TRIGONOMETRÍA Geometría 4ESO

TRIGONOMETRÍA
Geometría 4ESO
Del griego trigonos, triángulo, y metrein, medida:
La trigonometría, la rama de la geometría que relaciona lados con ángulos, nació ante
la necesidad de predecir con exactitud fenómenos como los eclipses, las inundaciones del
Nilo en el antiguo Egipto, etc.
Para ello trabajamos con triángulos: es el polígono más simple, al estar determinado
por 3 puntos (vértices) no alineados, dando lugar a 3 lados y 3 ángulos. Pero la geometría
de triángulos posee un carácter fundamental, pues sobre ella descansa gran parte de la
geometría clásica: cualquier polígono puede descomponerse en triángulos.
La medida de ángulos y su plasmación mediante razones o cocientes de longitudes es a
lo que llamaremos seno, coseno, tangente… Para medir ángulos usaremos tanto los grados
sexagesimales, ya conocidos, como el radián. Un radián es la medida del ángulo central
correspondiente a un arco de longitud igual al radio de la circunferencia (sobre una
circunferencia centrada en su vértice). Este ángulo y su arco NO dependen del radio de la
circunferencia.
La circunferencia, 360º, mide
radianes; 180º son
radianes; y 45º, la mitad,
radianes…
Empezaremos trabajando con triángulos rectángulos, y después lo haremos con
cualquier triángulo, rectángulo u oblicuángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo
en un triángulo rectángulo:
En la circunferencia goniométrica, donde el radio (es decir, la hipotenusa) vale 1,
representamos estas tres razones:
Vamos a calcular las razones
trigonométricas de un triángulo
equilátero de lado igual a 1. En él
hay ángulos de 30º y 60º.
1
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Dividiendo el triángulo
equilátero en dos, tenemos
dos triángulos rectángulos.
Vamos a calcular h por el
teorema de Pitágoras.
Entonces tenemos:
Para calcular las razones trigonométricas de 45º, usamos un triángulo rectángulo
isósceles cuyos catetos miden 1:
Las razones trigonométricas del ángulo
de 45º son:
Como se puede ver:
2
,y
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Para recordar las razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º en el primer
cuadrante tenemos la siguiente tabla nemotécnica:
grados →
30º
45º
60º
radianes →

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas son:
Relaciones fundamentales entre
ellas (para cualquier ángulo):

cuadr.
sen
cos
tg
1º
+
+
+
2º
+
-
-
3º
-
-
+
4º
-
+
-
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES DE CIERTOS ÁNGULOS
8

ángulos complementarios:

ángulos suplementarios:
y
y(
8
)
8
8

8
ángulos que se diferencian en 180º:
y (180+
)
8
8

3
Signos del seno, coseno y
tangente en los 4 cuadrantes:
ángulos que suman 360º o ángulos negativos:
y
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 CONSECUENCIAS DE LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA (RECORDATORIO)
TEOREMA DE LA ALTURA → En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre

la hipotenusa coincide con el producto de las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa.
y
por lo que sus lados son proporcionales:

TEOREMA DEL CATETO → En
un triángulo rectángulo, el cuadrado de
un cateto es igual al producto de la
hipotenusa por la proyección de dicho
cateto sobre la hipotenusa.


y
por lo que sus lados son proporcionales:
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA (0BLICUÁNGULOS)
TEOREMA DEL SENO
En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

TEOREMA DEL COSENO
En todo triángulo el cuadrado de 1 lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros 2 lados,
menos el doble de su producto por el coseno del ángulo que forman.
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