.
.
_1. Se iguala el número de sus cifras decimales con ceros. (En la practica los ceros no se escriben, pero setienen' encueríta.)
0
,
2.° Se opera igual que cuando tienen las mismas cifras.
Ejemplos:
2
+
3
28,365
8,
3
6
5
6,
3
5
O
9,
5
7
O
2.
7
2
9
~
9
3
5
3.
6
2
+ 9,57 = 137,9351
6.35 - 2.729 =
~
• Coloca estas operaciones y calcula su resultado.
a) 2,72
•
•
+ 15.385 + 0.9234
b) 36.7 - 18.916
=
Completa esta tabla de operaciones:
2.491
8,6
0,54
137.02
84,9
15.356
En un cuadro mágico, los números suman lo mismo en vertical, horizontal y diagonal. Completa este.
4,3
5,05
5,55
5,3
Multiplicación con decimales •
PARA EMPEZAR
Cómo se multiplica un número decimal por un número natural
Para multiplicar lHlnÚmerodecimal por un número natural:
5,381 x35 l.' Se multiplican los números como si fueran ambos naturales. 2.' En el resultado, se separan con la coma, empezando por la derecha, tantas cifras decimales como tenga el núm
decimal.
5,
2
6
6
8
8,
3
8
1
x
3
5
9
O
5
4
3
3
3
5
.
3 ci fras
-t 5,381 x 35
decimales
=
!
188,335
I
"'-'IIi
. , Calcula el resultado de estas multiplicaciones:
a) 1
6, 2
x 4
4
6
b) O ,6
7
8
e) 6
x 9
x
5
• Pilar recorre a cada paso que da 0,75 metros. El pasillo de su casa lo mide en 14 pasos.
¿Cuánto mide el pasillo?
:O Efectúa estas operaciones combinadas:
a) 9 x (18,75
+ 3,691) = .
-30­
b) (6,38 - 2,65) x 34 =
3 9
7, 5
¿
Cómo se multiplica un número decimal
,'.
r 10, 100. 1000•...
~tl~t!.~~1i~¡~~~~~lJ~~
r un número decimal por lO, 100. 1000, ...• se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como
acompañan a la unidad. Si faltan lugares, se añaden ceros.
6.54 x 100 = 654
6.54 x 10 = 65,4
6.54 x 1000
,t
t
t
Dos lugares
= 6540
Tres lugares
. . Calcula el resultado: >
-.
a) 0,385 x 10 = 3,85
e) 6,3 x 1000 = b) 0,385 x 100 = tJ
e) 0,385 x 1000 = g) 16,4 x 10 = d) 0,385 x 10000
=
0,009 x 100
=
h) 1,0386 x 10000 = . . Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado:
>
-.
a) 16,3 x 100
b) 0,48
= 1630
f) 0,6 x .................... = 600 x.................... = 4,8 g) 2,196
e) 0,035 x.................... = 350 d) 2,6
m ........
•
h) 8,07 x ....................
x.................... = 2600 e) 13,184 x ...•.....
x ............_..... = 21.96 = 8070 i) 1,0026 x ....................
= 1318,4 j) 0,62 x....................
= 10026 = 0.62 Elige el resultado correcto en cada caso:
al 0,0065 x 1 000
-7
0,065
0.65 6,5
65 b) 2,7 x 100
-7
0,27
27 270
2700 e) 14,08 x 10
-7
1,408
140.8 1408
14080 d) 0,3 x 10000
-7
3
30 300
3000 ~ Un agricultor tiene tres olivares con 100 olivos cada uno. En uno recoge una media de 12,75 kilos de
aceituna por olivo, en otro 9,5 kilos y en el tercero 6,8 kilos. ¿Cuántos kilos ha recogido entre los tres?
_____________ -31­
PARA AVANZAR Cómo se multiplica un número decimal por 0.1 : 0,01; 0.001: ... = 4,97
49,7 x 0,1
t
49,7 x 0,01
t
b) 138,7 x 0,1
el
1,387
=
•
t
e) 0,7 x 0,1
g) 200,4 x 0,01
=
= 0,0497
=
f) 3517,4 x 0,001
138,7 x 0,001 = d) 138,7 x 0,0001
49,7 x 0,001
Dos lugares
e Escribe el resultado de estas multiplicaciones:
>
=
••
a) 138,7 x 0,01
= 0,497
=
=
h) 143,2 x 0,0001
=
Escribe el factor que falta para que se obtenga el resultado indicado:
>
e.
a) 72,3 x 0,1 = 7,23
f) 0,6 x _._............_ = 0,0006 b) 6319,4 x .................... = 6,3194 g) 7,08 x .................... = 0,0708 e) 38,5 x ._................ = 0,385 h) 1,0032 x _..................
d) 4,75 x ._.................
= 0,475 e) 239,8 x.................... = 2,398 i) 52,96
x....................
j) 0,075 x ._.............._.
= 0,10032 = 5,296 = 0,0075 (& Jaime está jugando con la calculadora haciendo multiplicaciones. Averigua el factor que falta
en cada secuencia.
= 6,7
a) 6,7 x .................... x 0,01
b) 0,84 x .................... x 1000
e) 13,6 x 10 x ....................
= 0,84
= 13,6
a) ............._..... x 0,01 x 100
= 37,25
- Cómo se divide un número decimal entre 10. 100. 1000• ... 32,7 : 1000
= 0,0327
t t
•
Escribe el resultado de estas divisiones:
>
••
a) 0,4: 10
= 0,04
f) 83156,2: 10000 =
g) 2,84: 1000 =
b) 356,2 : 100 =
=
e) 9616,5: 1000
d) 3,7 : 100
=
e) 25,62: 10
•
h) 2360,8: 100 =
i) 453,2 : 10
=
=
j) 6,8: 1000 =
Escribe el divisor que corresponde en cada caso:
>
e.
a) 7,8: 10 = 0,78
e) 74,5 : ..................... = 0,745 b) 625,2 : __..._........ = 6,252 f) 27,52: .....................
= 0,02752 g) 683,4: ...__..............
= 68,34 e) 8396,5 : ...........____.
= 8,3965 = 0,006 d) 0,6 : _..................
h) 7,9: ..................... = 0,0079 . , ¿Cuántos kilómetros son 35687,5 metros?
•
Escribe el dividendo de estas divisiones:
>al
54: 10
= 0,54
e) ..................... : 100
= 0,084 e.
b) ..................... : 100
= 2,073 f) ..................... : 1000
e) ..................... : 1000 = 0,0625 d) ..................... : 10
g) ..................... : 100
= 0,059 = 3,8269 = 58,076 h) ..................... : 10000
-3,#­
----------------------------------~
= 0,00546 División con decimales •
PARA EMPEZAR
Cómo se divide un número decimal entre un número natural
Para dividir un número decimal (dividendo) entre un númerónatural (divisor):
1.° Se hace la división de los números sin tener en cuenta la coma.
2.0 Se separan en el cociente, por la derecha, tantas cifras decimales como tenga el dividendo.
Ejemplos:
L
1 5, 8 4
19
]
6
J:
2 df,,,
2 8 7 3, 6
decimales
1, 7
6 8
12 3
9
J
1
,¡f~
decImal
1 2 4,
5 7
1 3
5 4
2 1 6
O
O 9
• Coloca y realiza estas divisiones: •
a) 8,356: 7 = e) 496,25: 15 =
bJ 18,36: 9
dJ 26862,1
=
: 43 =
Calcula mentalmente los cocientes de estas divisiones:
>
a) 4,6: 2 = 2,3 el
b) 1,8: 2 = t) 0,9: 3 =
el
g) 6,3 : 7 =
0,45: 5=
••
1,6: 4 = d) 2,8: 2
•
=
h) 0,72 : 8 =
Un motorista ha dado 26 vueltas a un circuito y ha tardado 48,62 minutos. ¿Cuál ha sido el tiempo
medio por cada vuelta?
-34­
:ómo se dividen dos números decimales
I o,
4 3, 5
'-, Para dividir dos números decimales:
- 1.° Se convierte el divisor en un número entero. Para ello,
¡x
se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor.
2.° Se hace la división.
100
I7
4 '3 5 O
7 4
6 5 O
5 8
Coloca y realiza estas divisiones:
a) 83,456: 1,5
=
b) 32,5 : 0,25
=
•
Se embotellan 1110 litros de agua mineral en botellas de tres cuartos de litro (0,75 litros).
¿Cuántas botellas se necesitan?
•
Calcula mentalmente:
=
e) 0,6: 0,3
=
i) 2,5: 0,05
b) 18: 0,3 =
t) 4,8: 0,8
=
j) 2,5: 0,005
e) 18: 0,6 =
g) 0,8: 0,08
=
k) 1,2: 0,4
h) 1,9: 0,19
=
1) 0,4: 0,02
a) 18: 0,2
d) 18: 0,9
•
=
¿Qué número hay que multiplicar por 2,34 para obtener 17,6904?
-35­
4
4 3 5 O
5 8
•
7 4
=
=
=
=
l. LOS NÚMEROS ENTEROS)
Números enteros •
PARA EMPEZAR
Cuáles son los números enteros
Los números negativos: -1, -2, -3, ..•.
números enteros son:
Los números positivos: +1, +2, +3, ... (suelen escribirse sin el signo +).
El cero: no es ni positivo ni negativo.
números negativos sirven para expresar cantidades menores que O.
8 grados bajo cero: -8
•
40 metros de profundidad: -40
Expresa el significado de las siguientes cantidades: a) - 23° ..........._.........._................................................................................................................................................__............................. b) - 63 metros ............................................................................................................................................................................................ e) -87 euros ............................................................................................................................................................................................... d) Planta (-4) .........._................................................................................................................................................................................ . , Expresa con números enteros las sigu ¡entes situaciones: a) Hoy tuvimos una temperatura de dos grados bajo cero: ................................ b) Quiero ir a la planta séptima del edificio: ................................ e) Esa montaña tiene una altitud de mil doscientos metros: ................................ d) Tengo el coche aparcado en el tercer sótano: ................................ e) El submarinista ha llegado a una profundidad de cien metros: ................................ t) Esta primavera se han alcanzado los cuarenta grados: ...............................: •
El siguiente extracto de una cuenta no es correcto. Indica dónde está el error.
Saldo anterior
45€
Recibo de la luz
_.- ­
- --
Nómina del mes
1200€
Recibo de la comunidad
Recibo del teléfono
30€
15€
4O€
-25€
1175 €
25€
1200€
-36­
PARA AVANZAR
Cómo se representan los números enteros en la recta numérica
.0
Se traza una línea recta y se toma como origen un punto que representa al cero.
-----..¡.I----­
O
o A
la derecha del cero, se elige otro punto que representa al 1 y se toma como
unidad la distancia del Oal 1.
'0 1
Se lleva esta unidad a la derecha ya la izquierda tantas veces como indica el número que se quiere representar. Negativos
Positivos
~
o
-4 -3 -2 -1
~'li"t1a~'la
1
O 1
1 2 3 4
la izquierda del cero se representan los números negativos y hacia la derecha los números positivos.
. . Representa en la siguiente recta numérica, además del cero, los números enteros del -6 al 7.
. , Representa en la siguiente recta los números enteros del -5 al 6.
o
-3 . . Escribe el valor que representan cada una de las letras en la siguiente recta de números enteros:
A
I
I
I
1
I
B
I
I
I
I
1
I
I
e
I
1
I
I
o
A=
0=
B=
E=
c=
F=
I
I
I
o
1
I
I
I
E
I
I
I
F
I
I
• Explica dónde situarías el cero en la siguiente recta de números enteros sabiendo que A representa a -5
y 8 a + 11.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
A
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
B
I
I
. . Sitúa los números -S, +12, O, +3 Y-11 en la siguiente recta de enteros sabiendo que A es -8
y 8 es +8.
I
I
I
I
I
I
A
I
I
I
!
I
I
I
I
-31­
I
I
I
I
I
I
I
I
B
I
I
I
I
I
I
Cómo se ordenan y comparan los números enteros I~
I ;;::i:;:; I
I
I
I
I
I:J;;;; I
1;;;;;1;;;; I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1
~1~~~~~~~.4~R123456789Wll~
•
-12 < -10
~
O> -3
------- Oes mayor que -3 porque está más a la derecha en la recta.
+4
-16
-12
-22
-66
+33
O
<
b) -6
D
D
<
-6
Escribe el signo
a} -3
D
<
<
-3
D
<
<
-1
< o > según corresponda:
3
e) 4
-8
d} -7
-4 D
-10
(1 Escribe los números enteros:
a) Comprendidos entre -6 y 3 ...................................................................................................... b) Menores que 2 y mayores que -4 a la vez .......................................................................... e) Negativos mayores que -3 ...................................................................................................... •
+1
-7
-3
Escribe los números enteros que faltan:
-7
•
-12 es menor que -10 porque está más a la izquierda en la recta.
Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros:
+12
•
Completa la siguiente tabla con los números anterior y posterior a los dados:
+19
-19
+100
-100
+
-21
+6
-6
-99
<
D
<
Qué es el valor absoluto y el opuesto de un número entero un
que
El valor absoluto de -3 es 3 y se representa
El valor absoluto de
es y se representa
+3 3
Por tanto, 1-31 = 1+31 = 3.
1-31 = 3.
1+31 = 3.
Cuando dos números enteros tienen el mismo, valor absoluto se diee que son opuestos. Al representarlos en la reeta
numérica, están a la misma distancia del eero.
-3
•
•
o
3
Completa las siguientes frases:
-100 es .................................... al El valor absoluto de + 12 es .................... e) El valor absoluto de
b} El valor absoluto de -15 es ................... d) El valor absoluto de +27 es ...................................... . . Completa las siguientes expresiones:
a}
1-111 =
b)
e)
O
d)
1+01= 10
1+01=7
e)
1-0 = 10
1-0
f)
1+141 =
1
= 18
1
O
el Escribe el significado de cada una de las siguientes expresiones:
a)
1+191 = 19 ............................................................................................................................................................................................. b)
1O 1 =
e)
1-191 = 19 .............................................................................................................................................................................................. O ................................................................................................................................................................................................... . . Completa las siguientes frases:
al El opuesto de -5 es ..........,....................... el El opuesto de +23 es .................................................... + 16 es
d) El opuesto de- 21, es .................................................... b) El opuesto de
•
............................... ¿Cuáles son los números opuestos que distan en la recta 14 unidades?
. . ¿Qué dos números tienen por valor absoluto 17?
~31-
__________________________
Operaciones con números enteros PARA EMPEZAR
Cúmo se suman y se restan dos números enteros
ra sumar
- Si los dos tienen el mismo signo:
Se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el signo que tienen ambos.
1-121
Ejemplos: (-5) + (-7) =
(+5) + (+7) = 1+121
- Si los dos tienen diferente signo:
Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplos: (-5) + (+7)
=~
(+5) + (-7) =
B
Para restar dos numeros enteros al primero se le-suma el opuesto del segundo.
Ejemplos: (-5) ­
(-9)
= (-5)
+ (+9) =
(+5) - (-9) = (+5) + (+9)
=
• Resuelve las siguientes sumas:
=
a) (+4) + (+a) =
tj (+3) + (+5)
b) (-7) + (-7) =
g) (-13) + (-10) =
e) (+4) + (-a)
=
h) (-9) + (+2) =
d) (-3) + (+5) = e) (+10) + (-20)
=
i) (+7) + (-7)
=
j) (-13) + (+10)
=
. . Resuelve las siguientes restas transformándolas antes en una suma:
=
tj (+11) - (-2)
=
b) (-3) - (-5) =
g) (-a) - (-12)
=
a) (+7) - (+a)
=
e) (+11) - (+12)
d) (+5) - (-a)
h) (-6) - (+2)
=
e) (-13) - (+5)
=
i) (+a) - (-a) = =
j) (-3) - (+10) = . . Expresa
con números enteros y resuelve la siguiente situación:
al Estaba en el sótano 5 y el ascensor ha subido 7 plantas. ¿en qué planta me encuentro?
b) Si ahora bajo
a plantas. ¿dónde me encuentro?
- 'Ji-
D -. '
PARA AVANZAR Cómo se suman y se restan más de dos números enteros ~:~~l~~:
~l~~~(!~~~}
ra sumar y restar mas e aos numeros
Se suman y se restan los números sucesivamente de izquierda a derecha.
Ejemplo:
-7
+5­
9
+3+
+
+
= - 2 - 9 + 3 + 10 ­ 4 = - 11 + 3 + 10 - 4 = -8 + 10 - 4 = 2 - 4 =
10 - 4
t
t
Se suman, por un lado, los positivos, por otro los valores absolutos de los negativos, y se restan los resultados.
+5
Ejemplo: -7
- 9
+ 3 + 10 -
4
= (5 + 3 + 10)
- (7
+ 9 + 4)
= 18 - 20
=
t:3J
~ Efectúa las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una: a) 3 - 4
b) -12
+5-
+8-
e) - 5 - 5
6
+7-
8 - 10 = 12 - 7 - 7 = + 15 -
+2-
20
3 =
~Efectúa las siguientes operaciones agrupando primero los números de igual signo: a) 100 - 200
b) 3
+6-
e) - 20
E'
+ 300 -
400 - 500 = 9 - 8 - 7
+ 50
- 40
..
+3-
+ 70 -
2=
90 - 10 =
I
~JJ:-a~rtltlº,>J~~,I!.t~.1Qc~.>.,"-~ ....,.~~~,,~._-_ ....,.. ~~ .....~"",._,-,._~ ... ~ ~... ~..
Realiza la siguiente operación: -7
+ (5
- 9) - (3
+
10)
Primero se efectúan las operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis. A continuación se opera de
izquierda a derecha o agrupando los números de igual signo:
-7
+ (5
+ 10)
- 9) - (3
= -7
+ (-
4) -
(+
13) = -7 - 4 - 13 = -11 - 13 = 1-241
@ Calcula el resultado de las siguientes operaciones:
a) 12 - (3 - 7) =
b) -20
+ (7
e) (15 - 25)
d) -(3
+3
e) (12
+ 12 -
- 10) - 6 =
+ (8 + 8)
-9)
+ (8 -
- (6
+ 9)
=
17) - (13 - 7) =
11 ) - 2 - (3
+7
- 17) =
-----
- 41-"
Cómo se multiplican dos números enteros Positivo: si los dos son positivos o los dos son negativos.
o
El resultado obtenido tiene signo:
Ejemplos: 4 x 5 = 20
=6
Negativo: si uno es positivo y otro negativo.
Ejemplos: 4x (-5)
•
-2 x (-3)
= -20
-2 x 3 = -6
Resuelve las siguientes multiplicaciones de números enteros:
a) -13 x (- 2)
=
e) 5 x (-6) =
=
b) -20 xl =
f) -5 x (-8)
e) 3 x (-10) =
g) -30 x 3
d) 5x4 =
h) -1 x (-1) =
=
. , Halla
el resultado de las siguientes operaciones:
=
a) -13 x (-1)
b) -3 x (-1)
e) (-54) x (-1)
=
=
d) (-14) x (-1) =
. . Averigua qué número falta para hacer ciertas las siguientes expresiones:
a) -3 x
D
b)
D
e)
DX2
d)
D
el
-7xD =
x6
f)
= 15
D
= -54
g) -1
= -14
h)
x (-4)
= -16
i)
j)
35
x (-10) = 10
xD =
D
x (-10)
8xD
D =
5
= -50
= -24
x1
-19
. . Decide
si cada una de estas igualdades son verdaderas o falsas:
a) -2 x (-7)
= -14
d) 5 x 4
=
-20
b) -4 x -9
= 36
e) -30 xl = 30
e) 3 x (-10)
= -30
f) -1 x (-1) = 1
. -,
----'-=-!-/Z.... - - .
~
Cómo se dividen dos números enteros .0
Se dividen sus valores absolutos.
Positivo: si los dos son positivos o los dos son negativos.
o
El resultado obtenido tiene signo:
-22: (-11) = 2
Ejemplos: 14: 2 = 6
Negativo: si uno es positivo y otro negativo.
Ejemplos: 40 : (-5) = -8
-21 : 3
= -7
. . Resuelve las siguientes divisiones de números enteros:
a) -12: (- 2) =
b)
2=
-4
d) -28
-4
=
e) -20: 1 =
e) 18: (- 6)
=
f) -80
=
40
O) Averigua el número que falta en las slguientes igualdades:
a) D:
(-1) = -16
D
b) - - = -34
-1
e)
D:
D
= 37
(-1)
d) - - =-8
-1
• Averigua qué número falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de números enteros:
a) 15 :
D
D
D
-3
12
b) e)
d) D:
6
=
-9
D
=-4
e) - - =-4
:(-4) = 5
f) 35:
-2
D
=-7
el> Contesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Entre qué número hay que dividir -50 para obtener de cociente -5? ................................ b) ¿Qué número hay que dividir entre -7 para obtener -37 ................................ e) El divisor es 3, el cociente - 3, ¿cuál es el dividendo, si el resto es 07 ................................ • Justifica por qué las siguientes igualdades son falsas:
a} -12: (- 2)
= - 6 ................................................................................................................................................................................. .
b) -20: 10 = 2 ......................................................................................................................................................................................... e) 18: (- 6)
= 3 ......................................................................................................................................................................................... . -43­
-
Operaciones combinadas con números
enteros
•
PARA EMPEZAR
En qué orden se realizan las operaciones con números enteros
reso
opera
as números enteros se debe seguir este orden:
.0
Se resuelven los paréntesis: o
Se calculan los productos y cocientes:
o
Se realizan las sumas y restas:
-21 : (-3 - 4) -8
=
=
-21 : (- 7) - 8 =
• Subraya en cada caso la operación que tiene preferencia y los números q~e intervienen en ella, después
halla el resultado resolviendo solo una operación en cada paso.
>
•
a) 3
+4:2
3
+4:2 = 3+2 =5
.. b) -6: 3 + 2 = •
e) 9 - 3 : 3
=
d) 12: (-7
+ 3) = e) -8 - 6 x 2
t) (-10
8
=
+ 6) : 2
=
Subraya en cada caso la operación que tiene preferencia y los números que intervienen en ella, después
halla el resultado resolviendo solo una operación en cada paso.
al (-1 + 4) x 2 + 7 =
b) 17 - 5 x 3
+6=
e) 3
+ 4 x 6: 3 =
d) 2
(7 - 5) x 4
e) (12 : 2) : (-6)
=
+8=
- t¡'1- ..
---------------------
e Efectúa las siguientes operaciones:
+ 24 =
a) 2 - (3 - 7)
b) :-10X(7 - 20) - 6 =
+ (7 -
e) (25: 25)
8) =
d) -36: (-5 - 6 - 7) =
e) - (12 - 9) x (8 - 18)
f) 20 - 10 : (13
+7-
=
18) =
@ Efectúa las siguientes operaciones:
a) (6
+ 4)
: (2
+ 3)
b) (-6: 3) x (1
+ 1)
el 3 x (9 - 3) : 3
d) (-9
+ 1)
=
=
+ 6):2
g) 5 x (-10)
=
=
:(2x4)
e) -1 - 4 x 4 : 2
f) 5x(-10
=
=
+ 6 :2
-45­
PARA AVANZAR raciones combinadas con rlúmeros enteros
Il"r~I'lnn,,,<::
paso se
r va
es,
que se
tienen igual preferencia, se realiza primero la que se encuentra más a la izquierda.
(12 - 6) x [(2 - 7) x (-2)] : (-3) - (3 x 3)
= 60: (-3) - 9
= -20 -
9=
1-291
=6
x [(- 5) x (-2)] : (-3) - 9 = 6 x 10 : (-3) - 9
• Calcula:
a) 8 x [- 5 x (-2
+ 4)
- (5 - 3)] : (-4)
=
+ 6 x (-4)
=
b) 28 - [(7 - 2) x (15 - 21)]
e) (8 - 14): [(7 -12)
d) [-17
+ (15 -
12}] x7 =
+ (11 - 16)] - [(- 2 + 7) x (25 - 20)]
. . Realiza
las siguientes operaciones:
a) (5 - 2) x (2 - 5) x (-2) : (-3) =
b) 12 - 2 x 6
e) -2
d) (- 2
+ 2 - 5 x (-6) : (-3)
2 x (1 - 7) : (-2) : (-3) =
+
10) x 3 : 6 x (-2) - 3
e) (18 - 8) - (5 - 9)
=
+ 3 x (-3) =
=
=
=
11. PROPORCIONALIDAD)
Porcentajes PARA EMPEZAR
Qué es un porcentaje o tanto por ciento
o Explica el significado de cada uno de los siguientes porcentajes:
a) El 45 oto de los niños tiene caries.
b) El precio de este perfume ha subido un 12 OJo•
............................................_..........................................._................................................................................... "................... _................................................ e) De las personas que hay en la Tierra, el 52 oto son mujeres.
e
En una muestra se ha detectado que cada 100 litros de aire están formados por: 75 litros de nitrógeno,
21 litros de oxIgeno, 2 litros de dióxido de carbono, 1 litro de vapor de agua y 1 litro de otros gases.
¿Qué tanto por ciento hay de estos gases?
>
el Dióxido de carbono =
a) Nitrógeno = 75 OJo
e
e" b) Oxígeno
=
d) Vapor de agua
=
e De las 100 personas que fuimos de excursión, 36 éramos de mi barrio.
a) Porcentaje de personas de mi barrio =
b) Porcentaje de personas de fuera de mi barrio =
e
De 100 aficionados que asisten a un partido de baloncesto, 10 son menores de 10 años, 30 tienen entre
10 y 20 años, 40 tienen entre 20 y 30 años y el resto son mayores de 30 años.
a) Los aficionados menores de 10 años son el .............................. 0Al.
b) Los aficionados entre 10 Y20 años son el ................................ oto.
e) Los aficionados entre 20 y 30 años son el ................................ oto.
d) Los aficionados mayores de 30 años son el .............................. oto.
. -- 4~---- -.. -----.-- - ­
~
Cómo se escriben los porcentajes Como porcentaje. Como fracción decimal. Como número decimal. . El 30
oro se puede escribir como fracción decimal, 130~' y como número decimal, 0,30.
,- • Escribe primero en forma de fracción decimal y después en forma de número decimal cada uno de los
siguientes porcentajes.
>
•
12
e) 15 oro =
a) 120r0=-=012
100
'
•ee
b) 20%
=
e) 100 oro
d) 25%
•
f)
=
sooro = g) 75 % = h) 40 oro
=
=
Los siguientes números decimales exprésalos primero en forma de fracción decimal y posteriormente en
forma de porcentaje. 0,24
=
e) 0,04 =
b) 0,45
=
f) 0,6
el
=
g) 0,16 =
al
0,01
d) 0,64 = h) 0,8
=
=
(@ Completa la siguiente tabla:
41 OJo
90
100
0,08
18 %
6
100
0,36
,
-4~-
PARA AVANZAR
Cómo se calculan los porcentajes
Se multiplica la fracción decimal equivalente al porcentaje por la cantidad.
17
17 OJo de 150 = 100 x 150
=
17 x 150
100
2550
~
= ----roo = ~
Se multiplica el número decimal equivalente al porcentaje por la cantidad.
17 OJo de 150 = 0,17 x 150 = 125.51
Ejemplo:
. . Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por la fracción decimal equivalente.
>al
9 OJo de 1250
~.
100 x
:
•
-ª-
el 100 OJo de 9876
1250 = 9 x 1250 = 11250 = 1125
100
100
•
b) 56 OJo de 34
tJ
el 19 OJo de 250
g) 89 OJo de 89
dl 6 OJo de 3004
h) 43 OJo de 2401
12 OJo de 524
Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por el número decimal equivalente.
>
•
tJ
a) 20 OJo de 250
-:."
0,20 x 250
=
40 OJo de 250
50
b) 80 OJo de 250
g} 98 010 de 89
e} 50 OJo de 500
h) 45 OJo de 240
d) 7 OJo de 3
i} 26 OJo de 10
ellO OJo de 8
j) 7 0A:l de 5
. . El 18 OJo de los 98754 habitantes que tiene la ciudad donde vivo son mayores de 65 años. ¿Qué tanto
por ciento representa a los habitantes que no son mayores de 65 años?
. . Me
he gastado el 7 010 de los 123 euros que tenía en la hucha. ¿Qué porcentaje de los ahorros que tenía
quedan aún en la hucha?
• El peso de un astronauta en la Luna es el 17 0A> del que tiene en la Tierra. Sabiendo que un astronauta
con el traje espacial pesa 156 kilogramos en la Tierra, calcula cuánto pesará en la Luna.
• El 36 OJo de los animales de un zoológico son africanos, el 25 010 son asiáticos, el 20 OJo son americanos, el
15 OJo son europeos y el resto de Oceanía.
a) ¿Qué porcentaje representan los animales de Oceanía?
b) Si hay 900 animales en el zoológico, ¿cuántos hay de cada continente?
• De los 5200 espectadores que han asistido a un partido de baloncesto, el 25 OJo son mujeres. De todas
ellas, el 21 OJo son menores de 20 años.
a) ¿Cuántas mujeres había viendo el partido de baloncesto?
b) ¿Cuántas de las mujeres eran menores de 20 años?
Qué es una ecuación
Ecuación es una igualdad que contiene números, letras y operaciones. las letras se llaman incógnitas.
Solución de una ecuación es el número que. sustituido por la letra. convierte la ecuación en una igualdad numérica.
Ejemplo: la igualdad x
+ 4 = 7 es una ecuación.
Si sustituimos la letra x por el número 3 resulta una igualdad numérica: 3
+
4
=
7.
Al número 3 se le llama solución de la ecuación.
• De las siguientes igualdades, ¿cuáles son ecuaciones? a) 8 . 5
+ 3 = 43
b) 12 - 3 . b
I e) 2· m + 4
=6
d) 5
+4
.7
=m-
1
=3.9+6
.,
¿Cuántas incógnitas tienen cada una de las siguientes ecuaciones? a) 3 . m + 4 - n + 9
b) 8' r - 2
c) 2 • s
+4
d) x - 4
= 7 . m-S +
5· r = r
-
s
+
12
= 3 . x-S + 14
+ x = 23 - x
. , De los números 1,2,3,4,5, comprueba cuál de ellos es solución de la ecuación: 3 . x + 7
• Averigua si el número 5 es solución de alguna de las siguientes ecuaciones: al t + 8 =
14 b) 31 - 2 .
s = 21
e) 2 . x
d) 4'
a
+6=
7
e) b: 5 + 9
=
3 •x
8
+
1
+a
=2 . b
-51­
= 19.
PARA AVANZAR Cómo se resuelve una ecuación 4x - 5 = 2x + 11
a Se
o
•0
+ 5 = 2x + 11 + 5 ~ 4x = 2x + 16
2x = 2x + 16 - 2x ~ 2x = '6
aplica la regla de la suma tantas veces como sea
necesario para que en el primer miembro queden solo los
términos que tienen x yen el segundo miembro los que
no la tienen.
4x - 5
Se aplica la regla del -producto para aislar o "despejar" el
valor de la incógnita•
-=­
4x 2x
16
2
2
Se opera y se obtiene la solución•
•
Resuelve las siguientes ecuaciones:
al
2x + 14
b) 5x + 6
el
-7
= x + 22
= 4x -
d) , - 2x - 9 = 5 - 3x - 6
el
2
= 10 - x-s
8x - 6
= 4 + 9x -
2x
f) 12x + 3 - 5x - 9 = 1
-52..­
+ 6x
• Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5x - 2
b) 4x
e) 9
+5-
+ 3x =
d) 7x
e) 2
= 2x + 7 1 = 2x
13
+ 4x
+ 4 = 3x + 9 -
+ 3x -
x
=
5x
- 5x
= 9x -
5- 3
g) 8x = 4x - 1
+ 2x -
5
h) 11 - 3x + 9
= 6x
10 - 4x
t) 6x
1
+ 5
+8
i) 2 - 4x
+5
= 13
j) 14x - 8 - 4x
- ,53­
+ 2x -
+8
= 9
5x
+ 23x -
9x
+
11 ~ Qué
es una proporción numérica
proP~~~i6~~s'laigUald~d entred~~razones.·
~
3
9 ~ .•
" Io: Las razones "5
E:jemp
y 15
.orman una proporclOn
ya que: 35
En la proporción
~
¡; 'J~~iJl-e;~et'Vl«:J\~ ········~···.PJ
~ft~Q
9
= 0,6 Y15
= 0, 6
9
= 15 los términos 3 y 15 se llaman extremos y los términos 5 y 9 se llaman medios.
• En cualquier proporción se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios. Ejemplo: En la proporción
•
Determina si las siguientes razones forman una proporción o no:
11
21
a} - y ­
3
4
b}
•
2
6
¡Y21
) 52 12
e -y­
13
3
2 3
d) - y ­
3 2
Señala cuáles de las siguientes parejas de números forman una proporción con 3 y 5:
a) 6 Y 10
•
~ = ~ se cumple que @x @ = [§J x rn:J b} By 15
Razona si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa:
al -2 = ­ 1
8
4
2
5
b) - = ­
3
6
el
290 = 638 5
11 d) .! = 125 8
25 -5~-
Cómo se calculan los términos de una proporción :~·~~a·:~I~~I~·ri~;:ié;~i~~~·····~~·'~~1·p~~~~;Ci6':·~~···lit¡I¡;a····¡~·:~~Pi~dad:·~~ducto··de· extre~os =··p;~d~~·ct~:;~·~·~~~;i·~~···:':':~{·
"t\Ejemplo: calcula el término n de la proporción
.'
•
~=
2::'
1.° Se multiplican los extremos:
50 x n r
4 x 25
= 100 J.O Se igualan los productos:
50 x n
= 100 4.° Se calcula n:
50 x n = 50 x 2;
Se multiplican los medios:
In = 2 I Calcula el término desconocido de las siguientes proporciones:
5
15
3
5
6
n
al - = ­
3
n
e) - = ­
n
1
b) - = ­
t) ~
10
24
2
=
12
12
8
n
e)
5 =_n
10
24
g)
15 =
5
d)
.z.n = ~8
h)
B. =
.!!
10
5
. , Escribe cuatro proporciones diferentes con los valores de la siguiente tabla, utilizando en todas las
proporciones una razón donde aparezca el dato desconocido y calcula en cada caso su valor.
>
a) Primera proporción:
•
~.
15
"91 = ,,-:
1x n
e) Tercera proporción:
9 x 15; n =
b) Segunda proporción:
d) Cuarta proporción:
:-55­
PARA AVANZAR = Qué son
~
-
magnitudes directamente proporcionales
;::!OÓSmagnitUdes s~n directamente pro~~~~i~nale:~s;las";~zci~h;~~~t~~:~a~~,'~~r~ja' de valores correspondientes dan
;\;;el mismo cociente, que se llama razón de proporcionalidad.
"~·Ejemplo: La siguiente tabla muestra la relación entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante:
,;.,-,';:;
~"é~
..•
¡iempOefJIplea~plen.hó'F.is}{',·'
Éspac:iorecorricJo (enkHórnetros)
',',r"
"
-
__
o
,_,.,,-
',_
-
_'
4
'_,.
2
3
4
5
8
12
16
20
El tiempo empleado y el espacio recorrido son magnitudes directamente proporcionales ya que:
1
4=
, .....
2
3
4
=12
8
5
16 =20=0,25
La razón de proporcionalidad es 0,25.
•
Comprueba si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales o no.
a)
ESpaCiorecorrioo(en nIetros) .
'.Tiempo empleado(en'miputos}
.
b) .N~rT1e~() •.~~. t ra bajad6tes ..'.,' '.)'.•. ' '.' '.•.
100
200
300
400
5
10
15
20
2
4
6
8
18
9
4
2
r.. .<' .........\;.,.
.Tierl1poempleado erirealizar un' trabajo (e~horas)
c) Canticlad demanianas (en· kilogramos)·'
,"","._'
•
',-_"",_,
_,,_','
,c,
,.'
:'"
'
.
_
1
2
3
4
5
7
9
Completa los valores de los siguientes pares de magnitudes directamente proporcionales y calcula
la razón de proporcionalidad en cada caso.
a)
1'""'7;...,...-.-.,...,..
. .,.,.
. ...,..
.......,.
... ~
" > .-:­
.•--,-.....--r-----,----,-----,.---,---,
Númeróde
'. . . .
.. ,tartas
. ' ;.';
2
7
16
Razón
20
40
500
12
Razón =
32
-56­
=
Cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales
¡:Dos'~~~~i1:~des sondirecb..riellte propo~~i'o';ales sr:
'J. Al aumentar una de ellas al doble, triple, .." la otra aumenta al doble, triple, ... ,
Al reducir una de ellas a la mitad, la tercera parte, .." la otra se reduce a la mitád, la tercera parte, .., ,
'Ejemplo: El tiempo empleado y el espacio recorrido por un paseante son magnitudes directamente proporcionales
ya que si se duplica o triplica el tiempo empleado, se duplica o triplica el espacio recorrido:
IIlxn
TiempÓen1plea(Ío(enhoras), ,
"
X3
t
x 5
1
2
3
4
5
4
8
12
16
20
x 5
r
LJ
t
I
1
x 2
x 3
•
De los siguientes pares de magnitudes, di cuáles son directamente proporcionales y cuáles no:
al El número de kilogramos de cerezas que compras y el precio que cuestan,
b) El número de horas trabajadas y el salario que se obtiene,
e) La cantidad de albañiles que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en realizarla.
•
Completa las siguientes tablas donde se relacionan magnitudes directamente proporcionales:
al
b)
Número de horas trabajadas '
1
Euros recibidos por el trabajo
10
",
'
'
' '"
2
4
5
8
10
15
20
25
5
7,50
12,50
20
25
37,50
50
100
'",,'
. NÚl'J'lero dekilogr¡¡mos·.·.>... ,
el
37,S
1
120
450
210
2
5
10
20
2
50
100
500
0,12
,20
-5+­
7,20
15
90
PARA AVANZAR
:. . Cómo se representan puntos en un solo cuadrante
.¡l.-
..=.. §f~~.o
_lt:m
Se dibujan dos rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical,
que se llaman ejes de coordenadas.
~J~~
~
f{\';)
-:- ;:\X;2.0 Se toma como origen el punto de corte de los ejes O.
=
~tt~
Se elige sobre ambos ejes un segmento unidad, por ejemplo el lado de la
_ ~~~ . ­ cuadricula.
~
~::;~'.'~
_ ~',',
'.;;;;.:'i!
-~;~n
~ :;:-';/4.° Cada punto queda definido por dos coordenadas que se expresan entre
paréntesis y separadas por una coma.
'.'
}X,-fjemplo: Para representar el punto A, de coordenadas (6, 5), se cuentan
. . . :;\j
seis cuadriculas sobre el eje horizontal, y después, cinco sobre
- 'g~~;
el vertical.
.~
iy';~:'
~~.
~~: .
~.
~.~.:.:.;.'.¡
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f,:.:..
=,:th,~~ ':~:;:;';·i;~'~¡.;{~i;80l~&iBi~it~~2l;;~)~¡1·H~;~J;s¿~1;~É:;{~1~!,mittJ~i!c~;:&{{f2.~~t~~~~~[€·r;iJ$~~f~~:f.~fi~%.\i;~if;S'"tin;;:~¿H(;f:f~;~~di;S·:!7:~,~~~.'~:;~~};E:;\:!~'z;j&;ij:~
•
Determina las coordenadas de los puntos que se dan sobre la siguiente cuadrícula:
'1
~
~
-"'­
~
!-­
I
I
I
I
I
,
I
I
!
I
I
G
I
I
!
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I I a I o I
I
r.~~Tll-i
I
I
:
I
~2I
r= !! JI '~EL
i Ili
I
! I
~ i l:2 3I 4I §I ~
¡-3
I
.
I
•
Determina las coordenadas de los puntos señalados en esta cuadrícula.
•
Representa en la cuadrícula los puntos siguientes: E(3, 30), F(2, 20), G(5, 70), H(6, 80)
-5'8­
Cómo se representan puntos en los cuatro cuadrantes del plano pu
se representa en
e
I o eje de abscisas. de forma que: los números positivos se
... n r'.. c:..'n+", a la derecha del origen y los negativos a la izquierda.
seQumla coordenada u ordenada del punto se representa en el eje
o eje de ordenadas, situándose los números positivos por ncima del origen y los negativos por debajo. El punto A (-3. 6) se encuentra tres unidades a la
izquierda del origen y seis unidades por encima.
El punto 8(-4, -5) se encuentra cuatro unidades a la izquierda del origen y cinco unidades por debajo del origen. •
Representa sobre esta cuadrí~la los siguientes puntos, dados P9r sus coordenadas:
A(l,3)
8(5,2)
C(-2,3)
D(-4,l) E(-l, -3)
F(-3, -4)
6(2, -1)
H(3, -2) I
I
1=
I
!
I
I
í
I
¡
I
o
!
I
i
i
!
I
I
•
I I
Escribe las coordenadas de los puntos indicados en esta figura:
.­
i
,
,
-
I
8
)
.....
I
i
A
I
I
I
."'­
I
I
I
i
6(0,0)
i~
.
J
~
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,1
11am
o lo
. r
I
¡ji I
r1 1i:FI
'
I ,1
! I
1
'-$1­
1
I
i
Lo.
r-,-~ I
C(O,O)
IBI
I
Inl
'l'
,.
I
,1
Cómo se clasifican los ángulos
i;,~~i~nguloS se clásifican según su amplitud en:
Agudos
Rectos
Obtusos
llanos
Miden menos de 90°
Miden 90°
Miden más de 90°
Miden 180°
,<:iertas parejas de ángulos reciben nombres especiales:
•
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Suman 90°
Suman 180°
Clasifica estos ángulos completando la tabla:
D
aL
&. F¿:
A
?1~
0
50
C\,
E .
G
~H
•
Comprueba cuáles de estas parejas de ángulos son complementarios y cuáles son suplementarios.
•
¿Cuánto tiene que medir un ángulo para ser complementario de otro que mida 59°?
¿Y para ser suplementario de otro que mida 133°?
-60­
Qué son rectas perpendiculares
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro ángulos rectos (90°) .
..
De las siguientes rectas, ¿cuáles son secantes? ¿Cuáles de las parejas de rectas secantes
son perpendiculares?
dy
/ /
,
b
e
!e
• Dibuja dos rectas perpendiculares a la recta r. Una tiene que pasar por el punto A y la otra
por el punto B.
8
•
A
•
... Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. al Dos rectas que al cortarse forman dos ángulos de 50° son perpendiculares.................................................... b) Dos rectas que al cortarse forman un ángulo de 72° no son perpendiculares................................•................... c) Dos rectas que al cortarse forman un ángulo de 90° no son perpendiculares.................................................... d) Dos rectas que al cortarse forman un ángulo de 120° son perpendiculares•................................................•.. • En el siguiente plano aparecen las calles de una ciudad. Señala cuáles de ellas son perpendiculares.
-61­
11. POUGONOS )
Triángulos PARA EMPEZAR
Qué es una línea poligonal y qué es un triángulo
• Una línea poligonal está formada por varios segmentos unidos. las lineas poligonales pueden ser abiertas y cerradas.
A
E
F
B
C~----------------4D
En la línea poligonal abierta el final
del último segmento no coincide con
el principio del primero.
c'~--------------
En la línea poligonal cerrada el final
del último segmento coincide con
el principio del primero.
• Un triángulo es la zona del plano encerrada por una linea poligonal cerrada formada por tres segmentos llamados
lados.
o
. , ¿Cuáles de las siguientes figuras son líneas poligonales? ¿Cuáles son abiertas y cuáles son cerradas?
B
F,
EU
•
¿Cuáles de estas figuras son triángulos?
B
F
~---~-~-----------------
El! PARA AVANZAR
Cómo se clasifican los triángulos
• Según sus lados, los triángulos pueden ser:
Isósceles
Equiláteros
Escalenos
. . . •·. . •. . .:. . .
.~
. . .
A
Tienen los tres
lados iguales
TIenen dos
lados iguales
Tienen los tres
lados distintos
Acutángulos
Rectángulos
Obtusángulos
Tienen los tres
ángulos agudos
Tienen un
ángulo recto
Tienen un ángulo obtuso • Según sus ángulos, los triángulos pueden ser:
. , Clasifica estos triángulos según la medida de sus lados.
B
(j300
12 cm
D
...12 cm
75.75°
4cm
A: ..................................................
B: ..................................................
C: ._...............................................
D: ...................................__............ o ¿Cómo clasificarías los triángulos de la actividad anterior según la medida de sus ángulos?
A: ...........................__ ....................
B: ..................................._...........
C: ..................................................
D: .................................................. le Completa esta tabla dibujando, si es posible, el triángulo correspondiente en cada hueco.
Equilátero
Isósceles
Acutángulo .
.
'.
"
.:'.
':
I
.'
.'
Rectángulo
.­
".
-'
,:
<
ObtusángiJlo .
--.
-....
.
-6..3­
Escaleno
Polígonos. Cuadriláteros •
PARA EMPEZAR Qué es un polígono elementos de un polígono son:
• Lado: segmento de la línea poligonal.
• Vértice: punto en el que se cortan dos lados.
• Ángulo: zona comprendida entre dos lados consecutivos.
• Diagonal: recta que une dos vértices no consecutivos.
•
Dibuja un polígono de cinco lados. Señala sus vértices, sus lados y sus diagonales. ¿Cuántos ángulos tiene?'
•
Dados los siguientes polígonos, completa la tabla.
>
••
•e o
A
4
4
4
e
o
•
Dibuja las diagonales de estos dos polígonos. ¿Qué observas?
- 61/­
2
Qué es un cuadrilátero •
¿Cuáles de estas figuras son cuadriláteros?
e
B
F
. , Dibuja un cuadrilátero y señala uno de sus vértices, uno de sus lados y uno de sus ángulos.
..
Observa estos cuadriláteros y fíjate en sus formas. Señala los que tengan los cuatro lados iguales
y los que tengan los cuatro ángulos iguales.
A
F
E
J
G
K
lados iguales: .................................._...._...................._.......
L
Ángulos iguales: ............._......_........_....................................... G Con ayuda de una regla y un transportador de ángulos. calcula el valor de los ángulos y la longitud
de los lados y las diagonales en el siguiente cuadrilátero.
Ángulo
=............
Ángulo 'Y = ............ Ángulo 3 = ............
lado BC = ...............
lado CD = ......___... lado DA = ..............
a = ............ Ángulo ~
lado AB = ...............
Diagonal AC = ..................
--_.--­
-65­
Diagonal BD
= ..................
PARA AVANZAR
Cómo se clasifican los cuadriláteros
Trapecios
Tienen dos pares de
lados paralelos
Tienen un par de
lados paralelos
No tienen ningún lado
paralelo a otro
paralelogramos pueden ser, a su vez, de cuatro tipos:
Cuadrados
. Rombos
Rectángulos
Tienen cuatro lados
iguales y cuatro
ángulos iguales
.
Tienen lados paralelos
iguales y cuatro
ángulos iguales
Romboides
Tienen cuatro lados
iguales y ángulos iguales
dos a dos
Tienen lados paralelos
iguales y ángulos iguales
dos a dos
ce Fíjate en los lados paralelos de cada figura e indica qué tipo de cuadrilátero es.
B
F
e
'-
A: ......._...._._.__..........._....._.____..._....._...
c: ._....~.____._.......................__...................
B: .....•..........................._......._......._..._.........._.
o: ._._....._............__....___..__.................._... F. ._.•..•...........__..........................._...................
E: ._...................._........._............_........ ~........... . , Dados los siguientes cuadriláteros, señala los que son paralelogramos e indica de qué tipo son.
D
e
e ¿Los cuadrados, son rombos? ¿Los rombos, son cuadrados?
~~
......................._.~ ..,............._
.........................._ •••_ ....._ _............. _ ............. _ ........................"!.._ _..............._ ..................................._ ..... _ ................ _ ................_ ......._ .............
....................._................................... ...................._......._ ................._..._u..................._.... .........................
~
~
_~
...._..........._...
_~
_H......................••••...........••......."..•••.._....•..•....•..•.. ................ _.......,.._.............""....."..._.........._........................................................................... El círculo y la circunferencia
•
PARA EMPEZAR
Qué es una circunferencia y cuáles son sus elementos
elementos de una circunferencia son:
•
•
•
•
Centro.
Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.
Radio: segmento que une el centro de la circunferencia con uno de
sus puntos.
• Diámetro: cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
I diámetro mide el doble que el radio y divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias.
. , En la siguiente circunferencia. dibuja un radio. un diámetro, una cuerda y un arco.
'­
6) ¿Cuáles de los siguientes objetos podría considerarse una circunferencia?
\
Aro de baloncesto
Moneda de euro
Anillo
Parehe de tambor
. , ¿A qué elementos de la circunferencia se refiere cada una de estas frases?
al Es la mitad del diámetro................................................ b) Donde se cruzan todos los diámetros......................._..._................. c) Es la mayor de todas las cuerdas que se pueden trazar................................................ d) Al trazar un diámetro se forman dos..............................._.........._... Plato
PARA AVANZAR
...,
....,
Cómo' se calcula la longitud de la circunferencia
...,
....
~
1t=3,14
.....
el diámetro es el doble del radio, se puede calcular la longitud de una circunferencia con la siguiente expresión
~
.
~
~
L
d
.J9
......
......
:tt:mfYIU.·
L
= 2r = 1t
=> L = 2 • 1t • r
La longitud de la rueda de una bicicleta de radio 25 cm es:
L = 2 '1t. r= 2' 3,14' 25
.....,
=>
,
L = '....1-57-c-m...,'
..
~
••
.
......
. , Calcula la longitud de las circunferencias cuyos radios miden:
-
a) 15 m
.,
b) 27 cm
~
.
......
~
....,
--f
.....
--t
.....
.....
•
Calcula el diámetro de las circunferencias del ejercicio ant'erior y comprueba que el cociente'entre
la longitud y dicho diámetro mide lo mismo en ambas.
a)
b)
...
...f
.....
.....
.......
-.....
(8 La
longitud de una circunferencia es de 40 cm. Halla su radio.
....
....
.
-..-
-.
...
.
~
....,
...
. , La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 60 cm. ¿Qué longitud recorre en una vuelta? ¿Yen tres
vueltas?
~
.....
""..."" .....
-6'3'­
- r - - - - - - - - - - - - - - - - - . - ,--­
SíST6-'t1A.S PARA AVANZAR
Cómo se pasa de una unidad de longitud a otra
Para transformar de unidad una
longitud, se multiplica o se divide
sucesivamente por 10. x 10
x 10
x 10
x 10 .
x 10
x 10 ...............
~~~~~
krri . . ~,·>;~m
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'_0
~~F....../~~~
:W
:W
:W
:W
:W
:W
Para poder comparar distintas longitudes. se deben pasar a la misma unidad. Ejemplo: Para comparar 356 hm y 3 351 dam se pasan las dos medidas a metros; por ejemplo: 356 hm
= 35600 m
Así, se puede ver que:
1356 hm
y 3351 dam
>
3351 dam
= 33 510 m I
. . Completa
estas tablas:
) a)
•a 9
"lO
". .. ··m
'.
km
'hm'
: , .dam
21
210
2100
b) .'
m
mm
"
21000
11
178
645
4567
2398
• Expresa en metros cada una de estas longitudes.
•
a) 7 km =
d) 6000 mm =
b) 850 dm =
e) 1,36 hm =
e) 200 cm
f) 0,9 dam =
Completa estas igualdades:
40 ....................................
a) 12 km = ._................................. hm
d) 4 d m =
b) 85 dam
e) 6,5 .................................... = 6500 m
85000 ....................................
e) 97 m = ..........
m
.......................
km
f) 4679 cm = .._................................ hm
• Observa el ejemplo y expresa en centímetros las cantidades de los demás apartados:
>
a) 8 hm 3 dam 5 m = 80000 cm
+ 3000 cm + 500 cm
= 83500 cm
lO.
b) 14 m 7 dm 3 cm =
e) 0,2 m 1 dm 7 cm 40 mm =
• Ordena de mayor a menor las siguientes longitudes:
a) 241 hm
2435 m
32987 mm
b) 56534 cm
31 243 mm
12 dam
PARA AVANZAR ~
Cómo se pasa de una unidad de capacidad a otra
Para transformar de unidad una
capacidad, se multiplica o se
divide sucesivamente por 10.
x 10
x 10
x 10
x 10 .
x 10
x 10
~~~~~~
/:~:(~~'Í:'J~;I.{~;,·';}~#(~r;I·~~@~~·{{}f¡l·~~i2;~~'fo);i~f;~~Z, .~,{f',d~~~l;'~;1 ~;J~f0#1r¡f:J(tiJt.k,;!MW¡?:"i
~
"-"
:10
IIC....../
:10
:10
"'-/
:10
"-/
:10
r4...-/
:10
Para poder comparar distintas capacidades, se deben pasar a la misma unidad. Ejemplo: Para comparar 1325 dl Y 12 dal se pasan las dos medidas a litros, por ejemplo: 1325 dl
Así, se puede ver que:
= 132,5l
11325 dl
Y 12 dal = 120 l > 12 dall . . Completa estas tablas:
>
•
••
."
al
b)
kL
4,5
45
450
4500
96
897
341
987
31
•
•
Expresa en litros cada una de estas capacidades.
al12kl=
d) 500 el
=
bl 730 dl =
e) 3,7 dal
=
el
f) 4500 ml =
8,4 hl
Completa estas igualdades:
a) 53 kl = .................................... dal
d) 26,S .................................... = 26500 l
b) 0,384 hl
e) .................................... hl = 1740 dl
e) 6 dl
•
=
.................................... dl
Completa esta tabla:
>
•
••••
f) 4632 el = ........................-.......... dal
600 ....................................
"kC
, ,,"'.
/."":';
,' ..
.... hl
48326 ml
84 kl
.l
I·'··dl.······
4 dal
8l
3 dl
3 dal
6l
·.daL
"""'¡'! l"'"
5 hl
',,:.
745624 el
•
.,"
!/",~';"".
'
SL . , ....,.';,,; i;".
"';'.::;:.';'"
2 el
6 ml
4 el
Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades: 23986 daL, 76215 L Y 14 kL
-7-0­
lit PARA AVANZAR
Cómo se pasa de una unidad de masa a otra
Para transformar de unid~d una masa,
se multiplica o se divide sucesivamente por 10.
xW
xW
xW
xW xW
xW
x10
~~~II ~t~v~~~ro~:41~~~ .~1:~~\~ ~Z",;;;~)Xl
" - / " - / " - / "'-/ JC....../
: 10
: 10
: 10
: 10
: 10
Para poder comparar distintas masas, se deben pasar a la misma unidad.
EjemplQ: Para comparar 2 kg Y 15432 dg se pasan las dos medidas a gramos, por ejemplo:
2 kg
= 2000 9
Así, se puede ver que:
•
12 kg
Y 15432 dg
>
15432 dg
= 1543,2 9
I
Completa estas tablas:
>
b)
a)
*
*
*
3
*.
30
300
3000
76
7,3
750
40
•
=
b) 8600 mg
el
•
975
Expresa en gramos cada una de estas masas.
a) 8,3 kg
32 dag
d) 520 dg
=
e) 6 hg
=
=
=
f) 745 cg =
Completa estas igualdades:
a) 45 kg
= .................................... t
b) 0,384 hg
e) 52 9
d) 236 9
= ............._.................... dg
= .................................... hg
e) 76,2 ....................................
= ............._........_......... mg
= 76200 9
f) .............m.................... q = 16530 mag
• Observa el ejemplo y completa el resto:
>
••
a) 7845 9 = 7000 9
+ 800 9 + 40 9 + 5 9 =
7 kg 8 hg 4 dag 5 9
b) 9687 9 el
•
x10
~
~~~~~~
4352 9 = Ordena de mayor a menor las siguientes masas: 47821 dg, 67834 hg y 58 q.
-7/­
Unidades de superficie - •
PARA EMPEZAR
Qué es el área de una superficie
unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado (m 2).
unidades más grandes que el metro cuadrado: kilómetro cuadrado (km2),
lect:ómc:tro cuadrado (hm2), decámetro cuadrado (dam2).
mbién hay unidades más pequeñas que el metro cuadrado: decímetro cuadrado (dm2), centímetro cuadrado (cm2),
ilímetro cuadrado (mm 2).
Submúltiplos
. , Indica cuáles de las siguientes magnitudes se miden con unidades de superficie:
a) Distancia entre dos ciudades .__....._.................
d) Tamaño de un frigorífico .__..
b) largo de una carretera _.............._..____._ e) Ancho de un puente ............................. e) Superficie de una casa ..........._................ t) largo de un bolígrafo ............................. m
. , Indica qué unidad de medida utilizarías para expresar la superficie de:
Cocina
Centímetros cuadrados
Alfiler
Kilómetros cuadrados
Posavasos
Metros cuadrados
Provincia de Sevilla
Decímetros cuadrados
Casa de muñecas
Milímetros cuadrados
Ordena estas superficies de mayor a menor área.
" Rodea con un círculo cuál de las siguientes cantidades es mayor en cada caso:
a) 43 decímetros cuadrados o 43 decámetros cuadrados.
b) 215 hectómetros cuadrados o 215 metros cuadrados.
e) 658 kilómetros cuadrados o 658 centímetros cuadrados.
d) 9194 milímetros cuadrados o 9194 decámetros cuadrados.
-'12.­
. . . . . . . . . . . . . . . . . .. PARA AVANZAR
Cómo se pasa de una unidad de superficie a otra
poder comparar distintas medidas de superficie, se deben pasar a la misma unidad.
""#>'Tlnl."·
Para comparar 6 dam 2 y 34781 cm 2 se pasan las dos medidas a metros cuadrados, por ejemplo:
6 dam 2
= 600 m y 34781 cm = 3,4781
2
16 dam 2
2
m2
> 34781 cm 2 1
. . Completa estas tablas:
>
b)
a)
e
e
e
0,64
°e
64
6400
640000
18965
8543
0,83
345,86
2
. . Expresa en metros cuadrados cada una de estas medidas de superficie.
a) 5 km 2 =
b) 7,2 hm 2
d) 8000 dm 2 =
=
e) 90000 cm 2 =
e) 25 dam 2 =
f) 12000000 mm 2 =
. . Completa estas 19ualdades:
a) 68 hm 2 = .................................... dam 2 d) 0,008 .................................... = 800000 mm 2 b) 56400 cm 2 = 5,64 .................................... e) 6500 m2 = 0,65 .................................... e) .................................... dm 2 = 4 hm 2 f) .................................... km 2
=
290 hm 2 . . Observa el ejemplo y completa el resto:
>
a) 6 hm 2 23 dam 2 31 m2 = 60000 m2
+ 2 300 m2 ++ 31 m2 =
62331 m2
e.
b) 62 m2 47 dm 2 19 mm 2 = ............................................................................................................._.................. = .................................... mm 2 e) 5,3 km 2 9 hm 2 4 dam 2 = .................................................................................................................................. = .....................:.............. m2 •
Ordena de mayor a menor las siguientes superficies: 21 441 km 2 , 342765 dam 2 y 542987 m2 •
-~p~--------------------------~------
Perímetros y áreas _ •
~
PARA EMPEZAR
Qué es el perímetro de un polígono
':ternlmo: El perímetro del polígono de la figura
es:
4+S+7+S+6+2+6=13Scml
•
Calcula el perímetro de estos polígonos.
b)
al
Perímetro:
Perímetro:
. , Utiliza una regla para medir cada lado de este trapezoide y anota su medida. Averigua cuánto mide
el perímetro de la figura.
AB=
CD=
BC=
DA=
Perímetro:
. , En los polígonos regulares, todos los lados miden lo mismo. Calcula el perímetro de:
>
a) Un triángulo equilátero de lado 7 cm.
~.
Perímetro = 3 x 7 = 21 cm
b) Un cuadrado de lado 6 cm.
cl Un pentágono regular de lado 11 cm.
dl Un hexágono regular de lado 9,4 cm.
. , ¿Cuánto mide el lado desconocido de este trapecio que tiene un perímetro de 50 metros?
10m . .
18m
-7'1­
Cómo se calcula el área de un rectángulo
el área de un cuadrado un
es
producto de su base por su altura,
expresadas en la misma unidad.
El área de un cuadrado es el
producto del lado por sí mismo,
es decir, el cuadrado del lado.
•
Área
= base x altura
Área
=lado x lado
Halla el área de las siguientes figuras:
>
al
•
Área = 8 X 8 = 64 cm 2
el
••
••
••
-.
17,6 cm
b)
d}
dm
. , Indica cuál de las siguientes cantidades es el área de este rectángulo:
• ¿Qué polígono tiene mayor área, un cuadrado de 25 cm de lado o un rectángulo de 26 cm de base
y 24 cm de altura?
. , Un rectángulo de base 73 cm tiene un área de 1752 cm 2• ¿Cuánto mide su altura?
- Cómo se calcula el área de un triángulo producto de su base por su altura.
das en la misma unidad.
'
Area
base x altura
=...;..;;;..---------­
2
. . Calcula el área de los siguientes triángulos:
al
e)
14m
23 cm
b)
d)
cm
. , Completa la tabla a partir de los datos del dibujo:
A
6
B
e
6m
Bm
¿El área de un triángulo depende de su posición? .....................
N . . . . . ._ . N _• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •N
••••••••••••••• N
••• N
• •_
................... . . Un triángulo mide 6,5 m de base y 24 dm de altura. Halla su área en m2 y en dm2•
•
El área de un triángulo es de 225 m2 y su base mide 25 m. ¿Cuánto mide la altura?
--
.
-+6­
-------------­