Solución de ecuaciones Simbólica - Aplicación a la Mecánica de
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Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Capitulo 2 Solución de ecuaciones Simbólica Aplicación a la Mecánica de Materiales Aplicaciones computacionales de la Mecánica de Materiales Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Alfonso Cubillos V Programa de Ing. Mecánica Universidad de Ibagué 2.1 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! 2.2 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! 2.2 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas • Diferenciación Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! 2.2 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas • Diferenciación • Integración Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! 2.2 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas • Diferenciación • Integración • Expansión en series de Taylor Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! 2.2 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas • Diferenciación • Integración • Expansión en series de Taylor • Transformadas de Laplace Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! 2.2 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas • Diferenciación • Integración • Expansión en series de Taylor • Transformadas de Laplace • Ecuaciones diferenciales ordinarias Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! 2.2 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas • Diferenciación • Integración • Expansión en series de Taylor • Transformadas de Laplace • Ecuaciones diferenciales ordinarias • Sistemas de ecuaciones lineales Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! 2.2 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas • Diferenciación • Integración • Expansión en series de Taylor • Transformadas de Laplace • Ecuaciones diferenciales ordinarias • Sistemas de ecuaciones lineales • Vectores, matrices y tensores. Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! 2.2 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas • Diferenciación • Integración • Expansión en series de Taylor • Transformadas de Laplace • Ecuaciones diferenciales ordinarias • Sistemas de ecuaciones lineales • Vectores, matrices y tensores. Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! Cuál es el software más conocido para realizar cálculos simbólicos? 2.2 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas • Diferenciación • Integración • Expansión en series de Taylor • Transformadas de Laplace • Ecuaciones diferenciales ordinarias • Sistemas de ecuaciones lineales • Vectores, matrices y tensores. Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! Cuál es el software más conocido para realizar cálculos simbólicos? • Maple 2.2 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas • Diferenciación • Integración • Expansión en series de Taylor • Transformadas de Laplace • Ecuaciones diferenciales ordinarias • Sistemas de ecuaciones lineales • Vectores, matrices y tensores. Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! Cuál es el software más conocido para realizar cálculos simbólicos? • Maple • Mathematica 2.2 Herramientas de Calculo simbólico Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas • Diferenciación • Integración • Expansión en series de Taylor • Transformadas de Laplace • Ecuaciones diferenciales ordinarias • Sistemas de ecuaciones lineales • Vectores, matrices y tensores. Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Y todo esto de forma simbólica !!! Cuál es el software más conocido para realizar cálculos simbólicos? • Maple • Mathematica • Maxima 2.2 ¿De dónde viene Maxima? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Maxima desciende del sistema Macsyma, desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre los años 1968 y 1982 como parte del proyecto MAC. Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.3 ¿De dónde viene Maxima? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Maxima desciende del sistema Macsyma, desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre los años 1968 y 1982 como parte del proyecto MAC. • El MIT pasó una copia del código fuente al DOE (Department of Energy) en 1982, en una versión conocida como DOE-Macsyma. Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.3 ¿De dónde viene Maxima? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Maxima desciende del sistema Macsyma, desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre los años 1968 y 1982 como parte del proyecto MAC. • El MIT pasó una copia del código fuente al DOE (Department of Energy) en 1982, en una versión conocida como DOE-Macsyma. • Una de estas copias fue mantenida por el Profesor William F. Schelter de la Universidad de Texas desde el año 1982 hasta su fallecimiento en 2001. Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.3 ¿De dónde viene Maxima? Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V • Maxima desciende del sistema Macsyma, desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre los años 1968 y 1982 como parte del proyecto MAC. • El MIT pasó una copia del código fuente al DOE (Department of Energy) en 1982, en una versión conocida como DOE-Macsyma. • Una de estas copias fue mantenida por el Profesor William F. Schelter de la Universidad de Texas desde el año 1982 hasta su fallecimiento en 2001. • En 1998 Schelter había obtenido del Departamento de Energía permiso para distribuir el código fuente de DOE-Macsyma bajo licencia GNU-GPL, iniciando en el año 2000 el proyecto Maxima en SourceForge con el fin de mantener y seguir desarrollando DOE-Macsyma, ahora con el nombre de Maxima. Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.3 La primera impresión Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Cuando se abre el programa lo primero que se encuentra es wxMaxima 0.7.2 http://wxmaxima.sourceforge.net Maxima 5.12.0 http://maxima.sourceforge.net Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.8 (aka GCL) Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING. Dedicated to the memory of William Schelter. This is a development version of Maxima. The function bug_report() provides bug reporting information. (%i1) Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional El indicador (%i1) señala que el program esta esperando la primera entrada (%i1) 3 + Tracción Pura Flexión 4; a lo que el programa responde (%o1) 7 La letra i significa input (entrada) y la o significa output (salida) 2.4 Algunos cálculos iniciales Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Tips iniciales • La asignación de variables se realiza por medio del operador dos puntos (:) • Puede usar la etiqueta (%i*) o (%o*) para referirse a ese elemento • Puede utilizar el operador (%) para referirse a la última salida • Al final de cada orden debe ir el operador punto y coma (;) • Si no desea ver la salida utilice al final ($) Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión (%i2) u: expand ((x + y)^6); (%i3) diff (u, x); (%i4) factor (%o3); 2.5 Algunos cálculos iniciales Puede resolver sistemas de ecuaciones lineales y cúbicas Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V linsolve ([3*x + 4*y = 7, 2*x + a*y = 13], [x, y]); solve (x^3 - 3*x^2 + 5*x = 15, x); Así como generar gráficas plot2d (sin(x)/x, [x, -20, 20]); Introducción plot2d ([atan(x), erf(x), tanh(x)], [x, -5, 5]); Maxima - Una Introducción plot3d (sin(sqrt(x^2 + y^2))/sqrt(x^2 + y^2), [x, -12, 12], [y, -12, 12]); Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Manipulación algebraica eq1 : expand((a-2)*(b+1)^2*(a+b)^5); factor(eq1); eq1,a=2,b=2*c; eq2 : 1/(x+y)-(y+x)/z+(x+y)^2; subst(k,x+y,eq2); 2.6 Algunos cálculos iniciales Simplificación de ecuaciones eq3 : (x^(a/2)-1)^2*(x^(a/2)+1)^2 / (x^a-1); Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V ratsimp(eq3); ratsimp(%); fullratsimp(eq3); También permite manejo matricial Introducción m1 : matrix([3,4,0],[6,0,-2],[0,6,a]); Maxima - Una Introducción m2 : matrix([3],[b],[2]); Trabajo y Energía Método Variacional m3 : addcol(m1,m2); Tracción Pura Flexión Algebra matricial m4 : m1^2; /* Potenica */ m1 + m4; /* Suma */ m1.m4; /* Multiplicacion */ transpose(m1); /* Transpuesta */ determinant(m1); invert(m1); /* Determinante */ /* Inversa */ 2.7 Solución de ecuaciones Simbólica Derivadas e Integrales Alfonso Cubillos V Derivadas diff(x^log(a*x),x); /* Derivada respecto a x*/ diff(x^log(a*x),x,2); /*Segunda Derivada respecto a x*/ Derivadas parciales Introducción depends(x,t); Maxima - Una Introducción eq : sin(x) + y; Trabajo y Energía Método Variacional diff(eq,t); Tracción Pura Flexión diff(eq,x); diff(eq,y); Integrales integrate(cos(x)^3/sin(x)^4,x); /* Integral indefinida */ integrate(2*x/((x-1)*(x+2)),x,3,5); /* Integral definida */ 2.8 Solución de ecuaciones Simbólica Trabajo y Energía Alfonso Cubillos V Concepto Fundamental Energía Total de un sistema es la suma de su energía Potencial + Cinética ET = EP + EK Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.9 Solución de ecuaciones Simbólica Trabajo y Energía Alfonso Cubillos V Concepto Fundamental Energía Total de un sistema es la suma de su energía Potencial + Cinética ET = EP + EK Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Para sistemas estáticos Tracción Pura Flexión Se toma la EK = 0, y por lo tanto EP = U + WP U es la energía de deformación, y WP es el potencial de trabajo de las fuerzas externas 2.9 Trabajo y Energía Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.10 Trabajo y Energía Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.10 Trabajo y Energía Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Energía de Deformación Para materiales elásticos lineales U= 1 2 Z − → → σ ·− dV V → donde − σ es el vector de esfuerzos, → − y es el vector de deformaciones, y por lo tanto Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional − → σ = [ σx σy σz τx τy τz ]T → − = [ x y z γx γy γz ]T Tracción Pura Flexión 2.10 Trabajo y Energía Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Energía de Deformación Para materiales elásticos lineales U= 1 2 Z − → → σ ·− dV V → donde − σ es el vector de esfuerzos, → − y es el vector de deformaciones, y por lo tanto Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional − → σ = [ σx σy σz τx τy τz ]T → − = [ x y z γx γy γz ]T Tracción Pura Flexión 2.10 Solución de ecuaciones Simbólica Trabajo y Energía Alfonso Cubillos V Energía de Deformación Para materiales elásticos lineales U= 1 2 Z − → → σ ·− dV V → donde − σ es el vector de esfuerzos, → − y es el vector de deformaciones, y por lo tanto Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional − → σ = [ σx σy σz τx τy τz ]T → − = [ x y z γx γy γz ]T Tracción Pura Flexión Potencial de Trabajo Z WP = − V → − − → u · f dV − Z S X− → → − − → → − u · T dS − ui · Pi i 2.10 Solución de ecuaciones Simbólica Método de Rayleigh-Ritz Alfonso Cubillos V Energía Total Para medios continuos Z Z Z X− → → → 1 − − → → − − → − → − → σ ·− dV − u · f dV − u · T dS − ui · Pi Π= 2 V V S i Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.11 Solución de ecuaciones Simbólica Método de Rayleigh-Ritz Alfonso Cubillos V Energía Total Para medios continuos Z Z Z X− → → → 1 − − → → − − → − → − → σ ·− dV − u · f dV − u · T dS − ui · Pi Π= 2 V V S i Introducción Maxima - Una Introducción El método Consiste en la construcción de un campo de desplazamiento supuesto, como P u = ai φi (x, y , z) i =1al P v = aj φj (x, y , z) j =l +1am P w = ak φk (x, y , z) k =m+1an Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Donde las funciones φi usualmente son polinomios. 2.11 Método de Rayleigh-Ritz Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Y cómo se solucionan? Los desplazamientos u, v y w deben ser cinemáticamente admisibles. Es decir: Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.12 Método de Rayleigh-Ritz Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Y cómo se solucionan? Los desplazamientos u, v y w deben ser cinemáticamente admisibles. Es decir: • u, v y w deben satisfacer las condiciones de frontera Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.12 Solución de ecuaciones Simbólica Método de Rayleigh-Ritz Alfonso Cubillos V Y cómo se solucionan? Los desplazamientos u, v y w deben ser cinemáticamente admisibles. Es decir: • u, v y w deben satisfacer las condiciones de frontera • Se debe satisfacer el conjunto de r ecuaciones δΠ =0 δai para i = 1, 2, 3, . . . r Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.12 Solución de ecuaciones Simbólica Método de Rayleigh-Ritz Alfonso Cubillos V Y cómo se solucionan? Los desplazamientos u, v y w deben ser cinemáticamente admisibles. Es decir: • u, v y w deben satisfacer las condiciones de frontera • Se debe satisfacer el conjunto de r ecuaciones Introducción Maxima - Una Introducción δΠ =0 δai Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión para i = 1, 2, 3, . . . r Carga Axial U= 1 2 Z A E du dx 2 dx 2.12 Ejemplo Tracción Problema 3.37 Shigley. La figura muestra una barra de acero rectangular de 38 por 1 12 in soldada a apoyos fijos en cada extremo. La barra está axialmente cargada por las fuerzas FA = 10 kip y FB = 5 kip que actúan en los pasadores en A y B. Suponiendo que la barra no se pandee en forma lateral, determine el diagrama de deformación de la barra. Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Energía Total del Sistema 1 Π= E A 2 Z l 0 du dx 2 dx − FA · uA − FB · uB 2.13 Solución de ecuaciones Simbólica Ejemplo Tracción Alfonso Cubillos V Campo de deformaciones supuesto. Polinomio de segundo Orden e = a0 + a1 x + a2 x 2 u Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.14 Solución de ecuaciones Simbólica Ejemplo Tracción Alfonso Cubillos V Campo de deformaciones supuesto. Polinomio de segundo Orden e = a0 + a1 x + a2 x 2 u Definir las condiciones de frontera u(x=0) = 0 u(x=l) = 0 Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.14 Solución de ecuaciones Simbólica Ejemplo Tracción Alfonso Cubillos V Campo de deformaciones supuesto. Polinomio de segundo Orden e = a0 + a1 x + a2 x 2 u Definir las condiciones de frontera u(x=0) = 0 u(x=l) = 0 Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Aplicar las condiciones de Frontera e(x=0) = a0 = 0 u e(x=l) = a1 · l + a2 · l 2 = 0 u a1 = −a2 · l 2.14 Solución de ecuaciones Simbólica Ejemplo Tracción El campo de deformaciones con las condiciones de frontera Alfonso Cubillos V e = a2 x 2 − a2 l x U Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.15 Solución de ecuaciones Simbólica Ejemplo Tracción El campo de deformaciones con las condiciones de frontera Alfonso Cubillos V e = a2 x 2 − a2 l x U Cálculos necesarios Introducción dU = 2 a2 x − a2 l dx Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Ua = a2 la2 − a2 l la Tracción Pura Flexión Ub = a2 lb2 − a2 l lb 2.15 Solución de ecuaciones Simbólica Ejemplo Tracción El campo de deformaciones con las condiciones de frontera Alfonso Cubillos V e = a2 x 2 − a2 l x U Cálculos necesarios Introducción dU = 2 a2 x − a2 l dx Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Ua = a2 la2 − a2 l la Tracción Pura Flexión Ub = a2 lb2 − a2 l lb La energía del sistema Π= 1 a22 l 3 A E + a2 l lb − a2 lb2 Pb − a2 la2 − a2 l la Pa 2 3 2.15 Ejemplo Tracción Extremizar la energía Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V dΠ a2 l 3 A E = + l lb − lb2 Pb − la2 − l la Pa = 0 da2 3 Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.16 Solución de ecuaciones Simbólica Ejemplo Tracción Extremizar la energía Alfonso Cubillos V dΠ a2 l 3 A E = + l lb − lb2 Pb − la2 − l la Pa = 0 da2 3 Introducción Despejar a2 y a1 Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía a2 = a1 = − 2 2 3 lb − 3 l lb Pb + 3 la − 3 l la Pa Método Variacional Tracción Pura Flexión l3 A E 3 lb2 − 3 l lb Pb + 3 la2 − 3 l la Pa l2 A E 2.16 Solución de ecuaciones Simbólica Ejemplo Tracción Extremizar la energía Alfonso Cubillos V dΠ a2 l 3 A E = + l lb − lb2 Pb − la2 − l la Pa = 0 da2 3 Introducción Despejar a2 y a1 Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía a2 = 2 2 3 lb − 3 l lb Pb + 3 la − 3 l la Pa Método Variacional Tracción Pura Flexión l3 A E 3 lb2 − 3 l lb Pb + 3 la2 − 3 l la Pa a1 = − l2 A E La función Aproximada e = 2,49 · 10−4 x − 5,55 · 10−6 x 2 U 2.16 Ejemplo Tracción Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.17 Ejemplo Tracción Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.18 Ejemplo Tracción Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.19 Ejemplo Tracción Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.20 Ejercicio Tracción Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Dibuje el diagrama de deformación aproximado. Calcule los esfuerzos y las fuerzas en los apoyos. Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.21 Ejercicio Tracción Un cono sólido truncado es sometido a una carga axial P como se muestra en la figura. Escriba un programa que pueda usarse para obtener una aproximación de la elongación del cono. Sabiendo que el valor exacto de la elongación del cono es (P L)/(2πc 2 E) y utilizando valores de su elección para P, L, c y E, determine el porcentaje de error involucrado cuando se utiliza un polinomio de segundo, cuarto y seto orden. Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.22 Solución de ecuaciones Simbólica Para Momento Flector Alfonso Cubillos V La energía de deformación 1 U= 2 Z V 1 − → → σ ·− dV = 2 Z L EI 0 d 2v dx 2 2 dx Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.23 Solución de ecuaciones Simbólica Para Momento Flector Alfonso Cubillos V La energía de deformación 1 U= 2 Z V 1 − → → σ ·− dV = 2 Z L EI 0 d 2v dx 2 2 dx Introducción Ejemplo Carga Puntual Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.23 Solución de ecuaciones Simbólica Ejemplo Flexión Alfonso Cubillos V Campo de deformaciones supuesto. Polinomio de segundo Orden ve = a0 + a1 x + a2 x 2 Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.24 Solución de ecuaciones Simbólica Ejemplo Flexión Alfonso Cubillos V Campo de deformaciones supuesto. Polinomio de segundo Orden ve = a0 + a1 x + a2 x 2 Introducción Definir las condiciones de frontera Maxima - Una Introducción v(x=0) = 0 dv dx (x=0) =0 Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.24 Solución de ecuaciones Simbólica Ejemplo Flexión Alfonso Cubillos V Campo de deformaciones supuesto. Polinomio de segundo Orden ve = a0 + a1 x + a2 x 2 Introducción Definir las condiciones de frontera Maxima - Una Introducción v(x=0) = 0 dv dx (x=0) =0 Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión Aplicar las condiciones de Frontera ve(x=0) = a0 = 0 de v dx (x=0) = a1 = 0 2.24 Ejercicio Flexión Solución de ecuaciones Simbólica Alfonso Cubillos V Introducción Maxima - Una Introducción Trabajo y Energía Método Variacional Tracción Pura Flexión 2.25
