Ecuaciones cuasi lineales con crecimiento natural: old y new

ECUACIONES CUASI LINEALES CON CRECIMIENTO
NATURAL: OLD Y NEW.
LUCIO BOCCARDO
Granada, 1.6.2007.
Para Don David, catedrático.
1. Introducción
En [1] puede verse:
Si f ∈ L2 (Ω) y a : Ω × IR −→ IR es una función de Carathèodory
verificando 0 < α ≤ a(x, s) ≤ β, ∀x ∈ Ω, ∀s ∈ IR, entonces el funcional
Φ : X ≡ W01,2 (Ω) −→ IR definido por
Z
Z
1
2
Φ(v) =
a(x, v)|∇v| − f (x)v v ∈ X
2 Ω
Ω
alcanza su ı́nfimo; es decir, existe u ∈ W01,2 (Ω) tal que Φ(u) = inf{Φ(v) :
v ∈ W01,2 (Ω)}.
∂
Si además suponemos que existe ∂s
a(x, s) y que está acotada, es
decir,
¯
¯
¯
¯∂
¯ a(x, s)¯ ≤ γ,
¯
¯ ∂s
entonces la función u es una solución débil del problema
1
u ∈ W01,2 (Ω) : −div(a(x, u)∇u) + as (x, u)|∇u|2 = f (x)
2
Respecto de las hipótesis que hemos impuesto al coeficiente a(x, s)
destaquemos que estas pueden contrastarse en un ejemplo sencillo como
es el caso en el que a(x, s) = a0 (x)b(s).
Caso particular de éste es el ejemplo natural a(x, s) = a0 (x)[1 + |s|p ],
p > 0; con lo cual aparece de una forma natural la hipótesis
as (x, s)s ≥ 0
El problema de contorno general es
u ∈ W01,2 (Ω) : A(u) + b(x, u, ∇u) = f (x)
con
• A(u) = −div a(x, u, Du), un operador de Leray-Lions verificando para ciertos α, β > 0,
a(x, s, ξ) · ξ ≥ α|ξ|2 ,
y
|a(x, s, ξ)| ≤ β(s)|ξ|,
1
2
L. BOCCARDO
para x ∈ Ω y cualesquiera s ∈ IR y ξ ∈ IRN ,
• f ∈ Lm (Ω), m ≥ 1.
• b(x, s, ξ) es una función de Carathèodory verificando, para a.e.
x ∈ Ω, y cualquier s ∈ IR y ξ ∈ IRN .
|b(x, s, ξ)| ≤ g(s)|ξ|2 ,
∃σ : |s| ≥ σ⇒|b(x, s, ξ)| ≥ ν|ξ|2
g(s) continua;
[hace falta si f ∈ L1 (Ω)],
Nota 1.1. Desde los artı́culos con Murat-Puel, Bensoussan-Murat y
Gallouet a los artı́culos con Andreu y Segura.
2. Nueva prueba de [3], pero con f ∈ L1 (Ω).
Por comodidad y sin pérdida de generalidad, trabajamos en el marco
más sencillo con f ≥ 0 . Consideramos los problemas aproximados:

1

 un ∈ W01,2 (Ω) : A(un ) + [b(x, un , Dun ) + un ] = fn , en Ω;
n
(2.1)


un = 0, sobre ∂Ω.
donde fn = Tn (fn ). Es conocido que existe una solución un ≥ 0 de
estos problemas aproximados.
2.1. Clásico.
Lema 2.1 (B-Gallouet).
kun kW 1,2 (Ω) ≤ R.
0
Nota 2.2. Ası́ podemos suponer que
un * u.
Demostración. j ≥ σ
Z
Z
Z
1
a(x, un , Dun )DTj (un )+ [b(x, un , Dun )+ un ]Tj (un ) = fn Tj (un )
n
Ω
Ω
Z
Z
Z
|DTj (un )|2 +
α
Ω
b(x, un , Dun )Tj (un ) ≤ j
{j<|un |}
Z
|Dun |2 + ν j
α
{|un |≤j}
Entonces
Z
|Dun |2 =
Ω
Z
|Dun |2 ≤ j
Z
2
|Dun | +
{j<|un |}
|f |
Ω
|f |
Ω
{j<|un |}
Z
{|un |≤j}
Z
Ω
j
1
|Dun | ≤ [ + ]
α ν
Z
2
|f |
Ω
ECUACIONES CUASI LINEALES CON CRECIMIENTO NATURAL: OLD Y NEW. 3
Lema 2.3 (clásico y [2]).
Z
1
|[b(x, un , Dun ) + un ]| ≤
n
{x∈Ω:k≤|un (x)|}
Z
|f |
{x∈Ω:k≤|un (x)|}
Demostración.
¯ Z
Z
¯
1
1
1
¯
a(x, un , Dun )DT1 ( [un − Tk (un )]) + [b(x, un , Dun ) + un ]T1 ( [un − Tk (un )])
¯
²
n
²
¯
Ω
¯ Ω Z
¯
1
¯ = fn T1 ( [un − Tk (un )])
¯
²
¯ Ω
Z
Z
1
1
1
[b(x, un , Dun ) + un ]T1 ( [un − Tk (un )]) ≤ |f |T1 ( [un − Tk (un )])
n
²
²
Ω
Ω
² → 0⇒
Z
Z
1
|[b(x, un , Dun ) + un ]| ≤
n
|f |
{x∈Ω:k≤|un (x)|}
{x∈Ω:k≤|un (x)|}
Lema 2.4 ([2, 4]).
Dun (x) → Du(x),
a.e. x ∈ Ω.
Demostración.
Z
Z
Z
1
a(x, un , Dun )DTh [un −u]+ [b(x, un , Dun )+ un ]Th [un −u] = fn Th [un −u]
n
Ω
Ω
Ω
Z
[a(x, un , Dun ) − a(x, un (x), Du(x))]D[un − u]
≤ 2hkf k1
{|un −u|≤h}
Z
−
a(x, u, Du)DTh [un − u]
Ω
Entonces (0 < θ < 1)
¯ Z
¯
¯ {[a(x, un , Dun ) − a(x, un (x), Du(x))]D[un − u]}θ
¯
¯ Ω
Z
¯
¯
¯ =
{[a(x, un , Dun ) − a(x, un (x), Du(x))]D[un − u]}θ +
¯
¯ {|un −u|≤h}
Z
¯
¯
¯
{[a(x, un , Dun ) − a(x, un (x), Du(x))]D[un − u]}θ
¯
¯ {h<|u −u|}
¯ ³n
Z
´θ
¯
¯ ≤ 2hkf k − a(x, un (x), Du(x))DTh [un − u] |Ω|1−θ + (C1 R2 )θ |{h < |un − u|}|1−θ
¯
1
¯
Ω
4
L. BOCCARDO
Por tanto, en casi todo punto x,
{[a(x, un (x), Dun (x)) − a(x, un (x), Du(x))]D[un (x) − u(x)]}θ → 0
que implica ([Leray-Lions])
Dun (x) → Du(x).
Corolario 2.5. a(x, un , Dun ) * a(x, u, Du) en L2 (Ω).
Como a(x, un , Dun ) * a(x, u, Du) en L2 , y [b(x, un , Dun ) + n1 un ]φ ≥
0, ∀ 0 ≤ φ ∈ W01,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω), teniendo en cuenta el Lema de Fatou
en la identidad
Z
Z
Z
1
a(x, un , Dun )Dφ + [b(x, un , Dun ) + un ]φ = fn φ,
n
Ω
Ω
Ω
obtenemos
Z
Z
a(x, u, Du)Dφ +
Ω
Por otro lado, si G(t) =
Z
b(x, u, Du)φ ≤
Ω
Rt
0
f φ.
Ω
g(s) ds, podemos tomar como función test
1
1
e− α G(un ) e α G(Tk (u)) φ
y obtenemos
Z
¯
1
1
¯ 1
a(x, un , Dun )Dun g(un )e− α G(un ) e α G(Tk (u)) φ
¯ −
¯ α
¯
Ω
¯ 1Z
1
1
¯
a(x, un , Dun )DTk (u)g(Tk (u))e− α G(un ) e α G(Tk (u)) φ
¯ +
¯ α
¯ ZΩ
¯
¯ + a(x, u , Du )Dφe− α1 G(un ) e α1 G(Tk (u))
¯
n
n
¯
¯ Z
¯ Ω
¯ + [b(x, u , Du ) + 1 u ]e− α1 G(un ) e α1 G(Tk (u)) φ
n
n
n
¯
n
¯
¯ ΩZ
¯
¯ = f e− α1 G(un ) e α1 G(Tk (u)) φ,
n
¯
¯
Ω
ECUACIONES CUASI LINEALES CON CRECIMIENTO NATURAL: OLD Y NEW. 5
es decir,
¯ Z
¯
1
1
−α
G(un ) α
G(Tk (u))
¯
a(x,
u
,
Du
)Dφe
e
n
n
¯
¯ Ω
Z
¯
¯ 1
1
1
−α
G(un ) α
¯ +
e G(Tk (u)) φ
¯ α a(x, un , Dun )DTk (u)g(Tk (u))e
¯
¯ ZΩ
1
1
¯
¯ = fn e− α G(un ) e α G(Tk (u)) φ
¯
¯ ΩZ
¯
1
1
¯ 1
¯ +
a(x, un , Dun )Dun g(un )e− α G(un ) e α G(Tk (u)) φ
¯ α
¯
¯ RΩ
¯ − [b(x, un , Dun ) + 1 un ]e− α1 G(un ) e α1 G(Tk (u)) φ
n
¯ Ω
Usando otra vez Fatou cuando n → ∞, deducimos
¯ Z
¯
1
1
¯
a(x, u, Du)Dφe− α G(u) e α G(Tk (u))
¯
¯ Ω
Z
¯
¯ 1
1
1
−α
G(u) α
G(Tk (u))
¯ +
a(x,
u,
Du)DT
(u)g(T
(u))e
e
φ
k
k
¯ α
¯
¯ ZΩ
1
1
¯
¯ ≥ f e− α G(u) e α G(Tk (u)) φ
¯
¯ ΩZ
¯
1
1
¯ 1
¯ +
a(x, u, Du)Du g(u)e− α G(u) e α G(Tk (u)) φ
¯ α
¯
¯ RΩ
¯ − b(x, u, Du)e− α1 G(u) e α1 G(Tk (u)) φ.
¯ Ω
Es posible usar el Teorema de Lebesgue por que
1
2
|Du DTk (u)g(Tk (u))| ≤ |Du | g(u),
Ası́ (k → ∞)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
e α G(Tk (u))
1
e α G(u)
Z
1
1
a(x, u, Du)Dφe− α G(u) e α G(u)
Z
1
1
1
a(x, u, Du)Du g(u)e− α G(u) e α G(u) φ
+
α
ZΩ
1
1
≥ f e− α G(u) e α G(u) φ
Ω
ΩZ
1
1
1
a(x, u, Du)Du g(u)e− α G(u) e α G(u) φ
+
α
RΩ
1
1
− b(x, u, Du)e− α G(u) e α G(u) φ
Ω
≤1
6
L. BOCCARDO
¯ Z
Z
¯
1
¯
a(x, u, Du)Dφ +
a(x, u, Du)Du g(u)φ
¯
α
¯ Ω
Ω
¯ Z
Z
Z
¯
1
¯ ≥ fφ +
a(x, u, Du)Du g(u)φ − b(x, u, Du)φ
¯
α
¯ Ω
Ω
Ω
Es decir,
Z
Z
a(x, u, Du)Dφ ≥
Z
fφ −
Ω
Ω
b(x, u, Du)φ.
Ω
En consecuencia, hemos probado:
Teorema 2.6. ∃ u ∈ W01,2 (Ω) tal que
Z
Z
Z
a(x, u, Du)Dφ + b(x, u, Du)φ = f φ,
Ω
Ω
para cualquier φ ∈
W01,2 (Ω)
Ω
∞
∩ L (Ω).
3. Aplicación a un problema singular : weak Arcoya’s
problem
Consideremos ahora los problemas:
uε ∈ W01,2 (Ω) : −div(M (x)Duε ) +
(3.1)
|Duε |2
=f
uε θ
0<θ<1
2N
N +2
f ∈L
(Ω)
f ≥ 0 ⇒ uε ≥ 0, kuε kW 1,2 (Ω) ≤ L.
0
(3.2)
uε ∈ W01,2 (Ω) : −div(M (x)Duε ) +
Lema 3.1. uε * u,
Z
Ω
|Duε |2
≤
(ε + uε )θ
|Duε |2
=f
(ε + uε )θ
Z
|f |
Ω
y Duε (x) → Du (x), a.e. x ∈ Ω y
Z
Z
Z
Z
|Duε |2
|Duε |2
|Duε |2
≤ lim inf
≤ lim inf
≤ |f |
lim inf
(ε + uε )θ
(ε + uε )θ
(ε + uε )θ
u>0
Lema 3.2.
Ω
Z
uε ≥j
Ω
Z
|Duε |2
|Duε |2
L2
≤
≤ θ
(ε + uε )θ
jθ
j
uε ≥j
Z
L2
|Du|2
≤
uθ
jθ
u≥j
Ω
ECUACIONES CUASI LINEALES CON CRECIMIENTO NATURAL: OLD Y NEW. 7
1
(ε + t)1−θ
: Hε0 (t) =
α(1 − θ)
α(ε + t)θ
(t)1−θ
1
H0 (t) =
: H00 (t) =
α(1 − θ)
α(t)θ
Función test:
Hε (t) =
+
e−Hε (uε ) e[Hε (Tj (u))−Hε (1/k)] φ,
φ ≥ 0,
φ ∈ W01,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω).
Usando que χ{u> 1 } → χ{u>0} si k → ∞, Lebesgue a la izquierda y
k
Fatou a la derecha y tomando lı́mites cuando j → ∞⇒,
Z
Z
¯ Z
¯
1
¯
¯ u>0 M DuDu αuθ φ + M DuDφ ≥ f φ
¯
Ω
Ω
¯
Z
2
¯
1
|Du
|
¯ + {M DuDu
φ−
φ}
¯
αuθ
uθ
¯
u>0
o sea,
Z
(3.3)
Z
M DuDφ +
Z
|Du |2
φ≥
uθ
f φ.
u>0
Ω
Ω
Pero también tenemos
(3.4)
Z
Z
Z
Z
Z
|Duε |2
|Duε |2
M Duε Dφ +
φ ≤ M Duε Dφ +
φ = f φ.
(ε + uε )θ
(ε + uε )θ
Ω
u>0
Ω
Ω
Fatou y los lemas anteriores implican
Z
Z
Z
|Du |2
φ ≤ f φ.
(3.5)
M DuDφ +
uθ
u>0
Ω
Ω
Juntando (3.3) y (3.5) concluimos:
Teorema 3.3. ∃u ∈ W01,2 (Ω) :
Z
Z
Z
|Du |2
M DuDφ +
φ = fφ
uθ
u>0
Ω
Ω
∀φ ∈ W01,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω).
4. Desafı́o andaluz
Puntos crı́ticos de
Z
Z
1
1
θ
2
a0 (x)[1 + |s| ]|Dv| −
|v|p .
2
p
Ω
Ω
Ω
8
L. BOCCARDO
References
[1] Arcoya, D. y Boccardo, L. Introducción al estudio de la ecuación de Euler de
algunos funcionales del Cálculo de Variaciones. Notas del Ciclo de Conferencias
organizado por el Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de
Granada e impartido por Lucio Boccardo en abril de 1995.
[2] Boccardo, L. y Gallouët, T. Strongly nonlinear elliptic equations having natural
growth terms and L1 data, Nonlinear Anal. TMA 19 (1992), 573579.
[3] Boccardo,L., Murat, F. y Puel, J.P., Existence de solutions non bornèes pour
certaines equations quasi linèaires, Portugal. Math. 41 (1982), 507534.
[4] Boccardo, L. y Murat, F. Almost everywhere convergence of the gradients of
solutions to elliptic and parabolic equations Nonlinear Anal. TMA 19 (1992),
581597.
L. Boccardo. Dipartimento di Matematica,
Universitá di Roma 1, Piazza A. Moro 2, Roma.
E-mail address: [email protected]
tel.
(+39) 06 4991 3202