Análisis de respuesta transitoria

Sistemas Lineales I
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD GUZMÁN
SISTEMAS LINEALES 1
“Análisis de la respuesta transitoria”
ALUMNOS
RAÚL GUTIÉRREZ MACIEL
FORTINO CASTILLO GÓMEZ
ASTERIO ALEXANDER HERNÁNDES FLORES
NÚMEROS DE CONTROL
02290041
022900—
02290043
PROFESOR
LAURO GUTIÉRREZ MURO
CARRERA
INGENIERÍA ELECTRÓNICA
QUINTO SEMESTRE
HORA
10:00-11:00
Miércoles 20 de Octubre del 2004
1
Sistemas Lineales I
MARCO TEÓRICO
Introducción
El primer paso para analizar un sistema de control es establecer un modelo matemático del sistema,
una vez ya obtenido este modelo se dispone de diversos métodos para analizar el comportamiento
del sistema
Al analizar y diseñar sistemas de control hay que tener una base de comparación del
funcionamiento de los diversos sistemas de control, una de las formas para establecer estas bases es
especificando señales de entrada particulares de prueba, y comparando las respuestas de los
diversos sistemas a esas señales de entrada.
Muchos criterios de diseño están basados en estas señales o en la repuesta del sistema a cambios en
las condiciones iniciales (sin ninguna señal de prueba).
Señales de prueba típicas. Las entradas de prueba mas comúnmente usadas son las funciones
escalón, rampa, aceleración, impulso, sinusoidal, ect. Con estas señales de prueba se pueden realizar
análisis experimentales y matemáticos de los sistemas de control con facilidad, ya que las señales
son muy simples del tiempo. Una vez diseñado un sistema de control sobre la base de señales de
prueba el funcionamiento el sistema en respuesta a las entradas reales generalmente es satisfactorio.
El uso de estas señales de prueba permite comparar el comportamiento de todos los sistemas sobre
la misma base.
Respuesta transitoria y respuesta estacionaria. La respuesta temporal de un control consiste en
dos partes: la respuesta transitoria y la estacionaria. La primera es aquella que va desde el estado
inicial al estado final, la otra es la forma en la que la salida del sistema se comporta cuando t tiende
a infinito.
Sistema de control: Sistema cuyo objetivo es el control manual o automático de cierta cantidad o
variable física.
Entrada: Estímulo, excitación o mandato aplicado para producir una respuesta específica del
sistema.
Salida: Respuesta real del sistema. Puede coincidir o no con la respuesta del sistema, implícita en la
entrada correspondiente.
Tipo de control:
•
Lazo abierto: Control independiente de la salida y de las variables del sistema (por ejemplo
una tostadora).
•
Lazo cerrado: Control dependiente de la salida y/o de las variables del sistema (por ejemplo
un sistema de aire acondicionado).
2
Sistemas Lineales I
Para clasificar un sistema en lazo abierto o lazo cerrado debemos distinguir claramente entre los
componentes del sistema y los que interactúan con él, pero que no hacen parte del sistema.
Sistemas de control en lazo abierto (SCLA)
Características:
1. Su precisión de operación viene determinada por su calibración. *
2. Generalmente no presentan problemas de inestabilidad.
3. Son relativamente fáciles de analizar y de diseñar
* Calibrar significa establecer o reestablecer la relación entrada/salida para obtener una exactitud
deseada del sistema.
Sistemas de control en lazo cerrado (SCLC)
SCLC! Sistemas con una o varias líneas de realimentación.
1. Mayor precisión.
2. Tendencia a la inestabilidad o la oscilación.
3. Mayor robustez frente a las variaciones de los parámetros.
4. Diseño más complejo.
*Realimentación es la propiedad de los sistemas de control en lazo cerrado que permite que la
salida (o alguna variable controlada) se compare con la entrada del sistema (o una entrada de algún
otro componente o subsistema) de tal forma que la acción de control apropiada se puede formar
como alguna función de la entrada y la salida.
3
Sistemas Lineales I
REPRESENTACIÓN, ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE SISTEMAS
Representar un sistema supone obtener un modelo matemático que describa su dinámica de
comportamiento.
Análisis: Investigación de las propiedades de un sistema existente.
Diseño: Elección y ordenamiento de componentes del sistema para desarrollar una tarea específica.
• Diseño por análisis: Modificación de las características de un sistema existente o estándar
• Diseño por síntesis: Desarrollo del sistema directamente de las especificaciones.
SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN
Supóngase un sistema continuo de primer orden, cuya función de transferencia sea
Al estimular el sistema con un paso unitario
puede calcularse como sigue:
, con condiciones iniciales nulas, la respuesta y(t)
4
Sistemas Lineales I
Al cambiar el valor de cambia el valor de el único polo de la función de transferencia, que es -a.
Para cualquier valor real positivo de el polo es un real negativo, y viceversa. Cuando el polo es
positivo, la respuesta del sistema tiende a infinito, y se dice que el sistema es inestable. La figura
4.1 muestra cuales son las regiones de estabilidad e inestabilidad con referencia a la recta real, es
decir, en qué lugares debe estar ubicado el polo de la función de transferencia para que el sistema
sea, respectivamente, estable o inestable.
La figura 4.2 muestra las gráficas de y(t) para distintos valores de : -1,1,2,3.
Para un polo negativo cualquiera -a, la respuesta es como la que se muestra en la figura 4.3. El valor
determina qué tan empinada es la respuesta (y cuál será el valor final de la respuesta); para valores
grandes de , la respuesta es más empinada, debido a que la respuesta natural
se extingue más
rápido.
Para medir qué tan rápido decae una respuesta natural, podemos definir el tiempo de asentamiento o
tiempo de estabilización , como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no
supera un porcentaje de su valor máximo, por ejemplo el
Para el caso del sistema continuo de primer orden, este tiempo tas que satisface:
5
Sistemas Lineales I
En general, al alejar el polo del origen (al desplazarlo hacia la izquierda) disminuye el tiempo de
asentamiento, es decir, la respuesta es más empinada. Esto nos permite definir una región de tiempo
de asentamiento máximo, como la que se muestra en la figura 4.4
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Un sistema generalizado de segundo orden tiene la siguiente f.t.:
La respuesta transitoria del sistema depende del tipo de raíces del denominador de esta f.t. (polos):
Con lo que se pueden dar tres tipos de sistemas:
1) Subamortiguado 0<x <1 genera raíces complejas conjugadas
2) Críticamente amortiguado x =1 genera raíces reales iguales y negativas
6
Sistemas Lineales I
3) Sobreamortiguado x >1 genera raíces reales diferentes y negativas
Al graficar estas raíces (polos de la f.t. de 2° orden) en el plano complejo podemos definir rectas de
x=cte y círculos de Wn=cte. Las rectas de x nos definen el ángulo de elevación del polo: cos(f)= -x.
Mientras que Wn nos da la distancia del origen al polo.
Error de estado estacionario
El error estacionario es una medida de la exactitud de un sistema de control. En general se juzga el
comportamiento en estado estacionario de un sistema de control por el error estacionario debido a
entradas escalón, rampa o aceleración. Un sistema puede no tener error ante una entrada escalón,
pero el mismo sistema tiene puede presentar error estacionario no nulo a una entrada rampa. Esto
depende del tipo de la función de transferencia de lazo abierto.
Para un diseño de sistema continuo, normalmente usamos el Teorema del Valor Final
Los polos complejos conjugados los podemos definir en términos de sus partes real e imaginaria,
tradicionalmente:
s = −σ ± i. ω d
Ya que los polos complejos vienen de a pares, el denominador correspondiente al par de complejos
es:
a( s ) = ( s + σ − i. ω d )( s + σ + i. ω d ) = ( s + σ ) 2 + ω 2d
Cuando encontramos la función de transferencia a partir de ecuaciones diferenciales, típicamente
podemos escribir el resultado en la forma polinomial:
G( s) =
ωn
2
s 2 + 2ξω n s + ω n
Comparando las dos últimas ecuaciones, encontramos la relación entre los parámetros:
2
y ωd = ωn 1−ξ
A ξ la conocemos como coeficiente de amortiguamiento, y a ωn como frecuencia natural noamortiguada.
σ = ξω n
2
7
Sistemas Lineales I
En la figura 2 observamos el significado gráfico de cada uno de estos parámetros.
Podemos observar (ver la figura 3) que cuando el coeficiente de amortiguamiento ξ es cercano a
cero las respuestas del sistema son oscilatorias, mientras que cada vez que el mismo se acerca a 1 es
mayor el amortiguamiento de las oscilaciones hasta el punto de no presentarlas.
Figura 3. Respuestas a un escalón para un sistema de segundo orden, para distintos
valores del coeficiente de amortiguamiento (ξ = 0.0, 0.1, 0.2,... , 1.0).
Especificaciones en el dominio temporal
Las especificaciones para el diseño de un sistema de control frecuentemente involucran ciertos
requerimientos asociados a la respuesta temporal del sistema. Los requerimientos para una
respuesta a un escalón los expresamos en términos de valores estandar ilustrados en la figura 4:
Tiempo de crecimiento (rise time) tr es el tiempo que toma el sistema para alcanzar la vecindad de
su nuevo set-point.
Tiempo de establecimiento (settling time) ts es el tiempo que toma el sistema para que el transitorio
decaiga.
Sobrepico (overshoot) Mp es la cantidad máxima que el sistema se sobrepasa en el transitorio su
valor final dividido ese valor final (frecuentemente se lo da en porcentaje).
Tiempo del pico (peak time) tp es el tiempo que toma el sistema para alcanzar el máximo valor (el
sobrepico).
8
Sistemas Lineales I
Figura 4. Definiciones de tiempo de crecimiento, tiempo de establecimiento, tiempo del pico y
sobrepico de una respuesta a un escalón.
Analicemos el caso de una respuesta de un sistema de segundo orden (observemos la figura 3).
Examinando las curvas bajo las definiciones de las especificaciones podemos dar relaciones entre
las especificaciones y los valores de ξ y ωn. Si consideramos, por ejemplo, la curva para ξ = 0.5
(como promedio), podemos decir que el tiempo de crecimiento es:
1.8
tr =
ωn
Para el sobrepico podemos determinar una relación en forma más analítica, obteniendo para qué
punto la derivada de la respuesta a un escalón de un sistema de segundo orden se hace cero, y luego
evaluándola en ese punto. Así obtenemos:
π
− πξ / 1−ξ 2
tp =
M
=
e
,
0 ≤ ξ <1
ωd
p
y
9
Sistemas Lineales I
EJERCICIOS
B-4-1
Un termómetro requiere 1min para alcanzar el 98% del valor final de la respuesta a una entrada
escalón. Suponiendo que el termómetro es un sistema de primer orden , encuentre la constante de
tiempo .
Si el termómetro se coloca en un baño, cuya temperatura cambia en forma lineal a una
velocidad de 10grados/min.
¿Cuanto error muestra el termómetro?
según la respuesta de un sistema de 1er orden cuando
t
4τ la respuesta ha crecido al 98%
lo que significa
t
1min
c ( t)
1−e
c ( t)
.981
en
1min
4τ
τ
c ( t)
.981
−4
60seg
60seg
15sg
cuando el termómetro se coloca en el baño la variación actúa como una excitación rampa con
pendiente de 10grados/min
la respuesta de 1er orden a la rampa es:
− t⋅
c ( t)
10t − τ + τe
e ( t)
−t


τ 
τ 1 − e 
e(∞ )
τ
e(∞ )
15seg
1
τ
t> 0
10
Sistemas Lineales I
B-4-10.
Demuestre que la función de transferencia tiene un cero en el semiplano derecho a continuación
obtenga la grafica de la respuesta al escalón.
La función de transferencia está dada por:
y ( s)
x( s)
6
4
−
( s + 2) ( s + 1)
desarrollando y simplificando:
y ( s)
x( s)
2( s − 1)
( s + 2) ( s + 1)
Se comprueba que el cero tiene lugar en s=1 en el semiplano derecho
Para la respuesta al escalón:
Graficando:
11
Sistemas Lineales I
B-4-7.
Sea un sistema de un controlador de posición espacial suponiendo que T=3seg y que la razón par
inercia k/j es de 2/9rad^2/seg^2 , encuentre el factor de amortiguamiento relativo de sistema.
k
j
2
ωn
k
j
2
9
Por lo que
ωn
2
9
ωn
.471
De aquí se tiene
τ
σ
1
σ
1
τ
σ
.333
σ
ζω n
ζ
.706
CONCLUSIONES FORTINO CASTILLO GÓMEZ
Con la realización de los ejercicios pude comprender los comportamientos de un
sistema a diferentes señales de prueba (Escalón, Rampa, Impulso) según las
características del sistema así como los parámetros que lo rigen siendo esto de mucha
utilidad a la hora de tomarnos en un futuro a realizar este tipo de pruebas.
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12
Sistemas Lineales I
B-4-4
Obtenga la respuesta escalón unitario de un sistema realimentado unitariamente, cuya función de
transferencia en lazo abierto es:
G ( s) :=
4
s ⋅ ( s + 5)
Solución:
El sistema realimentado unitariamente y con respuesta a escalón queda de la siguiente manera:
Simplificando: Quitamos primeramente la realimentación negativa
Tomando en cuenta la siguiente formula de bloques:
Quedaría de la siguiente manera:
Finalmente:
Por lo tanto la función de transferencia es:
G ( s)
4
:=
R ( s)
s ⋅( s + 4) ⋅( s + 1)
13
Sistemas Lineales I
Utilizando fracciones parciales:
4
A
B
C
:=
+
+
s ⋅( s + 4) ⋅( s + 1)
s ( s + 4) ( s + 1)
Resolviendo y obteniendo los valores de las constantes:
A := 1
B :=
1
3
C :=
4
3
Sustituyendo los valores de las constantes:
F ( s) :=
1
4
1
+
−
s [ 3 ⋅ ( s + 4) ] [ 3 ⋅( s + 1) ]
Aplicando la antitransformada
F ( t) := 1 +
1 − 4t 4 − t
⋅e
− ⋅e
3
3
Graficando:
14
Sistemas Lineales I
B-4-6
Considere el sistema en lazo cerrado obtenido mediante:
2
C ( s)
ωn
:=
2
R ( s)
2
s + 2ζω n ⋅ s + ωn
Determine los valores de ζ y ωn para que el sistema responda a una entrada escalón con un
sobrepaso de aproximadamente 5% y con un tiempo de asentamiento de 2 segundos. (Use el criterio
de 2%)
Solución:
Datos a buscar:
ζ =?
ωn = ?
Datos que tenemos:
Mp = 0.05
ts = 2 seg
Formulas a usar:
(1) ts := 4T
T :=
(2)
(5) sigma := ζ ⋅ ωn
1
sigma ;
(6) ωn :=
(3) Mp := e
2
tp :=
− sigma⋅tp
(4)
π
ωd
2
sigma + ωd
Empezando con los datos que tenemos:
Sabemos el valor ts, por lo tanto de la fórmula (1) vamos a despejar “T”
T :=
ts
4
sustituyendo valor de ts
T :=
2
4 por lo tanto T := 0.5
Ya sabemos el valor de T, ahora calcularemos sigma, esta la despejamos de la ecuación número (2):
sigma :=
1
1
sigma :=
T sustituimos el valor de T:
0.5 por lo tanto: sigma := 2
De la ecuación número (3) despejamos tp:
tp :=
ln⋅ ( Mp)
−sigma Ya sabemos los valores de Mp y de sigma, lo que sigue es sustituirlos.
15
Sistemas Lineales I
Sustituyendo:
tp :=
ln⋅ ( 0.5 )
−2
tp := 1.497
por lo tanto
Ahora, sabiendo tp, podemos calcular wd, de acuerdo a la ecuación número (4) solo despejamos:
π
3.1416
wd :=
tp sustituyendo valores:
1.497
wd :=
por lo tanto
wd := 2.09
Teniendo wd y sigma, podemos calcular wn, para ello usamos la fórmula número (6).
wn :=
2
sigma + wd
2
wn :=
sustituyendo valores
2
2 + 2.09
2
por lo tanto wn := 2.89
Usando la fórmula número (5) obtendremos el valor de “zeta” ζ , despejamos zeta:
ζ :=
sigma
wn sustituyendo valores
ζ :=
2
2.89 por lo tanto ζ := 0.69
Llegamos a los resultados pedidos
ζ := 0.69
wn := 2.89
B-4-9
Obtenga la respuesta impulso unitario y la respuesta escalón unitario de un sistema realimentado
unitariamente cuya función de transferencia en lazo abierto sea:
G ( s) :=
2s + 1
s
2
Solución:
IMPULSO UNITARIO
El sistema realimentado unitariamente y con respuesta al impulso queda de la siguiente manera:
16
Sistemas Lineales I
Simplificando usando las siguientes fórmulas:
Queda de la siguiente manera:
La función de transferencia es la siguiente:
G ( s)
2s + 1
2s + 1
F ( s) :=
:=
R ( s)
( s + 1) ⋅ ( s + 1) osea
( s + 1) ⋅ ( s + 1)
Aplicando fracciones parciales para posteriormente obtener la respuesta:
2s + 1
A
B
:=
+
2
( s + 1) ⋅ ( s + 1)
( s + 1)
( s + 1)
Los valores de las constantes A y B son:
A := −1
B := 2
Ahora sustituimos los valores de las constantes:
F ( s) :=
−1
( s + 1)
2
+
2
( s + 1)
17
Sistemas Lineales I
Aplicamos la antitransformada para finalmente obtener la respuesta al impulso.
F ( t) := t ⋅ e
−t
+ 2 ⋅e
−t
Graficando la respuesta:
ESCALÓN UNITARIO
Sabemos que la función de transferencia es la siguiente:
F ( s) :=
2s + 1
( s + 1) ⋅ ( s + 1)
Debido a que la respuesta que ahora requerimos es al escalón unitario, lo que agregaremos a esta
función de transferencia la transformada del escalón unitario: “1/s”, como sigue:
F ( s) :=
2s + 1
( s + 1) ⋅ ( s + 1) ⋅ s
Resolviendo por fracciones parciales:
2s + 1
A
B
C
:=
+
+
2
( s + 1) ⋅ ( s + 1) ⋅ s
( s + 1)
s
( s + 1)
Obteniendo los valores de las constantes:
A := 1
B := 1
C := 1
Sustituyendo los valores de las constantes en la función de trasferencia F(s)
F ( s) :=
1
( s + 1)
2
−
1
1
+
( s + 1) s
18
Sistemas Lineales I
Ahora antitransformamos la función de transferencia para obtener la respuesta al escalón unitario:
F ( t) := t ⋅ e
−t
−e
−t
+1
Graficando:
B-4-3
Considere el sistema de la figura 4-54(a). El factor de amortiguamiento relativo de este sistema es
0.158 y la frecuencia natural no amortiguada es de 3.16 rad/seg. Para mejorar la estabilidad relativa,
se emplea una realimentación de tacómetro. La figura 4-54(b) muestra tal sistema de realimentación
de tacómetro.
Determine el valor de Kh para que el factor de amortiguamiento relativo del sistema sea 0.5.
dibuje curvas de respuesta escalón unitario tanto del sistema original como del sistema de
realimentación de tacómetro.
19
Sistemas Lineales I
Solución:
Trabajando con el diagrama de bloques sin tacómetro, (a)
Vemos que es una realimentación unitaria, para simplificar usamos la formula:
El resultado es el siguiente, LA FUNCION DE TRANSFERENCIA:
F ( s) :=
10
F ( s) :=
s ⋅( s + 1) + 10
10
2
s + s + 10
En este caso se cumple lo dicho al principio en cuanto al factor de amortiguamiento y la frecuencia
natural no amortiguada.
De acuerdo a la funcion de transferencia de segundo orden mostrada a continuación, deduciremos
los valores de
ζ
y
ωn
:
2
C ( s)
ωn
:=
2
R ( s)
2
s + 2ζω n ⋅ s + ωn
De alli deducimos lo siguiente:
2
ωn := 10 por lo tanto ωn := 3.162
En cuanto a zeta:
2 ⋅ ζ ⋅ ωn := 1
ζ :=
ζ :=
1
2 ⋅ ωn
1
2 ⋅ ( 3.16 )
ζ := 0.158
20
Sistemas Lineales I
Antitransformando:
10
2
s + s + 10
invlaplace , s →
F ( t) :=
20

 −1 
1
⋅ exp ⋅ t  ⋅ 39 ⋅ sin ⋅ 39 ⋅ t 
39
 2 
2

Graficando la respuesta: (Sin tacómetro)
CON TACÓMETRO
Como se puede apreciar en la figura anterior (b) lo primero que aremos será simplificar el sistema,
para ello empezaremos con la realimentación negativa del tacómetro, esto es el que contiene Kh, y
la señal de escalón “1/s”, ver la siguiente figura (Trabajando con lo marcado de rojo).
Queda de la siguiente manera:
21
Sistemas Lineales I
Ahora pasamos a simplificar la realimentación negativa unitaria:
Ya tenemos la función de transferencia, ahora sacaremos el valor de Kh tal que “zeta” sea igual a
0.5:
Por observación:
10Kh := 2 ⋅ ζ ⋅ωn
Kh :=
2 ⋅ ζ ⋅ωn
10
Kh :=
2 ⋅ ( 0.5 ) ⋅ 3.16
10
Kh := 0.3162
La función de transferencia finalmente quedó de la siguiente manera:
F ( s) :=
10
2
s + 3.162 ⋅ s + 10
Antitransformamos para obtener la respuesta:
F ( t) := 3.651 ⋅exp( −1.581 ⋅ t) ⋅ sin( 2.738 ⋅t)
Graficamos:
22
Sistemas Lineales I
CONCLUSIONES RAUL GUTIÉRREZ MACIEL
Mas que nada estos ejercicios nos sirvieron para repasar los temas vistos
en clase y prepararnos para el examen del mismo, la realización de éstos
ha contribuido a mejorar el entendimiento del análisis de la respuesta
transitoria. La ayuda de herramientas (software) sin duda nos a
proporcionado todo lo necesario para el análisis de estos sistemas, en
nuestro caso usamos el Mathcad. Espero que todos estos conocimientos y
habilidades adquiridas las pueda aplicar en el futuro, ya sea en el ámbito
profesional o como estudiante.
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23
Sistemas Lineales I
B-4-12.
DETERMINAR LOS VALORES DE K Y k TALES QUE EL SISTEMA TENGA UN FACTOR
DE AMORTUAMIENTO RELATIVO, Y UNA FRECUENCIA NATURAL NO
AMORTIGUADA COMO SE MUESTRA A CONTINUACIÓN:
ζ
0.7
Wn
2
16
Wn
4
FUNCION DE TRANSFERENCIA CON UNA ENTRADA ESCALON SE
VA SIMPLIFICANDO:
C( S )
R( S )
K
2
S
2
C( S )
R( S )
.1
Kk S
C( S )
R( S )
K
2
S
(2
Kk) S
K
2
S
(2
Kk) S
K
SE IGUALA:
C( S )
K
R( S )
S
K
Wn
2
(2
2
Kk) S
C( S )
R( S )
K
2 Kk
Wn
2
S
2
2 ζWnS
Wn
2
2 ζWn
SE OBTIENE K:
K
16
SE DESPEJA k Y SE OBTIENE DE LA IGUALDAD SUSTITULLENDO LOS VALORES:
2 Kk
2 ζWn
k
( 2 . ( .7) . ( 4 )
2)
k
0.225
2
24
Sistemas Lineales I
SE SUSTITUYEN LOS VALORES:
C( S )
16
2
R( S )
S
C( S )
( 0.225) .( 16) ) S
(2
R( S )
16
16
2
S
5.6 S
16
B-4-5
SEA LA RESPUESTA A UN ESCALON DE UN SISTEMA DE CONTROL
REALIMENTACION UNITARIA CUYA FUNCION EN LAZO ABIERTO:
1
G( S )
LAZO CERRADO:
S( S
1)
1
S( S
1
1)
2
S
S
1
LA FUNCION DE TRANSFERENCIA:
1
G( S )
2
S
S
1
SE OBTIENE LAS RAICES CON LA FORMULA GENERAL:
1
S1
1
4
S2
2
1
S1
1
1
4
2
3
2
S2
1
3
2
SE OBTIENE δ Y TAMIEN Wd :
δ
1
δ
2
.5
Wd
3
Wd
.86
4
SE OBTIENE Wn2 DE LA IGUALDAD Wn:
Wn
2
1
Wn
1
25
Sistemas Lineales I
DE ESTA ECUACION SE OBTIENE ζ:
2 ζWn = 1
SE OBTIENE
1
ζ
ζ
0.5
2
θ PARA ENCONTRAR tr:
3
θ
tan
1
Wd
θ
δ
1
4
θ
1
π
tr
π
θ
Wd
.866
tp
60
2
θ
SE OBTIENE tp Y tr:
tp
tan
tr
3.62 seg
2.41
OBTENGO T PARA ENCONTRAR EL SOBRE IMPULSO Y TAMBIEN EL TIEMPO EN QUE
SE TARDA EN ESTABLECERSE.
τ
1
δ
5
2
1
τ
τ
.5
2
SOBRE IMPULSO:
mp
e
( .5 ) .( 3.62 ) .
mp
100
16.3 %
TIEMPO DE ESTABLECER
ts
4τ
ts
4.2
ts
8 seg
CONCLUSIONES Asterio Alexander Hernández Flores
Con tan pocos elementos que nos dan podemos encontrar una función de transferencia de un
sistema mecánico, eléctrico y neumático; por lo cual se puede decir con facilidad como se comporta
un sistema con respecto a una entrada escalón, rampa o impulso que se le aplica al sistema para ver
como se comporta sin haberlo realizado físicamente y encontrar en que entrada del sistema se
establece mas rápido por lo tanto por medio de las raíces o de las constantes z se puede deducir que
el sistema puede ser subamortiguado, críticamente amortiguado o sobreamortiguado por ultimo lo
cual se deduce que se puede obtener un sistema físicamente estable.
26