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V Campeonato Escolar
de Matemáticas
PRIMERA FECHA – 21 de Abril 2007
Soluciones
Prueba por Equipos
Primer y Segundo Nivel
Al observar un atlas geográfico, se nota que algunos mapas tienen una gran cantidad de colores. A
veces se pueden contar diez o más colores, por ejemplo, cuando el mapa revela datos estadı́sticos, o
caracterı́sticas fı́sicas de una zona natural. Por el contrario, los colores no son abundantes cuando lo
único que interesa es distinguir paı́ses, regiones o provincias distintas. Pero aún ası́, parece ser que
desde el punto de vista matemático, el uso de colores en este caso, es ineficiente. Es decir, muchas
veces se usan más colores de lo que uno realmente necesita.
El problema fue planteado formalmente en el siglo XIX y para su solución original en 1976 fue
fundamental la ayuda de computadores. El problema se plantea formalmente en el marco de la
Teorı́a de Grafos, y en esta prueba exploraremos esa conexión.
A continuación definimos los conceptos necesarios para estudiar el problema:
Región: Zona del plano delimitada por una curva cerrada.
Frontera: Curva cerrada que delimita una región.
Regiones vecinas: Dos regiones son vecinas si comparten un trozo de frontera (este trozo
debe ser una lı́nea y no sólo puntos).
Con estos conceptos podemos definir lo que entenderemos como mapa: Un mapa es una división
del plano en regiones, que debe cumplir:
El número de regiones es finito.
Existe una sola región que no tiene frontera propia (se extiende hasta el infinito en todas
direcciones). A esta región la llamaremos Mar.
En la figura anterior, los dos primeros ejemplos no son mapas. El primero es un cuadriculado
infinito, que no cumple la primera condición. En el segundo, hay dos regiones no acotadas (pintadas
con distintos tonos), de manera que no podemos hablar de un mar. El tercer ejemplo sı́ es mapa, y
hemos coloreado el mar.
La ultima definición tiene que ver con el problema que planteamos, describe la forma en que se debe
pintar el mapa.
Una coloración de un mapa es la asignación de un color a cada región (incluyendo al mar), con la
única restricción de que paı́ses vecinos deben tener distinto color. Tal y como en los mapas polı́ticos,
donde dos paı́ses vecinos tienen distintos colores, para no confundirlos. El objetivo es asignar a cada
mapa, una coloración que use la menor cantidad de colores posible.
Para evitar cualquier confusión, debe notarse que incluso las regiones blancas también son consideradas pintadas, y su color es obviamente blanco.
1.
Coloreando Mapas
Ejercicio 1. Coloree los siguientes mapas con la menor cantidad posible de colores. Explique por
qué no se pueden colorear con menos colores. Indique cuántas regiones vecinas tiene el mar:
Solución El mapa de la izquierda se puede colorear con 2 colores. No se puede con menos pues
existen regiones vecinas, de modo que al menos debemos usar dos colores. El mar tiene 2 regiones
vecinas.
El mapa de la derecha se puede colorear con 3 colores. Dado que hay al menos un trı́o de regiones
que son todas vecinas entre sı́, debemos usar 3 o más colores. El mar tiene 10 regiones vecinas.
Ejercicio 2. Sin levantar el lápiz, dibuje una curva cerrada en una hoja. De esta manera se formará un mapa. Asegúrese que este mapa contenga por lo menos diez regiones (incluido el mar).
Muestre una coloración de este mapa, que use la menor cantidad posible de colores. Explique por
qué no pueden usarse menos colores.
Solución El mapa siguiente es generado por una curva cerrada y tiene más de diez regiones. Como
el mar debe ser pintado de un color distinto que las regiones encerradas por la curva, al menos deben
usarse dos colores. Como se puede pintar con dos colores, éste es el número mı́nimo.
Ejercicio 3. Muestre que el siguiente mapa no puede ser coloreado con tres colores, pero sı́ con
cuatro:
Solución Supongamos que la figura se puede pintar con tres colores A, B y C. En la primera
figura de las tres a continuación, las tres regiones marcadas deben ser pintadas con colores distintos
pues todas tienen frontera común. Es fácil convencerse que a partir de esto no hay otra opción para
pintar que la que muestra la segunda figura: en efecto, la región A del lado derecho es vecina de B
y C, por lo que A es su única alternativa, algo similar ocurre con el mar cuya única alternativa es
B lo que obliga a las dos regiones de la parte de arriba a pintarse como C. La región restante que
no es vecina del mar, es vecina de C y B por lo que debe pintarse A. La región no pintada es vecina
de A, B y C, y por lo tanto necesitamos un cuarto color para pintarla. La coloración con 4 colores
se muestra en la última figura.
2.
Asociación con grafos
Ahora definimos el objeto matemático que permitió la formulación moderna del problema y su
posterior solución.
Un Grafo consiste en un conjunto finito de vértices (puntos), y una cierta cantidad de arcos(lı́neas), trazos rectos o curvos, que ligan un vértice con otro distinto.
Dos vértices se dicen vecinos si existe un arco que los une. Puede ser que todo par de vértices
esté ligado por un arco (en tal caso hablamos de un grafo completo), puede ser que no existan arcos,
puede ser que solamente algunos pares de vértices estén ligados por algún arco. No admitiremos dos
arcos distintos ligando los mismos dos vértices. En una representación gráfica, dos arcos de un grafo
pueden intersectarse, sin necesidad de que, por esa razón, se forme un vértice en dicha intersección.
Por ejemplo, los siguientes tres dibujos representan lo mismo: un grafo completo con cuatro vértices.
En la primera figura, dos arcos se cruzan, pero la intersección no se considera un vértice. En las otras
dos figuras dos arcos cualesquiera no se intersectan excepto en los vértices, a este tipo de dibujos se
le llama una representación plana. En la segunda figura, uno de los arcos dibujados es curvilı́neo
Para asociar un grafo a un mapa se realiza el siguiente procedimiento:
A cada región (incluyendo el mar) se le asocia un vértice.
Se conectan dos vértices con un arco si las regiones asociadas son vecinas.
Ejercicio 4. Dibuje el grafo que representa el siguiente mapa:
Solución
Ejercicio 5. Dibuje un mapa cuyo grafo asociado sea completo de cuatro vértices.
Solución
Las condiciones para colorear un grafo son las siguientes:
Cada vértice se pinta de un color.
Dos vértices vecinos no pueden tener el mismo color.
El problema de colorear el mapa se plantea en teorı́a de grafos como:
Dado un Grafo, pintar los vértices cumpliendo la condición antes mencionada, utilizando el menor
número posible de colores
Ejercicio 6. Determine la menor cantidad de colores necesarios para colorear los vértices, en cada
uno de los siguientes grafos
Solución En la primera figura encontramos que los cuatro vértices que forman un cuadrado pequeño, son vecinos todos entre ellos. Luego al menos se necesitan cuatro colores. La figura muestra
una coloración con 4 colores.
En la segunda figura encontramos que los tres vértices que forman un triángulo pequeño, son vecinos
todos entre ellos. Luego al menos se necesitan tres colores. La figura muestra una coloración con 3
colores.
Ejercicio 7. Determine la menor cantidad de colores necesarios para colorear los vértices de un
grafo completo con 2007 vértices. Justifique brevemente.
Solución Como el grafo es completo, todos par de arcos son vecinos. Entonces se necesitan 2007
colores. De necesitar menos colores, digamos N < 2007, se pinta un vértice por cada color, quedando
algunos vértices por pintar. Estos vértices deben ser de colores distintos a todos los ya pintados pues
son vecinos de todos. Concluimos que necesitamos más que N colores. Aumentando ası́ el número
de colores N hasta 2007 se logra colorear el grafo completo.
Ejercicio 8. Un grafo se dice bipartido si los vértices se pueden separar en dos grupos, y no hay
arcos que liguen dos vértices del mismo grupo.
¿Cuántos colores se necesitan, como mı́nimo, para colorear los vértices de un grafo bipartido? Suponga que existe por lo menos un arco en el grafo.
Solución Se necesitan dos colores. Pintamos todos los vértices de un grupo de un color y todos los
vértices del otro grupo de otro color. Como dos arcos vecinos pertencen a grupos distintos, entonces
el grafo está bien coloreado.
Ejercicio 9. Un grafo con n vértices (numerados de 1 a n) se dice cı́clico si tiene n arcos: uno que
liga los vértices 1 y 2, otro que liga los vértices 2 y 3, otro que liga los vértices 3 y 4,. . . , otro que
liga los vértices n − 1 y n, y un último que liga los vértices n y 1. ¿Cuántos colores se necesitan,
como mı́nimo, para colorear los vértices de un grafo cı́clico?
Solución Es fácil ver que si n es par se necesitan 2 colores, y si n es impar se necesitan 3 colores.
Ejercicio 10. Supongamos que tenemos un grafo cı́clico con n vértices. Si añadimos un vértice
y luego lo unimos con los n restantes (creando ası́ n nuevos arcos), se obtiene un grafo piramidal
de orden n. La figura muestra, como ejemplo, un grafo piramidal de orden 7. Observamos que se
han usado n + 1 vértices y 2n arcos. ¿Cuántos colores se necesitan, como mı́nimo, para colorear los
vértices de un grafo piramidal de orden n?
Solución Si n es par, el grafo cı́clico que origina el grafo piramidal se debe pintar con 2 colores (en
el mı́nimo). El arco agregado no debe ser de ninguno de esos dos colores pues será vecino de todos
los vértices del grafo cı́clico. Luego, se necesitan al menos 3 colores.
Si n es impar, de similar manera se concluye que se necesitan al menos 4 colores.
Justifique su respuesta y sea cuidadoso y ordenado en su presentación.