Ejemplo

Ejemplo
Una planta de tratamiento de aguas residuales consiste en un tanque para clarificar y en
un tanque para lodos. Se ha vertido accidentalmente un poderoso agente contaminante en
las aguas residuales. El agente ha contaminado cada tanque con una concentración inicial
de 120 mg. Puesto que el tratamiento usual no reduce la concentración del contaminante, la
eliminación de dicho agente de los tanques se hará por dilución según el agua fluye por el
sistema. Cada hora, el 30% del agua del tanque de clarificado se pasa al tanque de lodos y
se reemplaza por agua libre de contaminante. En el tanque de lodos sólo el 10% del agua se
puede trasvasar a una gran balsa de almacenamiento. Crea el modelo matemático para
predecir la concentración del contaminante en cada tanque en una hora cualquiera.
Solución:
Si llamamos p 1 k y p 2 k a las concentraciones del contaminante en la k-ésima hora
en los tanques de clarificado y de lodos respectivamente.
El sistema dado a continuación modeliza el proceso descrito
p 1 k  1  0. 7p 1 k
Nota : el 30% se reemplaza por agua limpia
Nota : El tanque de lodos toma agua del
p 2 k  1  0. 3p 1 k  0. 9p 2 k
tanque de clarificado y vierte un 10% en una balsa.
Escrito en foma matricial
p 1 k  1
p 2 k  1
p 1 0
y donde inicialmente
Si llamamos pk 
p 2 0
p 1 k
p 2 k

0. 7

120
yA 
p 1 k
0
p 2 k
0. 3 0. 9
120
0. 7
.
0
0. 3 0. 9
, el sistema anterior quedaría
escrito de la forma
pk  1  Apk
puesto que
p1  Ap0
p2  Ap1  A 2 p0

pk  A k p0
Luego para poder conocer la concentración en una hora k tenemos que conocer la
potencia k − ésima de la matriz A. Esto nos lleva a diagonalizar dicha matriz para poder
calcular cualquier potencia ella fácilmente.
En efecto si encontramos matrices D diagonal y P regular tal que A  PDP −1 tenemos
pk  A k p0  PD k P −1 p0
Si  1 y  2 son los valores propios de A y v 1 
v 11
y v2 
v 12
son los
v 21
v 22
vectores propios asociados a cada uno de ellos entonces el vector pk  c 1 v 1  k1  c 2 v 2  k2
donde c 1 y c 2 depende de las concentraciones iniciales.
En este ejemplo, la solución es
pk  c 1 0. 7 k
1
1. 5
 c 2 0. 9 k
0
1
∙¿qué pasará a largo plazo?
Puesto que los dos valores propios verifican que | 1 |  1 y | 2 |  1 entonces  k1 → 0 y
 k2 → 0 , es decir, pk → 0 luego la conclusión es que a largo plazo el contaminante se
consigue eliminar.∙