Movimientos irrotacionales

Capítulo 1
Movimientos irrotacionales
1.1. Introducción.
En la mayoría de los movimientos de interés para la Aerodinámica el efecto de la viscosidad es
despreciable, salvo en zonas localizadas del campo uido (capa límite, estela, ...). Dicho efecto puede
ser cuanticado por el cociente entre las fuerzas convectivas, de orden
ρV 2 /L (donde ρ es la densidad del
uido, V una velocidad característica del movimiento y L una longitud característica), y las viscosas, de
orden
µV /L2
(siendo
µ la viscosidad del uido). Dicho cociente es el número de Reynolds, Re = ρV L/µ
. Este número adimensional tiene, para la inmensa mayoría de los problemas de interés aeronáutico,
un valor muy grande (por ejemplo, en un vuelo típico de una avioneta y tomando como velocidad
L = 1m
característica la cuerda del ala,
, se obtiene
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Re ∼ 4 · 10
µ/ρ = 15 · 10−6 m2 s−1
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tendríamos Re ∼ 5 · 10 ).
, y considerando vuelo a nivel del mar,
; para el caso de un avión comercial típico
Así pues, el efecto de la viscosidad se limitará en general a una capa delgada (capa límite) de
forma que sea posible cumplir la condición de contorno de velocidad tangencial nula del uido sobre
el obstáculo.
Otra hipótesis introducida en el estudio es la adiabaticidad del movimiento. Esta condición se deriva
de la consideración de que la conducción de calor es despreciable y se traduce en la imposición de que
el producto
Re Pr
sea grande, donde
Pr = µcp /k
es el número de Prandtl (cp es el calor especíco
a presión constante y k la conductividad térmica del uido). El número de Prandtl para los gases
es del orden de la unidad y por tanto la condición requerida anteriormente,
automáticamente en
Re Pr 1
Re 1
, se traduce
.
Además se considerará tan sólo el movimiento de uidos para los que es posible denir una relación
de barotropía, lo que implica aquellos movimientos de uidos en lo que la relación entre la presión y
la densidad es única en todo el campo uido. En particular esta relación existe para los movimientos
de líquidos, en los que su densidad es constante y por tanto independiente de la presión (y de la
temperatura) y en el movimiento isentrópico (adiabático y reversible) de gases, en el que la condición
de constancia de la entropía proporciona una relación simple entre presión y densidad (en la que no
interviene la temperatura).
Finalmente se considerará que el campo de presiones se debe a efectos dinámicos y no a efectos
estáticos, es decir, que el efecto que aparecería en el campo de presiones debido a los campos de
fuerzas másicas (en particular la aceleración de la gravedad, g ) es despreciable. Esta condición se
cumple siempre que
gL V 2
, y ocurre en todos los casos de interés (salvo para globos y dirigibles
en los que las fuerzas de otabilidad debidas al gradiente de presión hidrostática son fundamentales).
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CAPÍTULO 1.
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MOVIMIENTOS IRROTACIONALES
1.2. Ecuaciones del movimiento y condiciones de contorno.
1.2.1. Teorema de Bjerkness-Kelvin. Potencial de velocidades.
De la ecuación de cantidad de movimiento:
D~v
= −∇p + ∇ · τ̄ + ρf~m
(1.1)
Dt
~m = −∇U , los términos de viscosidad son despreciables
, si las fuerzas másicas derivan de un potencial, f
y el movimiento es barótropo (∇ω = ∇p/ρ) tenemos que:
ρ
D~v
= −∇ (ω + U )
Dt
(1.2)
Si se cumple esta condición y el movimiento es inicialmente irrotacional, permanece irrotacional (y
consecuentemente la velocidad deriva de un potencial) en cualquier instante posterior. En efecto, sea
la circulación a lo largo de una línea cerrada L:
Z
Z
ω
~ · ~ndσ =
Γ=
Σ
, donde
d~l es
~v d~l
(1.3)
L
el vector tangente a la línea. Si
L ≡ Lf
es una línea uida, el teorema de Bjerkness-
Kelvin establece que la derivada sustancial (siguiendo a la línea uida cerrada) de la circulación es
igual a la circulación del vector aceleración a lo largo de dicha línea:
Si se tiene en cuenta que:
D
Dt
Z
~v d~l =
Lf (t)
Z
D~v ~
dl +
Dt
Lf (t)
D d~l
Z
~v
(1.4)
Dt
Lf (t)
Podemos calcular la última integral de la ecuación (1.4) como:
D d~l
Z
~v
Lf (t)
Dt
Z
Z
~
~v dl∇~v =
=
Lf (t)
Z
~v d~v =
Lf (t)
dv 2
=0
2
(1.5)
Lf (t)
, y la integral (1.5) es nula por ser el campo de velocidades unievaluado.
Por otra parte, en el caso particular de ujo barótropo, de un uido no viscoso, bajo la acción de
un campo de fuerzas másicas que derivan de un potencial, teníamos que la aceleración del uido deriva
también de un potencial:
D~v
= −∇ (ω + U )
Dt
(1.6)
Se tiene entonces que:
∇ (ω + U ) d~l =
y como
(ω + U )
∂(ω+U )
dl
∂l
es, por razones físicas, unievaluado, tenemos que:
Z
DΓ D
=
Dt Lf (t)
Dt
~v d~l = 0
(1.7)
Lf (t)
Esta ecuación expresa que en el ujo barótropo de un uido ideal bajo la acción de un campo de
fuerzas másicas que deriva de un potencial, la circulación alrededor de cualquier línea uida cerrada
CAPÍTULO 1.
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MOVIMIENTOS IRROTACIONALES
permanece constante e igual a su valor inicial. Como consecuencia de este teorema, si la circulación a
lo largo de cualquier línea uida cerrada es inicialmente cero, su valor permanecerá nulo en cualquier
instante posterior:
Z
~v d~l =
Γ=
Z
ω
~ · ~ndσ = 0
(1.8)
Σ
Lf (t)
1.2.2. Ecuaciones y condiciones de contorno de ujos potenciales.
Tras las hipótesis que se han descrito anteriormente (número de Reynolds grande, fuerzas gravitatorias despreciables y movimiento barótropo) el teorema de Bjerkness-Kelvin (ecuación (1.8)) demuestra
que la circulación a lo largo de una línea material y, por tanto, la vorticidad sobre cualquier supercie
que se apoye sobre ella no varía con el tiempo. Si además el movimiento es inicialmente irrotacional
(uido inicialmente en reposo), la corriente no viscosa de un uido alrededor de cuerpos fuselados a
ángulos de ataque pequeños es irrotacional y la velocidad del uido deriva, por tanto, de una función
escalar denominada potencial de velocidades.
En nuestro problema vamos a emplear la condición de que
ρ = cte.
aunque trabajemos con gases,
ya que es una hipótesis válida para describir el ujo de gases alrededor de obstáculos fuselados que
perturben poco la corriente cuando las variaciones relativas de densidad sean pequeñas, lo que ocurre
a números de Mach pequeños (típicamente
M < 0,6
). En efecto, si la viscosidad es despreciable,
las variaciones de presión que aparecen en una corriente de gas de velocidad V son del orden de
ρV 2 (∆p ∼ ρV 2 ) ; si se utiliza la denición de velocidad
∆ρ/ρ ∼ M 2 , donde M = V /a es el número de Mach.
del sonido se tiene
∆p = a2 ∆ρ
, de donde
Las ecuaciones y condiciones de contorno que gobiernan el potencial de velocidades pueden simplicarse si se elige un sistema de referencia apropiado. En ejes ligados al cuerpo, el movimiento relativo
del uido respecto a él es estacionario, es decir, la velocidad en cualquier punto del dominio uido
no variará con el tiempo. El movimiento relativo se obtiene sin más que superponer al movimiento
original (ejes ligados a tierra) un movimiento uniforme de velocidad igual y opuesta a la del obstáculo.
Puesto que la presión y las fuerzas de viscosidad son independientes del sistema de referencia, las
fuerzas aerodinámicas que el uido ejerce sobre el obstáculo son las mismas, independientemente de
que el uido esté en reposo y el cuerpo se mueva uniformemente a través de él o de que el cuerpo esté
en reposo y uya una corriente estacionaria alrededor de él.
Las ecuaciones que gobiernan el movimiento estacionario de un uido ideal alrededor de un obstáculo
∇ · (ρ~v ) = 0
donde
ω=h
son las de Euler:
en el caso de gases y
∇ · (ρ~v ) = 0
(1.9)
v2
+ ω = ω0
2
(1.10)
S = S0
(1.11)
ω = p/ρ
en el caso de líquidos. Para el caso del movimiento de
líquidos, la ecuación que gobierna el potencial de velocidades
φ
, que se obtiene al sustituir
~v = ∇φ
en
la ecuación (1.9), se reduce a:
∇2 φ = 0
Como condiciones de contorno se impondrá la velocidad del líquido en el innito
φ = U∞ x, x2 + y 2 + z 2 → ∞
(1.12)
U∞
:
(1.13)
CAPÍTULO 1.
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MOVIMIENTOS IRROTACIONALES
, si se toma el eje x en la dirección y sentido de
perl, que forma un ángulo
α
U∞
. Si el eje x se hace coincidir con la cuerda del
con la corriente sin perturbar, la condición de contorno sería:
φ = U∞ (x cos α + zsenα) , x2 + y 2 + z 2 → ∞
(1.14)
Además, y debido a que se está considerando un uido ideal no se puede imponer la condición de
no deslizamiento del uido sobre el obstáculo; en la supercie del obstáculo, supuesto impermeable, se
impondrá la condición de que la componente normal de la velocidad sea nula:
∇φ · ~n = 0
, siendo
~n
(1.15)
la normal unitaria en la supercie del obstáculo. Una vez determinado el potencial de
velocidades, la ecuación de Bernouilli, (1.10), determina la distribución de presiones en el líquido
cuando se especica la presión
p∞
en el innito:
p∞
1 2
p 1
+ ρ φ2x + φ2y =
+ ρU∞
ρ 2
ρ
2
(1.16)
Debe notarse que el problema de Neumann denido por la ecuación (1.12) y las condiciones de
contorno (1.14) y (1.15) puede no tener solución única. De hecho, la teoría matemática de las ecuaciones
en derivadas parciales establece que si
φ es una función unievaluada de la posición, entonces el problema
de Neumann posee solución única. Sin embargo, en nuestro caso, detrás del cuerpo sustentador existe
una región muy estrecha, la estela, de espesor muy pequeño si el número de Reynolds es muy grande, que
puede ser tratada matemáticamente como una supercie a través de la que la función
y el problema de Neumann no posee solución única. El salto de
relacionado con el valor de la circulación
φ
φ
es discontinua
a través de esta supercie está
Γ (y) del campo de velocidades no viscoso alrededor del perl
(véase la ecuación (2.22)) y su valor real no puede ser determinado de la resolución del problema de
Neumann.
Naturalmente, la no unicidad desaparece si la capa límite y el problema de Neumann se consideran
conjuntamente. No obstante, algunas consideraciones físicas sobre el comportamiento de la capa límite
suministran un criterio válido (condición de Kutta) para determinar el valor real de la circulación sin
necesidad de resolver la capa límite. El problema matemático (1.12)-(1.15) junto a la condición de
Kutta determinan unívocamente el campo de presiones y velocidades.
Ya hemos comentado anteriormente que en nuestro problema vamos a considerar que
ρ = cte. , pero
aún así vamos a deducir la ecuación del potencial de velocidades para el caso en que esta condición
no se cumple. Cuando los efectos de compresibilidad son importantes, la ecuación del potencial de
velocidades se obtiene de las ecuaciones (1.9)-(1.11). De la ecuación (1.9) se tiene:
∇ · ~v + ~v ·
∇ρ
=0
ρ
(1.17)
y de la ecuación (1.10):
ρ~v · ∇~v = −∇p = −a2 ∇ρ
(1.18)
Combinando las ecuaciones (1.17) y (1.18) se obtiene:
a2 ∇ · ~v + ~v · (~v · ∇~v ) = 0
y sustituyendo
~v = ∇φ
(1.19)
en (1.19) y realizando determinadas operaciones vectoriales se llega a:
a2 − φ2x φxx + a2 − φ2y φyy + a2 − φ2z φzz − 2 (φx φy φxy + φx φz φxz + φy φz φyz ) = 0
La ecuación (1.20) junto con (1.10) forman una pareja de ecuaciones para determinar
(1.20)
φ
y a en
cada punto del dominio uido cuando se imponen las condiciones de contorno apropiadas. Se deben
CAPÍTULO 1.
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MOVIMIENTOS IRROTACIONALES
imponer los valores de la velocidad y de la presión y densidad en el innito (U∞ ,
p∞
y
ρ∞
) y
sobre el obstáculo, supuesto impermeable, hay que imponer la condición de velocidad normal nula,
∇φ · ~n = 0
. Finalmente, si el movimiento del gas es subsónico la solución del problema se determina
unívocamente imponiendo la condición de Kutta. Conocidos
φ
y a como funciones de la posición, el
campo de presiones y densidades se determina a partir de las relaciones:
p∞
p p
a2 = γ , γ = γ
ρ ρ
ρ∞
(1.21)