PREPARACIÓN DE LA SESION DOCENTE 2012 1. TITULO: INTERFERENCIA ÓPTICA. 2. PROPÓSITOS Y FUNDAMENTACION TEÓRICA 2.1. PROPÓSITOS 2.1.1. Comprender el fenómeno de interferencia óptica. 2.1.2. Identificar las condiciones para que se dé el fenómeno de la interferencia óptica. 2.1.3. Conocer la clasificación de los sistemas interferométricos. 2.1.4. Comprender el funcionamiento, clasificación y aplicaciones de los principales interferómetros. 2.1.5. Entender el fenómeno de interferencia en películas dieléctricas con dos y múltiples haces. 2.2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA (ver anexo 1.). INTRODUCCIÓN. 2.2.2. CONSIDERACIONES GENERALES 2.2.3. CONDICIONES PARA LA INTERFERENCIA 2.2.4. INTERFEROMETROS DE DIVISION DE FRENTE DE ONDA. 2.2.4.1. Experimento de Young 2.2.4.2. Espejo doble de Fresnel. 2.2.4.3. Prisma de Fresnel. 2.2.4.4. Espejo Lloyd. 2.2.5. INTERFEROMETROS DE DIVISION DE AMPLITUD. 2.2.5.1. Interferómetro de Michelson. 2.2.5.2. Interferómetro de Mach-Zehnder 2.2.5.3. Interferómetro de Sagnac. 2.2.5.4. Interferómetro de Pohl. 2.2.6. PELÍCULAS DIELÉCTRICAS – INTERFERENCIA DE DOS HACES. 2.2.6.1. Franjas de igual inclinación. 2.2.6.2. Franjas de igual espesor. 2.2.7. TIPOS Y LOCALIZACIÓN DE LAS FRANJAS DE INTERFERENCIA. 2.2.8. INTERFERENCIA CON HACES MULTIPLES. 2.2.8.1. Interferómetro de Fabry –Perot. 2.2.9. ACTIVIDADES 2.2.9.1. Resumen de Fórmulas. 2.2.9.2. Preguntas Tipo Selección Múltiple con Única Respuesta 2.2.9.3. Crucigramas. 2.2.9.4. Problemas Resueltos 2.2.9.5. Problemas Propuestos 2.2.9.6. Experimentos. 2.2.1. 3. ESTRATEGIA PEDAGÓGICA. Este tema se desarrollará con una exposición por parte del profesor, con ayuda de un proyector (Video Beam) y el tablero según sea necesario, en donde se expondrán los conceptos más importantes, deducciones, demostraciones, problemas aplicativos y actividades de refuerzo y de síntesis. Adicionalmente se realizarán algunos experimentos prácticos que contribuyan a comprender con mayor facilidad los conceptos de este tema. El estudiante contará con notas de clase del profesor facilitadas por él en donde se encuentra el tema desarrollado junto con las actividades a desarrollar en clase, igualmente las actividades extraclase. Adicionalmente habrá dentro de las actividades problemas modelos resueltos para que el estudiante los analice y tenga recursos que le permita enfrentarse a los problemas propuestos. 4. RECURSOS DIDÁCTICOS 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 1 PROYECTOR – VIDEO BEAM EXPERIMENTOS DIDÁCTICOS SIMULACIONES. VIDEOS. PREPARACIÓN DE LA SESION DOCENTE 2012 5. EVALUACION Y ACTIVIDADES DE RETROALIMENTACION. (ver anexo 2.) 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. RESUMEN DE FÓRMULAS. PREGUNTAS TIPO SELECCIÓN MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA CRUCIGRAMAS. PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS EXPERIMENTOS 6. BIBLIOGRAFIA. 6.1. Libros 6.2. EUGENE HECHT. Optics. Ed. Addison –Wesley. ISBN 0-321-18878-0. pp. 385-438. 2002. 6.3. MAX BORN and EMIL WOLF. Principles of Optics. Ed. Cambrige University Press. ISBN 0-521-64222-1. pp. 286-409. 2005. 6.4. BAHAA E. A. SALEH and MALVIN CARL TEICH. Fundamentals of Photonics. Ed. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-2-13748. pp. 63-77. 1991. 6.5. HNABOOK OF OPTICS –VOLUME I. Fundamentals, techniques and Design. Sponsored by the OSA. Part 2. Chapter 2. Ed. McGraw-Hill. ISBN 0-07-047740-7. 1995. 6.6. P. HARIHARAN. Optical Interferometry. Ed. Academy Press(An Imprint of Elsevier Science). ISBN 0-12-311630-9. 2003. 6.7. DANIEL MALACARA et. al. Interferogram Analysis for Optical testing. Ed. Taylor & Francis. ISBN 1-57444-682-7. 2005. 6.8. Artículos. 6.8.1. R. N. Wolfe y F. C. Eisen, Irradiance Distribution in a Lloyd Mirror Interference Pattern. Opt. Soc. Am. 38, 706 (1948). 6.8.2. H. D. Polster, Multiple Beam Interferometry. Appl Opt. 8, 522 (1969). 6.8.3. J. M. Burch. Nature, 171,889 (1953). 6.8.4. J. M. Burch. J. Opt. Soc. Am., 52, 600 (1962). 6.8.5. R. M. Scott, Scatter Plate Interferometry, Appl. Opt. 8, 531 (1969). 6.8.6. J. B. Houston, Jr. How to Make and Use a Scatterplate Interferometer, Optical Spectra, pag. 32, Junio, 1970. 6.9. Link de internet 6.9.1. 6.9.2. 6.9.3. 6.9.4. 6.9.5. 6.9.6. 6.9.7. 2 http://www.fisica.ru/dfmg/viewhw3.php?proj_ID=881&t_id=2137&title=%D3PTICA http://www.ub.edu/javaoptics/ http://en.wikipedia.org/wiki/Interference_%28wave_propagation%29 http://fismoderna.wikispaces.com/Experimento+de+Michelson-Morley http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/interferencia_0/interferencia_0.htm http://www.olympusmicro.com/primer/java/doubleslit/index.html http://www.olympusmicro.com/primer/java/interference/index.html APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 1. INTRODUCCIÓN. 2012 Consideremos dos fuentes puntuales S1 y S 2 emitiendo ondas Una de las manifestaciones más comunes de la interferencia óptica son los intrincados colores que resplandecen sobre una mancha de aceite en el pavimento asfaltico mojado o también los presentes en una pompa de jabón. monocromáticas (una frecuencia) de la misma frecuencia en un medio homogéneo. Además, consideramos que la separación a sea mucho más grande que . Coloquemos el punto P lo mas lejos de las fuentes de tal forma que podamos considerar que los frentes de ondas sean planos en P . (a) (b) Figura 1. Interferencia óptica en pompas de jabón(a), película de aceite (b). (Las imágenes del texto se tomaron de la Bibliografía relacionada) Este problema esta de alguna manera relacionado con la interacción de varias ondas en el agua (ver figura 1), en donde estas al superponerse se pueden anular completamente. Dependiendo de la frecuencia y la separación de la dos fuentes puntuales puede generarse un patrón muy particular (ver figura 2). Figura 3. Dos fuentes puntuales superpuestas espacialmente. Por facilidad consideraremos ondas linealmente polarizadas de la forma E1 (r , t ) E01 cos(k1 r wt 1 ) E2 (r , t ) E02 cos(k2 r wt 2 ) y La irradiancia en P esta dada por I v E 2 , como solo nos concierne la irradiancias relativas en el mismo medio, no tendremos en cuenta por el momento el factor v puesto que es solo un factor multiplicativo y trabajaremos como I E 2 , promedio en el tiempo de la magnitud de la intensidad Figura 2. Interferencia de dos fuentes puntuales. Los fenómenos que provienen de la interferencia óptica son mucho más fáciles interpretarlos desde la teoría ondulatoria de la naturaleza electromagnética de la luz. La expresión que describe la perturbación óptica es la ecuación diferencial parcial homogénea de segundo orden, la cual obedece al importante principio de superposición 2 E E o o 2 t 2 I E2 E E Quedando De acuerdo con el principio de superposición, la intensidad del campo eléctrico E , en un punto en el espacio, está dada por 4.3 1014 Hz un 2 I E 2 E12 E22 2 E1 E2 El último término de la irradiancia resultante se conoce como término de interferencia, para evaluarlo E1 E2 E01 E02 cos(k1 r wt 1 ) cos(k2 r wt 2 ) o E1 E2 E01 E02 cos(k1 r 1 )cos(wt ) sen(k1 r 1 )sen(wt ) cos(k2 r 2 )cos( wt ) sen(k2 r 2 )sen(wt ) Teniendo en cuenta que el promedio en el tiempo de una función tiempo sumamente rápido de a 7.5 1014 Hz haciendo que el campo real sea f (t ) 1 T El periodo de la función armónica es muy pequeño t T f (t ' ) dt ' t comparado con T . Después de multiplicar y sacar promedio del término de interferencia queda E1 E2 12 E01 E02 cos(k1 r 1 k2 r 2 ) Donde se utilizó cos wt , sen wt 2 En gran parte el estudio de la interferencia óptica se puede realizar sin especificar la forma del frente de onda, pues sus resultados pueden ser aplicados en forma general. f t , sobre un intervalo T es , pero la perturbación óptica (campo eléctrico), una cantidad prácticamente indetectable. Por otro parte la existencia de una gran cantidad de detectores (fotoceldas, bolómetros, emulsiones fotográficas, ojos), que detectan la irradiancia (promedio en el tiempo de la intensidad luminosa), en un tiempo conocido como tiempo de integración que varía dependiendo de la rapidez de este dispositivo. Por tanto, es conveniente para el estudio de la interferencia óptica atacar el problema por medio de la irradiancia. 1 1 La irradiancia queda I I1 I 2 I12 2. CONSIDERACIONES GENERALES en 2 Por lo tanto I E 2 E12 E22 2E1 E2 2 B 1 ; B o o 2 ; c t o o Así mismo, la interferencia óptica es una interacción de dos o más ondas de luz que producen una irradiancia resultante, la cual no es igual a la suma de la irradiancias de sus componentes. varia 1 2 Por tanto, la inestabilidad del campo eléctrico resultante E , en punto del espacio donde dos o más ondas de luz se superponen, es igual a la suma vectorial de las perturbaciones constitutivas individuales. E E1 E2 E3 E E E E 1 2 2 1 2 el hecho y senwt cos wt 0, término de interferencia queda. de que por tanto el APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 I12 E01 E02 cos , donde k1 r 1 k2 r 2 , es la diferencia de fase. La cual proviene de combinar una diferencia de longitud de trayectoria y una diferencia de fase inicial. Analizaremos por ahora el caso donde E01 es paralela a E02 , bajo esta condición se puede dar un tratamiento escalar 2012 De la cual se deduce que I min 0 y I max 4 I 0 Lo visto anteriormente es igualmente valido para las ondas esféricas emitidas por S1 y S 2 . Tales ondas se pueden expresar como E1 (r1 , t ) E01 (r1 )exp[i(kr1 wt 1 )] I12 E01 E02 cos , esta ecuación se puede escribir de una forma más conveniente, si y E2 (r2 , t ) E02 (r2 )exp[i(kr2 wt 2 )] Los termino r1 y r2 son los radios de los frentes de onda esféricos que se superponen en P . En este caso I1 E12 2 01 E 2 y I 2 E22 2 02 E 2 k (r1 r2 ) (1 2 ) Bajo las condiciones en que la separación entre S1 y S 2 sea pequeña Por tanto el término de interferencia queda comparada con r1 y r2 y cuando además la región de interferencia sea I12 2 I1I 2 cos pequeña en el mismo sentido. Bajo esta circunstancias puede considerarse que las amplitudes de los campos sean independientes de la posición y si En donde la irradiancia total es además las fuentes emisoras son de igual intensidad I1 I 2 I 0 tenemos que I I1 I 2 2 I1I 2 cos I 4 I 0 cos 2 12 k (r1 r2 ) (1 2 ) Los máximos de irradiancia ocurren cuando 2m Siempre que m 0, 1, 2, 3, Los mínimos de irradiancia ocurren cuando (2m 1) Figura 4. Variación de la intensidad como una función de la diferencia de fase entre dos ondas interfiriendo. Un máximo de irradiancia se obtiene cuando cos 1 Siempre que Teniendo en cuenta la definición de pueden rescribir. m 0, 1, 2, 3, , las ecuaciones anteriores se Máximo cuando: (r1 r2 ) [2 m ( 2 1 )] k Vemos que la diferencia de fase es un múltiplo entero de 2 y por tanto las perturbaciones están en fase. Se habla entonces de interferencia constructiva total. Mínimo cuando: (r1 r2 ) [ (2m 1) ( 2 1 )] k Un mínimo de irradiancia se obtiene cuando cos 1 Cualquiera de estas ecuaciones define una familia de superficies, cada una de las cuales es un hiperboloide de revolución. Los vértices de los hiperboloide están separados por distancias iguales. Los focos están Osea cuando Osea cuando 0, 2 , 4 , I max I1 I 2 2 I1I 2 , 3 , 5 , I min I1 I 2 2 I1I 2 Vemos que la diferencia de fase es un número impar de y por tanto las localizados en S1 y S 2 . Si la ondas están en fase al salir del emisor 2 1 0 , las ecuaciones anteriores se simplifican a, o perturbaciones están 180 fuera de fase. Se habla entonces de interferencia destructiva total. Cuando cos 0 Ósea cuando , 3 , 5 , 2 2 2 (r1 r2 ) (r1 r2 ) I I1 I 2 2 m m , k superficies de irradiancia máxima (2m 1) (2m 1) , superficies de irradiancia mínima. k 2 Para valores intermedios fuera de fase. 0 cos 1 I1 I 2 I I max Interferencia constructiva 0 cos 1 I1 I 2 I I min Interferencia destructiva Cuando las amplitudes de las ondas que llegan a P son iguales, es decir E01 E02 entonces I1 I 2 I 0 , la ecuación de se puede escribir I 2 I 0 1 cos 2 I 4 I 0 cos 2 2 Figura 5. Superficies de interferencias de dos ondas esféricas. En la siguiente figura5(a) se muestra unas pocas superficies de irradiancia máximas (ver Si colocamos una pantalla de observación en cualquier dirección de corte, en la región de interferencia, se verán zonas claras y oscuras, conocidas como franjas de interferencia, su forma dependerá de APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 la dirección de corte. En la figura 5(b) se observan franjas de interferencia cuya dirección de corte contiene las dos fuentes. 3. CONDICIONES PARA LA INTERFERENCIA Las fuentes deben ser coherentes. Que la diferencia de fase se mantenga constante. Las dos fuentes deben tener casi la misma frecuencia. Es muy conveniente utilizar una fuente para producir de ella dos fuentes secundarias coherentes. Se obtendrán patrones más claros (máximo contraste) si las amplitudes de las ondas son iguales. La interferencia de la luz polarizada. Leyes de Fresnel –Arago. 2012 diferencia de camino entre los rayos a lo largo de S1 P y S 2 P se puede obtener, con buena aproximación, trazando una línea perpendicular desde S 2 hasta S1 P (B). Esta diferencia de camino está dada por S B S P S P 1 1 S B r r o 2 1 1 2 Teniendo en cuenta la aproximación la distancia de la pantalla a la fuente la diferencia de camino se puede expresar como ya que sen r1 r2 a Observemos que tan sen Figura 6. Interferencia de luz polarizada I12 0 r1 r2 y así r1 r2 m ym y no resultan franjas. Dos estados de polarización lineal coherentes paralelos pueden interferir en una misma región del espacio. Dos estados linealmente polarizados de luz natural (no coherente) no pueden interferir. Consideremos una onda plana monocromática iluminando una rendija larga y angosta. s m a La anterior relación da la posición de la m-ésima franja brillante sobre la pantalla, si contamos como el máximo en 0 como la franja cero. La posición angular de la franjas es 4. INTERFEROMETROS DE DIVISION DE FRENTE DE ONDA. 4.1. Experimento de Young a y s Conocemos que la interferencia constructiva ocurre cuando Dos estados de polarización lineal coherentes ortogonales no pueden interferir en el sentido de que y s m m a Si obtenemos el espacio entre franjas consecutivas en la pantalla. s s ym1 ym (m 1) m a a Si tenemos en cuenta la diferencia de fase y s a k (r1 r2 ) y la intensidad para la interferencia de dos ondas esféricas en el infinito, la k (r1 r2 ) Siempre que 2 los dos haces sean coherentes y tengan irradiancia iguales I o . Con cual podemos reescribir como Figura 7. Esquema del experimeto de Young. I 4 I o cos 2 a s De esa rendija primaria emergerá una onda cilíndrica; y supongamos que esta onda, a su vez, cae en don rendijas S1 y S 2 muy juntas, angostas y r 1 r2 y paralelas, como se muestra en la figura 7. Cuando exista simetría los segmentos del frente de onda primario que llegan a las dos rendijas estarán exactamente en fase, y las rendijas constituirán dos fuentes secundarias coherentes. Se espera que donde quiera que las ondas que vienen de S1 y S 2 se superpongan, ocurrirá interferencia (siempre que la La irradiancia resultante queda I 4I o cos2 ya s diferencia de camino óptico sea menor que la longitud de coherencia). Consideremos la construcción que se muestra en la figura 8. Figura 9. Franjas de interferencia en el experimento de young. Figura 8. Diagrama de Experimento de Young. 3 En una situación realista la distancia de las fuentes hasta las pantallas sería larga en comparación con las distancia a entre las dos rendijas, y El comportamiento de esta ecuación, se puede observar en la figura 10(a), todas las franjas estarían bastante cerca del centro O de la pantalla. La comportamiento de esta función puede ser obtenida si realizamos un barrido con un detector, como en la figura 9. donde los máximos consecutivos están separados por y . El APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 Para el m-ésimo orden de interferencia m longitudes de onda enteras caben dentro de la distancia r1 r2 . Por ejemplo para m 1 la diferencia de camino es igual una longitud de onda en la figura 9. , como se muestra 2012 Donde s es la distancia entre el plano de las dos fuentes virtuales ( S1 y S 2 ) y la pantalla de observación. 4.3. Prisma de Fresnel. Figura 10. (a) Irradiancia versus separacion del las franjas. (b) separacion de la franjas versus separación de las aberturas. Este interferómetro se puede montar con relativa facilidad. Las partes necesarias son: una fuente intensa de luz, seguida de una celda de agua con el propósito de refrigerar si es necesario. La luz de la lámpara sino es monocromática (un solo color) se puede obtener con un filtro de color colocado en frente de la lámpara. Pero si contamos con un láser de no habría necesidad de un filtro de color. Ver figura 11. Figura 13. Biprisma de Fresnel. Este interferómetro consiste en dos prismas unidos en las bases como se muestra en la Figura 13. El frente de onda cilíndrico llega a ambos prismas. La porción superior del frente de onda se refracta hacia abajo, mientras que el segmento inferior se refracta hacia arriba. En la región de superposición ocurre la interferencia. Aquí de nuevo, existen dos fuentes virtuales, S1 y S 2 , separadas por una distancia a . La separación de las franjas es la misma que para los anteriores interferómetros. 4.4. Espejo Lloyd. Figura 11. Montaje para estudiar el experimento de Young. Figura 14. Espejo Lloyd El principio físico y las consideraciones matemáticas se aplican directamente a otros interferómetros de división de frente de onda. Entre ellos están los siguientes: 4.2. Espejo doble de Fresnel. Consta de una pieza de dieléctrico o metal que sirve como espejo, del cual se refleja una porción del frente de onda cilíndrico que sale de la rendija S , como muestra la figura 14. La otra porción del frente de onda viaja directamente de la rendija a la pantalla. Para la separación a , entre las dos ondas coherentes, tomamos la distancia entre la rendija real y su imagen S1 en el espejo. El espacio entre las franjas es también s a . La característica que distingue este dispositivo es que a incidencia rasante fase de i 90o el haz reflejado sufre un cambio de 180o , por tanto la diferencia de fase entre los dos haces es k (r1 r2 ) Y por tanto la irradiancia queda Figura 12. Espejo doble de Fresnel. Este consiste en dos espejos planos metalizados al frente e inclinados uno con respecto al otro, con un ángulo muy pequeño, como se ve en la figura 9. Una porción de onda cilíndrica que proviene de la rendija S se refleja en el primer espejo, mientras que otra porción del frente de onda se refleja en el segundo espejo. Un campo de interferencia existe en la región donde las dos ondas se superponen una sobre la otra. Las imágenes ( S1 y S 2 ) de la rendija S en los dos espejos se pueden considerar como fuentes coherentes separadas una distancia a . De la ley de reflexión, se muestra en la figura 9 que , de tal forma que SA S1 A , SB S2 B SA AP r1 y SB BP r2 . La diferencia de camino óptico entre los rayos es simplemente r1 r2 . Los máximos ocurre cuando r1 r2 m . De tal forma que la separación entre franjas es nuevamente y 4 s a ay I 4 I o sen 2 s El patrón de franjas para el espejo de Lloyd es complementario del interferómetro de Young; es decir, los máximos del patrón corresponde a valores de y que corresponden a los mínimos del otro patrón, así la cara reflectiva del espejo es equivalente a y 0 , la cual corresponde al centro de una franja oscura. La mitad inferior del patrón será obstruída por la presencia del espejo. 5. INTEREFEROMETROS DE DIVISION DE AMPLITUD. Supóngase que una onda luminosa incide sobre un espejo semi-plateado. Parte de la onda será transmitida y parte de la onda será reflejada. Tanto la onda trasmitida como la onda reflejada tendrán amplitudes más bajas que la original. Se puede decir en forma figurada que la amplitud de la onda ha sido dividida. Si las dos ondas producidas por división pueden ser reunidas de alguna manera sobre un detector, habrá interferencia, en tanto la coherencia original entre los dos haces no haya sido afectada. Existirá un patrón de franjas estable cuando la diferencia de camino sea menor a la longitud de coherencia. APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 5.1. Interferómetro de Michelson. El más conocido e históricamente importante de todos los interferómetros de división de amplitud es el interferómetro de Michelson, mostrado en la figura 15. 2012 Considere un punto S sobre la fuente emitiendo luz en todas las direcciones; y sigamos el curso de uno de los rayos salientes. En realidad una onda de S se dividirá en O y sus componentes se reflejaran posteriormente en M 1 y M 2 . En nuestro diagrama esquemático, se representa reflejando el rayo en M 2 y M1' . Para un observador en D los dos rayos reflejados aparecerán provenientes de los puntos imagen S1 y S 2 . Como se puede ver en la figura, la diferencia de camino óptico para estos rayos esta cerca de 2d cos que representa una diferencia de fase ko 2d cos . Existe un término adicional de fase proveniente del hecho, que la onda que atraviesa el brazo OM 2 es reflejado internamente en el divisor de haz, mientras Figura 15. El interferometro de Michelson. Una fuente extensa (placa difusora de vidrio esmerilado iluminada por una lámpara) emite una onda, parte de la cual viaja hacia la derecha. El divisor de haz O divide la onda en dos, una parte de la onda viaja a M 1 y otra hacia M 2 . Las dos ondas serán reflejadas por los espejos M 1 y M 2 , y regresadas al divisor de haz. Parte de la onda que viene de M 2 pasa a través del divisor de haz hacia el detector y parte de la onda proveniente de M 1 es desviada o reflejada por el divisor también hacia el detector. Por lo tanto las dos ondas se unen y es posible que se produzca interferencia. Obsérvese que un haz pasa a través de O tres veces mientras que el otro para una vez únicamente. En consecuencia, cada haz cruzara igual espesor de vidrio únicamente cuando una placa compensadora C se introduzca en el brazo OM 1 . El compensador es un duplicado exacto del divisor de haz con la excepción de un recubrimiento plateado sobre el o divisor de haz. Este es colocado a un ángulo de 45 tal que O y C sean paralelas una respecto a la otra. Con el compensador en su lugar cualquier diferencia de camino óptico aparece de la diferencia de camino real. que la onda del brazo OM 1 es reflejada externamente en O . Si el divisor de haz es simplemente una placa de vidrio no recubierta, el cambio de fase relativo proveniente de las dos reflexiones será de radianes. Habrá interferencia destructiva cuando 2d cos m mo Donde m es un entero. Si esta condición se satisface para el punto S entonces, será igualmente bien satisfecha para cualquier punto sobre ' ' que este sobre el circulo O S , donde O está localizado sobre el eje del detector. Un observador verá un patrón de franjas circulares concéntricas con el eje central de su cristalino. La dependencia de m con respecto a o en la ecuación anterior nos dice que si usamos una fuente que contenga un número dado de componentes de frecuencia (una lámpara de mercurio – luz blanca), cada uno de tales componentes generara un sistema propio de franjas (franjas concéntricas de colores). Un patrón de interferencia de luz cuasimonocromatica consiste típicamente en un número grande de anillos brillantes y oscuros, alternados. Un anillo en particular corresponde a un orden fijo m . Conforme M 2 se mueve hacia M1' , d decrece y de acuerdo a la ecuación anterior cos m aumenta y m por tanto decrece. Luego los anillos se comprimen hacia el centro, con el orden mayor desapareciendo siempre y cuando d decrezca por Figura 16. Un rearreglo conceptual del interferometro de Michelson. se va haciendo cada vez más ancho conforme las franjas van desapareciendo en el centro, hasta que únicamente unas pocas llenan toda la pantalla. En el momento en que d 0 , la franja central se habrá expandido, llenando totalmente el campo de visión. Debido al corrimiento de fase en , resultante de la reflexión en divisor de haz, toda la pantalla tendrá un mínimo de interferencia. Se continua moviendo M 2 aun mas las franjas reaparecerán en el centro y se moverán hacia Para entender cómo se forman las franjas, se hace referencia a la construcción mostrada en la figura 16, donde los componentes físicos son representados mas como superficies matemáticas. Un observador afuera. en la posición del detector vera simultáneamente ambos espejos M 1 y La posición angular de cualquier anillo del p-esimo anillo oscuro está dada por M 2 junto con la fuente en el divisor del haz. De acuerdo a esto 1 p 2 p o d podemos redibujar el interferómetro como si todos los elementos estuvieran en línea recta. En este M1' corresponde a la imagen de M 1 en el divisor y ha sido girada para estar alineada con O y M 2 . Las posiciones de estos elementos en el diagrama dependen de sus distancias relativas respecto O . Por ejemplo los espejos pueden estar delante, en el mismo sitio o detrás el uno del otro. Las superficies 1 y 2 son las imágenes de la fuente en los espejos M 1 y M 2 respectivamente. Las franjas resultantes de igual inclinación ( m const ) localizadas al infinito (rayo saliendo en forma paralela, observables a ojo), son algunas veces llamadas franjas de Haidinger en honor al físico austriaco Wilhelm Karl Haidinger (1795-1871). Cuando los espejos del interferómetro están inclinados el uno respecto al otro haciendo un ángulo pequeño, es decir, cuando M 1 y M 2 no son totalmente perpendiculares entre sí, se observan franjas de Fizeau. La cuña de aire formada entre M 2 y M1' produce un patrón de franjas rectas y paralelas (franjas de Fizeau). 5 o 2 . Cada anillo de los que queda APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 Es evidente que el interferómetro de Michelson se puede usar para hacer medidas de longitud bastante precisas. Cuando el espejo móvil es desplazado en o 2 , cada franja se moverá a la posición previamente 2012 laser), cuya luz sale por un pequeño orificio y una película delgada la cual es una pieza de mica ordinaria pegada sobre una cubierta de libro negra la cual sirve de fondo opaco. ocupada por una franja adyacente. Por tanto únicamente se necesita contar el número de franjas N , que pasan por cierto punto de referencia, para determinar la distancia recorrida d por el espejo móvil, o sea d N o 2 Michelson uso este método para medir el número de longitudes de ondas de la línea roja de Cadmio que correspondían al metro patrón de Sevres, cerca de Paris. 5.2. Interferómetro de Mach-Zehnder Figura 19. Interferómetro de Pohl. 6. PELICULAS DIELÉCTRICAS – INTERFERENCIA DE DOS HACES. Figura 17. El interferómetro de Mach-Zender. Este interferómetro consta de dos espejos y dos divisores de haz, como muestra la figura 17. Las dos ondas dentro del aparato viajan a lo largo de caminos separados. Una pequeña diferencia entre los caminos se puede producir por un ligero giro de uno de los divisores de haz. Dado que los caminos están separados, el interferómetro es relativamente difícil de alinear. Interponiendo un objeto en uno de los haces, se alterará la diferencia de camino óptico y por lo tanto cambiará el patrón de franjas. Una aplicación común de este instrumento consiste en observar la variación de densidad de flujo de gases dentro de cámaras, por ejemplo de túneles de viento. Un haz pasa a través de las ventanas ópticamente plana de las cámaras de prueba, por donde fluye el gas, mientras que el otro haz cruza placas compensadoras apropiadas. 5.3. Interferómetro de Sagnac. Se dice que una capa de algún material transparente es una película delgada para cierta longitud de onda de radiación electromagnética cuando su espesor es del orden de la longitud de onda. 6.1. Franjas de igual inclinación. Figura 20. Luz reflejada de la parte superior e inferior de una película delgada. Inicialmente , consideramos el caso sencillo de una placa transparente y paralela de material dieléctrico con un espesor d . Supongamos que es no absorbente y que los coeficientes de reflexión de amplitud en las caras son tan bajos, que únicamente vale la pena considerarse los dos primeros haces reflejados E1r y E2r (ambas han sufrido solo una reflexión). Figura 18. Interferómetro de Sagnac. Este interferómetro es relativamente fácil de alinear, bastante estable y a pesar de todo tiene poco uso práctico. En la figura 18 se muestra dos formas posibles de interferómetros de Sagnac. La característica particular de este dispositivo es que existen dos caminos idénticos pero opuestos en la dirección de la trayectoria, y que ambos forman caminos cerrados antes que se unan para formar interferencia. Un pequeño cambio en uno de los espejos producirá una diferencia de camino óptico y se obtendrán franjas. Puesto que los haces están superpuestos y por lo tanto son inseparables, el interferómetro no puede se usado para los usos convencionales, que en general dependen de la posibilidad de imponer variaciones sobre únicamente uno de los brazos del interferómetro. 5.4. Interferómetro de Pohl. Figura 21. Franjas de igual inclinación. Franjas vistas sobre una pequeña porción de la película. De acuerdo a la figura 21(a) la diferencia de camino óptico para los dos primeros rayos reflejados está dada por Y puesto que AB BC d cos , n f AB BC n1 AD t Este interferómetro es simplemente una película semitransparente iluminada por la luz proveniente de una fuente puntual. En este caso las franjas son reales y se pueden producir sobre una franja colocada en cualquier lugar pero en la vecindad del interferómetro y sin usar una lente condensadora. Se utiliza una fuente de luz conveniente (luz blanca o luz 6 Consideremos a S como una fuente puntual monocromática. La película sirve como un dispositivo de división de amplitud, tal que E1r y E2r pueden ser considerados como provenientes de dos fuentes coherentes virtuales colocadas atrás de la película. Los rayos reflejados son APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 paralelos cuando dejan la película y se pueden unir cuando en un punto P sobre el plano focal de un una lente convergente o sobre la retina del ojo cuando está enfocado en el infinito ver figura 21(a). Luego 2n f d cos t AD , AD AC sen Ahora para encontrar la expresión para separación AC Si hacemos uso de la ley de Snell, esto se transforma en AC 2d tan La expresión para t Cuando solo uno de los rayos puede entrar a la pupila del ojo, el patrón de interferencia desaparecerá. Puede ser usada una lente de mayor diámetro para atrapar ambos rayos, haciendo una vez más posible la observación del patrón. La separación puede disminuirse reduciendo t y por tanto i , o sea, observando la t ahora es 2n f 1 sen2t cos t O finalmente 2n f d cost La diferencia de fase correspondiente es el producto del número de onda en el vacio con entre E1r y E2r también aumenta ya que AC 2d tan sent 1 Donde posición de P , a su vez controlará . Las franjas que aparezcan en los puntos P1 y P2 de la figura 21(c) son Observese que conforme la película se hace más gruesa, la i nf El ángulo i o equivalentemente t , determinado por la correspondientemente, conocidas como franjas de igual inclinación. Recordemos que cada fuente puntual sobre la fuente extendida es incoherente con respecto a las otras. n1 AD AD AC n 2012 , es decir, ko . Si la película está sumergida en un película casi a incidencia normal. La franjas de igual inclinación observadas en esta forma para placas gruesas se conocen como franjas de Haidinger . Con una fuente extendida ellas consiste de una serie de bandas circulares concéntricas centradas sobre la perpendicular del ojo(o de la lente), Como se puede observar en la figura 22. solo medio, el índice de refracción se puede escribir simplemente como n1 n2 n ; hay que darse cuenta que n puede ser menor que n f , como en el caso de la pompa de jabón en el aire; o mayor que n f , como ocurre en una capa de aire dentro de dos placas delgadas de vidrio. En cualquier caso habrá un corrimiento adicional en la fase como resultado de las reflexiones mismas. Recordemos que independientemente de la polarización de la luz incidente, los haces, uno reflejado interna y otro externamente, sufrirán un cambio relativo de fase de radianes. De acuerdo a ello ko 6.2. Franjas de igual espesor. Y más simplemente 4 n f o Existe toda una clase de franjas de interferencia para los cuales el espesor óptico, n f d , es el parámetro dominante más que i . Estas se d cos t O 4 d o n 2 f n2 sen2i 12 El signo del corrimiento no es relevante, de tal modo que escogeremos el signo negativo para hacer las ecuaciones un poco más simples. Los máximos en luz reflejada de interferencia, un punto brillante aparecerá en P cuando 2m , ósea un múltiplo par de este caso la ecuación inicial de la fase queda (Máximos) d cos t 2m 1 f . En m 0,1, 2, 4 llaman franjas de igual espesor. Bajo iluminación con luz blanca la iridiscencia con pompas de jabón, capas de aceite (con unas pocas longitudes de onda de gruesa), todas ellas son resultado de variaciones en el espesor de la película. Las bandas de interferencia de este tipo son análogas al contorno de líneas de altura constante de un mapa topográfico. Cada franja es un lugar geométrico de todos los puntos en la película para el cual el espesor óptico es constante. Si n f no varía, de tal modo que las franjas en realidad corresponden a regiones de igual espesor en la película. Estas pueden ser útiles para determinar aspectos bien importantes de la superficie de elementos ópticos: lentes, prismas, etc. Por ejemplo una superficie que va a ser examinada se pone en contacto con un plano óptico (Una superficie que esta ópticamente plana que se desvía no más de 4 respecto a un plano perfecto o Donde se ha usado el hecho de que f o n f . Esto más pequeño). corresponde a mínimos de luz trasmitida. El aire entre el espacio de las dos superficies genera un patrón de interferencia de películas delgadas. Si la superficie bajo prueba es plana, una serie de bandas rectas e igualmente espaciadas indicará que hay una película de aire en forma de cuña, tal como se muestra en la figura 23. Cuando se observa casi a incidencia normal, en la forma ilustrada en la figura 23, los contornos provenientes de una película no uniforme (cuña de aire) se llaman franjas de Fizeau. Los mínimos de interferencia en luz reflejada(máximos en transmitida) resultan cuando 2m 1 , es decir múltiplos impares de queda (Mínimos) 7 Figura 22. Franjas circulares de Haidinger centrales sobre el eje de la lente. . Para tal caso en la ecuación inicial de la fase d cos t 2m f 4 m 0,1, 2, APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012 convexa, la relación entre la distancia x y el espesor d de la película está dada por x2 R2 R d 2 O más simplemente por x2 2Rd d 2 Puesto que R d esto se convierte en x2 2Rd Nuevamente Figura 23. Franjas de una película en forma de cuña. 2n f d cost , donde d es el espesor para un punto en particular, es decir d x m 12 o 2n f dm m Puesto que n f f que necesitamos El m-esimo orden de interferencia para un máximo ocurrirá en la película delgada cuando su espesor esté de acuerdo con la relación 2n f dm (m 12 )o El radio del m-esimo anillo brillante se encuentra por lo tanto combinando las dos últimas expresiones para obtener 12 i la condición para interferencia máxima es xm (m 12 ) f R Igualmente el radio del m-esimo anillo negro es xm (m f R)1 2 O 1 2 suponiendo únicamente examinar los primeros dos haces reflejados E1r y E2r . Para una cuña delgada de ángulo pequeño (ver figura 23), la diferencia de camino óptico entre los dos rayos puede ser aproximada por Para ángulos pequeños de necesitaremos Si las dos piezas están en contacto (sin polvo), la franja central en o 2 xm n f ese punto ( xo 0 ) claramente será el mínimo de orden cero, un o , xm puede escribirse como resultado comprensible puesto que d se hace cero en ese punto. En luz trasmitida, el patrón observado será el complementario de la luz reflejada, de tal modo que ahora el centro aparecerá brillante. m 1 2 xm f 2 Los máximos ocurren a distancias desde el vértice dadas por f 4 , 3 f 4 , etc. y las franjas consecutivas están separadas por una 7. TIPOS Y LOCALIZACION INTERFERENCIA. DE LAS FRANJAS DE distancia x , dada por x f 2 Obsérvese que la diferencia de espesor de la película es f 2 . Puesto que el haz reflejado en la superficie inferior cruza la película dos veces ( i t 0 ), los máximos adyacentes difieren en longitud de camino óptico por f . También se observa que el espesor de la Figura 25. Localización de la franjas. película para varios máximos esta dado por d m m 1 f 2 Cruzando la película dos veces se obtiene un cambio de fase de el cual, cuando se suma al corrimiento de resultante de la reflexión, pone a los dos rayos en fase. Frecuentemente es importante conocer dónde estarán localizadas las franjas producidas en un sistema interferométrico. Es decir, en qué lugar necesitamos posicionar nuestro detector. En general, el problema de localizar las franjas es característico de un interferómetro dado, es decir, se tiene que resolver para cada dispositivo por separado. Las franjas se pueden clasificar en dos categorías: Examinemos ahora los llamados anillos de Newton que se presentan en una configuración parecida a la de la figura 24. Figura 24. Anillos de newton. Aquí la lente se coloca sobre un plano óptico e iluminado a incidencia normal con luz cuasimonocromatica. La cantidad de uniformidad en el patrón de círculos concéntricos es una medida del grado de perfección de la lente. Siendo 8 R el radio de curvatura de una lente Reales o Localizadas: Que se pueden ver en una pantalla sin el uso de un sistema adicional de enfoque, y se pueden observar sobre una superficie particular del espacio. Ver figura 25. o No localizadas: Que se pueden ver en una pantalla sin el uso de un sistema adicional de enfoque, y se pueden observar en cualquier lugar del espacio. Ej. El experimento Young. Así mismo el interferómetro de Michelson con cuña de aire. Virtuales o Localizadas: Que no se pueden ver en una pantalla, y se pueden observar sobre una superficie particular del espacio. El experimento de Michelson con espejos paralelos, las franjas circulares serán virtuales localizadas al infinito. Ver también figura 25. 8. INTEREFERENCIA CON HACES MULTIPLES. APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 Existen circunstancias bajo las cuales un gran número de ondas mutuamente coherentes pueden interferir. De hecho, si los coeficientes de reflexión de amplitud r , para la placa de caras paralelas ilustrada en la figura 21(a) no son pequeños como en los casos anteriores, las ondas reflejadas de alto orden E3 r , E4 r , 2012 La componente del campo perpendicular al plano de incidencia no sufre cambio en la fase para la reflexión interna. Por tanto, no existe un cambio de fase relativo entre las ondas resultantes de un número impar de tales reflexiones. Ver figura 27. , llegan a ser importantes. Una placa de vidrio ligeramente plateada sobre ambos lados tal que los r se aproximen a la unidad, generará un número grande de rayos reflejados internamente. Consideremos únicamente situaciones donde la película, sustrato y medio externo son dieléctricos transparentes. Esto evita los cambios de fase más complicados que resultan de superficies recubiertas con metales. Por tanto la onda E1r , debido a su reflexión en la primera superficie, 180o con respecto a las otras ondas. El cambio ' ' de fase está incluido en el hecho que r r y r ocurre con potencias estará fuera de fase en impares. Los campos ópticos en P están dados por E1r Eo reiwt E2 r Eotr 't 'ei ( wt ) E3r Eotr '3t 'ei ( wt 2 ) E4 r Eotr '5t 'ei ( wt 3 ) ENr Eo tr '(2 N 3)t 'ei[ wt ( N 1) ] Donde Eo eiwt es la onda incidente. Figura 26. Interferencia con haces múltiples , 2 , , ( N 1) son las contribuciones a la fase Supondremos que la película es no absorbente y n1 n2 de acuerdo a Los términos la figura 26 . Los coeficientes de transmisión de amplitud estarán representados por t (fracción de la amplitud trasmitida al entrar a la provenientes de una diferencia de camino óptico entre rayos adyacentes ( ko ). Existe una contribución adicional proveniente de la distancia película) y t (fracción trasmitida cuando una onda sale de la película). Como se muestra en la figura, las amplitudes escalares de las ondas óptica recorrida para llegar a P. Pero como es común a todos los rayos, ha sido omitida. El corrimiento relativo de fase sufrido por el primer rayo como reflejadas resultado de la reflexión está incluido en la cantidad r . ' , son E1r , E2 r , E3r , Eo r , Eotrt , , Eotr '3t , respectivamente ' , donde Eo es la amplitud de la onda inicial incidente y r r . El signo menos indica un corrimiento de fase de ' 180o . De igual forma las ondas trasmitidas E1t , E2t , E3t , amplitudes Eott ' , Eotr '2t ' , Eotr '4t ' , , tendrán . Consideremos el conjunto de rayos paralelos reflejados, cada rayo posee su propia relación fija de fase con respecto a los otros rayos reflejados. La diferencia de fase surge como una combinación de la diferencia en el camino óptico y los cambios de fase debido a las varias reflexiones. A pesar de ello, las ondas son mutuamente coherentes y si se recogen y se ponen en foco sobre el punto P con una lente, todas ellas interferirán. Figura 28. Diagrama de fasores. La onda escalar reflejada resultante es entonces Er E1r E2 r E3r E Nr , sustituyendo (Figura 28) Er Eo reiwt Eotr 't 'ei ( wt ) Eotr '(2 N 3)t 'ei[ wt ( N 1) ] Esto se puede reescribir Er Eoeiwt {r r 'tt 'ei [1 (r '2ei ) (r '2ei )2 Si (r '2ei ) N 2 ]} r '2ei 1 , y si el numero de términos en la serie se aproxima al infinito, la serie converge a 1 1 r '2 e i . La onda resultante llega a Figura 27. Corrimiento de fase producido únicamente de las reflexiones. (internas i p' ). ser Es necesario tener en cuenta lo siguiente: Todas las ondas excepto la primera, 9 En el caso de absorción cero, cuando no se saca energía de las ondas, E1r sufren un número impar de reflexiones dentro de la película. Se deduce que para cada reflexión interna la componente del campo paralelo al plano de incidencia cambia de fase, ya sea en o 0 , dependiendo del ángulo interno incidente ( i p o p i c ). r 'tt 'ei Er Eo eiwt r '2 i 1 r e podemos usar las relaciones r r y ecuación anterior como ' Er Eo e iwt tt ' 1 r 2 , para escribir la r 1 e i 2 i 1 r e APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012 La densidad de flujo reflejada en P es entonces I r Er Er* 2 o sea Ir E r 1 e 2 2 o 2 1 r e 1 e 1 r e i 2 i El término i de Airy. Representa la distribución de la densidad de flujo trasmitida (figura 2 i 29(a)). La función complementaria La cual se puede transformar en I r Ii Donde Ii Eo2 2 . 1 A( ) , representa la distribución 2 m la función de Airy toma el valor de uno, para todos los valores de F y por lo de la densidad de flujo reflejada (figura 29(b)). Cuando 2r 2 1 cos 1 r 2r 4 Si 1 A( ) 1 Fsen2 2 es conocido como la función usamos 2 cos la identidad trigonométrica tanto r , lo cual significa que para luz trasmitida nos encontramos los máximos. Lo contrario ocurre para la luz reflejada. Mientras r se acerca más al valor de 1, la densidad de flujo trasmitida es pequeña excepto en los puntos donde se encuentran los máximos, los cuales son más agudos. cos 1 2sen 2 , la anterior ecuación se transforma en 2 2r 1 r 2 sen2 2 I r Ii 2 1 2r 1 r 2 sen2 2 2 Si introducimos una cantidad nueva conocida como coeficiente de finura F , de modo que 2r F 2 1 r Figura 29. (a) Función de Airy. (b) uno menos la función de Airy, 2 8.1. INTERFEROMETRO DE FABRY –PEROT. La ecuación anterior queda Fsen2 2 Ir I i 1 Fsen 2 2 Figura 30. Etalón de Fabry-Perot Por otro lado, la onda escalar trasmitida es E1t Eott e E2t Eott ' r '2 ei ( wt ) E3t Eott ' r '4 ei ( wt 2 ) E4t Eott ' r '6 ei ( wt 3 ) ' iwt ENt Eott ' r '(2 N 1) ei[ wt ( N 1) ] tt ' Et Eo eiwt 2 i 1 r e Que al sumarlas dan ' La densidad de flujo en el punto P es It Ii (tt ' ) 2 (1 r 4 ) 2r 2 cos Si usamos la identidad trigonométrica cos 1 2 sen 2 2 , y consideramos que la energía de la onda no es absorbida ( tt entonces la anterior ecuación se transforma en It Ii ' 1 r 2 ), 1 1 2r 1 r sen 2 2 2 2 Si tenemos en cuenta el coeficiente de finura, la ecuación anterior se reduce a It 1 I i 1 Fsen 2 2 10 El interferómetro de haces múltiples construido por Charles Fabry y Alfred Perot, es de suma importancia en la óptica moderna. Su valor radica en el hecho de que además de ser un dispositivo espectroscópico de alto poder de resolución, también sirve como cavidad resonante básica para el laser. En principio, el instrumento consta de dos superficies planas, paralelas, altamente reflectantes y separadas una distancia de vidrio d . En la práctica, dos planos ópticos semiplateados o aluminizados forman las superficies reflectoras. El espacio de aire, entre las placas, generalmente varía de algunos milímetros a varios centímetros cuando el aparato se usa para interferometría y frecuentemente la distancia aumenta considerablemente cuando se usa como cavidad resonante del laser. Cuando el espacio d puede variarse mecánicamente con el movimiento de uno de los espejos se llama interferómetro. Cuando los espejos se mantienen fijos se ajustan con algún tipo de tornillo suele llamarse etalón. En la figura 30 se muestra iluminado por una fuente extendida. A través del etalón se traza únicamente un rayo emitido desde algún punto S 1 sobre la fuente. Entrando por la placa parcialmente plateada, se refleja varias veces dentro del espacio d . Los rayos trasmitidos son recogidos por una lente y enfocados sobre una pantalla, donde interfieren para formar un punto brillante o oscuro. Todos los rayos incidentes sobre el mismo espacio separador con un ángulo dado resultarán en una sola franja brillante. Con una fuente APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 difusa ancha, las bandas de interferencia serán anillos concéntricos delgados, correspondientes al patrón de trasmisión de haces múltiples. El interferómetro de Fabry-Perot se usa frecuentemente para examinar la estructura detallada de las líneas espectrales. Las ondas de luz hipotéticamente monocromáticas puras generan una patrón de franjas circulares. Pero es una función de , de tal manera que si la fuente estuviera formada por dos componentes monocromáticas tendríamos dos sistemas de anillos superpuestos. 11 2012 1 1. RESUMEN - INTERFERENCIA ÓPTICA 2 E E o o 2 t 2m 2 B 1 ; B o o 2 ; c t o o 2 O sea cuando 0, 2 , 4 , I max I1 I 2 2 I1I 2 Un mínimo de irradiancia se obtiene cuando 2. CONSIDERACIONES GENERALES O sea cuando Cuando La irradiancia en P I v E esta dada por , 3 , 5 , I min I1 I 2 2 I1I 2 2 Ósea cuando I I1 I 2 I12 La irradiancia total para dos ondas electromagnéticas , 3 , 5 , 2 2 2 f (t ) 1 T t T f (t ' ) dt ' Minimo cuando: (r1 r2 ) [ (2m 1) ( 2 1 )] k Si las ondas están en fase t Valor medio de algunas funciones importantes: cos 2 wt 12 ; sen2 wt 1 2 y senwt cos wt 0, Interferencia constructiva 0 cos 1 I1 I 2 I I min Interferencia destructiva Cuando I1 I 2 I 0 , la ecuación de (r1 r2 ) (r1 r2 ) se puede escribir 2. la diferencia de fase. k1 r 1 k2 r 2 I 2 I 0 1 cos I 4 I 0 cos 2 Irradiancia de cada onda I1 E 2 1 E2 01 2 y I2 E 2 2 E2 02 2 Si se considera ondas esféricas emitidas por S1 E1 (r1 , t ) E01 (r1 )exp[i(kr1 wt 1 )] RESUMEN – INTERFERENCIA ÓPTICA y S2 . Si y 2 I1 I 2 I 0 tenemos que I 4 I 0 cos E2 (r2 , t ) E02 (r2 )exp[i(kr2 wt 2 )] 1 2 k (r1 r2 ) (1 2 PROFESOR – NÉSTOR ALONSO ARIAS HERNÁNDEZ 2 1 0 2 m m k , superficies de irradiancia máxima (2m 1) (2m 1) k 2 , superficie de irradiancia mínima. CONDICIONES PARA LA INTERFERENCIA Irradiancia total : I I1 I 2 2 I1I 2 cos 2 , las ecuaciones anteriores se pueden rescribir. [2 m ( 2 1 )] k I I1 I 2 0 cos 1 I1 I 2 I I max m 0, 1, 2, 3, (r1 r2 ) Para valores intermedios fuera de fase. promedio en el tiempo de una función Siempre que Máximo cuando: cos 0 , m 0, 1, 2, 3, Los mínimos de irradiancia ocurren cuando Teniendo en cuenta la definición de E2 (r , t ) E02 cos(k2 r wt 2 ) y Siempre que (2m 1) cos 1 interferencia destructiva total. Ecuación de onda monocromática E1 (r , t ) E01 cos(k1 r wt 1 ) Los máximos de irradiancia ocurren cuando Interferencia constructiva total. Ecuación de onda electromagnética en el vacio 2 cos 1 Un máximo de irradiancia se obtiene cuando Las fuentes deben ser coherentes. Que la diferencia de fase se mantenga constante. Las dos fuentes deben tener casi la misma frecuencia. Es muy conveniente utilizar una fuente para producir de ella dos fuentes secundarias coherentes. Se obtendrán patrones más claros (máximo contraste) si las amplitudes de las ondas son iguales. La interferencia de la luz polarizada. Leyes de Fresnel –Arago. Dos estados de polarización lineal coherentes ortogonales no pueden interferir en el sentido de que I12 0 y no resultan franjas. Dos estados de polarización lineal coherentes paralelos pueden interferir en una misma región del espacio. Dos estados linealmente polarizados de luz natural (no coherente) no pueden interferir. ÓPTICA 2 3. INTERFEROMETROS DE DIVISION DE FRENTE DE ONDA. 3.1. Experimento de Young 5. PELICULAS DIELECTRIAS – INTERFERENCIA DE DOS HACES. 5.1. La interferencia constructiva ocurre cuando r1 r2 m La posición angular de la franjas es ym s m a m m a cambio de 4 d o La irradiancia resultante 3.2. y Espejo doble de Fresnel. y n2 sen2i 12 d cos t 2m 1 Donde se ha usado el hecho de que La onda resultante reflejada f m 0,1, 2, 4 f o n f ya s Los mínimos de interferencia en luz reflejada(máximos en transmitida) (Mínimos) s a 5.2. d cos t 2m la irradiancia queda ay I 4 I o sen 2 s f 4 m 0,1, 2, Habrá interferencia destructiva cuando Las franjas consecutivas están separadas por una distancia 1 p 2 p o d d N RESUMEN – INTERFERENCIA ÓPTICA o 2 Coeficiente de finura 4 2 cos 2r F 2 1 r 2 tt ' Et Eo eiwt 2 i 1 r e La onda trasmitida x , dada por ' La densidad de flujo en el punto P es x f 2 Si R es un entero. d por el espejo móvil 1 r 2r d m m 1 f It Ii 2 1 1 2r 1 r 2 sen2 2 2 It 1 . I i 1 Fsen 2 2 Anillos de Newton 2d cos m mo Distancia recorrida 2r 2 1 cos Fsen 2 2 Razón entre la onda reflejada y la onda incidente I r I i 1 Fsen 2 2 m 1 2 xm f 2 Espesor de la película para varios máximos La posición angular del p-esimo anillo oscuro r 1 e i 2 i 1 r e Franjas de igual espesor. 4.1. Interferómetro de Michelson. m La densidad de flujo reflejada en P I r I i . Esto corresponde a mínimos de luz 4. INTEREFEROMETROS DE DIVISION DE AMPLITUD. Donde Er Eo e iwt trasmitida. 3.3. Espejo Lloyd. k (r1 r2 ) 2 f INTEREFERENCIA CON HACES MULTIPLES. Los máximos en luz reflejada de interferencia, s a I 4 I o cos2 7. fase n TIPOS Y LOCALIZACION DE LAS FRANJAS DE INTERFERENCIA Las franjas se pueden clasificar en dos categorías: o Reales: (Localizadas y No localizadas) o Virtuales Localizadas: 2n f d cost (Máximos) Espacio entre franjas consecutivas 6. Franjas de igual inclinación. d x2 2Rd El m-ésimo orden de interferencia La función Airy. 2n f dm (m 12 )o 12 El radio del m-ésimo anillo brillante xm (m 12 ) f R El radio del m-ésimo anillo negro es xm (m f R)1 2 PROFESOR – NÉSTOR ALONSO ARIAS HERNÁNDEZ A( ) 1 Fsen2 2 La función complementaria 1 1 A( ) , ÓPTICA ACTIVIDADES - ANEXO 2 1. PREGUNTAS TIPO SELECCIÓN MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA 1.1.1. Sobre una recta se sitúa una fuente luminosa puntual, una lámina con dos pequeños huecos muy cercanos una pantalla. Sobre la pantalla se verá: a) Una iluminación uniforme b) Un punto luminoso c) Dos puntos luminosos d) Círculos concéntricos luminosos y oscuros e) Franjas luminosas 1.1.2. Los colores que se ven sobre las burbujas de jabón se deben al fenómeno de: a) Polarización b) Difracción c) Interferencia d) Dispersión e) Difusión. Las preguntas 9.2.3 y 9.2.4 se refieren a la siguiente información. 2012 e) 2e 2 1.1.7. Cuál es el espesor mínimo para que haya interferencia constructiva? a) 0 b) c) d) 4 2 2 e) 1.1.8. Cuál es el espesor mínimo para que haya interferencia destructiva? f) 0 g) h) i) j) 4 2 2 2. CRUCIGRAMA 1 1 Una onda plana de longitud de onda llega sobre dos rendijas separadas una distancia a , como muestra la figura. 2 4 3 2 P 5 6 3 s a 4 5 6 7 1.1.3. El primer mínimo de interferencia se produce en la dirección de la flechas. La distancia s es: a) b) c) d) 4 2 3 2 2 9 e) 1.1.4. El segundo mínimo de interferencia se produce en la dirección de las flechas. La distancia s es: a) b) c) d) e) 4 2 3 2 2 1.1.5. En la pantalla P situada a la distancia franjas oscuras es: a) b) c) d) e) d , la distancia entre dos d 2a d a 3 d 2a 2 d a 4 d a Las preguntas 1.2.6 a 1.2.8 se refieren a la siguiente información: Se dirige un haz de longitud de onda perpendicular a una lámina de aire de espesor e , producida por dos placas de vidrio. 1.1.6. Cuál es la diferencia de camino entre los dos rayos que se reflejan? a) e b) 2e c) 2e d) 1 2 2e 7 8 HORIZONTAL 1. Se presenta en forma total cuando la diferencia de fase entre dos ondas es de un número impar de . 2. Es la función que describe el patrón de interferencia en la interferencia de haces múltiples. 3. Dispositivo que permite medir longitudes con buena resolución, utilizando la interferencia de dos o más haces luminosos 4. Interferómetro conformado por un espejo. cuyo patrón de interferencia se presenta cuando se ilumina sobre él en forma rasante con luz coherente. 5. Uno de los autores del Interferómetro que consta de dos espejos y dos divisores de haz. Las dos ondas dentro del aparato viajan a lo largo de caminos separados. 6. Uno de los autores del Interferómetro que consta de un divisor de haz y dos o tres espejos. Los caminos son idénticos pero opuestos en la dirección de la trayectoria, formando caminos cerrados antes que se unan. 7. Patrón de Interferencia formado debido a una película de aire entre una interface plana y otra esférica. 8. Se presenta en forma total cuando la diferencia de fase entre dos ondas es de VERTICAL 1. un número par de 2 . 9. Franjas de igual inclinación formadas en el interferómetro de Michelson. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Fenómeno que se presenta como resultado de la superposición de dos ondas coherentes. Diferencia que permite establecer el tipo de interferencia entre dos ondas luminosas Interferómetro conformado por una película semitransparente iluminada por la luz proveniente de una fuente puntual. Se observan cuando los espejos en un interferómetro de Michelson sus espejos son perpendiculares. Se observan como resultado de la superposición de dos ondas luminosas coherentes en el espacio. Uno de los diseñadores del experimento que pretendía corroborar la existencia del éter. Participo en las condiciones necesarias para que se presente interferencia. ACTIVIDADES - ANEXO 2 3. PROBLEMAS RESUELTOS 3.1 Considere el patrón de franjas circulares de las franjas de Haidinger que resultan de una película de 2 mm de espesor e índice de refracción 1,5. Para iluminación monocromática de = 600 nm, encuentre el orden de la franja central ( = 0). ¿Será brillante u oscura? 3.4 la d cos t 2m f 4 m 0,1, 2, Considere el patrón de interferencia del interferómetro de Michelson como proveniente de dos haces con igual densidad de flujo. Usando la ec. I 4 I 0 cos 2 calcule el 2 ancho. ¿Cuál es la separación, en , entre dos máximos adyacentes? ¿Cuál es entonces la finura? Desarrollo Desarrollo De 2012 que corresponde a los mínimos de interferencia para luz reflejada en una película delgada con franjas de igual inclinación, despejando m El ancho medio de la franja se da cuando m 2n f d cos 0 o m 2n f d o 2 1 cos 2 cos 2 2 2 2 por lo tanto m 2(1.5) (2mm) (600nm) m 2(1.5) (2 103 mts ) (600 10 9 mts) 10.000 La separación entre máximos es de 2 2 La finura se defina como Un mínimo, por lo tanto, una región central oscura. 4. PROBLEMAS PROPUESTOS 4.1 Sea 3.2 Imagínese que tenemos una antena a la orilla de un lago recogiendo una señal de una radio estrella lejana que está llegando justamente arriba del horizonte. Escriba expresiones para y para la posición angular de la estrella cuando la antena detecta su primer mínimo. y Donde los frentes de onda no están especificados explícitamente y E1 y E2 son vectores complejos dependiendo del espacio y la fase inicial. Demuestre que el término de interferencia está dado por (1) Usted tendrá que evaluar términos de la forma Desarrollo Esta configuración corresponde a un espejo de Lloyd Demostrar que la ec. (1) conduce a la ec. I12 E01 E02 cos para ondas planas. para T k{a 2sen [sen(90 2 )] a sen } ka(1 cos 2 ) / 2sen 4.2 Si se considera la distribución espacial de energía para dos fuentes puntuales. Se Menciona que para el caso donde la separación promedia espacialmente cero. ¿Por qué esto es cierto? ¿Qué sucede cuando a es mucho menor que ? 4.3 ¿Obtendremos un patrón de interferencia en el experimento de Young (fig. 7) si reemplazamos la fuente rendija S por un solo filamento largo de una ampolla? ¿Qué ocurrirá si reemplazamos las rendijas y por esas mismas ampollas? 4.4 Al examinar las condiciones bajo las cuales las aproximaciones de la ec. r1 r2 a son válidas: a) Aplique la ley de los cosenos al triángulo en la fig. 8 para obtener El máximo ocurre para 2 cuando sen ( a) (1 cos 2 ) 2 sen 2 El primer máximo sen 1 ( 2a) 3.3 Se observan franjas cuando un haz paralelo de luz de longitud de onda 500 nm está incidiendo perpendicularmente sobre una película de forma de cuña y con índice de refracción 1.5 ¿Cuál es el ángulo de la cuña si la separación de franjas es de 1/3 cm? Desarrollo x 2 f o , 2 n f x 2 b) Desarrolle esto obteniéndose en series de Maclaurin ACTIVIDADES - ANEXO 2 c) A la luz de la ec. I 4 I 0 cos es igual a sen 2 demuestre que si 2 es necesario que 2012 de la calle como una fuente puntual. Describa las franjas. Ahora rote el vidrio. ¿Cambia el patrón? Pruebe de nuevo con una hoja de plástico, de las utilizadas para preservar alimentos, estirada a lo largo de la parte superior de una copa. . 4.5 ¿Cuál es la expresión general para la separación de las franjas de un biprisma de Fresnel de índice n sumergido en un medio que tiene un índice de refracción n? 4.6 Usando el espejo de Lloyd se observaron franjas de rayo X, la separación de las cuales se encontró que era igual a 0,0025 cm. La longitud de onda usada fue 8,33 . Si la distancia fuente-pantalla es 3 m, ¿qué tan arriba del plano del espejo estuvo la fuente puntual de rayos X? 4.7 La fig. 9.72 ilustra la disposición usada para probar lentes. Cuando son despreciables en comparación con , respectivamente. (Recuerde el teorema de geometría plana que relaciona los productos de los segmentos de las cuerdas intersectantes.) Pruebe que el radio de la m - ésima franja oscura es entonces ¿Cómo se relaciona esto con la ec. xm (m f R) ? 12 4.8. Dibuje la configuración que usted usaría para ver anillos de Newton en un interferómetro Twyman – Green. tt ' 2 i 1 r e Empezando con la ec. Et Eo eiwt para las ondas transmitidas, calcule la densidad de flujo, o sea, (tt ' ) 2 (1 r 4 ) 2r 2 cos 4.9. Determine el índice de refracción y espesor de una película depositada sobre una superficie de vidrio tal que la luz que incide normalmente con longitud de onda 540 nm no es reflejada. 4.10. Ilumine el portaobjetos de microscopio (o mejor un portaobjetos de vidrio recubierto delgado). Franjas coloreadas se pueden ver fácilmente con una lámpara fluorescente ordinaria que sirve como fuente ancha o una luz de mercurio 3 Tome un espejo de 5cmX5cm y con dos hojas de afeitar muy juntas (puede inclinarlas para logra que sus bordes (filos) queden aun mas unidos) trace dos líneas paralelas sobre el espejo de tal forma que la separación entre ellas sea lo más pequeña posible (de esto depende la calidad del experimento). Ilumine con un diodo laser comercial por la parte plateada del espejo de tal forma que se cubra las dos ranuras con el haz y observe sobre una pantalla (blanca preferiblemente) ubicada a una distancia determinada el patrón de interferencia. Observe que sucede si usted se aleja o se acerca de la pantalla. Realice diferentes ranuras con separaciones diferentes y observe la dependencia de la separación de las ranuras con el paso de las franjas. Si le es posible tener dos láseres de diferentes longitudes de onda (color, en el mercado se consiguen con relativa facilidad los láseres verdes, violetas y rojos), evalué la dependencia de la longitud de onda con el paso de las franjas. 4.2. EXPERIMENTO DE LA CUÑA DE AIRE Adquiera dos láminas de portaobjetos, un diodo laser comercial y un cabello. Posicione el cabello en medio de las dos láminas en uno de sus extremos, de tal forma que se genere una cuña de aire. En un cuarto oscuro al iluminar el sistema creado se podrá observar el patrón de interferencia por trasmisión. Cómo podría utilizar este experimento para medir el espesor del cabello. Demuestre que It Ii 4. EXPERIMENTOS 4.1. EXPERIMENTO DE YOUNG 4.3. EXPERIMENTO DE FRANJAS DE IGUAL ESPESOR DE COLORES Con la ayuda de dos láminas de portaobjetos y una cartulina negra, se pueden observar franjas de interferencia de igual espesor. Coloque sobre la cartulina negra las dos láminas de portaobjeto, una encima de la otra. En el intermedio de las dos láminas quedara una capa de aire muy pequeña. Si iluminamos con luz blanca (el de una bombilla común) en un ambiente con baja luminosidad, se observarán franjas coloreadas. Presione con la punta de un esfero y observe los cambios en el sistema de franjas.