Tema 8

Tema 8: Las funciones
lineales.
Ejercicio 1.
Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos:
a) P (−1,3) , Q(4,13)
Solución.
Pendiente =
13 − 3 10
=
=2
4 − (−1) 5
b) A(7,4) , B (2,−5)
Solución.
Pendiente =
−5−4 −9 9
=
=
2−7
−5 5
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para calcular la pendiente debemos realizar una operación sencilla. Las restas las haremos
utilizando el guión como signo de restar mientras que la fracción la insertaremos pinchando en
el icono ‘Fracción’ dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Después pinchamos en ‘=’ para obtener
nuestro resultado.
Figura 1
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
2. Con esta otra pendiente repetiremos los pasos del apartado anterior insertando la fracción,
rellenando con nuestros datos y pinchando en ‘=’ para obtener nuestro resultado.
Figura 2
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 2.
Hallar las pendientes de:
a) y = 3 x
b) y = −2 x + 1
c) 2 x + 3 y − 7 = 0
Solución.
En a) y en b) la pendiente es evidente, pues la y está despejada:
a)
m=3
b) m = −2
c) Despejamos la y : 3 y = 7 − 2 x → y =
7 2
2
− x→m=−
3 3
3
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para conocer la pendiente de una función con Wiris, escribimos ‘pendiente’ y a
continuación, entre paréntesis, la función tal cual la tengamos. Después sólo nos quedará
pinchar en el botón ‘=’ para conocer la solución.
2
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
Figura 3
2. Apartado a.
Figura 4
3. Apartado b.
Figura 5
4. Apartado c.
Figura 6
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
3
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
Ejercicio 3.
Representa:
a) y = 2 x
Daremos valores a la función. Esos pares de coordenadas luego serán representadas y al unir
los puntos obtendremos nuestra representación gráfica:
X
Y
0
0
1
2
2
4
Figura 7
b) y =
2
x
3
En la siguiente tabla calcularemos tres pares de coordenadas que luego representaremos y
uniremos para crear nuestra función (que será una recta). Para calcular los puntos elegimos un
valor para x y lo sustituimos en la función.
X
4
Y
0
0
3
2
6
4
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
Figura 8
c)
y=−
1
x
4
Para representar nuestra recta dibujaremos tres puntos (previamente calculados en la siguiente
tabla) y los uniremos. Para calcular las coordenadas elegimos un valor de x, lo sustituimos en la
función y calculamos hasta que sólo tengamos un número, que será la pareja de nuestra
coordenada.
X
Y
0
0
4
-1
8
-2
Figura 9
5
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
d) y = −
7
x
3
En la siguiente tabla calcularemos tres pares de coordenadas que luego representaremos y
uniremos para crear nuestra función (que será una recta). Para calcular los puntos elegimos un
valor para x y lo sustituimos en la función.
X
Y
0
0
3
-7
6
-14
Figura 10
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar una función pincharemos en el icono ‘Representar’ dentro de la pestaña
‘Operaciones’ o escribiremos ‘representar’ y después unos paréntesis. Entre estos,
escribiremos la función y pincharemos en el botón ‘=’ para obtener nuestro resultado.
Figura 11
6
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
2. Apartado a.
Figura 12
Figura 13
3. Apartado b.
Figura 14
7
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 15
4. Apartado c.
Figura 16
Figura 17
8
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
5. Apartado d.
Figura 18
Figura 19
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 4.
Representa:
a) y = 3
9
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
Esta función es constante, y es constantemente igual a 3 sea cual sea el valor de la variable
independiente x, por lo que será una recta ya que estas funciones tienen como representación
una recta bien horizontal o vertical. Concretamente, nuestra función es y=3, lo que significa
que para cualquier valor de x, y siempre valdrá 3.
Figura 20
b) y = −2
Este apartado, al igual del anterior muestra una función en la que para cualquier valor de x, y
siempre valdrá -2. Por lo tanto, la representación será una línea horizontal en y=-2.
Figura 21
c)
y=0
De nuevo, para representar esta función, debemos saber que para cualquier valor de x, y
valdrá 0. Por lo tanto, la función coincide con el eje Y.
10
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
Figura 22
d) y = −5
Esta función (en la que para todos los valores posibles de x, y es igual a -5) equivaldría a
infinitos puntos que corresponderían a diferentes valores en x, pero siempre al mismo en y.
Figura 23
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar una función pincharemos en el icono ‘Representar’ dentro de la pestaña
‘Operaciones’ o escribiremos ‘representar’ y después unos paréntesis. Entre estos,
escribiremos la función y pincharemos en el botón ‘=’ para obtener nuestro resultado.
11
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 24
2. Apartado a.
Figura 25
Figura 26
12
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
3. Apartado b.
Figura 27
Figura 28
4. Apartado c.
Figura 29
13
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 30
5. Apartado d.
Figura 31
Figura 32
14
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 5.
Representa:
a)
y = 2x − 3
En la siguiente tabla calcularemos tres pares de coordenadas que luego representaremos y
uniremos para representar nuestra función (que será una recta). Para calcular los puntos
elegimos un valor para x y lo sustituimos en la función.
X
Y
0
-3
1
-1
2
1
Figura 33
b)
y=
2
x+2
3
Representaremos la función (que sabemos que es una recta porque es de grado 1) uniendo
tres pares de coordenadas que calcularemos en la siguiente tabla.
15
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
X
Y
0
2
3
4
6
6
Figura 34
c)
1
y = − x+5
4
Nuestra función de primer grado será una recta cuando la representamos; y para ello,
sustituiremos varios puntos en la función, obteniendo así las coordenadas. Por último, sólo
tenemos que unir los puntos que hemos obtenido.
X
Y
0
5
4
4
8
3
Figura 35
16
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
d)
y = −3 x 2 − 1
En la siguiente tabla calcularemos tres pares de coordenadas que luego representaremos y
uniremos para crear nuestra función que en este caso no será una recta sino una curva y
concretamente una parábola, ya que la función no es lineal sino cuadrática porque la variable
independiente x está elevada al cuadrado. Para calcular los puntos elegimos un valor para x y lo
sustituimos en la función.
X
Y
0
-1
1
-4
-1
2
Figura 36
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar una función pincharemos en el icono ‘Representar’ dentro de la pestaña
‘Operaciones’ o escribiremos ‘representar’ y después unos paréntesis. Entre estos,
escribiremos la función y pincharemos en el botón ‘=’ para obtener nuestro resultado.
Figura 37
17
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
2. Apartado a.
Figura 38
Figura 39
3. Apartado b.
Figura 40
18
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
Figura 41
4. Apartado c.
Figura 42
Figura 43
19
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
5. Apartado d.
Figura 44
Figura 45
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 6.
Hallar la ecuación de cada una de las rectas siguientes:
a) Pasa por (-5, 7) y tiene una pendiente de
Ecuación: y = 7 −
3
( x + 5) . Esto ya es la ecuación de la recta.
5
Podemos, si se quiere, simplificarla: y = 7 −
20
−3
.
5
3
3
3
x − ⋅5 → y = 4 − x
5
5
5
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
b) Pasa por (0, 4) u tiene una pendiente de
y = 4+
7
.
3
7
x . Observa que (0, 4) está en el eje Y . Es decir, 4 es la ordenada en el
3
origen.
c) Pasa por (-2, 7) y por (4, 5).
Empezamos hallando su pendiente: m =
5−7
−2
1
=
=−
4 − (−2)
6
3
Ecuación de la recta que pasa por (-2, 7) y cuya pendiente es −
1
.
3
1
y = 7 − ( x + 2) (*)
3
También podríamos hallarla a partir del otro punto:
Ecuación de la recta que pasa por (4, 5) y cuya pendiente es −
1
:
3
1
y = 5 − ( x − 4) (**)
3
¿Coincidirán? ¡Naturalmente! Puedes comprobarlo simplificando las ecuaciones
(*) y (**).
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Escribimos la fórmula para el cálculo de la función y los valores de los términos de esta que
conocemos, para que al pinchar en el icono ‘=’ obtengamos la función. En esta primera imagen
plantearemos cómo insertar la fórmula y los términos que vamos a conocer, y en los siguientes
puntos sólo tendremos que rellenar con los datos y pinchar en el icono ‘=’ para resolver.
Figura 46
21
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
2. Apartado a.
Figura 47
3. Apartado b.
Figura 48
4. Apartado c.
22
Figura 49
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 7.
Representar la función cuya expresión analítica es:
0,5 x + 1 x < 4
y = f ( x) = 
x≥4
 1
Solución.
•
Empezamos representando la recta y = 0,5 x + 1 . Pasa por (0, 1) y tiene pendiente 0,5;
es decir, cuando x avanza 2, y sube 1.
Esta recta solo nos vale hasta el punto de abscisa 4. En él, la ordenada es:
0,5 ⋅ 4 + 1 = 3
•
El siguiente tramo es la recta y = 1 . Solo es válido a partir del punto de abscisa 4.
•
La representación es la parte continua de la gráfica anterior. Para terminarla, además
de suprimir la parte punteada, hemos de determinar el punto de empalme:
-
Como el primer tramo es para x < 4 , no llega a este punto. Eso lo indicamos
rodeando el punto con una circunferencia, es decir, dejando un hueco: el punto no
pertenece.
-
El punto de abscisa 4 sí pertenece al segundo tramo, pues está definido para
x ≥ 4 . Esto se indica señalándolo con una rayita.
¡ATENCIÓN! Cuando dos tramos consecutivos no empalman (es decir, hay un
escalón como sucede en este caso), entonces el punto límite puede estar en uno de
los dos tramos o en ninguno de ellos, pero nunca puede estar en los dos. En tal
caso no sería una función. Por lo tanto es una función discontinua en x=4.
23
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 50
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para las funciones por partes, debemos representar cada una por separado pero siempre
dentro del mismo bloque para que aparezcan en el mismo tablero. Para representar una parte
escribimos ‘dibujar’ y a continuación, entre paréntesis, la función, la variable en cuestión y
después el intervalo separado por dos puntos (los tres ítems que van entre paréntesis serán
separados por una coma).
Figura 51
2. Ahora rellenamos con los datos del ejercicio y pinchamos en ‘=’ para obtener nuestra
representación.
Figura 52
24
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
Figura 53
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 8.
Representar la función cuya expresión analítica es:
0,5 x + 1 x < 4
y = f ( x) = 
x≥4
 3
Solución.
Es una función muy parecida a la anterior. Por eso, representamos directamente los dos
tramos de que consta:
Figura 54
25
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
Puesto que ahora los dos tramos empalman en el punto de abscisa 4, no nos ocuparemos
de si el punto pertenece a uno o a otro tramo.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para las funciones por partes, debemos representar cada una por separado pero siempre
dentro del mismo bloque para que aparezcan en el mismo tablero. Para representar una parte
escribimos ‘dibujar’ y a continuación, entre paréntesis, la función, la variable en cuestión y
después el intervalo separado por dos puntos (los tres ítems que van entre paréntesis serán
separados por una coma).
Figura 55
2. Ahora rellenamos con nuestra función, la variable y el intervalo que correspondan a cada
tramo y así obtendremos nuestra representación después de pinchar en ‘=’.
Figura 56
26
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
Figura 57
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 9.
Representar la función cuya expresión analítica es:
si
x < −1
 4

f ( x) = 0,5 x + 4,5 si − 1 ≤ x < 3
 1
si
x≥3

Solución.
Para representarla, vamos a obtener dos puntos en cada intervalo, los extremos de los
segmentos que hemos de representar:
1.er TRAMO
(-6, 4)
(-1, 4)
2.º TRAMO
0,5 ⋅ (−1) + 4,5 = 4 → (−1,4)
0,5 ⋅ 3 + 4,5 = 6 → (3,6)
3.er TRAMO
(3, 1)
(10, 1)
Representando los tres tramos (teniendo en cuenta si los extremos pertenecen o no),
obtenemos la gráfica de la función.
27
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 58
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para las funciones por partes, debemos representar cada una por separado pero siempre
dentro del mismo bloque para que aparezcan en el mismo tablero. Para representar una parte
escribimos ‘dibujar’ y a continuación, entre paréntesis, la función, la variable en cuestión y
después el intervalo separado por dos puntos (los tres ítems que van entre paréntesis serán
separados por una coma).
Figura 59
2. Ahora rellenamos con nuestra función, la variable y el intervalo que correspondan a cada
tramo y así obtendremos nuestra representación después de pinchar en ‘=’.
Figura 60
28
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
Figura 61
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 10.
Representa las funciones cuyas expresiones analíticas son las siguientes:
2 x − 5, x < 3
 x + 1, x > 3
a) y = 
Esta es una función a trozos, por lo que seguiremos el mismo proceso que en los ejercicios
anteriores, solamente teniendo en cuenta que representaremos una función hasta el final de su
intervalo y entonces representaremos la otra. Para representar las funciones usaremos dos
tablas para dar valores.
2x-5
X
x+1
Y
X
Y
0
-5
4
6
1
-3
5
6
2
-1
6
7
Representaremos 2x-5 hasta 3 y x+1 a partir de 3.
29
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 62
2 x − 5, x < 3
 x − 2, x ≥ 3
b) y = 
Para resolver este apartado, representaremos la primera función hasta 3 y a partir de 3, la
segunda. Para representar los dos trozos calcularemos tres pares de coordenadas de cada
función, teniendo en cuenta que debemos elegirlos del trozo que corresponde a cada función,
y después los uniremos.
2x-5
X
x+1
Y
X
0
-5
4
6
1
-3
5
6
2
-1
6
7
Figura 63
30
Y
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
 − 3, x ≤ 0

c) y =  x − 3, 0 < x < 5
 2, x ≥ 5

Como es una función a trozos, representaremos las tres partes solamente teniendo en cuenta
que representaremos una función hasta el final de su intervalo, a continuación la siguiente y
después la última. Para representar las funciones usaremos tres tablas para dar valores.
-3
x-3
X
Y
X
2
Y
X
Y
-3
-3
1
-2
6
2
-2
-3
2
-1
7
2
-1
-3
3
0
8
2
Figura 64
x < −1
 x,

d) y = − 1,
−1 < x < 3
 3 x + 1, 3 < x ≤ 5

Esta función tiene tres trozos, lo que significa que consta de tres funciones que hay que
representar. Para ello, daremos valores a las tres utilizando la tabla siguiente y luego uniremos
los tres pares de valores de cada función. Debemos recordar que los valores de x que
elegiremos para sustituir en las funciones deben estar dentro de su intervalo correspondiente
31
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
(por ejemplo, para la función x, elegiremos valores menores que -1) porque de lo contrario no
nos servirían.
x
-1
X
Y
3x+1
X
Y
X
Y
-4
-4
0
-1
4
13
-3
-3
1
-1
4,5
14,5
-2
-2
2
-1
5
16
Figura 65
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para las funciones por partes, debemos representar cada una por separado pero siempre
dentro del mismo bloque para que aparezcan en el mismo tablero. Para representar una parte
escribimos ‘dibujar’ y a continuación, entre paréntesis, la función, la variable en cuestión y
después el intervalo separado por dos puntos (los tres ítems que van entre paréntesis serán
separados por una coma).
Figura 66
32
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
2. Apartado a.
Figura 67
Figura 68
3. Apartado b.
Figura 69
33
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 70
4. Apartado c.
Figura 71
34
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 8. Las funciones lineales.
Figura 72
5. Apartado d.
Figura 73
35
4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 74
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
36