Cálculo Integral para primeros cursos universitarios

CAPÍTULO 7. INTEGRAL DEFINIDA
7.1. Introducción
7.2. Teorema de integrabilidad
7.3. El área como una integral definida
7.4. Propiedades
7.5. Teorema Fundamental del Cálculo Integral
7.6. Cambios de variable para integrales definidas
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Capítulo 7
Integral definida
b
⌠
⌡
f(x) dx
a
b
⌠
⌡
f(x) dx
a
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Capítulo 7
Integral definida
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7.1. Introducción
Si y = f(x) es una función definida en el intervalo [a,b] y el límite de la
suma de Riemann existe, entonces decimos que f(x) es una función integrable en
[a,b] y denotamos ese límite mediante:
n
lim
∆xi →0
∑
i =1
b
f (c i ) ∆x i = ∫ f ( x ) dx
a
Llamamos integral definida de la función y = f(x) entre a y b a este límite.
Al número a se le llama límite inferior de integración y al número b, límite
superior de integración.
7.2. Teorema de integrabilidad
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Si y = f(x) es una función continua en un intervalo cerrado y acotado [a,b]
⇒ f(x) es integrable en [a,b]. Además, el valor de la integral definida es un
número real.
7.3. El área como una integral definida
Si y = f(x) es una función continua y no negativa en el intervalo cerrado y
acotado [a,b] ⇒ el área de la región limitada por la función y = f(x), el eje OX,
y las rectas verticales x = a , x = b viene dada por el número real:
b
Área =
∫ f ( x ) dx
a
7.4. Propiedades
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a
1) Si y = f(x) está definida en x = a
⇒
∫ f ( x ) dx = 0
a
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Integral definida
133
b
∫
2) Si y = f(x) es integrable en [a,b] ⇒
a
a
f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
b
3) Si y = f(x) es integrable en [a,b] y c ∈ (a,b) con y = f(x) integrable en
[a,c] y [c,b] ⇒
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
4) Si y = f(x), y = g(x) son integrables en [a,b] y k es una constante real ⇒
b
b
∫ k f (x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
a
a
b
b
b
a
a
a
∫ [ f (x ) ± g (x )] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
5) Propiedad de monotonía de la integral:
Si y = f(x), y = g(x) son funciones integrables en [a,b] tales que cumplen
que f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ [a,b] ⇒
b
b
a
a
∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g (x ) dx
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7.5. Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Hay una estrecha relación entre el cálculo diferencial y el cálculo integral.
Esta relación fue descubierta, independientemente, por Newton y Leibniz, y por
esta razón se les atribuye a ambos el descubrimiento del cálculo integral.
Teorema
Si una función y = f(x) es continua en el intervalo cerrado y acotado [a,b]
b
⇒
∫ f ( x ) dx = F (b) − F (a ) ,
donde F(x) es cualquier función tal que
a
F '(x) = f(x) ∀ x ∈ [a,b].
Este resultado se conoce también como Regla de Barrow.
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134
Introducción al cálculo integral
Ejemplos
2
 x3

8
1
2
1) ∫ (x − 3) dx =  − 3 x  = − 6 − + 3 = −
3
3
3
3
1
1
2
2
1  (4 x + 1)3  1  125 1  1 124 31
2) ∫ (4 x + 1) dx =
− =
=

 = 
4
3
3
4
3
3
4
3


0

0
1
1
2
π8
3)
∫ sec
2
2 x dx =
0
1
[tg 2 x ] 0π 8 = 1 (1 − 0 ) = 1
2
2
2
2
4) Evaluar:
∫| 2 x − 1 | dx
0
Hay que tener en cuenta que
2
12
0
0
∫| 2 x − 1 | dx =
2 x − 1 si
2x −1 = 
1 − 2 x si
x ≥1 2
x <1 2
2
∫ (1 − 2 x ) dx + ∫ (2 x − 1) dx =
[
= −x + x
2
]
12
12
0
[
+ x −x
2
]
2
12
=
 1 + 1  + (4 − 2) −  1 − 1  = 1 + 2 = 5



2
2
 4 2
 4 2
= −
5) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de ecuación
y = 2 x 2 − 3 x + 2 , el eje OX y las rectas verticales x = 0, x = 2.
2
 2x3 3x2

16 12
10
Área = ∫ 2 x − 3 x + 2 dx = 
−
+ 2x =
−
+4=
2
3
2
3
 3
0
0
2
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(
2
)
7.6. Cambios de variable para integrales definidas
Si la función u = g(x) tiene derivada continua en [a,b] y existe la integral
indefinida sobre el recorrido de g(x), entonces:
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Integral definida
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b
g( b)
a
g a
∫ f ( g ( x )) g´( x ) dx = ∫( )f (u ) du
donde el cambio de variable afecta también a los límites de integración, que
tomarán ahora valores en la nueva variable de integración.
Ejemplos
∫ x (x
)
1
1) Calcular: I =
2
3
+ 1 dx
0
Si realizamos el cambio de variable u = x 2 +1 ⇒ du = 2x dx
Esto nos lleva a cambiar también los valores de los límites de integración de
la siguiente manera:
si
si
x=1 ⇒ u=2
x=0 ⇒ u=1
Por tanto, al realizar este cambio de variable, llegamos a:
2
12 3
1 u 4 
1
1  15
I=
u
du
=
= 4 −  =


∫
2  4 1 2 
21
4 8
5
x
2) Evaluar: I = ∫
dx
2
x
−
1
1
Realizamos el cambio de variable: u 2 = 2 x − 1 ⇒ 2u du = 2 dx
u 2 +1
Despejando, x =
2
Cambiamos los índices de integración:
si
si
x= 5⇒ u=3
x=1 ⇒ u=1
Por tanto,
3
I=
∫
1
(u
2
+ 1) 2
13 2
u du = ∫ u + 1 du =
u
21
(
)
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Introducción al cálculo integral
1
=
2
3
u3

1
 3 + u = 2

1
9 + 3 − 1 − 1 = 16

3  3
r
3) Calcular: I =
∫
r 2 − x 2 dx
0
Cambio de variable: x = rsent ⇒ dx = r cost dt
Cambio de límites de integración:
π
2
si
x=r ⇒ t =
si
x=0 ⇒ t=0
Así,
π/2
I=
∫
0
r2
=
2
π/2
r 2 − r 2 sent cos t dt = r 2 ∫ cos 2 t dt =
0
r2
2
π/2
∫ (1 + cos 2t ) dt =
0
π 2
r2 π π r2
 sen 2t 
t
+
=
=

2  0
2 2
4
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