Juegos en Forma Estratbgica de Informacidn Incompleta

Juegos en Forma Estratégica de Información Incompleta
Alvaro J. Riascos Villegas
Universidad de los Andes
Abril 6 de 2010
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Juegos de información incompleta
Un juego de información incompleta BG (o Juego Bayesiano) en
forma estratégica es:
BG = I , (Ai )i 2I , (Xi )i 2I , (π i )i 2I , F
I es un conjunto de jugadores (…nito).
Ai es un conjunto de acciones para cada jugador.
Xi es un conjunto de información para cada jugador.
π i : A X ! R es la utilidad de cada jugador, A = Π Ai , X = Π Xi .
F es una distribución de probabilidad sobre X .
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i 2I
i 2I
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Un juego de informacion incompleta formalmente
La distribución F es el modelo probabilístico del espacio de
información de todos los agentes.
Asumimos que todos los elementos del juego son conocimiento
común.
Esto convierte un problema de información incompleta o asimétrica
en uno de información completa.
Las tres últimas observaciones son la propuesta original de Harsany.
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Un juego de informacion incompleta formalmente
Para simpli…car la exposición, vamos hacer los siguientes supuestos
sobre F .
F tiene una densidad f y f = Π fi donde fi es una densidad sobre Xi .
i 2I
El jugador i utiliza la densidad Π fj para evaluar la información de los
j 6 =i
demás agentes.
Este supuesto quiere decir que la información de los jugadores es
independiente.
Esto no quiere decir que la información de los demás agentes no tenga
consecuencias sobre su utilidad.
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Un juego de informacion incompleta formalmente
Example (Batalla de los sexos modi…cado)
I = f1, 2g .
AM = AH = fB, S g .
Dependiendo del estado del ánimo la mujer puede tener preferencias
distintas por ir al partido o de compras.
XM = fB, S g , XH = fN g .
Solo la mujer sabe al levantarse cual es su estado de ánimo. El
hombre sabe el de él pero no el de ella.
π M , π H : AM
AH
XM
XH ! R
El hombre tiene las mismas preferencias independientemente del
estado de ánimo de la mujer. Formalmente π H no cambia de valor en
su tercera componente.
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Un juego de informacion incompleta formalmente
Example (Batalla de los sexos modi…cado)
Las preferencias de la mujer dependen de su estado de ánimo (las del
hombre son independientes):
π M ( , , B, N ) : AM AH ! R
Hombre
B
S
Mujer
B
3,2 2,1
S
0,0 1,3
Ánimo de ir al partido
π M ( , , S, N ) : AM AH ! R
Hombre
B
S
Mujer
B
1,2 0,1
S
2,0 3,3
Ánimo de ir de compras
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Un juego de informacion incompleta formalmente
Example (Batalla de los sexos modi…cado)
Estructura de información: el hombre le atribuye una probabilidad
subjetiva p de que la mujer amanezca con ánimo de ir al partido.
Formalmente fM , fH son densidades discretas sobre fB, S g , fN g
respectivamente.
= fM ( B ) = p
f H ( S ) = fM ( S ) = 1
f M ( N ) = fH ( N ) = 1
f
f = fM
H (B )
p
fH .
Obsérvese que en este caso la información no solo es privada sino que
la información privada de ninguno de los dos afecta la utilidad del
otro (i.e., valores privados).
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Estrategias y de…niciones de equilibrio
Una estrategia es una función αi : Xi ! Ai .
Una estrategia b
αi : Xi ! Ai domina (débilmente) una estrategia
αi : Xi ! Ai si para toda estrategia α i : X i ! A i y x 2 X :
π i (b
αi (xi ), α i (x i ), x )
π i (αi (xi ), α i (x i ), x )
con desigualdad estricta por lo menos para un α
i
y x.
Obsérvese que la de…nición anterior es equivalente a la siguiente. Una
estrategia b
αi : Xi ! Ai domina (débilmente) una estrategia
αi : Xi ! Ai si para toda acción a i 2 A i y xi 2 Xi :
π i (b
αi (xi ), a i , x )
π i (αi (xi ), a i , x )
con desigualdad estricta por lo menos para un a i y xi .
Una estrategia b
αi : Xi ! Ai es dominante (débilmente) si domina
(débilmente) a toda estrategia αi : Xi ! Ai .
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Estrategias y de…niciones de equilibrio
Example (Batalla de los sexos modi…cado)
Las estrategias son:
αM
αH
: fB, S g ! fB, S g .
: fN g ! fB, S g .
La estrategia αM (B ) = B, αM (S ) = S domina cualquier otra
estrategia para la mujer luego es una estrategia dominante.
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Estrategias y de…niciones de equilibrio
Equilibrio en estrategias dominantes (débilmente): b
α : X ! A es un
equilibrio en estrategias dominantes si para todo i 2 I , b
αi es una
estrategia dominante (débilmente).
Más adelante daremos un ejemplo de un equilibrio en estrategias
dominantes en juegos de información incompleta (el equilibrio en la
subasta al segundo precio).
La importancia del concepto de equilibrio en estrategias dominantes
es doble. De una parte supone una forma débil de racionalidad y de
otra, es independiente de la estructura de información.
La doctrina de Wilson hace referencia a las características deseables
de los mecanismos de asignación de recursos.
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Estrategias y de…niciones de equilibrio
Equilibrio de Nash-Bayesiano. b
α : X ! A es un equilibrio de
Nash-Bayesiano si para todo jugador i 2 I y para todo estrategia
αi : Xi ! Ai y xi 2 Xi :
E i [ π i (b
αi (xi ), b
α i (X i ), xi , X i )jXi
E i [π i (αi (xi ), b
α i (X i ), xi , X i )jXi
= xi ]
= xi ]
En el caso particular en que la estructura de información, hX , F i es
independiente, la última desigualdad la podemos escribir como:
E i [ π i (b
αi (xi ), b
α i (X i ), xi , X i )]
E i [π i (αi (xi ), b
α i (X i ), xi , X i )]
donde el valor esperado se calcula utilizando la densidad f i .
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Estrategias y de…niciones de equilibrio
Example (Batalla de los sexos modi…cado)
Supongamos que:
b
αM
b
αH
: fB, S g ! fB, S g .
: fN g ! fB, S g .
es un equilibrio de Nash-Bayesiano.
Para la mujer, ella no tiene ninguna incertidumbre sobre el estado de
ánimo del hombre. Entonces debe cumplirse:
π M (b
αM (xM ), b
αH (N ), xM , N )
π M (αM (xM ), b
αH (N ), xM , N )]
Como ella tiene una estrategia dominante el candidato a b
αM es:
b
αM (B ) = B, b
αM (S ) = S.
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Estrategias y de…niciones de equilibrio
Example (Batalla de los sexos modi…cado)
Para el hombre, él tiene que calcular su mejor reacción a esta estrategia:
E
αM (XM ), b
αH (N ), XM , N )]
H [ π H (b
E
pπ H (B, b
αH (N ), B, N ) + (1
pπ H (B, αH (N ), B, N ) + (1
αM (XM ), αH (N ), XM , N )]
H [ π H (b
p )π H (S, b
αH (N ), S, N )
p )π H (S, αH (N ), S, N )
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Estrategias y de…niciones de equilbrio
Example (Batalla de los sexos modi…cado)
Supongamos que b
αH (N ) = B, entonces la desigualdad anterior se reduce
a:
pπ H (B, B, B, N ) + (1
p )π H (S, B, S, N )
pπ H (B, S, N, B ) + (1
p )π H (S, S, N, S )
es fácil mostrar que p > 43 .
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Estrategias y de…niciones de equilbrio
Example (Batalla de los sexos modi…cado)
Si p < 34 , la estrategia óptima es b
αH (N ) = S.
Si p =
3
4
existe un equilibrio en estrategias mixtas.
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Estrategias y de…niciones de equilbrio
Example (Competencia imperfecta)
Las …rmas tienen funciones de costos:
ci (qi ) = cqi
c 2 f1, 2g .
El valor de c es común a ambas …rmas.
La …rma 1 está informada del costo pero la …rma 2 no.
La …rma 2 le atribuye una probabilidad subjetiva p de que el costo sea
c = 1 para la …rma 1.
La función de demanda inversa es:
P (Q ) = max fM
dQ, 0g
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Estrategias y de…niciones de equilbrio
Example (Competencia imperfecta)
Representación como un juego de información incompleta:
I = f1, 2g .
A1
A2 = R+
R+ .
X1 = f1, 2g , X2 = fx g .
2
π i : R+
f1, 2g
Para la …rma 1:
fx g ! R es el payo¤ de cada jugador.
π 1 (q11 , q2 , 1, x ) = (M
d (q11 + q2 )
1)q11
π 1 (q12 , q2 , 2, x ) = (M
d (q12 + q2 )
2)q12
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Un Juego de informacion incompleta formalmente
Para la …rma 2:
π 2 (q11 , q2 , 1, x ) = (M
d (q11 + q2 )
1)q2
π 2 (q12 , q2 , 2, x ) = (M
d (q12 + q2 )
2)q2
Obsérvese que el payo¤ de la …rma 2 depende de la información de la
…rma 1. Sin embargo, la información es puramente privada. Esto no
sucedia en el caso de la batalla de los sexos.
Esto pone de mani…esto que en un juego de información incompleta
la información puede ser completamente privada aún cuando la
información privada de cada jugador afecte el payo¤ de los demás
jugadores.
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Un juego de informacion incompleta formalmente
f1 y f2 son probabilidades discretas sobre f1, 2g y fx g
respectivamente.
= f1 (f1g) = p
f 2 (f2g) = f1 (f2g) = 1
f 1 (fx g) = f2 (fx g) = 1
f
2 (f1g)
p
Una estrategia para la …rma 1 son dos niveles de producción q11 y q12
y para la …rma 2 es un nivel de producción q2 .
Supongamos que (q
b11 , q
b12 , q
b2 ) es un equilibrio de Nash - Bayesiano.
Entonces deben cumplirse las siguientes condiciones.
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Un juego de informacion incompleta formalmente
Para la …rma 1, para todo q11 2 R+ y q12 2 R+ ,
(M
(M
d (q
b11 + q
b2 )
d (q
b12 + q
b2 )
1)q
b11
2)q
b12
(M
(M
Para la …rma 2, para todo q2 2 R+ ,
p (M
p (M
d (q
b11 + q
b2 )
d (q
b11 + q2 )
1)q
b2 + (1
1)q2 + (1
d (q11 + q
b2 )
d (q12 + q
b2 )
p )(M
p )(M
1)q11
2)q12
d (q
b12 + q
b2 )
d (q
b12 + q2 )
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2)q
b2
2)q2
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Un juego de informacion incompleta formalmente
Suponiendo que existe una solución interior a los tres problemas de
maximización es fácil mostrar que la solución es:
q
b11 =
q
b12 =
q
b2 =
2M
1 p
6d
2M 4 p
6d
M 2+p
3d
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Example (Subasta al Segundo Precio)
. Vamos a considerar el modelo básico de subastas.
Este es el modelo de valores privados, información independiente y un
único objeto.
También vamos asumir (por simplicidad aunque esto no es importante
para el resultado …nal):
Neutralidad al riesgo.
Simetría de la información. Esto es, Xi y fi es la misma para todos los
agentes.
En particular supongamos que Xi = R+ . La interpretación que
hacemos de la información xi 2 Xi es que esta representa la valoración
(privada) que del objeto que se está subastando tiene cada agente.
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Example
Tenemos un conjunto …nito de participantes I .
Cada agente hace una oferta en un sobre cerrado. El espacio de
aciones de cada agente es R. Es decir, una estrategia para cada
jugador es una función bi : R+ ! R.
El payo¤ de los agentes es:
πi
:
RI
π i (bi , b i , xi , x i ) = xi
I
R+
!R
max fbj g si bi > max fbj g
j 6 =i
π i (bi , b i , xi , x i ) = 0 si bi < max fbj g
j 6 =i
j 6 =i
En caso de empate el objeto se asigna con igual probabilidad a cada
uno de los agentes que quedaron empatadados.
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Example
La expresión del payo¤ pone en evidencia algunos de los supuestos que
hicimos anteriormente (valoración privada y neutralidad al riesgo).
Vamos a demostrar que la estrategia de revelar la verdad para cada
jugador, bi (xi ) = xi es un equilibrio en estrategias dominantes
(débilmente).
Supongamos que cada agente observa su valoración privada y hace
una oferta por el bien.
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Example
Fijemos un agente, digamos el agente i y concentremonos en su
estrategia. Sea Y1 = max fbj g . Y1 determina si el agente i gana o
j 6 =i
no.
bi (xi ) > xi no es racional (en el sentido débil) pues la estrategia bi
que es igual bi en todas partes excepto en xi donde es revelar la
verdadera valoración la domina (débilmente) - disminuye la probabiidad
de ganar cuando la valoración es xi , nunca paga menos y con
probabilidad positiva paga más.
El argumento es independiente de las estrategias utilizadas por los
demás jugadores.
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Example
Si bi (xi ) < xi pueden suceder tres cosas:
Pago
Y1 bi < xi i gana
xi Y1
bi < Y1 < xi i pierde 0
bi < xi
Y1 i pierde 0
Comparando con el resultado que hubiera tenido de utilizar la
estrategia de revelar la verdad, es claro que esta úlitma domina.
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Un juego de informacion incompleta formalmente
Example
¿Donde utilizamos la estructura de información?
¿Donde utilizamos la neutralidad al riesgo?
Formalmente lo que hemos hecho es demostrar que la estrategia
bi (xi ) = xi domina a cualquier otra estrategia bi .Esto es:
π i (xi , b i , xi , x i )
π i (bi (xi ) , b i , xi , x i )
para todo x 2 X y b i (lo que hicimos fue considerar los diferentes
casos de Y1 y mostrar que esta desigualdad se cumplia siempre).
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