Un autómata es

Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
PRIMERA PARTE
AUTOMATAS
Y
COMPUTABILIDAD
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
1
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
ESPECIFICACIÓN FORMAL
DE PROCESOS
• La matemática nos proporciona lenguajes para especificar
(= definir, hablar de) procesos
• El concepto clave para la definición matemática de procesos
es el de algoritmo
• Definición intuitiva de algoritmo:
• Secuencia de operaciones que, aplicada correctamente
a un problema de una clase determinada, genera la
solución a ese problema en un tiempo finito
• Existen varias formas de definición matemática de
algoritmo:
•
•
•
•
Funciones recursivas (Gödel)
Funciones λ-definibles (Church, Kleene)
Algoritmos de Markov
Teoría de Autómatas (Máquinas de Turing)
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
2
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
AUTÓMATAS Y COMPUTABILIDAD
• Para la especificación matemática de procesos
estudiamos tres teorías distintas:
• Teoría de Autómatas
• Computabilidad y Decidibilidad
• Teoría de la Complejidad Computacional
• La Teoría de Autómatas nos proporciona el lenguaje
para la especificación de procesos algorítmicos
• La Teoría de la Computabilidad y la Decidibilidad nos
proporciona información acerca de los límites de la
resolución algorítmica de problemas
• La Teoría de la Complejidad Computacional nos
proporciona estrategias de medida de la complejidad
de cada tipo de proceso algorítmico
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
3
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
TEORÍA DE AUTÓMATAS
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
4
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
AUTOMATAS
• Un autómata es:
• Una máquina (mecanismo) de naturaleza formal
(Sólo existe como un mecanismo matemático)
• que acepta una información de entrada (input),
• la procesa,
(La somete a transformaciones simbólicas que
pueden adoptar la forma de un cálculo o
computación)
• y genera un resultado o salida (output).
• Definir un autómata equivaldrá a definir el proceso de
transformación del input en un output, lo que equivale a
definir una función cuyos argumentos son el input y cuyo
valor es el output
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
5
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
TIPOS DE AUTOMATAS
• Hay muchos tipos de autómatas
• Cada tipo de autómata se asocia a una potencia
computacional determinada, es decir, a una capacidad dada
de resolución de problemas
• De hecho, podemos clasificar los problemas
algorítmicamente solubles asociándolos al tipo de autómata
que los resuelve
• Estos tipos se ordenan en una jerarquía de menor a mayor
potencia computacional
• Jerarquía de automátas:
• Autómatas finitos (Redes Lógicas)
• Autómatas intermedios:
• Autómatas de memoria de pila
• Autómatas de memoria linealmente limitada
• Máquinas de Turing
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
6
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
TIPOS DE AUTOMATAS (2)
• Además, podemos clasificar los autómatas:
• Por el tipo de proceso que ejecutan:
• Aceptación o reconocimiento
• Generación
• Por su tipo de causalidad:
• Determinista
• No-Determinista
• Por el tipo de su almacenamiento de información:
• De tamaño fijo
• De tamaño creciente
• De tamaño infinito
• Por el tipo de la información que manejan
• Discreta
• Continua
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
7
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
TIPOS DE AUTOMATAS (3)
• Autómatas aceptadores o reconocedores:
• Resuelven problemas con respuesta si/no, que se
modeliza normalmente como la identificación de dos
estados finales, uno de aceptación y otro de rechazo
• Autómatas generadores o transductores:
• Construyen una respuesta específica (una salida) para
el problema planteado
• Autómatas deterministas:
• La solución del problema viene unívocamente
determinada por las entradas y los estados internos
del autómata
• Autómatas no-deterministas:
• La respuesta no está unívocamente determinada
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
8
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
DESARROLLO
DE LA
TEORÍA DE AUTÓMATAS
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Turing (1936)
McCulloch, Pitts (1943)
Kleene (1956)
Shannon (1956)
Moore (1956)
Minsky (1956)
Wang (1957)
Sepherdson (1959)
Rabin, D. Scott (1959)
McNaughton, Yamada (1960)
Rabin (1963)
Chomsky (1963)
McCarthy (1963)
Hartmanis, Stearns (1965)
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
9
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
AUTÓMATAS FINITOS
• Un autómata finito es un mecanismo cuya memoria es
siempre finita.
• Suponemos que la memoria del autómata está compuesta
por un conjunto de unidades de retardación:
entrada
salida
• En cualquier instante ti del proceso, posterior a t0:
• salida(t) = entrada(ti-1), o, lo que es lo mismo:
• entrada(t) = salida(ti+1).
( t : un instante de tiempo discreto)
• Cada unidad de retardación almacena una unidad de
información durante una unidad de tiempo.
• El número de estos dispositivos es finito
Definición: El estado interno en t de un autómata finito que
ejecuta un proceso es el conjunto de los contenidos de la
memoria del autómata finito en el instante t de ese proceso
• Cada uno de los m estados internos distintos: q0, ..., qi, ...,
qn
• El conjunto de los estados internos: Q
• q0 es el estado inicial y qn es un estado final
• El número de estados internos es finito
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
10
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
AUTÓMATAS FINITOS (2)
• A lo largo del proceso los contenidos de memoria del
autómata van cambiando
• Describiremos cómo se produce el cambio de estado a lo
largo del tiempo definiendo una función de transición de
estados, que nos dice cuál será el estado del autómata en el
instante de tiempo siguiente
• La función de transición de estados puede ser determinista
(AFD) o no determinista (AFND)
• En algunos casos desearemos describir la respuesta del
autómata como una función de sus estados internos, y
eventualmente, también de los estímulos que recibe:
función de salida
• Además, tenemos que especificar:
• Su repertorio de símbolos, Σ, es decir, el conjunto de
símbolos que podrán formar parte de sus entradas (y,
eventualmente, de sus salidas)
• El conjunto Q de sus estados internos posibles
• Su estado inicial q0
• El conjunto F de sus estados finales, que es un
subconjunto del conjunto de estados internos
• Cada entrada (y salida) posible del autómata es una
secuencia o cadena finita de símbolos de Σ
• Σ* : el conjunto de cadenas finitas de símbolos de Σ
• Σ* es un conjunto potencialmente infinito
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
11
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
AUTOMATAS FINITOS DETERMINISTICOS
RECONOCEDORES O ACEPTADORES
• Estructura:
Dispositivo de lectura
Cinta de
entrada
Autómata
Finito
• La cinta se mueve de izquierda a derecha
• La cinta tiene escrito un símbolo en cada casilla
• El conjunto de los símbolos de la cinta forma una secuencia
de símbolos
• El último símbolo de la cinta es un símbolo delimitador (*)
• En cada instante t, el autómata lee un símbolo.
• Cuando el autómata encuentre el símbolo *, se detendrá,
terminando el proceso.
• Conoceremos el resultado del proceso ejecutado
inspeccionando el estado interno en que queda el autómata
al final del proceso
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
12
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
AUTOMATAS FINITOS DETERMINISTICOS
RECONOCEDORES O ACEPTADORES (2)
Definición. Un autómata finito (determinístico) reconocedor es
una estructura:
AF = < Σ, Q, q0,ττ, F >
tal que:
•
•
•
•
•
Σ es el alfabeto de entrada
Q es el conjunto de los estados
q0 es el estado inicial
τ es la función de transición de estados
F es el conjunto de los estados finales [F ⊆Q]
• función de transición de estados τ:
τ:Q× Σ→Q
• Esta función nos dice cuál será el estado del autómata en el
instante de tiempo siguiente, en términos de su estado
actual y su entrada actual:
qt+1 = τ(qt, it)
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
13
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
AUTOMATAS FINITOS DETERMINISTICOS
RECONOCEDORES O ACEPTADORES (3)
• Puesto que tanto Q como I son finitos, podemos definir la
función de transición de estados mediante una tabla de
transición de estados:
Estados en t
q1
...
qm
Entradas en t
i1
...
ik
Estados en t+1
q1
...
qm
• Para definir (el comportamiento de) un autómata concreto,
especificaremos precisamente su función de transición de
estados
• Tendremos así un conjunto de instrucciones de la forma:
<Estado,Entrada,NuevoEstado>
• Estado: el estado en el que se está
• Entrada: símbolo que se lee
• NuevoEstado: el nuevo estado generado por la función de
transición
• Para cada estado interno, determinaremos, para cada
símbolo de entrada posible, a qué otro estado interno pasa.
• Si este nuevo estado es un estado final, el proceso se detiene.
• El proceso comienza por el estado inicial
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
14
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
EJEMPLO 1
Especificación de un AFD que reconoce secuencias finitas no
vacías de símbolos del alfabeto Σ = {0,1,*} que acaban en 1. El
símbolo * se utiliza exclusivamente como símbolo de final de
secuencia.Es decir, como estados finales tendremos:
• un estado de aceptación ( qA), en el que ha de quedar el
autómata si el último símbolo leído es un 1
• un estado de rechazo (qR).
• Por tanto, en este caso, F = {qA,qR}
• La secuencia de instrucciones que define este autómata
consiste en una definición de la correspondiente tabla de
transición de estados:
q0,0,q1
q0,1,q2
q1,0,q1
q1,1,q2
q1,*,qR
q2,0,q1
q2,1,q2
q2,*,qA
• q1: el último símbolo leído es un 0
• q2: el último símbolo leído es un 1
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
15
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
EJEMPLO 1 (2)
• El proceso puede representarse asimismo mediante un
grafo cuyos nodos representan estados y cuyos arcos
representan transiciones entre estados.
• Cada arco se etiqueta con el símbolo leído que provoca la
transición.
• El inicio del proceso se marca mediante un arco de entrada
al estado inicial.
• De los estados finales no parte ningún arco.
0
qR
q1
*
0
0
1
q0
1
*
q2
qA
1
• Normalmente, utilizaremos el lenguaje de grafos.
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
16
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
EJEMPLO 2
• Autómata finito reconocedor que acepta secuencias finitas
no vacías de símbolos del alfabeto Σ = {0,1,*} tales que
contienen al menos una subsecuencia de la forma “010”
(* = delimitador)
• El grafo correspondiente es:
1
0
q0
0
0
q1
q2
qA
1
1
*
*
*
qR
• El estado q2 significa que los dos últimos símbolos leídos son
“01”
• No es necesario esperar al final de la secuencia para entrar
en el estado de aceptación
• q1 significa que el último símbolo leído es un 0. Por tanto, si
se lee un 0, nos quedamos en el mismo estado.
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
17
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
EJEMPLO 3
• AFD que reconoce si el número de “1”s en la secuencia de
entrada (finita y no vacía) es divisible por 3:
1
1
q0
1
q1
q2
1
q
1
qA
1
1
1
qR
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
18
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
AFD RECONOCEDORES
CON MAS DE UNA CINTA DE ENTRADA
• Los autómatas finitos reconocedores pueden manejar
problemas en los que haya más de una secuencia de
entrada.
• Además, los estados finales de los autómatas reconocedores
no necesariamente está limitado a dos
• Ejemplo: especificar un AFD reconocedor, que, dadas dos
secuencias de entrada, nos diga si ambas tienen la misma
longitud, si la primera es más larga que segunda, o si la
segunda es más larga que la primera. Supondremos que
nuestro autómata, en cada instante del proceso, puede leer
un símbolo de cada secuencia. Sea Σ = {1,*} (* delimitador)
• Alineamos las dos secuencias sobre la entrada del
autómata, de forma que en el instante inicial del proceso t,
el autómata recibe el primer símbolo de cada secuencia.
Sea F = {q1,q2, q=}. Entonces:
*1
q0
1*
**
11
q1
q2
q=
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
19
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
AFDs
TRANSDUCTORES O GENERADORES
• En los autómatas transductores tenemos una salida
explícita:
Dispositivo de lectura
Cinta de entrada
Cinta de salida
Dispositivo de escritura
• Conocemos el resultado examinando la salida
• Función de salida: caracteriza la salida de un autómata
finito de una de dos formas:
• En términos de sus estados internos y sus entradas:
autómata de Mealy
• En términos simplemente de sus estados internos:
autómata de Moore
• Normalmente, describiremos los AFDs transductores como
autómatas de Mealy.
• Tabla de salida de un autómata de Mealy:
Entrada
i1
...
in
Estado
q1
...
qn
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
Salida
o1
...
on
20
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
EJEMPLO 1
• Especificación de un AFD que, dada una secuencia finita no
vacía de símbolos de {0, 1,*}, la convierte en otra en la que
sustituye cada 1 por 0, y viceversa (* delimitador):
• Etiquetamos cada arco con el par <entrada/salida>:
Init
1/0
0/1
q0
*/*
qStop
• Existe un autómata de Moore correspondiente: cada nodo
se etiqueta con el par <estado/salida>, y la etiqueta del arco
(entrada) es la que causa la transición
Init
0
q0/0
q1/1
1
T. Por cada autómata de Mealy, existe otro de Moore que
ejecuta la misma tarea, y viceversa.
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
21
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Ejemplos de Autómatas Finitos (6)
4. Especificar un autómata que sume dos números en base 2.
Ayuda:
• Se trata de aplicar la tabla de la suma binaria:
0+0 = 0
0+1 = 1+0 = 1
1+1 = 10
• Suponemos que los dos números tienen igual número
de dígitos (el más corto se iguala con el más largo
añadiéndole 0’s por la izquierda)
• Suponemos que en cada instante t el autómata lee el
siguiente dígito más a la izquierda de cada número
• En cada paso:
• Los dos dígitos se suman de acuerdo con la tabla
• Si hay arrastre previo, se suma también
• Se toma nota del arrastre si lo hay
• Cada salida depende de la entrada actual y del
resultado anterior
• En cada paso puede haber arrastre o no (dos estados)
• Hay dos salidas posibles y cuatro entradas posibles
00/0
01/0
11/0
01/1
q1
q2
10/0
00/1
10/1
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
11/1
22
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Autómatas Finitos no-determinísticos (AFND)
• Son idénticos a los determinísticos, excepto en la forma de
su función de transición de estados:
τ : Q × Σ → ℘(Q)
• A cada combinación estado/entrada no le corresponde
unívocamente un estado sino uno de los posibles conjuntos
de estados
T. Para todo AFND, podemos construir un AFD que ejecuta
la misma tarea
Autómatas estocásticos o probabilistas
• Función de transición probabilista:
τ = Σ*×Q → Q×[0,1]
• Es una función que, para cada par <secuencia de
entradas/estado>, nos dice qué probabilidad hay de pasar a
otro estado.
• Para cada estado qj, hay una función:
τj = pj(i,qk)
para todo k ≠ j
donde:
0 ≤ pj(i,qk) ≤ 1
∑i=1,n p(i,q) = 1
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
23
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Autómata estocástico de estructura variable
• Podemos añadir a la especificación del autómata
probabilístico un algoritmo de actualización o refuerzo ρ
que:
• Toma como entrada:
• La última probabilidad de transición aplicada
• La última entrada
• La última salida
• Genera como salida una nueva probabilidad de
transición
• El cambio de las probabilidades de transición a lo
largo del tiempo modeliza la “adaptación” o
“aprendizaje adaptativo” del sistema:
• “capacidad para mejorar la probabilidad de
emitir una respuesta correcta como resultado de
su interacción con el entorno”
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
24
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Autómatas Intermedios
• Son autómatas cuya potencia computacional es mayor que
la de los autómatas finitos, pero menor que la de las
Máquinas de Turing
Autómatas linealmente limitados
• Autómatas finitos que pueden utilizar como espacio de
memoria intermedia un espacio como máximo igual al
ocupado por la(s) cadena(s) de entrada (De hecho, es el
mismo espacio)
Autómatas de memoria de pila
• “Pila” (Stack): Estructura de almacenamiento de datos que
funciona según el principio LIFO (“Last Input, First
Output”)
• Los autómatas de memoria de pila son autómatas finitos con
una memoria de pila potencialmente infinita, que utiliza
para almacenar resultados intermedios
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
25
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Máquinas de Turing
I/O
I
d i m b
Autómata Finito
de Control
• Cinta potencialmente infinita, que se utiliza para
almacenar:
• Los datos de entrada
• Los datos de salida
• Los resultados intermedios
• Cada casilla de la cinta contiene cada uno de los símbolos
del alfabeto Σ del problema (Supondremos que Σ = {1, 0})
• Al comienzo del proceso, la Máquina de Turing se
encuentra situada sobre la primera casilla a la izquierda de
la parte no-vacía de la cinta
• El autómata finito de control tiene una entrada (I) y cuatro
salidas (d, i, m, b)
• La entrada I recibe en cada instante t el símbolo contenido
en la casilla que se está examinando en ese instante
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
26
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Máquinas de Turing (2)
• En respuesta a esa información de entrada, el autómata
finito de control genera una instrucción de actuación sobre
la cinta:
• Cuando activa la salida “d”, la Máquina de Turing se
mueve a la derecha una casilla
• Cuando activa “i”, se mueve una casilla a la izquierda
• Cuando activa “m” (“marcar”), escribe un símbolo
“1” en la casilla actual
• Cuando activa “b” (“borrar”), escribe un “0” en la
casilla actual
• La definición puede variar en sus términos:
• Alfabeto variado
• Movimiento de la cinta, y no de la máquina
• ...
• (Def. )La Máquina de Turing se detiene en un instante t si, a
partir t, la Máquina de Turing sigue examinando la misma
casilla, sin producir ningún cambio en ella, y sin cambios de
estado en el autómata finito de control
• En cada instante t, la Máquina de Turing está en un estado
dado (el de su autómata finito de control)
• Cada operación de cambio de estado y de salida de la
Máquina de Turing está determinada por una combinación
<estado, símbolo leído>
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
27
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Máquina de Turing (3)
• Resolver un problema equivale a computar una función
cuyo valor es la solución del problema
• (Def.) Una Máquina de Turing T computa una función f(a1,
an) = v sii, representados en su cinta, en un instante t0, los
argumentos a1, ..., an, se detiene en un instante ti ≥ t0, con v
representado sobre su cinta
• T es una Máquina de Turing “concreta”: sólo resuelve el
problema para el que está diseñada
• Si T computa una función f, decimos que f es Turingcomputable
• Si un problema es Turing-computable, entonces es
algorítmicamente soluble
• A es un algoritmo sii el problema que A resuelve es resoluble
mediante una Máquina de Turing
• Tesis de Turing: La clase de las funciones efectivamente
computables (funciones algorítmicas o algoritmos) puede
identificarse con la clase de las funciones Turingcomputables
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
28
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Especificación de Máquinas de Turing
• Las Máquinas de Turing se definen en términos de
quíntuplas:
<estado, entrada, salida, nuevo estado, movimiento>
• Ejemplo: Especificación de una Máquina de Turing
sumadora tal que:
• cada número se representa mediante n+1 “1”s
• los “0”s actúan como delimitadores
• los dos sumandos están separados por un espacio en
blanco (un “0”)
• al final del proceso sólo debe quedar el resultado
escrito sobre la cinta, con la cabeza de I/O posicionada
sobre la casilla más a la izquierda de la parte no vacía
de la cinta
• Especificación en términos de quíntuplas:
q110q2d
q211q2d
q201q3i
q311q3i
q300q4d
q410q5d
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
29
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Especificación de Máquinas de Turing (2)
• Especificación de una Máquina de Turing que averigua si
una secuencia cualquiera de “0”s y “1”s representada en su
cinta es capicúa.
• Se trata de un autómata reconocedor
• Se supone que existe un tercer símbolo delimitador (“*”)
• Deberá tener en cuenta si la secuencia tiene, o no, un
número par de elementos
• Si la secuencia es capicúa, al final del proceso la cinta estará
vacía
• Supongamos que la secuencia es par
• Especificaremos el autómata mediante un grafo:
11d
00d
**i
q2
q4
11d
1*i
1*d
q1
**d
q7
11i
q6
0*d
00i
00d
0*i
q3
11d
q5
**i
00d
• ¿Qué habría que hacer para tener en cuenta, además,
el caso de las secuencias impares?
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
30
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Máquina de Turing Universal
• Una Máquina de Turing Universal (U) es una Máquina de
Turing tal que:
• Si, en t=0, representamos en su cinta:
• una Máquina de Turing concreta
• los datos de entrada a esa MT concreta
• Entonces, en algún t > 0, se detendrá con la solución de
la MT concreta representada en la cinta
• La Máquina de Turing Universal imita o reproduce el
comportamiento de cualquier Máquina de Turing concreta
• Existen métodos de codificación (Por ej., la numeración de
Gödel) que permiten representar una Máquina de Turing
mediante:
• Una codificación de las quíntuplas que definen su
funcionamiento
• Una codificación del estado en que se encuentra la
Máquina de Turing
• La Máquina de Turing Universal:
Lee el estado en que se encuentra la MTuring concreta.
Mientras no es el estado final:
Lee el símbolo siguiente de la cadena de entrada
Identifica cuál es la instrucción aplicable de la
MTuring concreta
Aplica la instrucción:
Cambiando el estado de la MTuring concreta
Generando la salida correspondiente
Si lee el estado final, termina.
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
31
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
ESPECIFICACION DE MAQUINAS DE TURING
MEDIANTE PROGRAMAS
• El lenguaje de quintuplas nos da, para cada MT:
• Una especificación de la función de transición de estados
• Una especificación de la función de salida
• Podemos hacer más explícita esa especificación transformando el
lenguaje de quíntuplas en un programa, es decir, en una secuencia
de instrucciones de actuación sobre la cinta.
• Construiremos el programa como una secuencia de instrucciones
formulada en términos de un lenguaje de programación L0
• Las instrucciones de nuestro lenguaje programación L0 tienen que
ser suficientes para reproducir las instrucciones formuladas en el
lenguaje de quíntuplas.
• En general, cada instrucción de este lenguaje (qi,sl,se,qj,m) equivale a
afirmar que:
Si se está en qi, y se lee sl, entonces se realiza la siguiente secuencia de
instrucciones:
Escribir se
Hacer el movimiento m
Pasar al estado qj
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
32
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
MAQUINAS DE TURING COMO PROGRAMAS
• Eliminaremos toda mención del estado interno del autómata finito
de la siguiente forma:
• Asignaremos a cada instrucción del programa un número de
línea
• Reformularemos la anterior expresión condicional de la
siguiente forma:
n
n+1
n+2
.
.
.
m
m+1
m+2
Leer sl
Si sl tiene el valor v, ir a la línea número m
Escribir se
Hacer el movimiento m
Ir a la línea número j (j será = n si no hay cambio de
estado)
• De esta forma:
• “Estar en un estado qi” significa ahora “Se va a ejecutar la
instrucción número n”
• “Pasar al estado qj” significa ahora “Ir a la instrucción número
m y ejecutarla”
• Puesto que la noción de “estado interno” desaparece, habrá que
tener en cuenta que, ahora, tendremos que formular todos los
autómatas aceptadores como transductores o generadores (es decir,
la respuesta tendrá que reconocerse dejando escrito algo sobre la
cinta).
(Ejemplos más adelante)
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
33
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
MAQUINAS DE TURING COMO PROGRAMAS
• Supondremos que:
• La primera instrucción que se ejecuta es la primera
instrucción del programa
• Si no se cumple la condición, se ejecuta la siguiente instrucción
n+1
• Todas las instrucciones se ejecutan en la secuencia en que
aparecen en el programa, excepto si hay saltos (por una
instrucción condicional o por una instrucción de salto
explícito (como la de la línea m+2)
• El programa contiene una línea de terminación.
• La sintaxis de nuestro lenguaje de programación será la siguiente:
LEER(s): Leer el símbolo s: s toma el valor del símbolo escrito en la
casilla que se lee
ESCRIBIR(s): Escribir el símbolo s: escribe el símbolo s en la casilla
en
la que la MT está colocada
MOVERD: Moverse a la siguiente casilla a la derecha
MOVERI: Moverse a la siguiente casilla a la izquierda
SI s=v IR A n: Si el símbolo s tiene el valor v, ir a la instrucción
número n. En otro caso, pasar a la instrucción siguiente
IR A n: Saltar a la línea n
PARAR: Línea de terminación del programa
• Equivalencia de las dos especificaciones alternativas de Máquinas
de Turing:
• Cada instrucción básica de L0 es definible en términos de una
secuencia de quíntuplas
• Si P es un programa que especifica una MT, entonces existe una
MT especificada en términos de quíntuplas que ejecuta P
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
34
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
EJEMPLOS DE ESPECIFICACION DE MTs MEDIANTE
PROGRAMAS
• Suponemos, como siempre, que al principio del proceso, la MT está
posicionada sobre la casilla más a la izquierda de la parte no vacía
de la cinta
Ejemplo1: Sea S = {1,0,*}. Dada una secuencia cualquiera (no vacía)
de símbolos {0,1}, delimitada por el símbolo “ * ”, especificar una MT
generadora que cambie cada 0 por 1, y a la inversa:
1. LEER(s)
2. SI s = * IR A 9
3. SI s = 0 IR A 6
3. ESCRIBIR 0
4. MOVERD
5. IR A 1
6. ESCRIBIR 1
7. MOVERD
8. IR A 1
9. PARAR
• Llamamos “bucle” una subsecuencia de instrucciones que se
ejecutan reiteradamente
• En el programa del Ejemplo 1 tenemos dos bucles:
• De 1 a 5
• De 1 a 8
• Decimos que estos dos bucles están “anidados”: el primero se
encuentra dentro del segundo
Ejemplo 2: Sea S = {1,0,*}. Dada una secuencia cualquiera (no vacía)
de símbolos {0,1}, delimitada por el símbolo “ * ”, especificar una MT
reconocedora que averigüe si la secuencia es un palíndrome o no.
Supondremos que la secuencia tiene un número par de símbolos. Si lo
es, al final del proceso, la cinta contendrá un 1, y si no lo es, contendrá
un 0:
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
35
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
1. LEER(s)
2. ESCRIBIR(*)
3. SI s = * IR A 36 (La cinta se ha quedado vacía. Es palíndrome)
4. SI s = 1 IR A 11 (Se ha leído un 1 en el extremo de la izquierda)
5. MOVERD
(Se ha leído un 0 en el extremo de la izquierda.
Empieza a moverse hasta llegar al extremo de la derecha)
6. SI s = * IR A 8
7. IR A 5
8. MOVERI
9. LEER(s)
10. IR A 19
11. MOVERD
(Se ha leído un 1 en el extremo de la izquierda. Empieza a
moverse hasta llegar al extremo de la derecha)
12. SI s = * IR A 14
13. IR A 11
14. MOVERI
15. LEER(s)
16. SI s = 0 IR A 27 (En el extremo de la derecha hay un 0. No es palíndrome)
17. ESCRIBIR(*) (En el extremo de la derecha hay también un 1. Se borra)
18. IR A 21
(Hay que volver al extremo de la izquierda)
19. SI s = 1 IR A 27 (En el extremo de la derecha hay un 1. No es palíndrome)
20. ESCRIBIR(*)
(En el extremo de la derecha hay también un 0. Se borra)
21. MOVERI
(Empieza a volver hacia la izquierda)
22. LEER(s)
23. SI s = * IR A 25
24. IR a 21
25. MOVERD
(Ha llegado de nuevo al extremo de la izquierda)
26. IR A 1
27. ESCRIBIR(*) (No era palíndrome. Hay que borrar todo y escribir un 0)
28. MOVERI
29. LEER(s)
30. SI s = * IR A 33
31. ESCRIBIR(*)
32. IR A 28
33. ESCRIBIR(0)
34. IR A 36
35. ESCRIBIR(1) (Era un palíndrome)
36. PARAR
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
36
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
SUBRUTINAS
• La instrucción “IR A n” (salto incondicional a la línea n) es, en
realidad, una abreviatura de la siguiente secuencia de instrucciones:
SI s = * IR A n
SI s = 0 IR A n
SI s = 1 IR A n
• Para simplificar la programación, los fragmentos de programa que
se repiten, realizando funciones idénticas, se pueden formular como
un programa independiente, al que se llama “subprograma” o
“subrutina” del programa principal.
• Las subrutinas se llaman o invocan por su nombre cada vez que es
necesario.
• Ejemplo: en el programa anterior, las líneas siguientes se repiten,
con idéntica estructura y función (Ir hasta el extremo derecho):
• De la línea 5 a la 9
• De la línea 11 a la 15
• Escribiremos un nuevo programa:
IR-EXTREMO-DERECHA
1. MOVERD
2. SI s = * IR A 14
3. IR A 11
4. MOVERI
5. LEER(s)
• Cuando en el programa principal lleguemos al punto en que se
requiere realizar estas acciones, simplemente crearemos una nueva
línea en la que introduciremos el nombre de la subrutina.
• La ejecución de esta línea equivale a la ejecución de toda la
subrutina
• Al final de la ejecución, se retorna a la línea siguiente del programa
que ha invocado a la subrutina.
• Podemos suponer que el anidamiento de programas y subrutinas es
ilimitado
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
37
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
MAQUINA DE TURING UNIVERSAL
• Una Máquina de Turing Universal (U) es una Máquina de Turing
tal que:
• Si, en t=0, representamos en su cinta:
• una Máquina de Turing concreta
• los datos de entrada a esa MT concreta
• Entonces, en algún t > 0, se detendrá con la solución de la MT
concreta representada en la cinta
• La Máquina de Turing Universal imita o reproduce el
comportamiento de cualquier Máquina de Turing concreta
• Para construir una Máquina de Turing Universal necesitamos:
• Una codificación o representación del programa que define la
Máquina de Turing concreta
• Una codificación o representación de los datos de entrada de
la Máquina de Turing concreta
• Un algoritmo, especificado como un programa, que, para cada
instrucción del programa de la MT concreta, la ejecute sobre
los datos correspondientes
• Una codificación del número de instrucción que hay que
ejecutar, y un contador que vaya actualizando este número.
De esta forma representaremos el cambio de estados de la MT
concreta
• La Máquina de Turing Universal:
• Lee en el contador el número de la siguiente instrucción.
Mientras no es la última:
• Lee el símbolo siguiente de la cadena de entrada
• Identifica cuál es la instrucción aplicable de la MTuring
concreta
• Aplica la instrucción:
• Cambiando el estado de la MTuring concreta
• Generando la salida correspondiente
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
38
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
MAQUINAS DE REGISTROS
• Una computadora digital (ordenador) es la realización física de una
Máquina de Turing (universal)
• Un modelo más realista se obtiene si sustituimos la cinta
potencialmente infinita de la MT por un número finito pero
potencialmente ilimitado de registros
• Cada registro es un espacio de memoria que supondremos que
puede almacenar:
• Un número de cualquier longitud y tipo, o
• Una cadena alfanumérica cualquiera, codificada numéricamente
• Cada registro lleva asociado unívocamente un número, la dirección
de ese registro
• Un conjunto de registros, que comienza en una dirección dada,
almacenará representaciones numéricas de las instrucciones del
programa
• Otro conjunto de registros almacena los datos sobre los que debe
operar el programa
• En general, las instrucciones se reformularán para que todas ellas se
ajusten al formato:
NúmeroInstrucción Operando [Operador1, ..., Operadorn]
• Los operandos identifican la instrucción que se va a ejecutar
• Los operadores son direcciones de registros en los que se guardan
datos sobre los que se va a ejecutar la operación. En los lenguajes de
programación se representan mediante variables.
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
39
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
DE LOS AUTOMATAS A LOS ORDENADORES
• Un ordenador o computadora digital es la realización física de una
Máquina de Registros -en último término, de una Máquina de
Turing- Universal.
• Cuando un ordenador ejecuta un programa, la máquina “universal”
(que puede ejecutar cualquier programa o proceso computable) se
convierte en una “máquina virtual” concreta.
• Cada instrucción de los lenguajes de programación de alto nivel que
se utilizan para programar ordenadores, es, en realidad, una
macroinstrucción , es decir, una expresión que resume todo un
conjunto más o menos complejo de operaciones elementales
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
40
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Programas
• Una macroinstrucción es una unidad lingüística que hace
referencia, en último término, a una operación definible en
términos de Máquina de Turing
• Un lenguaje de programación es un conjunto de
macroinstrucciones que puede ser utilizado para definir
operaciones o procesos complejos
• Hay lenguajes de programación de distintos niveles, de
forma que los lenguajes de un nivel utilizan explícita o
implícitamente macroinstrucciones del nivel inferior
• Un programa es una secuencia finita de instrucciones tal
que cada una de ellas es:
• Una macroinstrucción de algún lenguaje de
programación
• Un subprograma (rutina o subrutina) formulada en
ese mismo lenguaje
• Una computadora digital (ordenador) es la realización física
de una Máquina de Turing (universal) que ejecuta procesos
definidos usualmente mediante programas escritos en
lenguajes de programación de diferentes niveles
• Cuando un ordenador ejecuta un programa, la máquina
“universal” (que puede ejecutar cualquier programa o
proceso computable) se convierte en una “máquina virtual”
concreta.
• Los ordenadores son relevantes en la Ciencia Cognitiva
como herramienta de modelización (formulación de
hipótesis) y contrastación.
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
41
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
ESPECIFICACIÓN DE ALGORITMOS
• Para especificar la solución de un problema algorítmico:
1. Especificar el rango, posiblemente infinito, de todas las
entradas admisibles
2. Especificar la salida deseada como una función de las
entradas
• Para especificar la salida como una función de las entradas,
construir una secuencia finita de instrucciones tal que:
• Cada instrucción prescribe que ha de realizarse una
acción determinada
• Cada instrucción ha de estar descrita mediante un
lenguaje no ambigüo
• La secuencia ha de tener un punto de terminación
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
42
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
LENGUAJE DE
ESPECIFICACIÓN DE ALGORITMOS
• El lenguaje de especificación de algoritmos utilizado en la
máquina de Turing y en la máquina de registros es de “bajo
nivel”: está muy alejado del lenguaje natural
• En la modelización computacional suelen definirse los
algoritmos mediante un lenguaje o pseudocódigo “de alto
nivel”
• Los lenguajes de alto nivel poseen, en general, cuatro tipos
de instrucciones:
• Declarativas: definen variables y sus tipos, clases de
objetos, funciones:
• entero(X)
• es_una_lista(Y)
• Expresiones: combinaciones de constantes, variables,
operadores y funciones de acuerdo con reglas
sintácticas precisas.
• (5*3)+(3+2)
• (X+Y)/25
• raiz2(X)
• Ejecutables: Definen operaciones, flujos, asignaciones,
llamadas a funciones o subrutinas:
•
•
•
•
sea A = 0
si (expresión) entonces (instrucción)
escribir Z
ejecutar prog1
• Comentarios
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
43
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
LENGUAJE DE
ESPECIFICACIÓN DE ALGORITMOS (2)
• Para la construcción de la secuencia de instrucciones
pueden utilizarse los siguientes recursos:
• Secuenciación directa
• Instrucciones condicionales:
si (Condición), entonces (Instrucciones)
• Iteración limitada:
hacer (Instrucciones) n veces
• Iteración condicional:
mientras (Condición) hacer (Instrucciones)
hacer (Instrucciones) mientras (Condición)
hasta que (Condición) hacer (Instrucciones)
hacer (Instrucciones) hasta que (Condición)
• Una Condición es una expresión o una secuencia de
expresiones unidas por operadores booleanos (Y, O, NO)
• Las Instrucciones a ejecutar son, o bien una sola, o bien una
secuencia de instrucciones.
• Las iteraciones o bucles son necesarios para especificar
procesos de longitud no prefijada
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
44
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
INSTRUCCIONES CONDICIONALES
• Pueden tener una de las siguientes formas:
si Condición
entonces Instrucción o secuencia de instrucciones
finsi
si Condición
entonces Instrucción o secuencia de instrucciones
enotrocaso Instrucción o secuencia de instrucciones
finsi
si Condición
entonces si Condición
…
finsi
finsi
• Si la Condición no se cumple, el control pasa a la
instrucción siguiente al finsi
• salir: Sale de una cadena de condicionales
• Una cadena de condicionales puede expresarse más
cómodamente como un conjunto de casos:
seleccionar (Expresión)
caso Valor1:
Instrucción o secuencia de instrucciones
…
caso Valorn:
Instrucción o secuencia de instrucciones
enotrocaso:
Instrucción o secuencia de instrucciones
finseleccionar
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
45
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
ITERACIÓN LIMITADA
hacer I desde J hasta K [intervalo L]]
Instrucción1
...
Instrucciónn
finhacer
• Da sucesivos valores a la variable I, empezando por el valor
J
• El intervalo L fija la distancia entre los sucesivos valores de
I (Si no se señala, por defecto es 1)
• La iteración termina cuando I alcanza el valor K
• Además:
• salir: Sale de un bucle
• continuar: Va a la siguiente iteración de un bucle
ITERACION INFINITA
hacer
Instrucción1
...
Instrucciónn
finhacer
• Alguna de las instrucciones ha de ser salir
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
46
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
ITERACIÓN CONDICIONAL (1)
• La iteración se ejecuta mientras que la expresión Condición
es verdadera:
mientras Condición
[hacer]]
Instrucción1
...
Instrucciónn
finmientras
• En la siguiente forma, se ejecuta al menos la primera vez:
hacer
Instrucción1
...
Instrucciónn
mientras Condición
finhacer
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
47
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
ITERACIÓN CONDICIONAL (2)
• La iteración se ejecuta mientras que la expresión Condición
es falsa:
hasta que Condición
[hacer]]
Instrucción1
...
Instrucciónn
finhasta
• En la siguiente forma, se ejecuta al menos la primera vez:
hacer
Instrucción1
...
Instrucciónn
hasta que Condición
finhacer
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
48
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
SALTO INCONDICIONAL
• Salto incondicional:
ira Etiqueta
• Etiqueta es una etiqueta o número de instrucción del
programa
• Hay que evitar su uso siempre que sea posible:
• Dificulta la inteligibilidad de los algoritmos
• Puede introducir ambigüedades
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
49
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
MANEJO DE
SUBRUTINAS
• El uso de subrutinas estructura y clarifica los algoritmos
• Hay que utilizar subrutinas siempre que sea posible
identificar la utilización reiterada del mismo procedimiento
• Llamada a una subrutina o procedimiento:
ejecutar Proc[[(Parámetros,Valor)]]
• Proc es el nombre del procedimiento o subrutina que hay
que ejecutar
• La llamada puede llevar parámetros, mediante los cuales el
procedimiento llamado recibe valores
• Si el procedimiento llamado es una subrutina, su última
instrucción es:
regresar[[(Valor)]]
• Si la subrutina debe devolver algún valor, llevará ese
valor como argumento.
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
50
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
RECURSION
• Recursión: Capacidad de un procedimiento para llamarse a
sí mismo
• Reducción del problema inicial a subproblemas más
sencillos
• En cada nueva invocación del procedimiento, los datos de
entrada cambian
• Al final del procedimiento, las soluciones parciales,
obtenidas en cada ciclo del bucle recursivo se unen para
formar la solución final
• Ejemplo:Torres de Hanoi:
Proc: Mover N de X a Y, utilizando Z
1. si N = 1, entonces escribir Mover X a Y. Terminar.
2. enotrocaso:
2.1. ejecutar Mover N-1 de X a Z, utilizando Y
2.2. escribir “Mover X a Y”
2.3. ejecutar Mover N-1 de Z a Y, utilizando X
• Instrucciones de entrada/salida:
leer Item
escribir Item
• Item puede ser una variable, una constante, un elemento de
una estructura de datos, …
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
51
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
TIPOS DE DATOS
• Los datos que manipulan los algoritmos son constantes de
varios tipos:
entero: 1, 0, 543, …
decimal: 1.25, 0.000004, 47.36, …
numero: un entero o decimal
cadena: Secuencia de caracteres alfanuméricos que puede
contener blancos. Suele escribirse entre comillas
dobles.
constante alfanumérica: Secuencia de caracteres
alfanuméricos. Por convención, si empieza por
mayúscula o contiene blancos, se escribe entre comillas
simples.
• Normalmente, los algoritmos se refieren a los datos
mediante variables
• Cada variable denota un dato de un tipo dado
• Las variables pueden interpretarse como posiciones de
memoria que almacenan datos
• El dato al que cada variable se refiere es su valor
• Las instrucciones de asignación dan un valor explícito a una
variable:
sea X = 34
sea Y = Expresión
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
52
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
CODIFICACION DE
INFORMACIÓN ALFANUMERICA
• En el nivel físico, los ordenadores sólo manipulan cadenas
de símbolos 0,1.
• La interpretación de estas cadenas como números
codificados en notación binaria resulta inmediata.
• Utilizando un esquema de codificación adecuado, también
podemos interpretar estas cadenas de símbolos como:
• caracteres alfabéticos (letras)
• caracteres numéricos (cifras)
• otros símbolos especiales
• Uno de los esquemas de codificación más utilizados es el
sistema de codificación ASCII.
• Permite representar 128 (27) caracteres con siete bits
(secuencias de 7 símbolos {0,1})
• Por ejemplo:
A
4
(
f
<
...
0001100
0100011
1000010
0110110
1100011
• Con cadenas de 8 símbolos (ASCII extendido) permite
representar 256 caracteres
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
53
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
EXPRESIONES
• Las constantes y variables se combinan con operadores para
formar expresiones
• Las expresiones pueden ser:
• Aritméticas:
• Operadores aritméricos: +, -,*, /, //, mod, exp, . .
• Sus argumentos son constantes numéricas, u
otras expresiones o funciones aritméticas
• Pueden utilizarse para definir funciones
aritméticas:
función f(X,Y,Z) = (Y*(X exp 2))+Z
o para asignar un valor a una variable:
sea X = Y/ (Z mod X1)
• Lógicas:
• Operadores: = , >, < , >= , =< , < >, …
• Sus argumentos son constantes numéricas o
alfanuméricas, variables, o expresiones o
funciones aritméticas, …
• Toman como valor Verdadero o Falso
• Se utilizan para expresar Condiciones
• Además, suele contarse con funciones predefinidas:
• De manipulación de cadenas (concatenación, …)
• De conversión de tipo
• …
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
54
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
ESTRUCTURAS DE DATOS
• Un conjunto de datos se almacena formando una estructura
• Diversas estructuras de datos:
•
•
•
•
•
Vectores o listas
Matrices o tablas
Colas
Pilas
Arboles
• En algunos casos, es preciso declarar previamente el tamaño
de la estructura de datos
• Cada elemento de una estructura se identifica mediante:
• El nombre de la estructura
• Uno o más índices que indican la posición del elemento
en la estructura
• La estructura se puede recorrer iterativamente mediante
bucles definidos sobre sus índices
• Cada elemento identificado se puede manejar en una
expresión como si fuera una variable
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
55
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
VECTORES Y LISTAS
• Un vector es un conjunto finito de datos, dispuestos de
forma que:
• Hay un elemento, vect(1), que es el primero del vector
vect.
• Cada elemento, vect(n), del vector, excepto el primero,
va precedido por otro elemento, vect(n-1), del vector
• El índice o puntero del vector es el número que aparece
como argumento del vector
• En general, los vectores requieren una declaración explícita
de tamaño (longitud)
• Ejemplo: Procedimiento que incrementa en 1 cada número
del vector vect = [5,43,57,58,34,27,15,2,1,1]]
procedimiento Incrementar:
dimension vect(10)
hacer I desde 1 hasta 10
sea vect(I) = vect(I) + 1
finhacer
fin Incrementar
• ¡OJO!: Las siguientes expresiones no indican lo mismo:
I+1
vect(I+1)
vect(I)+1
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
56
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
LISTAS
• Una lista es un vector que no requiere declaración explícita
de tamaño
• Las listas se estructuran en [Cabeza|RestoLista]]
• Cabeza contiene el primer elemento de la lista
• RestoLista es una lista
• El último elemento de una lista es la lista vacía
• Los elementos de una lista se suelen manejar con
procedimientos recursivos
• Ejemplo1: Procedimiento recursivo (Prolog) para
comprobar la pertenencia de un elemento E a una lista L:
procedimiento Pertenece
Pertenece(E,[[E|_]]).
Pertenece(E,[[_|L1]]) si Pertenece(E,L1).
fin Pertenece
• Ejemplo2: Procedimiento recursivo que incrementa en 1
cada elemento de la lista L = [5,43,57,58,34,27,15,2,1,1]]
procedimiento Incrementa(ListaEntrada,ListaSalida)
Incrementa([[],[[]).
Incrementa([[Elemento|Lista]],[[Elemento1|Lista1]]) si
sea Elemento1 = Elemento+1,
Incrementa(Lista,Lista1).
fin Incrementa
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
57
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
MATRICES O TABLAS
• Vectores y listas son matrices unidimensionales
• Los datos pueden situarse en una tabla o matriz
bidimensional:
pepe 25 1 logica
aprobado
ana 18 3 percepcion notable
… … …
… …
juan 22 4 memoria suspenso
• La posición de cada dato en una fila o columna dada indica
de qué tipo de dato se trata
• El tamaño de una tabla o matriz bidimensional se declara
dando el número de filas y el número de columnas:
dimension datos(50,5)
• Para manejar los datos de una matriz nos referimos a cada
elemento mediante sus índices de posición:
• Ejemplos:
datos(50,1) :el nombre de pepe
datos(2,5) : la calificación de ana
• Podemos utilizar matrices n-dimensionales (n>2)
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
58
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
COLAS Y PILAS
• Una cola es una lista tal que:
• Todo elemento añadido a ella se coloca como último
elemento de la lista
• Para extraer un elemento de ella, han de extraerse
previamente los elementos que le anteceden
• FIFO: First Input, First Output
• Una pila es una lista tal que:
• Todo elemento añadido a ella (push) se coloca como
primer elemento de la lista
• Para extraer un elemento de ella (pop), han de
extraerse previamente los elementos que le anteceden
• LIFO: Last Input, First Output
• Se utilizan para almacenar los datos obtenidos en los
sucesivos ciclos de los procedimientos recursivos
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
59
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
ARBOLES
• Un árbol es un conjunto de datos ordenados
jerárquicamente
• Cada dato es un nodo del árbol
• Cada nodo del árbol está unido al menos a otro nodo
mediante una rama
• Cada nodo puede ser:
• El nodo raíz
• Un nodo terminal
• Un nodo no-terminal
• Cada rama une el nodo raíz, o un nodo no terminal, con
otro nodo, su sucesor inmediato
• Si B es el sucesor inmediato de A, A es el antecesor
inmediato de B
• Un camino en el árbol es una lista de nodos del árbol tal
que:
• El primer nodo de la lista es el nodo raíz
• El último nodo de la lista es un nodo terminal
• Cada nodo de la lista, excepto el primero, es el sucesor
inmediato del nodo que le precede en la lista
• Un árbol binario es un árbol en el que cada nodo tiene como
máximo dos sucesores
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
60
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
EJEMPLO
• Procedimiento que genera un árbol binario a partir de una
lista de números L, tal que, para cada nodo A:
• Todos los nodos de su subárbol izquierdo son menores
que A
• Todos los nodos de su subárbol derecho son mayores
que A
procedimiento CreaArbol:
sea A (el primer número de la lista L) el nodo raiz
hacer
sea B el siguiente elemento de la lista:
sea C el nodo raíz
hacer
si B es menor que C, entonces:
sea D el sucesor izquierdo de C
si D es vacío, entonces B es el nuevo
sucesor izquierdo de C. Salir
enotrocaso, sea C = D
finsi
enotrocaso (B es mayor que C):
sea D el sucesor derecho de C
si D es vacío, entonces B es el nuevo
sucesor derecho de C. Salir
enotrocaso, sea C = D
finsi
finsi
finhacer
hastaque B = fin de la Lista
finhacer
fin CreaArbol
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
61
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
COMPUTABILIDAD
Y
DECIDIBILIDAD
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
62
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Decidibilidad
• Tesis de Turing: Un problema es decidible sii es computable
(por una MTuring). En otro caso, es indecidible
• La cuestión de si, para una clase dada de problemas, existe
un algoritmo o procedimiento efectivo que los resuelva, se
denomina problema de decisión
• Decimos que un problema de decisión es indecidible si
podemos demostrar que no existe ningún algoritmo que
pueda responder a todas las preguntas que el problema
pueda plantear
• Ejemplos:
• El problema “¿Hay enteros tales que satisfagan la
ecuación 3x + 6y = 151?” (que tiene una respuesta
negativa) no es un problema de decisión.
• El problema “¿Hay enteros x, y tales que se cumple la
ecuación ax + by = c?”, sí es un problema de decisión:
• Para cada asignación de valores a los parámetros
a, b, c, hay un problema distinto
• Respuesta:
• sí, si el máximo común divisor (mcd) de a y
b divide a c
• Tenemos el algoritmo de Euclides para
hallar el mcd de dos números
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
63
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
El Problema de la Parada
• Consideremos el siguiente problema de decisión:
¿Existe algún procedimiento efectivo (algoritmo o máquina de
Turing) que nos permita determinar, para cualquier MT
concreta representada en la cinta de la MTuring universal, si
la MTuring concreta llegará a detenerse después de iniciar su
computación?
• Este problema tiene una respuesta negativa, por lo que se
trata de un problema indecidible
• Este resultado es equivalente a los obtenidos respecto a la
Lógica Clásica de Primer Orden:
• Gödel (1931): Cualquier sistema formal cuyo lenguaje
sea lo suficientemente rico para describir las
operaciones y relaciones básicas de la aritmética
elemental es incompleto
• La Aritmética de Peano, formalizada con la Lógica de
Primer Orden con Identidad (y símbolos funcionales) y
con axiomas específicos, es incompleta.
• El conjunto de los enunciados verdaderos de la
aritmética no es decidible
• Church (1936): La Lógica de Primer Orden es
indecidible
• Consecuencias para las Ciencias Cognitivas:
• Existen problemas elementales no decidibles
• Pero los sujetos solucionan problemas muy complejos
• Luego se requieren recursos de modelización no
algorítmicos (heurísticos)
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
64
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
65
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Complejidad
• No basta con el criterio de decidibilidad para establecer si
una modelización cognitiva puede ser estríctamente
algorítmica
• Los recursos físicos utilizados en la solución de problemas
(espacio y tiempo) son limitados
• Ni siquiera todos los problemas decidibles son manejables
• Podemos medir la complejidad de los algoritmos para
estimar su manejabilidad
• Los parámetros de medida son:
• Tiempo de computación requerido (número de
operaciones primitivas)
• Espacio de memoria requerido:
• Tamaño del input
• Tamaño del output
• Espacio requerido para almacenar resultados
intermedias
• La complejidad vendrá dada por el tiempo requerido para
resolver el problema, dado como una función del tamaño
del problema
• Tipos de complejidad:
• Polinómica (problemas “buenos”)
• Exponencial (problemas “malos”)
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
66
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Análisis de la Complejidad de un Algoritmo
• Ejemplo: Complejidad de la Multiplicación
• Sean dos enteros:
• n, que tiene i dígitos
• m, que tiene k dígitos
• Para obtener m x n tenemos que obtener i filas que se
sumarán
• En cada fila tendremos aprox. j (≥
≥ k) operaciones
• Luego para obtener las i filas necesitamos, aproxim. ,
i x j operaciones
• Finalmente, para sumar las filas necesitamos, aprox.,
i x j sumas de dos números de un dígito cada uno
• Luego el tiempo de ejecución de toda la operación será
proporcional a la ejecución de todas las operaciones
• El número de operaciones es 2(i x j)
• Luego la complejidad será proporcional al factor
variable de esta expresión: i x j
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
67
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
La Medida de la Complejidad Algorítmica
• Lo que resulta importante a la hora de medir la
complejidad es su tasa funcional de crecimiento:
• Esa tasa puede ser:
• Lineal (buena)
• Cuadrática (admisible en algunos casos)
• Exponencial (no manejable)
• ...
• Los factores constantes se omiten
• Denotación de la complejidad:
O(f(n))
(La complejidad es proporcional a fn o “de orden f(n))
• Clasificación de los problemas respecto asu complejidad:
• Problemas P: tienen algoritmos eficientes, con
crecimiento polinómico
• Problemas NP:
• Es indemostrable que sean problemas P
• Tienen un algoritmo eficiente (polinómico) de
verificación de la solución
• Problemas NP-completos:
• No son problemas P ni NP
• Si uno de la clase se solucionara mediante un
algoritmo polinómico, todos tendrían un
algoritmo de ese tipo
• Problemas intrínsecamente difíciles: No son
problemas P ni NP, y tienen algoritmos con tiempo
exponencial
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
68
Lógica y Computación
Autómatas y Computabilidad
Los Algoritmos Básicos y su Complejidad
• Algoritmos de Búsqueda:
• Búsqueda Secuencial:
• Dado un conjunto de n elementos, compara todos
ellos con el buscado
• En el peor caso (como máximo), n operaciones
• Complejidad: O(n)
• Búsqueda Binaria:
• Requiere que el conjunto de elementos esté
previamente ordenado
• Peor caso: el primer valor entero k tal que 2k≥n,
es decir k = log2 n
• Complejidad: O(log2 n)
• Algoritmos de Ordenación:
• ...
• Ordenación por Burbuja:
• Número de comparaciones: 1/2 n (n-1)
• Mejor caso: 0
• Peor caso: 3/2 (n2-n)
• Caso medio: 3/4 (n2-n)
• Complejidad: O(n2)
Departamento de Lógica - Facultad de Psicología - UCM
69