Cap´ıtulo V Medidas en el espacio-tiempo: Observaciones

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Capı́tulo V
Medidas en el espacio-tiempo:
Observaciones
Actualmente, es decir a z = 0, la densidad de radiación (correspondiente a la radiación del fondo
cósmica) es muy inferior a la densidad de materia: ΩR << ΩM por lo que podemos despreciar
esta útima y los dos únicos parámetros relevantes son ΩM y ΩΛ . Ası́ podemos representar el
espacio de parametros en un plano ΩM -ΩΛ (ver la Figura V.1). Esto es una buena aproximación
para z < 1000. La lı́nea ΩΛ + ΩM = 1 corresponde al universo plano. Mientras que la lı́nea
ΩT = 2ΩΛ separa el universo acelerado, q0 < 0, del desacelerado, q0 > 0. En las últimas
decadas, los cosmólogos han centrado sus esfuerzos en buscar indicadores que puedan ayudar
a acotar estos parámetros. A medida que se ha logrado reducir los errores, la busqueda se ha
amplidado a la otros parámetros, como la ecuación de estado w ≡ p/ρ de la energı́oscura.
V.1
Indicadores de Edad
Existen varios métodos para medir la edad de las estrellas mas viejas (eg diagrama HR y función
de luminosidad de enanas blancas). La abundancia quı́mica y la radioactividad de elementos
también son indicadores de una edad que es compatible con las edades cosmológicas.
Los lı́mites inferiores a la edad del Universo (por ejemplo de cúmulos de estrellas) descartan los
valores altos de ΩM cuando ΩΛ es pequeña o negativa (ver la Figura V.1), esto es debido a que
predicen una edad del universo t0 pequeña, como ocurria en el caso de EdS en Eq.[IV.26].
V.2
Indicadores de distancia
La idea es encontrar, mediamte relaciones empı́ricas, candelas estandares que nos relacionen
propiedades observacionales (como magnitud aparente o velocidad de rotación) con alguna
propiedad fı́sica (como luminosidad o distancia). Veamos algunos ejemplos.
V.2.1
Estrellas cefeidas y RR Lyrae
Al terminar sus reservas de hidrogeno ciertas estrellas gigantes y supergigantes (como Polaris,
la estrella del polo norte) se vuelven inestables y emiten radiación pulsante. Las variables
Cefeidas tienen periodos de entre 2 y 50 dias, mientras que las estrellas RR Lyrae tienen
periodos del orden de un dia. Su brillo varia un factor dos entre máximo y mı́nimo. Existe una
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Figura V.1: Espacio de parametros ΩΛ como función de ΩM .
Apuntes de Cosmologı́a
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relación entre el periodo de la pulsación y la luminosidad. Las estrellas RR Lyrae tienen una
luminosidad mas bien constante, mientras que la luminosidad de las estrellas Cefeidas aumenta
con el periodo P (en dias):
MV " −1.4 − 2.8 log10 (P )
(V.1)
donde MV es la magnitud absoluta en el filtro V . En ambos casos es posible utilizar estas estrellas como candelas estandares para medir distancias a partir de la relación distancia luminosidad
Eq.[IV.15]. Una vez calibradas, con distancias conocidas, basta medir el periodo y la luminosidad aparente m para encontrar la distancia dL. Hay dos tipos de estrellas cefeidas, llamadas
Cefeidas tipo I y Cefeidas tipo II. Estas últimas residen en zonas con pocos metales y son
más viejas y menos luminosas que las primeras.1
V.2.2
Relación Tully-Fisher
Es una relación empı́rica entre el ancho W de la linea de emisión de 21-cm hidrógeno y
lamagnitud absoluta M (y por tanto luminosidad) en galaxias espirales:
M ∝ log W
(V.2)
Aunque los detalles de la calibración dependen del tipo espectral: Sa, Sb o Sc. Para galaxias
Sb:
MB = −10.2 log10 (V ) + 2.71
(V.3)
donde MB es la magnitud absoluta en la banda B y V la velocidad en km/s. Cuanto mayor
es la masa, y por tanto luminosidad L, mayor es la velocidad de rotación, y por tanto el ancho
de la linea. La medida de W se hace en la parte plana de la curva de rotación (ver §V.3.4).
V.2.3
V.2.5
LV " 2 × 1010 M! (
Supernovas Ia
Las magnitudes aparentes de las supernovas SNIa, si se asumen como candelas estandares con
magnitud absoluta M, siguen la ley Eq.[IV.15] y Eq.[IV.37]:
m(z) = M + 5 log DL (z) + 25 − K(z)
Relación Faber-Jackson
Equivalente a Tully-Fisher para galaxias ellı́pticas
σ
)4
200Km/s
(V.4)
Aqui σ representa la velocidad aleatoria de estrellas en el centro de la galaxia (que se mide del
efecto doppler en el espectro), ver §V.3.5.
V.2.4
Figura V.2: Relación m(z) para supernovas SNIa tomadas como candelas estandares.
Relación Plano fundamental
Tambien conocida como relación del plano fundamental para galaxias elipticas. Es una
relación empı́rica entre la dispersión de velocidades, un radio caracterı́stico r e y el brillo superficial medio asociado Ie :
re ∝ σ 1.3 Ie−0.8
(V.5)
1
Esto llevo a Hubble a estimar que el universo era más pequeño, con una constante H 0 ! 500 Km/s/Mpc,
al creer que todas las cefeidas eran del tipo II, ver §I.4.1.
(V.6)
La Figura V.2 muestra que las SNIa a z ∼ 0.5 son ∆m " 0.2 magnitudes más débiles que las
cercanas si asumimos un modelo plano con ΩΛ " 0. Al incluir un valor de ΩΛ " 0.5 o mayor
podemos hacer compatibles las observaciones. Ello es debido a que ΩΛ > 0 corresponde a una
dL mayor y por tanto a magnitudes mas débiles.
V.3
V.3.1
Indicadores de masa
Función de luminosidad de galaxias
Definimos Función de luminosidad de galaxias Φ(L) como el número de galaxias dN que
hay en el universo por unidad de volumen dV y unidad de luminosidad dL:
Φ(L) =
dN
dV dL
(V.7)
En general es una función del z, tanto por efectos evolutivos intrinsicos como por cambios en
dV y dL debido a la expansión del universo y los filtros de observación.
Apuntes de Cosmologı́a
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Esta es función se puede medir utilizando catalogos de galaxias y su forma se ajusta a la llamada
función Schecter (Schecter 1976):
Φ(L)dL = Φ∗ (L/L∗ )−α exp −L/L∗ dL/L∗
(V.8)
donde L∗ , Φ∗ y α son constantes a determinar observacionalmente. El valor L∗ nos da una
luminosidad carateristica de las galaxias: las abundancia de galaxias más luminosas L > L∗
esta suprimida exponencialmente. Si lo expresamos en términos de la magnitud Eq.[IV.12]:
!
"
Φ(M)dM = 0.4ln(10)Φ∗ 10−0.4(M −M∗ )(α+1) exp −10−0.4(M −M∗ ) dM,
(V.9)
donde M∗ es la magnitud absoluta correspondiente a L∗ . Por ejempo en el catálogo 2dFGRS
(ver http://www.mso.anu.edu.au/2dFGRS/) se encuentra, para magnitudes azules fotograficas
(filtro bJ ):
M∗ − 5 log h = −19.66 ± 0.07
Φ∗ = (1.61 ± 0.08) × 10−2 h3 Mpc−3
α = 1.21 ± 0.03.
(V.10)
(V.11)
(V.12)
Notar como las unidades medidas observacionales de M∗ dependen del valor de H0 en Eq.[I.4].
Esto es debido a que hemos necesitado utilizado la ley de Hubble dL " c z/H0 para relacionar
la magnitud aparente con la magnitud absoluta.2 Por el mismo motivo, Φ∗ depende de h3 . Los
valores anteriores corresponden a un ajuste a a la función de Schecter en el rango:
−16.5 > M − 5 log h > −22
(V.13)
fuera de este rango, la función de luminosidad solo se conoce con grandes incertidumbres.
Podemos usar esta forma analı́tica para calcultar la densidad total de galaxias, extrapolando a
las magnitudes que son más dificiles de observar.
V.3.2
La densidad de luminosidad promedio es:
(V.14)
(V.15)
donde L! es la luminosidad solar.
Es decir de unos 200 millones de luminosidades solares por megaparsec cúbico.
Definimos < M/L > el cociente masa-luminosidad, como
< M/L >=
M/M!
M L!
=
L/L!
L M!
M = L < M/L > (M ' /L')
(V.17)
La densidad de materia, ρM , en forma de estrellas visibles, que denominaremos ρ∗ , será:
dM
>= ρL < M/L > (M ' /L'),
dV
(V.18)
que, utilizando la Eq.[V.15], resulta en:
donde en la segunda igualdad hemos utilizado la función Schecter Eq.[V.8] y Γ es la función Gamma.
Por ejemplo, para el caso de las galaxias del 2dFGRS:
ρL = (1.82 ± 0.17) × 108 hL! Mpc−3
el cociente massa-luminosidad promedio en unidades de masas y luminosodades solares. Notense
que < M/L > es adimensiónal. En otras palabras, < M/L > es el número M de masa solares
M! necesarias para producir una luminosidad solar en una galaxia tı́picas (promedio). Por
tanto podemos escribir la masa promedio M en función de la luminosidad promedio L:
ρ∗ ≡<
Materia estelar y cociente M/L
# ∞
dL
ρL =<
>≡
Φ(L)dL = Φ∗ L∗ Γ(2 + α)
dV
0
Figura V.3: Forma y errores tı́picos en la función de Luminosidad tipo función Schecter.
ρ∗ " (1.82 ± 0.17) × 108 < M/L > hM! Mpc−3 .
(V.19)
Por tanto, en unidades de la masa crı́tica Eq.[III.27]: ρc " 2.78 × 1011 M! h2 /Mpc3 esta
densidad se traduce a:
Ω∗ ≡
ρ∗
" 0.0065 h−1 < M/L >
ρ
(V.20)
Para una galaxia tı́pica tenemos que el cociente luminosidad/masa es, en promedio, unas 15
veces superior a nuestro Sol: < M/L >" 15h, de manera que:
(V.16)
2
Para redshifs pequeños, z < 0.2, estos valores son independientes del modelo cosmológico, puesto que
cualquier distancia radial Eq.[IV.19], reproduce la misma ley de Hubble dL ! c z/H0 , con independencia de los
parametros cosmológicos.
Ω∗ " 0.01
(V.21)
Es decir la densidad de materia en estrellas corresponde un 1% de la densidad crı́tica. Necesitariamos un cociente masa por luminosidad promedio de < M/L >" 1400 para llegar a la
densidad crı́tica.
Apuntes de Cosmologı́a
V.3.3
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E. Gazta~
naga
Densidad bariónica y materia oscura
Las abundancia primordial de nucleos ligeros nos da, a través de la teoria de la nucleosı́ntesis
primordial una estimación para la densidad de materia bariónica (la materia estandar formada por nucleos de la tabla periódica) en Eq.[I.10]:
ΩB " 0.04
(V.22)
Lo cuál indica que puesto que ΩB > Ω∗ en Eq.[V.21], una parte de la materia bariónica
está en forma de materia oscura, es decir que no está en forma de estrellas brillantes. Este
es el primer problema de la materia oscura: la existencia de materia bariónica oscura.
Gran parte de esta materia bariónica oscura pordrı́a estar en forma de gas interestelar e
intergaláctico (incluido el gas en clusters de galaxias). Este gas se detecta en las absorciones
en la linea Ly-α en los especros de quasares, el llamado bosque de Ly-alfa que traza el
gas intergalactico.
V.3.4
r y por tanto la densidad ρ(r) ∝ r −2 y se extiende a un radio r de al menos 10 veces el
radio visible de la galaxia (103 el volumen!). Por tanto esta masa adicional, es un enorme
halo de materia oscura que rodea la galaxia y se diluye con un perfil ρ(r) ∝ r −2 .
En galaxias ellipticas también se encuentran evidencias de grandes halos con masas totales
10 − 30 veces la masa en estrellas. En muchos casos los trazadores de esta materia son cúmulos
globulares, galaxias satétiles o rayos-X calientes. En estos casos la masa se estima a partir
del teorema del virial que relaciona la dispersión de velocidades observada en un sistema de
párticulas con su masa:
2K + φ = 0
(V.25)
$
$
donde K = 1/2 mi Vi2 es la energı́a cinética y φ = i,j Gmi mj /|ri −rj | es la correspondiente
energı́a potencial.
Estas observaciones indican que el cociente masa por luminosidad promedio < M/L > es
unas 10-30 veces superior en la materia oscura que en la materia estelar. Es decir, que:
Ωm " 0.1 − 0.3
Curvas de rotación
Un cuerpo atrapado en una órbita circular de radio r y con velocidad V alrededor de una masa
M está sometido a una aceleración centrı́peta V 2 /r que viene dada por la ley de Newton :
V2
GM
= 2 .
r
r
(V.23)
M=
rV 2
G
(V.24)
En general si tenemos una distribucón de masa M = M(r), tendremos una curva de rotación
V = V (r) como función del radio.
En galaxias espirales, es posible medir (con un radio Telescopio) las curvas de rotación
V = V (r) utilizando los corrimientos Doppler en la linea de emisión de 21 cm que emiten
las nubes de hidrógeno neutro.3 Este hidrógeno se distribuido a lo largo de toda la galaxia
y se extienden a grandes distancias, más allá de las zonas donde es posible detectar luz visible
emitida por las estrellas. ası́ que trazan la masa dinámica más alla de la masa estelar. Estas
curvas de rotación V = V (r) en las galaxias espirales indican, utilizando la ley anterior, que
la masa total en una de estas galaxias podrı́a ser 10 veces superior a la masa en las estrellas
visibles.
EL halo galáctico y teorema del virial
Puesto que las curvas de rotación V = V (r) son planas (constantes como función de r) en las
zonas externas de las galaxias espirales, la masa en Eq.[V.24] debe aumentar como M(r) ∝
3
Esta emisión corresponde al cambio energético del spin del electrón en paralelo a spin en antiparalelo con
respecto al spin del nucleo. Los fotones emitidos viajan libremente por el espacio y la atmosfera terrestre y son
fácilmente detectables con radio telescopios cuya frecuencia de detección se ajusta finamente a 21 cm. Gracias a
esta emisión es más fácil detectar nubes de hidrogeno neutro frio que la luz de procesos mucho más energéticos,
como la de estrellas o nubes moleculares calientes.
(V.26)
Según lo dicho anteriormente, la materia bariónica sólo llega a un 4%, con lo cuál aparece el
segundo problema con la materia oscura: parece que exite materia oscura no bariónica.
La existencia de esta materia oscura no bariónica también es necesaria para explicar la formación de estructuras y observaciones de la dinámica de galaxias y cúmulos de galaxias a
grandes escalas.
V.4
Esto nos permite medir la masa M en función del radio r y V (ley de Keppler):
V.3.5
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Otros métodos
Otros métodos clásicos para encontrar los parámetros cosmológicos incluyen los conteos de
galaxias como funcı́on de la magnitud o las densidades como función del redshift (aunque estos
últimos estás sometidos a grandes incertuumbre en la evolución de las densidades co-móviles).
El número de cúmulos de galaxias como funcion del redshift es otra forma de medir dV /dz,
puesto que la densidad de cúmulos se puede predecir con modelos de formación de estructuras.
El espectro de anisotropias cl en la temperatura de la radición cósmica de fondo (CMB) y el
espectro de fluctuaciones P (k) en los catálogos de galaxias también puede usarse para obtener
lı́mites en los parámetros cosmológicos. Con el primero se puede medir la curvatura Ωk , del
primer pico acustico, y la densidad de bariones ΩB h de la relación entre picos. Del segundo se
puede medir la función de transferencia de CDM, que depende basicamente del producto Ωm h
Apuntes de Cosmologı́a
V.5
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Problemas
1. Asumiendo que es válida la relación Eq[V.1]: a) deducir la distancia a la que se encuentra
una galaxia de magnitud mV = 20.2 ± 0.2 si podemos medir que contiene un cefeida
con periodicidad 84.7 ± 1.3 dias b) estimar el redshift c) Si medimos el redshift, con que
precision podemos encontrar su velocidad peculiar?
2. Predecir la relación Tully-Fisher que se deberia encontrar utilizando el teorema del virial
si asumimos que la masa es proporcional a la distancia. Comparar con la relación Eq.[V.3]
y deducir que conclusiones se sacan sobre el brillo superficial de la galaxias.
3. Calcular el valor de L∗ para el 2dFGRS en Eq.[V.12]. Estimar a que masa deberia corresponder esta luminosidad si Ωm = 0.25.