Curso de Introducción al análisis complejo Primer Semestre 2016

Curso de Introducción al análisis complejo
Primer Semestre 2016
Cure--Universidad de la República
Mayo de 2016
PRÁCTICO III
1. Calcular las integrales de z(z -1) y de Re(z) a lo largo de los segmentos [0, 1+i], [0, 1] y [-1, 1+i].
2. Calcular la integral de f (z) =
3π
1
a lo largo de la curva γ(t) := teit con t ∈ [0, ].
z + 2i
2
ez − e−z
a lo largo de la curva γ(t) := eit con t ∈ [0, 2π].
n
z
sen z
4. Calcular la integral de f (z) = 3 a lo largo de la curva γ(t) := eit con t ∈ [0, 2π].
z
3. Calcular la integral de f (z) =
5. Calcular la integral de f (z) =
5z − 2
a lo largo de la circunferencia de centro 0 y radio 3.
z(z − 1)
1
a lo largo de las circunferencias de centro 0 y radio
(1 − z)3
1
1
mayor que 2 (resp.: de centro 0 y radio , de centro −1 y radio ).
2
2
6. Calcular la integral de f (z) =
ez
1
7. Calcular la integral de f (z) =
a lo largo de las circunferencias de centro 1 y radio .
3
1 − z)
2
8. Calcular la integral de f (z) =
radio
ez
a lo largo de la circunferencia de centro 1 y
z(z − 1)(z − 2)
1
.
2
9. Sea P un polinomio de grado n ≥ 1 y R > 0 suficientemente grande tal que P (z) 6= 0 para
P 0 (z)
todo |z| ≥ R. Sea γ(t) = Reit , t ∈ [0, 2π]. Probar que la integral de
a lo largo de la
P (z)
circunferencia γ vale 2πin.
π π
1
10. Sea ϕ : [− , ] → C, ϕ(t) := cos2 (t)eit . Calcular el ı́ndice n(ϕ, ).
2 2
2
π π
11. Sea ϕ : [− , ] → C, ϕ(t) := 2cos(t) + isen(t). Calcular el ı́ndice n(ϕ, 0).
2 2
1
a
12. Determinar un real a para que la función f (z) := ( + 3 )ez tenga primitiva en C∗ .
z z
13. Calcular la integral de f (z) :=
1
4 i(π/4)
a
lo
largo
de
la
curva
parametrizada
γ(t)
:=
2t
e
.
z3 − 1
π
1