REPRESENTACIONES DE GRUPOS Tablas de caracteres. 28

REPRESENTACIONES DE GRUPOS
Tablas de caracteres. 28-02-2015
1. Si Cn designa el grupo cı́clico de orden
viene dada por
[C1 ] [C2 ]
Γ(1) 1
1
(2)
Γ
1
ω
(3)
Γ
1
ω2
(4)
Γ
1
ω3
..
..
..
.
.
.
Γ(n)
1
n, demostrar que la tabla de caracteres de Cn
[C3 ]
1
ω2
ω4
ω6
..
.
···
···
···
···
···
ω n−1 ω 2n−2 · · ·
[Cn ]
1
n−1
ω
ω 2n−2 , ω n = 1
ω 3n−3
..
.
ωn
2 −1
2. Sea T el grupo de simetrı́as de un tetraedro. Sabiendo que la tabla de caracteres de T es
Γ(1)
Γ(2)
Γ(3)
Γ(4)
[C1 ] [C2 ] [C3 ] [C4 ]
1
1
1
1
1
1
ω
ω
1
1
ω
ω
3
−1
0
0
donde ω = e2πi/3 , r1 = 1, r2 = 3, r3 = r4 = 4.
(a) Deducir si T admite representaciones de tercera especie.
(b) Estudiar si alguna de las clases de T está formada por conmutadores.
(c) Alguna de las representaciones irreducibles es fiel.
3. Sea G un grupo cuya tabla de caracteres viene especificada por
(1)
Γ
Γ(2)
Γ(3)
Γ(4)
[C1 ] [C2 ]
[C3 ]
[C4 ]
1
1
1
1
1
−1
1
1
2
0 2 cos 2πi
2 cos 4πi
5
5
2πi
2
0 2 cos 4πi
2
cos
5
5
(a) Analizar los posibles órdenes de las clases de conjugación.
(b) Deducir que el subgrupo de conmutadores G0 es isomorfo a C5 .
(c) Obtener las representaciones irreducibles de grado dos.
(d) Justificar que G es isomorfo al grupo D5 .
1
4. Sea
(d)
D3 el grupo dado por la presentación
x, y, z | x3 = y 2 = z, z 2 = 1, xyx = y
(a) Demostrar que |(d) D3 | = 12.
(b) Justificar que r = 6, i.e., el grupo tiene seis clases de conjugación.
(c)
(d)
D3 admite cuatro representaciones irreducibles de grado 1 y dos de orden 2.
(d) Determinar la tabla de caracteres.
5. Sea
(d)
D4 el grupo dado por la presentación
x, y, z | x4 = y 2 = z, z 2 = 1, xyx = y
(a) Demostrar que |(d) D4 | = 16.
(b) Justificar que r = 7.
(c)
(d)
D4 admite cuatro representaciones irreducibles de grado 1 y tres de orden 2.
(d) Determinar la tabla de caracteres.
6. Sea
(d)
D6 el grupo dado por la presentación
x, y, z | x6 = y 2 = z, z 2 = 1, xyx = y
(a) Demostrar que |(d) D6 | = 24.
(b) Justificar que r = 9.
(c)
(d)
D6 admite cuatro representaciones irreducibles de grado 1 y cinco de orden 2.
(d) Determinar la tabla de caracteres.
7. Sea
(d)
T el grupo dado por la presentación
x, y, z | x3 = y 2 = z, z 2 = 1, (xy)2 = zyx2
(a) Demostrar que |(d) T | = 24.
(b) Justificar que r = 7.
(c)
(d)
T admite tres representaciones irreducibles de grado 1, tres de orden 2 y una de
orden 3.
(d) Determinar la tabla de caracteres.
8. Sea
(d)
O el grupo dado por la presentación
x, y, z | x4 = y 2 = z, z 2 = 1, xy 2 x = y, xyx = yx2 y
2
(a) Demostrar que |(d) T | = 48.
(b) Justificar que r = 8.
(c)
(d)
O admite dos representaciones irreducibles de grado 1, tres de orden 2, dos de
orden y una de orden 4.
(d) Determinar la tabla de caracteres.
3