Rectas y planos en el espacio 2

Rectas y planos en el espacio 2
Ecuación del plano
Un plano del espacio queda determinado cuando conocemos un punto P del mismo y dos vectores u y v, no nulos y
linealmente independientes contenidos en el plano, llamados vectores directores del mismo.
Sea un plano π que tiene como vectores directores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) y pasa por un punto P0(x0,y0,z0), si P
(x,y,z) es un punto cualquiera del plano: OP=OP0+tu+sv.
Que expresada en coordenadas:
(x,y,z)=(x0,y0,z )+t·(u1,u2,u3)+s·(v1,v2,v3)
0
x=x0+t·u1+s·v1
A partir de aquí podemos escribir:
y=y0+t·u2+s·v2
z=z0+t·u3+s·v3
ECUACIÓN
VECTORIAL
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
Los vectores PP0, u y v son
dependientes:
x-x0=t·u1+s·v1
ECUACIÓN
GENERAL
y-y0=t·u2+s·v2
z-z0=t·u3+s·v3
desarrollando: Ax+By+Cz=D
Sea n=(A,B,C) un vector normal
al plano y un punto P0(x0,y0,z0)
del mismo
De la ecuación vectorial a la general
Hallar la ecuación de un plano que tiene como
vectores directores u(2,0,0), v(0,2,0) y pasa por el
punto P0(1,1,2).
Ecuación VECTORIAL:
(x,y,z)=(1,1,2)+t(2,0,0)+s(0,2,0)
Ecuaciones PARAMÉTRICAS:
x=1+2t, y=1+2s, z=2
Ecuación GENERAL:
Desarrollando el determinante:
A·(x-x0)+B·(y-y0)+C·(z-z0)=0
ECUACIÓN
NORMAL
Calcula
• La ecuación del
plano de vectores
directores
u(2,1,-1)
v(-1,2,0)
y que pasa por el
punto P(1,1,1).
• La ecuación del
plano que pasa por los
puntos
P(1,3,-1)
Q(-2,4,0)
R(0,0,1)
resulta 4z-8=0 ó z=2
Ecuación normal del plano
Calcula
Otra forma de determinar de un plano es conociendo
un punto del mismo y un vector normal al plano.
• La ecuación del plano
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto
P0(1,1,2) y tiene como vector normal n=(1,-1,2)
de vectores normal n
(2,1,-1)
y que pasa por el
punto P(1,1,1).
• La ecuación de los
El plano pasa por el punto P 0(1,1,2);
planos cartesianos.
si P(x,y,z) es un punto cualquiera del plano,
el vector que los une v=(x-1,y-1,z-2)
es del plano y ortogonal a n
n⊥v ⇒ n·v=0
con lo que la ecuación del plano es:
1·(x-1)-1·(y-1)+2·(z-2)=0
x-1-y+1+2z-4=0 ⇒ x-y+2z=4
Observa que el vector (A,B,C) es normal al plano
de ecuación general Ax+By+Cz=D
MATEMÁTICAS I
Mª José García Cebrian, 2006