CUESTIONES tema 5 5.1. A partir de dU = TdS

CUESTIONES tema 5
 ∂P 
 ∂U 
5.1. A partir de dU = TdS - PdV demuestra la igualdad 
 +P = T 
 ∂V  T
 ∂T  V
5.2. La ecuación Entrópica Fundamental de la Termodinámica de cierto gas viene dado
n
U
V
por la expresión S =  c + 5 R ln + 2 R ln  donde c y R son ctes y n es el número
2
n
n
de moles. Se pide: a) Demostrar que U sólo depende de la T. b) Obtener la ecuación
térmica de estado F(P,V,T,n)=0.
Solución.- U=(5/2) RnT
PV=nRT
5.3. Un mol de cierto sistema tiene la siguiente ecuación energética fundamental
s2 sR
e
(donde C es una constante). Demuestra que en un proceso adiabático
u=C
v
reversible se cumple Tv =cte.
Ayuda.- Recuerda que adiabático reversible implica isoentrópico (s = cte).
5.4. Demostrar las siguientes igualdades:
 ∂H 
 ∂P 
 ∂P 
a) 

 = T   + V
 ∂V  T
 ∂T  V
 ∂V  T
 ∂G 
 ∂P 
b) 
 = −S + V 
 ∂T  S
 ∂T  S
5.5. ¿Respecto de qué conjunto de variables la transformada de Legendre de la función de
Gibbs, G=G(P,T,n1,n2,n3, ...), es idénticamente nula?. Justifica la respuesta.
5.6. Demuestra que en una compresión isoterma de 1 mol de gas ideal, los incrementos
de G y de F coinciden.
5.7.- A temperatura constante la variación del volumen de un líquido con P puede
tomarse como V=V0(1-χT P) donde V0 y χT (coeficiente de compresibilidad isotermo)
pueden suponerse constantes. Deduce una expresión de ∆G del líquido para una
compresión isoterma de P1 a P2.
V χ
Solución.- ∆G = V0 (P2 − P1 ) − 0 T P22 − P12
2
(
)
5.8. Una substancia cumple la ecuación térmica de estado v = RT/P- A/T3 donde A es
una constante. Determinar la variación de entalpía molar experimentada por la
substancia a temperatura cte T cuando su presión pasa de P1 a P2.
Ayuda.- Puedes partir de dH=TdS+VdP. Pon dS en función de dT y dP; al ser T=cte,
 ∂V 
quedará, después de utilizar la apropiada relación de Maxwell, dS = - 
 dP .
 ∂T  P
− 4A
Solución.- ∆H =
(P2 − P1 ).
T3
5.9. Demuestra que las diferenciales de los potenciales termodinámicos H y F pueden
escribirse en la forma: dH=CPdT+v(1-αT)dP y dF= −(Pvα+S)dT+PvχT dP
 2S 
5.10. Un mol de un sistema cuya ecuación energética es U = V - 2/3 n 5/3 exp 
,
3n R 
sufre un proceso que le lleva de un estado (T0 , v) a otro (T0 , 2v) en contacto con un
foco de calor a temperatura T0. Calcular el trabajo máximo que puede obtenerse en este
proceso procediendo de las siguientes formas: a) Obtener primero la ecuación térmica
de estado (Pv=RT) y luego calcular el trabajo utilizando dicha ecuación para poner P en
función de V. b) Obtener primero la ecuación fundamental en la representación del
3RT 
v 2 / 3 3RT 
1 − ln
potencial de Helmholtz ( F =
) y calcula luego el trabajo máximo

2 
2

a partir de él (Wmax = -(∆F)T=cte).
Solución.- Por cualquiera de los dos métodos a) y b) el resultado es Wmax=RT0ln2
11. Para un sistema hidrostático: a) Demuestra dS =
CV
 ∂P 
dT +   dV a partir de
T
 ∂T  V
 ∂C V
 ∂S 
 ∂S 
dS =   dT + 
 dV b) Demuestra que si P = T f(V) entonces 
 ∂T  V
 ∂V  T
 ∂V

 =0
T
 aP
12. Un mol de cierto sistema tiene una energía libre dada por G = RT ln
5/2
 (RT)
donde a y R son constantes. Hallar una expresión para CP.
Solución. CP = 5R/2
13. Un sistema obedece la ecuación energética fundamental U = aS

,


3
, donde a es
nV
una cte. Se pide: a) Obtener los potenciales termodinámicos F y G en función de sus
respectivas variables naturales. b) Comprueba que se verifica la ecuación de Gibbs ∂F 
Helmholtz F = U + T  .
 ∂T  V ,n
2
 nV 
Solución. a) F = − T 3 / 2 

3
 3a 
1/ 2
; G=−
n T3
27a P
14. Deducir una expresión para ∆H en función de los cambios de T y P, desde un estado
inicial (T1,P1) hasta otro estado final (T2,P2), para un mol de gas cuya ecuación térmica
RT
B
es v =
+A−
y cuya capacidad calorífica molar CP a presión muy baja P0
P
RT
(P0 ≅ 0 ) viene dada por C 0P =1+CT. A, B y C son constantes y P0<<P1<P2.
C
2B
(P1 / T1 − P2 / T2 )
Solución. ∆H = (T2 − T1 ) + T22 − T12 + A(P2 − P1 ) +
2
R
Ayuda.
P
P2
2
La integración de 1 a 2 puede
hacerse de 1 a X, de X a Y y
P1
1
de Y a 2. (∆H es f. De estado)
(
P0
X
)
Y
T