Optimización Versus Determinación de Raices de Ecuaciones.

Optimización Versus Determinación de Raices de Ecuaciones.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica. Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.
1
Introducción.
La determinación de raices de una ecuación no lineal representa una oportunidad para comparar las ventajas
relativas entre dos procesos numéricos frecuentemente empleados en ingenierı́a. Considere el problema de
maximizar o minimizar una función real de variable real
Maximizar f (x)
− ∞ < x < ∞.
(1)
Primeramente, debe reconocerse que ambos problemas, la maximización y la minimización, pueden considerarse de manera unificada, pues, si se desea minimizar una función, digamos
Minimizar f (x)
− ∞ < x < ∞.
(2)
Este problema puede resolverse como si fuera un problema de maximización del negativo de la función
original, es decir
Maximizar
− f (x)
− ∞ < x < ∞.
(3)
La tarea de optimizar, maximizar o minimizar, una funcion real sin restricción alguna representa la tarea
mas sencilla de una rama de las matemáticas aplicadas conocida como Teoria de Optimización.
Existen dos maneras de resolver este problema:
1. Empleando la teorı́a clásica del cálculo diferencial. Es bien sabido que las raices de la derivada de la
función f (x) representan los puntos crı́ticos de la función. Estos puntos crı́ticos pueden ser puntos
máximos, mı́nimos o puntos de inflexión horizontales.
2. Empleando las técnicas de optimización desarrolladas en los últimos setenta años.
En la dirección opuesta, el problema de busqueda de las raices de una ecuación no lineal puede resolverse
de dos maneras:
1. Empleando las técnicas mostradas en esta parte del curso de análisis numérico: Como el método de
bisección, el método de Newton-Raphson o el método de la secante.
2. Empleando las técnicas de optimización desarrolladas en los últimos setenta años. En particular, considere
el problema de encontrar la o las raices de la función
f (x) = 3 x3 − 6 x2 + 20 x − 20
La gráfica de la función se muestra en la figura 1.
1
(4)
300
200
x
−5
−4
−3
100
−1
0
−2
1
2
3
4
5
0
−100
−200
−300
−400
−500
−600
Figure 1: Gráfica de la función f (x), cuya raiz se desea obtener.
600
500
400
300
200
100
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
Figure 2: Gráfica del valor absoluto, |f (x)|, de la función f (x), cuya raiz se desea obtener.
La raiz de la función, f (x), puede obtenerse minimizando la función
|f (x)| = |3 x3 − 6 x2 + 20 x − 20|
(5)
La gráfica de esta función se muestra en la figura 2.
Finalmente, estas notas incluyen una descripción del método de bisección para maximizar una función.
Considere una función cualquiera cuya gráfica se muestra en la figura 3. Suponga que en el k-ésimo paso del
método de bisección, donde el intervalo (ak , bk ) contiene a un máximo de la función. Dado un número positivo
muy pequeño, , determine los puntos
mk−1 =
ak + b k
−
2
mk+1 =
ak + b k
+
2
(6)
Los puntos mk−1 y mk+1 están muy cercanos al punto medio del intervalo (ak , bk ). Si se evalua la función en
estos puntos mk−1 y mk+1 , es posible reducir el intervalo que contiene el máximo de la función, de acuerdo a
los siguientes criterios
2
Figure 3: Determinación del Intervalo Reducido Durante el Método de Bisección.
1. Primer Caso: f (mk−1 ) > f (mk+1 ), en este caso, el nuevo intervalo es
(ak+1 = ak , bk+1 = mk+1 )
2. Segundo Caso: f (mk−1 ) < f (mk+1 ), en este caso, el nuevo intervalo es
(ak+1 = mk−1 , bk+1 = bk )
La validez de estos criterios puede verificarse mediante los ejemplos mostrados en la figura 3.
El criterio de finalización del método puede ser el que se hayan realizado un determinado número de iteraciones, o bien que la longitud del intervalo (ak , bk ), dado por
L k = b k − ak
sea menor que un número positivo pequeño.
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