Algebra Moderna (Teor´ıa de Grupos)

Álgebra Moderna (Teorı́a de Grupos) por Marı́a Luisa Pérez Seguı́ Introducción Se presenta aquı́ el material correspondiente a un curso de Teorı́a de Grupos introductorio. El material del libro constituye el 100 % del curso que se imparte con el nombre de Álgebra Moderna en la Facultad de Ciencias Fı́sico-Matemáticas de la Universidad Michoacana. En el texto se intercalan numerosos ejemplos inmediatamente después de que se ha introducido un concepto nuevo, de manera que sea más completa la comprensión del concepto. Se proponen también diversos ejercicios; algunos de ellos son rutinarios, mientras que la solución de otros requiere de un mayor esfuerzo, imaginación y dedicación, fomentando en el alumno las primeras técnicas de investigación en el tema. La sección 1 está dedicada a describir los conceptos básicos en la teorı́a de grupos y a familiarizar al alumno con los ejemplos más importantes, incluyendo diversas formas de construir grupos a partir de otros grupos dados. Se establece también la nomenclatura esencial para el desarrollo de la teorı́a. La sección 2 trata de un ejemplo muy importante dentro de la teorı́a: los grupos de permutaciones. La importancia de estos grupos radica en que todo grupo se puede ver como subgrupo de uno de ellos. La tercera sección está dedicada a un repaso de teorı́a de números. Además de que esta teorı́a nos provee de ejemplos muy importantes de grupos, muchas de las técnicas de demostración en la teorı́a de grupos requieren de las técnicas de teorı́a de números que aquı́ se presentan. Se inicia también con los ejemplos de teorı́a de números el estudio de la estructura cociente. Se inicia la sección 4 estudiando las clases laterales de un grupo con respecto a un subgrupo. Dentro de la sección se demuestra el teorema de Lagrange. Se da también la definición de subgrupo normal, esencial para la construcción de la estructura cociente, y se dan numerosos ejemplos de grupos cociente. En la sección 5 se estudian los homomorfismos, los cuales permiten relacionar unos grupos con otros. Dentro de la sección se demuestran los teoremas de isomorfismo y el teorema de la correspondencia. La sección 6 contiene el desarrollo básico de la acción de grupos en conjuntos, esencial en muchas áreas de matemáticas. Se demuestra la ecuación de clase y que el grupo alternante An con n ≥ 5 es simple. Se estudian además en esta sección los p-grupos. La sección 8 trata el teorema de Sylow. Se da la demostración del mismo y diversas i aplicaciones, En la sección 9 se establece el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos, el cual da una clasificación completa de estos grupos. Marı́a Luisa Pérez Seguı́ Fac. Cs. Fı́sico-Matemáticas Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Febrero, 2014 ii Índice Introducción I 1. Conceptos básicos 1.1. 1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Subgrupos y generación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Grupos de permutaciones 4 7 3. Teorı́a de Números 3.1. 1 11 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Clases laterales y cocientes 11 19 4.1. Clases laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2. Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5. Homomorfismos 25 5.1. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2. Homomorfismos en cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6. Acciones de grupos en conjuntos 34 6.1. Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.2. p-grupos 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Teorema de Sylow 43 8. Grupos abelianos finitos 49 Referencias y lecturas complementarias 51 iii 1. Conceptos básicos 1.1. Grupos Un grupo es un conjunto no vacı́o G junto con una operación binaria ∗, es decir, una función ∗ : G × G → G llamada producto o multiplicación, que satisface las siguientes propiedades: (a) ∗ es asociativa: ∀ a, b, c ∈ G se tiene a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c (escribimos a ∗ b ∗ c). (b) Hay elemento neutro e, es decir, un elemento e que satisface que para toda a ∈ G, se tiene que a ∗ e = a = e ∗ a. (c) Hay inversos, es decir para toda a ∈ G existe a0 ∈ G tal que a ∗ a0 = e = a0 ∗ a. Si además ∗ satisface: (d) ∗ es conmutativa, es decir, para todos a, b ∈ G se tiene que a ∗ b = b ∗ a. entonces decimos que G es un grupo abeliano o conmutativo. 1.1 Proposición. En un grupo sólo hay un elemento neutro y los inversos también son únicos. Demostración. Supongamos que e y e0 son dos elementos que funcionan como neutros. Entonces e = e ∗ e0 = e0 (en la primera igualdad se usó que e0 es neutro y, en la segunda, que e es neutro). Supongamos que a tiene dos inversos a0 y a00 . Entonces a0 = a0 ∗ e = a0 ∗ (a ∗ a00 ) = (a0 ∗ a) ∗ a00 = e ∗ a00 = a00 .♦ Notación. Hablamos del grupo (G, ∗) o, si la operación se sobreentiende, del grupo G. También en muchos casos omitimos el sı́mbolo ∗ y, en lugar de hablar del elemento a ∗ b, hablamos del elemento ab. Al elemento neutro se le llama uno o elemento unitario y se le denota por 1 (o 1G , si quiere enfatizarse que es el neutro del grupo G). Al elemento inverso de a lo denotamos por a−1 . En muchos casos, cuando el grupo es abeliano a la operación ∗ se la denota por + y se le llama suma o adición; en este caso, al elemento neutro se le llama cero y se le denota por 0; también en lugar de a−1 escribimos −a y en lugar de a + (−b) escribimos a − b. 1.2 Proposición. En un grupo vale la ley de la cancelación, es decir, si ab = ac (o ba = ca) para a, b, c elementos en el grupo, entonces b = c. Demostración. Multiplicamos por el inverso de a por la izquierda. ♦ 1 1.3 Ejemplo. (a) (Z, +) es grupo abeliano. (b) (N, +) no es grupo pues no hay inversos. (c) (Q, +) es grupo abeliano. (d) (R, +) es grupo abeliano. (e) (C, +) es grupo abeliano. (f) (Q \ {0}, ·) es grupo abeliano. (g) (R \ {0}, ·) es grupo abeliano. (h) (C \ {0}, ·) es grupo abeliano. (i) (Z \ {0}, ·) no es grupo pues no hay inversos. (j) El conjunto M2 (R) de las matrices de 2 × 2 (o de n × n) con coeficientes reales (o con coeficientes en alguno de los grupos anteriores), con la operación de suma de matrices, es grupo abeliano. (k) El conjunto GL2 (R) (grupo general lineal) de las matrices de 2 × 2 (o de n × n) con coeficientes reales (o en Q o en C y determinante distinto de 0, con la operación de producto de matrices, es grupo no abeliano. (l) El conjunto R[x] de polinomios con coeficientes reales (o en N, Z, Q o C), con la operación de suma, es grupo abeliano. (m) R2 (o Rn , o cualquier espacio vectorial) con la suma de vectores es grupo abeliano. (n) Si G y H son grupos, entonces G × H con lo operación coordenada a coordenada es grupo. (ñ) Si X es un conjunto y G es un grupo, entonces el conjunto de funciones de X en G, F(X, G) con la operación (φ ∗ ψ)(x) = φ(x)ψ(x) (esta última realizada en G) es grupo. (o) El conjunto SX de funciones biyectivas de un conjunto X en sı́ mismo, con la operación de composición, es un grupo no abeliano. (p) Z6 con la suma módulo 6 (o Zn con la operación módulo n) es grupo abeliano. Más adelante estudiaremos estos dos últimos con más detalle. Los ejemplos que acabamos de mencionar son clásicos de la teorı́a y de aquı́ en adelante hablaremos de ellos sin mencionar la operación (por ejemplo, hablaremos del grupo Z sin especificar que la operación es la suma, del grupo C \ {0} sin decir que la operación es la multiplicación o de SX sin aclarar que la operación es la composición de funciones, etc. Notación. Si G es un grupo y a ∈ G, al resultado de operar a consigo mismo n veces (para n ∈ N) lo denotamos por an (en el caso aditivo, por na) y al resultado de operar a−1 consigo mismo n veces lo denotamos por a−n . Escribimos también a0 = 1. 2 1.4 Proposición. Si n, m ∈ Z y a, b ∈ G, con G grupo, entonces (a) (a−1 )−1 = a, es decir, el inverso del inverso de a es a mismo. (b) (ab)−1 = b−1 a−1 . (c) am an = am+n . (d) (am )n = amn . (e) Si G es conmutativo entonces (ab)n = an bn . Demostración. Probemos (a) y (c) y dejemos (b), (d) y (e) como ejercicio. (a) Basta observar que aa−1 = 1 = a−1 a. (c) El resultado es claro si m, n ∈ N ∪ {0}. Para alguno de m o n negativos basta observar que a−k = (ak )−1 . ♦ 1.5 Ejercicio. Reescribir las condiciones de la proposición anterior en la forma aditiva. El orden de un elemento a 6= 1 en un grupo G está definido como el menor entero positivo r tal que ar = 1. Si no existe tal r decimos que el orden de a es infinito. Decimos que el orden de 1 es 1. En grupos finitos todo elemento tiene un orden finito, lo cual se deduce de inmediato de la siguiente proposición. 1.6 Proposición. Si G es un grupo finito y a ∈ G, entonces existe r ∈ N tal que ar = 1. Demostración. La lista infinita a, a2 , a3 , . . . consta de elementos de G, que es finito, ası́ que debe haber dos valores iguales, es decir, existen i < j naturales tales que ai = aj . Como en un grupo se vale la cancelación, tenemos que aj−i = 1. ♦ 1.7 Ejercicio. Probar que si en un grupo todo elemento distinto de 1 tiene orden 2, entonces el grupo es abeliano. 1.8 Ejercicio. Probar que si G es grupo y a, b ∈ G son tales que ab = 1 entonces b = a−1 . 1.9 Ejercicio. (∗) Probar que si G es grupo con un número par de elementos, entonces existe a ∈ G de orden 2 (es decir, un elemento a 6= 1 que es su propio inverso). 0 −1 0 1 1.10 Ejercicio. (∗) En GL2 (Q) sean A = yB = . Probar que A 1 0 −1 1 tiene orden 4 y que B tiene orden 6 pero que AB tiene orden infinito. (Nota: Multiplicar por el matriz A tiene el efecto de la multiplicación compleja por el número i, es decir, de una rotación del plano 90o ). 1.11 Ejercicio. (∗) En C \ {0} encontrar, para cada n ∈ N, un elemento de orden n. Encontrar también un elemento de orden infinito. 3 Dos elementos a y b en un grupo G son conjugados si existe x ∈ G tal que a = xbx−1 . Esto establece una relación de conjugación dentro del grupo G. 1.12 Ejercicio. Probar que la relación de conjugación es relación de equivalencia, es decir: es reflexiva (para todo a ∈ G, a es conjugado de a), es simétrica (para cualesquiera a, b ∈ G, si a es conjugado de b entonces b es conjugado de a) y es transitiva (para cualesquiera a, b, c ∈ G si a es conjugado de b y b es conjugado de c entonces a es conjugado de c). 1.13 Ejercicio. Probar que un grupo G es abeliano si y sólo si para toda a ∈ G el único conjugado de a es a mismo. En particular, si G es abeliano entonces la relación de conjugación es la igualdad. 1.14 Ejercicio. (∗) Sean a y b elementos de un grupo G. (a) Probar que si G es finito, y a y b son conjugados entonces el orden de a es igual al de b. (b) Probar que ab y ba son conjugados (en particular, en el caso en que G sea finito, tienen el mismo orden). 1.2. Subgrupos y generación Si G es un grupo y H ⊂ G, decimos que H es subgrupo de G, y escribimos H ≤ G, si H con la operación restringida es él mismo un grupo. 1.15 Proposición. Sea G un grupo y sea H ⊂ G. Entonces H es subgrupo de G si y sólo si en H se satisfacen las siguientes tres propiedades: (a) 1 ∈ H. (b) Si a, b ∈ H entonces ab ∈ H (decimos que H es cerrado bajo la operación de G). (c) Si a ∈ H entonces a−1 ∈ H. Demostración. Supongamos primero que H es grupo y sea e el neutro de H. Entonces ee = e = 1e, de donde, cancelando e, tenemos e = 1 y ası́ 1 ∈ H. La propiedad (b) es clara porque H es grupo. Veamos (c): Se a ∈ H. Sabemos que a tiene inverso en H, llamémosle a0 . Queremos ver que a0 = a−1 , el inverso de a en G. Tenemos a−1 = a−1 1 = a−1 aa0 = 1a0 = a0 . Para ver que si H satisface (a), (b) y (c) entonces H es grupo sólo nos falta ver la asociatividad pero ésta es clara pues la operación es la misma que la de G. ♦ 4 1.16 Observación. En la proposición anterior la condición (a) puede sustituirse por: (a0 ) H 6= ∅. Demostración. Tenemos que probar (a), (b), (c) ⇔ (a0 ), (b), (c). Es claro que (a) ⇒ (a0 ). Para ver la otra implicación, en vista de que H 6= ∅, tomemos a ∈ H. Entonces, por (c), a−1 ∈ H y, por (b), aa−1 ∈ H, de donde 1 ∈ H. ♦ 1.17 Ejemplo. (a) Si G es un grupo entonces {1} y G son subgrupos de G. (b) Si n ∈ N entonces nZ = {na : a ∈ Z} es subgrupo de Z. (c) Z ≤ Q ≤ R ≤ C. (d) {1, −1} ≤ R \ {0}. (e) S 1 = {z ∈ C : ||z|| = 1} ≤ C \ {0}. (f) El subconjunto SL2 (R) (grupo especial lineal) de GL2 (R) de las matrices con determinante 1 es subgrupo de GL2 (R). (g) El conjunto de polinomios con coeficientes en R y término constante 0 es subgrupo de R[x]. (h) Para n natural, el conjunto de polinomios con coeficientes en R y grado menor o igual que n es subgrupo de R[x]. (i) {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0} es subgrupo de R2 . (j) Si X es un conjunto y x0 ∈ X entonces {f ∈ SX : f (x0 ) = x0 } ≤ SX . (k) Si G y H son grupos, entonces G × {1H } ≤ G × H. (l) El conjunto de funciones continuas de R en sı́ mismo es subgrupo de F(R, R). 1.18 Ejercicio. Probar que si {Hi : i ∈ T I} es una familia arbitraria de subgrupos de un grupo G entonces la intersección de ellos, i∈I Hi , es subgrupo de G. 1.19 Ejercicio. (∗) Dar un ejemplo de un grupo G y de dos subgrupos H y K tal que H ∪ K no sea subgrupo de G. 1.20 Ejercicio. Probar que si H y K son subgrupos de un grupo G tales que H ∪ K es subgrupo de G, entonces H ⊂ K o K ⊂ H. Dado un grupo G denotamos por <X > a la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a X que, gracias a 1.18, es un subgrupo; es, además, el menor subgrupo que contiene al conjunto X (en el sentido de que cualquier otro subgrupo que contenga a X contiene a <X >); se llama subgrupo generado por X y se dice que X es un conjunto generador del grupo <X> . Decimos que un grupo es cı́clico si está generado por un solo elemento a; en este caso escribimos G =<a> (en lugar de G =<{a}>) y decimos que a genera G. Decimos que G es finitamente generado si existe X finito, X = {x1 , x2 , . . . , xn }, tal que G = <X>; en este caso escribimos G =<x1 , x2 , . . . , xn>. 5 1.21 Proposición. Si G es un grupo y ∅ = 6 X ⊂ G entonces <X>= {xr11 xr22 · · · xrkk : k ∈ N, x1 , x2 , . . . xk ∈ X, r1 , r2 , . . . rk ∈ {−1, 1}}. Demostración. Llamemos H al conjunto descrito en el lado derecho de la igualdad. Es claro que H contiene a X y que H ⊂<X>. Para ver la otra contención queremos ver que H es subgrupo de G, pero esto es obvio por 1.15. ♦ 1.22 Observación. Si G es grupo y X ⊂ G consta de un solo elemento x entonces <X>= {xr : r ∈ Z}.♦ Nuestro interés principal en este curso será el de estudiar grupos finitos. Al número de elementos de un grupo finito G se le llama orden de G y se le denota por |G|. 1.23 Proposición. Si G es grupo cı́clico finito de orden n y a es generador de G, entonces G = {a, a2 , . . . , an }. Demostración. La lista a, a2 , . . . an+1 tiene n+1 elementos, todos dentro de G. Entonces ak = 1 para cierta k ≤ n, pero entonces a−1 = ak−1 , a−2 = ak−2 , etc. y ası́, por 1.22 G = {xr : r ∈ Z} = {a, a2 , a3 , . . . , ak } y, como G tiene n elementos, se debe tener k = n. ♦ 1.24 Observación. Si G es un grupo, H un subgrupo de G generado por un conjunto X y K es otro subgrupo de G, entonces para probar que H ⊂ K basta probar que X ⊂ K. 1.25 Ejemplo. (a) Z es cı́clico pues Z =<1>. (b) <∅>= {1}. (c) Si n ∈ N entonces nZ es subgrupo cı́clico de Z (generado por n). (d) {1, −1, i, −i} es un subgrupo cı́clico de C \ {0} (generado por i). 1.26 Ejercicio. (∗) Probar que Q está generado por { n1 : n ∈ N}. 1.27 Ejercicio. Probar que Z[x] está generado por {1, x, x2 , x3 , . . .}. 1.28 Ejercicio. (∗) Probar que todo grupo cı́clico es abeliano. 1.29 Ejercicio. (∗) Probar que si G 6= {1} es un grupo y los únicos subgrupos de G son {1} y G mismo, entonces G es cı́clico de orden primo. 6 2. Grupos de permutaciones Para n ∈ N denotamos por Sn al conjunto de funciones biyectivas de [n] = {1, 2, . . . , n} en sı́ mismo. Cada una de estas funciones se llama permutación de n. Observemos primero que el orden de Sn es n!. Dada una permutación σ : [n] → [n] hay varias formas de denotar a σ. Si σ(i) = ai dos notaciones naturales son: 1 2 ··· n σ= = (a1 , a2 , . . . , an ). a1 a2 · · · an La segunda notación se llama lineal. Hay otra forma importante de denotar a la permutación σ llamada forma cı́clica. Es como sigue: Se escoge un número a, se abre un paréntesis y se escribe a continuación de a, σ(a), después σ(σ(a)) y ası́ sucesivamente hasta llegar a a mismo que ya no se escribe y se cierra el paréntesis; esto se llama ciclo de la permutación; después, en caso de que no se hayan usado todos los números de [n] se escoge un número b no usado y se repite el procedimiento poniendo otro ciclo a continuación del primero y ası́ sucesivamente hasta que estén usados todos los números. Hagamos un ejemplo. Supongamos que en forma lineal σ es la permutación (5, 7, 6, 4, 2, 3, 1); esto corresponde a la forma cı́clica σ = (1 5 2 7)(3 6)(4). Observemos que una misma permutación tiene varias formas cı́clicas; ası́ (2 7 1 5)(4)(6 3) y (3 6)(4)(7 1 5 2) también representan a la permutación del ejemplo (entre otras). La longitud de un ciclo es el cantidad de números que lo forman; a un ciclo de longitud 2 se le llama biciclo o transposición, a uno de longitud r se le llama r-ciclo (la permutación que dimos en el ejemplo tiene tres ciclos: uno de longitud 1, un biciclo y un 4-ciclo). Un punto fijo de una permutación σ es un i ∈ [n] tal que σ(i) = i. 2.1 Ejercicio. Descomponer en forma cı́clica las permutaciones (8, 2, 4, 6, 3, 5, 7, 1) y (5, 2, 7, 1, 9, 4, 6, 8, 3) y encontrar sus puntos fijos. 2.2 Ejercicio. Encontrar la forma lineal de las permutaciones cuya forma cı́clica es (4 1 3)(6 5 2)(10 9 8 7) y (4 1 3)(5)(6)(8 7 2). Ahora recordemos que Sn es un grupo y notemos que cada ciclo puede considerarse como una permutación en la que los elementos que no aparecen se consideran fijos. En este caso, es fácil convencerse de que cada permutación es el producto de las permutaciones determinadas por sus ciclos; por ejemplo, en S5 , la permutación (2 5 3)(1 4) es el producto de las permutaciones (2 5 3)(1)(4) y (2)(5)(3)(1 4). Decimos que toda permutación es el producto de sus ciclos. De hecho, en muchas ocasiones se escriben las permutaciones en forma cı́clica omitiendo los ciclos de longitud 1. Por otro lado, en este caso es claro que no importa el orden en que se escriben los ciclos, pero aquı́ es importante hacer notar que esto 7 se debe a que los ciclos son ajenos. En general, el producto en Sn no es conmutativo y la costumbre es, como en el lenguaje de funciones, hacer el producto (composición) de derecha a izquierda; por ejemplo, (1 2)(2 3) = (1 2 3) y (2 3)(1 2) = (1 3 2). 2.3 Ejercicio. Dadas las permutaciones (1 4 2 6), (1 5) y (1 5 2)(4 3), encontrar sus inversas. 2.4 Ejercicio. ¿Es cierto que si σ, τ ∈ Sn entonces (στ )−1 = σ −1 τ −1 ? 2.5 Ejercicio. Escribir en estructura cı́clica las permutaciones resultantes de los siguientes productos: (1 4)(2 4 5)(3 2 1 6) y (1 4 2)3 . 2.6 Ejercicio. (∗) Escribir en estructura cı́clica todos los elementos de S4 . 2.7 Proposición. El orden de una permutación es el mı́nimo común múltiplo de las longitudes de sus ciclos. Demostración. Es fácil convencerse que si la permutación es un ciclo entonces su orden coincide con su longitud. Como vimos arriba, los ciclos ajenos conmutan y esta observación basta para obtener el resultado. ♦ 2.8 Ejercicio. Escribir en forma cı́clica la permutación resultante del producto (2 4 1 3 5 6 7)6 . (Sugerencia. Hay una forma fácil de hacerlo.) 2.9 Ejercicio. Probar que {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} es subgrupo de S4 . Consideremos un cuadrado con sus vértices numerados del 1 al 4. El conjunto de elementos de S4 que no “tuercen” al cuadrado (es decir, las permutaciones σ tales el polı́gono σ(1), σ(2), σ(3), σ(4) es cuadrado) se llama grupo diédrico o grupo de simetrı́as del cuadrado y se le denota por D4 . 2.10 Ejercicio. Probar que D4 está generado por (1 4)(2 3) (reflexión) y (1 2 3 4) (rotación) y que D4 tiene 8 elementos. En general, se puede probar que el grupo de simetrı́as o grupo diédrico de un n-ágono, denotado por Dn , tiene 2n elementos y está generado por la rotación ((1 2 3 · · · n) y la ). reflexión (1 n)(2 n − 1)(3 n − 2) · · · (para n impar esta reflexión deja fijo al n+1 2 2.11 Proposición. El conjugado de σ por τ es la permutación que tiene la misma estructura cı́clica que σ y que se obtiene intercambiando cada i ∈ [n] por τ (i). Demostración. Observemos primero que si σ = β1 β2 · · · βr , con cada βk ciclo, entonces el conjugado de σ es el producto de los conjugados de los βk , ası́ que basta probarlo para 8 cuando σ es un ciclo (a1 a2 · · · am ). Tenemos τ στ −1 (τ (ai )) = τ σ(ai ) = τ (ai+1 ), donde los ı́ndices están calculados módulo m, y esto prueba la afirmación. ♦ 2.12 Ejercicio. (∗) Probar el recı́proco de la proposición anterior, es decir, que si σ 0 tiene la misma estructura cı́clica que σ, entonces σ 0 es conjugado de σ. Dada una permutación σ ∈ Sn decimos que i, j ∈ [n] forman inversión si i < j pero σ(i) > σ(j). Decimos que una permutación es par o impar de acuerdo a su número de inversiones. Para contar el número de inversiones de una permutación escrita en su forma lineal contamos cuántos elementos a la derecha de cada número son más pequeños que él; por ejemplo la permutación (4, 3, 7, 1, 8, 2, 6, 5) tiene 3 + 2 + 4 + 0 + 3 + 0 + 1 + 0 = 13 inversiones, ası́ que es una permutación impar. 2.13 Proposición. Toda permutación se puede escribir como producto de biciclos, es decir, el conjunto de todos los biciclos genera Sn . No hay unicidad en esta escritura, ni siquiera en cuanto al número de biciclos; sin embargo la paridad de la cantidad de biciclos coincide con la paridad de la permutación. Demostración. Basta escribir cada ciclo como producto de biciclos; esto es fácil pues, por ejemplo, (1 2 3 4 5) = (1 5)(1 4)(1 3)(1 2). La escritura no es única ni siquiera en cuanto al número de biciclos pues también (1 2 3 4 5) = (1 2)(2 3)(3 4)(4 5) = (1 3)(2 4)(1 4)(1 4)(1 3)(2 4)(1 2)(2 5)(2 4)(2 3). Para ver que la paridad del número de biciclos sı́ es única basta ver que al multiplicar una permutación cualquiera por un biciclo su paridad (como permutación) cambia. Sean entonces i, j ∈ [n], con i < j, y sea σ ∈ Sn con escritura lineal (a1 , a2 , . . . , an ). Entonces σ(i j) es la permutación que intercambia ai y aj en su escritura lineal, de donde es claro que el número de inversiones de los ak , para k < i o k > j, con respecto a los demás, no cambia; por otro lado, sean x(i) = #{ak : i < k < j, ai < ak } x(j) = #{ak : i < k < j, ak < aj } y(i) = #{ak : i < k < j, ai > ak } y(j) = #{ak : i < k < j, ak > aj }. Tenemos que los ak entre ai y aj que forman inversión en σ son y(i) + y(j); por otro lado x(i) + y(i) = x(j) + y(j) = (#{k : i < k < j}), de donde x(i) + y(i) + x(j) + y(j) es par y entonces x(i) + x(j) y y(i) + y(j) tienen la misma paridad. Al multiplicar por σ por (i j), los ak entre aj y ai que forman inversión son x(i) + x(j), es decir, no se alteró la paridad de las inversiones con los ak ; sin embargo falta tomar en cuenta que ai y aj quedan al revés de como estaban ası́ que modifican en 1 el número de inversiones. ♦ 9 2.14 Observación. El conjunto An de permutaciones pares de Sn es subgrupo de Sn ; se llama grupo alternante. 2.15 Proposición. Para n ≥ 2 el número de permutaciones pares en Sn es el mismo que el de impares. Demostración. La función µ(1 2) : Sn → Sn dada por µ(σ) = σ(1 2) (la multiplicación por (1 2)) es una biyección que manda permutaciones pares en impares (y viceversa). ♦ 2.16 Ejercicio. Probar que un ciclo de longitud r es permutación par si y sólo si r es impar. Otra notación útil para las permutaciones se obtiene al considerarlas como matrices. La matriz Aσ de una permutación σ tiene 1 en el lugar (i, j) si y sólo si σ(i) = j; en las demás entradas Aσ tiene 00 s. 2.17 Ejercicio. Probar que, mediante la multiplicación de matrices, si σ ∈ Sn entonces     σ(1) 1  2   σ(2)      Aσ  ..  =  ..  . .  .  σ(n) n 2.18 Ejercicio. (∗) Probar que si σ ∈ Sn entonces det(Aσ ) = ±1, y que el signo es 1 si y sólo si la permutación es par. 10 3. 3.1. Teorı́a de Números Divisibilidad Recordemos que para a y b enteros decimos que a divide a b (o que b es múltiplo de a), en sı́mbolos a b, si es posible encontrar un entero x de tal manera que ax = b. Si a no divide a b escribimos a 6 b. Por ejemplo −12 36, cualquier entero divide a 0 y 1 divide a cualquier entero. Las siguientes propiedades son muy sencillas de demostrar y dejan como ejercicio al lector. 3.1 Proposición. (a) Para todo entero a se tiene a a. (Se dice que la relación de divisibilidad es reflexiva.) (b) Si a, b y c son enteros tales que a b y b c entonces a c. (Se dice que la relación de divisibilidad es transitiva.) (c) Es posible que a b pero que b 6 a. (Se dice que la relación de divisibilidad no es simétrica.) (d) Para a y b enteros, a b y b a si y sólo si |a| = |b| (es decir, a = ±b). (e) Para a, b y c enteros, tenemos que a b y a c si y sólo si a rb + sc para cualesquiera r y s enteros. A la expresión rb + sc se le llama combinación lineal de b y c. ♦ 3.2 Proposición. Algoritmo de la División. Dados dos enteros a y b con b 6= 0 existen enteros únicos q y r de tal forma que a = bq + r y 0 ≤ r < |b|. Demostración. Primero probaremos la existencia de los enteros q y r. Por simplicidad, consideraremos sólo el caso en que b > 0 y a ≥ 0. Los demás casos pueden deducirse de éste fácilmente. Consideremos todos los múltiplos no negativos de b: 0, b, 2b, 3b, . . . Sea qb el mayor múltiplo de b tal que qb ≤ a, es decir a se encuentra entre qb y (q + 1)b en la recta numérica (permitiéndose el caso en que a = qb). Definimos r := a − qb. r z}|{ ··· qb a (q + 1)b 0 b 2b .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... | | | | | | | {z } | {z } | {z } b b b 11 Entonces a = qb + r y, como la distancia entre dos múltiplos consecutivos de b es |b|, tenemos que 0 ≤ r < |b|, como querı́amos. Probaremos ahora la unicidad. Supongamos que (q1 , r1 ) y (q2 , r2 ), son parejas de enteros que satisfacen las condiciones. Tenemos que bq1 + r1 = bq2 + r2 . Supongamos que r1 6= r2 y, sin pérdida de generalidad, r2 > r1 ; ası́ (∗) b(q1 − q2 ) = r2 − r1 , lo cual es absurdo pues r2 − r1 ≤ r2 < b. Concluimos que r2 = r1 y entonces es claro que q1 = q2 . ♦ Desde luego, si no pidiéramos la condición 0 ≤ r < |b|, los enteros q y r no serı́an únicos; por ejemplo, si a = 20 y b = 6, la ecuación a = bq + r podrı́a ser cualquiera de las siguientes: 20 = 6 × 3 + 2, 20 = 6 × 4 + (−4), 20 = 6 × 0 + 20, 20 = 6 × (−1) + 26, etc. El número q en la proposición anterior es el cociente (de la división de a entre b) y el número r es el residuo (de la división de a entre b). 3.3 Ejercicio. Encontrar el cociente y el residuo de la división de a entre b en los siguientes casos: (a) a = 18 y b = 5. (b) a = 18 y b = −5. (c) a = −18 y b = 5. (d) a = −18 y b = −5. 3.4 Observación. Si a y b son enteros y b 6= 0, entonces b a si y sólo si el residuo r de la división de a entre b es 0. ♦ 3.5 Ejercicio. (∗) Sea a un elemento de orden r en un grupo y sea k ∈ N. Probar que a = 1 si y sólo si k es múltiplo de r. k 3.6 Ejercicio. (∗) Probar que si G es grupo cı́clico, entonces cualquier subgrupo de G también es cı́clico. (Sugerencia. Probar que si H 6= {1} es subgrupo de un grupo cı́clico G =<a> y k es el menor natural tal que ak ∈ H, entonces ak genera H.) En consecuencia, los subgrupos de Z son los nZ para n = 0, 1, 2, . . .. Dados dos números enteros a y b distintos de cero su máximo común divisor, en sı́mbolos mcd(a, b), es el mayor de sus divisores comunes. Si mcd(a, b) = 1, decimos que a y b son primos relativos o primos entre sı́. 3.7 Lema. Sean a y b enteros no cero con b 6 a. Si q y r son enteros tales que a = bq + r, 12 entonces mcd(a, b) = mcd(b, r). Demostración. Por 3.1(e) los divisores comunes de a y b también lo son de r, y que los de b y r también lo son de a. En particular el mayor de los divisores comunes de a y b es el mismo que el de b y r. ♦ El siguiente resultado es muy importante. Su demostración utiliza el Algoritmo de la División. 3.8 Proposición. Algoritmo de Euclides. Sean a y b enteros no cero. Entonces mcd(a, b) es combinación lineal de a y b. Demostración. Por simplicidad supondremos que a y b son positivos (el caso general se deduce trivialmente de éste ajustando signos). Si b a entonces mcd(a, b) = b que, obviamen te, es combinación lineal de a y b. Supongamos entonces que b 6 a. Utilizando el Algoritmo de la División consideremos enteros qi y ri de tal manera que  a = bq + r1 , 0 < r1 < b,     b = r1 q1 + r2 , 0 < r2 < r1 ,    r1 = r2 q 2 + r3 , 0 < r3 < r2 ,  (∗) ..  .    rn−2 = rn−1 qn−1 + rn , 0 < rn < rn−1 ,     rn−1 = rn qn . Por el lema anterior tenemos que mcd(a, b) = mcd(b, r1 ) = mcd(r1 , r2 ) = · · · = mcd(rn−1 , rn ) = rn . Ahora probaremos por inducción que todos los residuos r1 , . . . , rn son combinación lineal de a y b. La base de inducción consiste en probar que r1 y r2 son combinación lineal de a y b (si n = 1, entonces en el primer paso podemos terminar la prueba). Despejando r1 de la primera ecuación tenemos que r1 = a − bq, combinación lineal de a y b. Entonces en la segunda ecuación, r2 = b − r1 q1 = b − (a − bq)q1 = a(−q1 ) + b(1 + qq1 ); con esto termina la base de la inducción. Ahora supongamos que para cierta i ≥ 3 los dos residuos anteriores ri−1 y ri−2 son combinación lineal de a y b; como ri es combinación lineal de ri−1 y de ri−2 es fácil lograr ri también como combinación lineal de a y b utilizando la hipótesis de inducción. ♦ 3.9 Ejercicio. (∗) Sean a y b dos enteros no cero y sea d su máximo común divisor. Probar que cualquier divisor común de a y b también es divisor de d. 3.10 Ejercicio. (∗) Sean a y b enteros no cero y sea d su máximo común divisor. Probar que un número c es combinación lineal de a y b si y sólo si es múltiplo de d. 13 3.11 Ejercicio. (∗) Sean r, s ∈ Z y sea G un grupo cı́clico generado por a. Por 3.6 sabemos que el subgrupo de G generado por ar y as es cı́clico. Determinar un generador de este subgrupo. 3.12 Corolario. Sean a, b y c enteros tales que a bc. Si a y b son primos relativos entonces a c. Demostración. Sean r y s enteros tales que ar + bs = 1 y multipliquemos esta ecuación por c: arc + bsc = c. Como a arc y a bsc, entonces a c. ♦ Decimos que un entero p 6= ±1 es primo si sus únicos divisores son ±1 y ±p. Un entero no cero y distinto de ±1 es compuesto si no es primo. Los enteros 1 y −1 no son primos ni compuestos, se llaman unidades. Al número 0 no lo consideraremos dentro de ninguna de estas categorı́as. 3.13 Corolario. Si b1 , b2 , . . . , bk son enteros y un primo p es divisor del producto b1 b2 · · · bk , entonces p divide a alguna de las b0i s. Demostración. Inducción sobre k. ♦ 3.14 Nota. El resultado anterior no es cierto si no pedimos que p sea un número primo, es decir, es posible que un número divida a un producto sin que divida a ninguno de sus factores como lo muestra el ejemplo 6 4 × 3. 3.15 Teorema. Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo entero distinto de 0 y de ±1 es producto de primos en forma única salvo orden y signo. Demostración. Sea a 6= 0, ±1 y consideremos primero el caso en que a sea positivo. Procedemos por inducción sobre a. La base de inducción es para a es primo, y aquı́ no hay nada que probar (permitimos productos de un solo factor). Si a no es primo entonces es compuesto, ası́ que podemos escribir a = bc, con b y c enteros positivos y distintos de 1 y de a; además tenemos que b y c son ambos menores que a. Por hipótesis de inducción b y c son producto de primos y su descomposición nos da la descomposición de a buscada. El caso en que a sea negativo se reduce al anterior pues podemos aplicar el resultado a −a (que es positivo) y después agregar el signo a alguno de los primos en la descomposición de −a. Para ver la unicidad supongamos que a = ±p1 p2 · · · ps = ±q1 q2 · · · qt , donde s y t son naturales y los pi y los qj son primos. Queremos probar que s = t y que, salvo el signo, cada primo aparece exactamente el mismo número de veces en la lista p1 , p2 , . . . , ps que en la lista q1 , q2 , . . . , qt . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que los pi y los qj son todos positivos. Hagamos inducción sobre s. Para s = 1 el resultado es claro pues a serı́a primo. 14 Entonces supongamos que s ≥ 2 y que el resultado es verdadero para s − 1 factores (es decir, la hipótesis de inducción es que si un número acepta una descomposición en producto s − 1 primos positivos, entonces cualquier otra descomposición de ese número en producto de primos positivos es igual a ella excepto, tal vez, por el orden de los factores). Como p1 a, entonces p1 q1 q2 · · · qt . Por 3.12, p1 debe dividir a algún qj que, sin pérdida de generalidad, supongamos es q1 ; pero éste último es primo, ası́ que p1 = q1 . Cancelando entonces p1 y q1 en la ecuación p1 p2 · · · ps = q1 q2 · · · qt , tenemos que p2 · · · ps = q2 · · · qt . La hipótesis de inducción se aplica aquı́ para obtener s − 1 = t − 1 y los primos p2 , . . . , ps son los mismos que q2 , . . . , qt , de donde queda probado el teorema. ♦ 3.16 Corolario. Sean a = ±pe11 pe22 · · · pekk y b = ±pf11 pf22 · · · pfkk , donde p 1 < p2 < · · · < pk son primos positivos y las ei y las fj son enteros no negativos. Entonces a b si y sólo si para toda i = 1, . . . , k, se tiene que ei ≤ fi . ♦ 3.17 Ejercicio. Sean a y b como en el corolario anterior. Probar que el máximo común mk 1 m2 divisor de a y b es d = pm donde, para cada i, mi es el mı́nimo entre ei y fi . 1 p 2 · · · pk 3.18 Ejercicio. Dar una descripción análoga a la del ejercicio anterior del mı́nimo común múltiplo, mcm(a, b), de a y b. 3.19 Nota. De lo anterior podemos concluir que el máximo común divisor d de dos números no cero a y b está caracterizado por las siguientes propiedades: (a) d a, d b, y (b) si c a y c b entonces c d. 3.20 Ejercicio. Dar una descripción análoga a la de la nota anterior del mı́nimo común múltiplo de a y b. 3.21 Ejercicio. Para a y b enteros positivos probar que mcd(a, b)mcm(a, b) = ab. 3.22 Ejercicio. (∗) Probar que Q está generado por { p1k : p primo y k ∈ N}. Congruencias Sea n un número natural. Si a y b son enteros cualesquiera decimos que a ≡ b (mod n) (léase a es congruente con b módulo n) si n a − b. 15 Dado un número natural n cada conjunto de números congruentes entre sı́ se llama clase (módulo n) y cualquier elemento de ese conjunto es un representante de la clase. Si a es cualquier representante de una clase, entonces la clase a la cual pertenece el número a se denota por a. 3.23 Ejemplo. Analizar congruencias y clases módulo 6. Solución. Hagamos una lista de todos los enteros agrupándolos de 6 en 6 por renglones: .. . −12 −6 0 6 12 .. . .. . −11 −5 1 7 13 .. . .. . −10 −4 2 8 14 .. . .. . −9 −3 3 9 15 .. . .. . −8 −2 4 10 16 .. . .. . −7 −1 5 11 17 .. . Por la forma en que construimos la tabla podemos notar que todos los números en una misma columna difieren por un múltiplo de 6. Observamos también que los de una misma columna dejan el mismo residuo al dividirlos por 6; por ejemplo, los de la primera columna dejan residuo 0, esto es, son todos múltiplos de 6 o, en otras palabras, son los enteros de la forma 6k con k entero (−12 = 6 × (−2), −6 = 6 × (−1), 0 = 6 × 0, 6 = 6 × 1, . . .); los de la segunda columna son los que dejan residuo 1, es decir los de la forma 6k + 1 (−11 = 6 × (−2) + 1, −5 = 6 × (−1) + 1, 1 = 6 × 0 + 1, 7 = 6 × 1 + 1, . . .). Según nuestra definición, el tipo de relación que guardan entre sı́ los elementos de una misma columna se llama congruencia módulo 6. Todo el conjunto de números de una misma columna constituye una clase (módulo 6) y cualquier elemento de esa columna es un representante de la clase. Ası́, por ejemplo, 0 = 12 = {. . . , −12, −6, 0, 6, 12, 18, . . .} y −2 = 4 = {. . . − 8, −2, 4, 10, . . .}. Tenemos que cada residuo en la división por 6 es representante de una clase y que en total hay 6 clases. ♦ A partir de aquı́ n denota un número natural cualquiera. 3.24 Proposición. El que a sea congruente con b módulo n es equivalente a que a y b tengan el mismo residuo al dividirlos por n. 3.25 Proposición. Para a, b, c y d enteros cualesquiera se tiene: (a) La relación de congruencia módulo n es relación de equivalencia. (b) Si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n) entonces a + c ≡ b + d (mod n). (c) Si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n) entonces ac ≡ bd (mod n). Demostración. (a) Probemos la reflexividad y dejemos la simetrı́a y transitividad como 16 ejercicio: Como a − a = 0 = n × 0, entonces n a − a. (b) Ejercicio. (c) Aquı́ queremos probar que ac−bd es múltiplo de n. Para ver esto sumemos y restemos bc: ac − bd = ac − bc + bc − bd = (a − b)c + b(c − d); éste último es múltiplo de n pues, por hipótesis, a − b y c − d lo son. ♦ 3.26 Corolario. Principio de Sustitución. Para hacer operaciones (sumar y multiplicar) en una congruencia, cualquier cantidad puede sustituirse por otra a la que ésta sea congruente sin alterar la validez de la congruencia. ♦ Se define Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} Dentro de este conjunto definimos dos operaciones como sigue: Para a y b elementos de Zn , a ⊕ b = a + b, a ⊗ b = a × b. La operación ⊕ se llama suma en Zn y ⊗ se llama producto en Zn . Observemos que, gracias a las propiedades 3.24(b) y (c), la definición de las operaciones que acabamos de hacer es correcta, es decir, los resultados no dependen de los representantes que se elijan en el momento de hacer las operaciones: si a = a0 y b = b0 , entonces a + b = a0 + b0 y a × b = a0 × b0 . Observemos también que todas las propiedades de las operaciones que tenemos en Z se traducen en las propiedades correspondientes en Zn , porque las operaciones se traducen a operaciones de enteros; por ejemplo, la suma ⊕ es conmutativa. Tenemos entonces que Zn es un grupo abeliano. De aquı́ en adelante denotamos a ⊕ por + y a ⊗ por × (o, simplemente, poniendo un elemento a continuación de otro). 3.27 Ejercicio. Probar que si mcd(a, n) 6= 1, entonces es posible encontrar k 6≡ 0 (mod n) de tal manera que ak ≡ 0 (mod n). Concluir que en Zn la multiplicación de números distintos de 0 puede ser 0. 3.28 Ejercicio. (∗) Probar que si mcd(a, n) 6= 1, entonces es posible encontrar k y l enteros no congruentes entre sı́ tales que ak ≡ al (mod n). 3.29 Ejercicio. (∗) Recordemos que Zn es cı́clico. Determinar cómo debe ser el entero a para que el grupo Zn esté generado por a. Bajo la multiplicación, Zn no es grupo; sin embargo, tenemos el siguiente resultado. 3.30 Proposición. Sea n natural. Si a ∈ Z es primo relativo con n y b ≡ a (mod n), entonces b también es primo relativo con n. Además Z∗n = {a ∈ Zn : mcd(a, n) = 1} es un grupo bajo la multiplicación definida por ab = ab. 17 Demostración. Si mcd(a, n) = 1, entonces (por 3.8) existen r, s ∈ Z tales que ar + ns = 1 (∗). Sea a−b = nq con q ∈ Z; entonces, sustituyendo a en (∗) tenemos que (b+nq)r+ns = 1, de donde br + n(qr + s) = 1 y de aquı́ que mcd(b, n) = 1. La cerradura de la multiplicación es obvia gracias a 3.16. También es claro que 1 ∈ Z∗n . Ahora, sea a un entero primo relativo con n. Queremos ver que existe un entero x tal que ax ≡ 1 (mod n). Ya tenemos 1 = ar + ns. Por el Principio de Sustitución 3.26,  1 ≡ ar + ns  ≡ ar + 0s (mod n).  ≡ ar Observemos que mcd(r, n) = 1 pues la misma combinación lineal igual a 1 que tomamos para a y n es una combinación lineal igual a 1 para r y n, ası́ que R ∈ Z∗n y R es el inverso de a buscado. ♦ Al número de elementos de Z∗n se le denota por φ(n) y se dice que φ es la función fi de Euler. 3.31 Corolario. Si p es un número primo entonces Zp \ {0} es grupo de orden p − 1 bajo la multiplicación. ♦ 3.32 Ejercicio. Probar que en Z∗8 todo elemento distinto de 1 tiene orden 2 y que, por lo tanto, Z∗8 no es cı́clico. 18 4. Clases laterales y cocientes 4.1. Clases laterales Como vimos en el capı́tulo anterior, una relación de equivalencia en un conjunto X es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. Al igual que la relación de congruencia módulo n en Z, es fácil ver que una relación de equivalencia en un conjunto X parte a X en la unión de subconjuntos ajenos dos a dos que llamamos clases (con respecto a la relación) (o clases de equivalencia) de manera que cada clase consta de todos los elementos equivalentes (es decir, relacionados mediante la relación de equivalencia) a un elemento dado; cada elemento de una clase es representante de la clase. Generalizaremos aquı́ a grupos arbitrarios la relación de congruencia módulo n que vimos para Z. Dado un grupo G y un subgrupo H decimos que dos elementos a y b de G son congruentes módulo H si a−1 b ∈ H. En este caso escribimos a ≡ b (mod H). Notemos que la congruencia módulo n en Z no es más que la relación de congruencia módulo nZ que acabamos de definir. 4.1 Ejercicio. Probar que dados H ≤ G grupos, la relación de congruencia módulo H es de equivalencia. 4.2 Ejercicio. Sean H ≤ G grupos. Probar que las clases de equivalencia mediante la relación de congruencia módulo H son los conjuntos de la forma aH = {ah : h ∈ H}, para a ∈ G, llamados clases laterales izquierdas de H con respecto a G. 4.3 Observación. Sean H ≤ G grupos y a, b ∈ G. Entonces (a) aH = bH ⇔ a−1 b ∈ H. (b) aH ∩ bH 6= ∅ ⇔ aH = bH. ♦ 4.4 Ejemplo. (a) La relación módulo {1} es la igualdad. (b) Las n clases laterales izquierdas de la relación módulo nZ en Z son nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, . . . (n − 1) + nZ. (c) La relación módulo Z en R dice que dos reales son congruentes si y sólo si difieren por un entero. En este caso, un conjunto de representantes es [0, 1). (d) La relación módulo SL2 (R) en GL2 (R) nos dice que dos matrices son congruentes si y sólo si tienen el mismo determinante. (e) En el grupo R2 la relación de congruencia módulo una recta H por el origen define 19 las clases laterales como las rectas paralelas a H. (f) El conjunto solución de cualquier sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas y coeficientes en R es una clase lateral de Rn con respecto al conjunto (subgrupo) solución del sistema homogéneo asociado. Análogamente pueden definirse clases laterales derechas Ha = {ha : h ∈ H} de H con respecto a G. Corresponden a la relación en G definida por a ∼ b si y sólo si ab−1 ∈ H. Las clases laterales derechas no necesariamente coinciden con las izquierdas como veremos a continuación. (El caso en que sı́ coinciden es muy importante y lo estudiaremos más adelante.) 4.5 Ejemplo. Partir a S3 en clases laterales izquierdas y en clases laterales derechas con respecto al subgrupo H = {(1), (1 2)}. Solución. Construyamos primero las clases izquierdas: la que contiene al (1) es H; la que contiene a (1 3) es {(1 3), (1 2 3)} y la que contiene a (2 3) es {(2 3), (1 3 2)}. Ahora construyamos las clases laterales derechas: la que contiene a (1) es H; la que contiene a (1 3) es {(1 3), (1 3 2)} y la que contiene a (2 3) es {(2 3), (1 2 3)}. ♦ En el ejemplo anterior vimos que todas las clases tienen el mismo número de elementos. Esto siempre ocurre, como veremos en el siguiente lema. 4.6 Lema. Dadas dos clases laterales izquierdas (o derechas), existe una correspondencia biyectiva entre ellas. Demostración. Sean H ≤ G grupos y a, b ∈ G. La función f : aH → bH dada por ah 7→ bh para h ∈ H es claramente suprayectiva; es inyectiva pues bh1 = bh2 ⇒ b−1 bh1 = b−1 bh2 ⇒ h1 = h2 .♦ 4.7 Ejercicio. Sea H un subgrupo de un grupo G. Probar que existe una biyección entre el conjunto de las clases laterales izquierdas y el de las derechas. Si H ≤ G son grupos llamamos ı́ndice de H en G al número de clases laterales (izquierdas o derechas) de G con respecto a H (que puede o no ser finito). Lo denotamos por [G : H] (otra notación común es iG (H)). La aplicación del lema biyecclases a grupos finitos nos da el importante teorema siguiente. 4.8 Corolario. Teorema de Lagrange. Si G es un grupo finito y H es un subgrupo |G| . de G entonces el orden de H es divisor del orden de G y [G : H] = |H| Demostración. Partimos a G en clases laterales izquierdas con respecto a H; como todas las clases tienen el mismo número de elementos |H|, entonces [G : H]|H| = |G|. ♦ 20 4.9 Ejercicio. Probar que si G es un grupo finito de orden n y a ∈ G entonces el orden de a es divisor de n. En particular an = 1. 4.10 Corolario. Teorema de Euler. Si n ∈ N y a ∈ Z es tal que mcd(a, n) = 1 entonces aφ(n) ≡ 1 (mod n). ♦ 4.11 Corolario. Pequeño Teorema de Fermat. Si p es un número primo y a ∈ Z entonces ap ≡ a (mod p). ♦ 4.12 Ejercicio. (∗) Probar el Teorema de Wilson: Si p es un número primo entonces (p − 1)! ≡ −1 (mod p). 4.13 Ejercicio. (∗) Probar que si H ≤ K ≤ G son grupos finitos, entonces [G : H] = [G : K][K : H]. 4.14 Ejercicio. (∗) Sea G un grupo cı́clico de orden n. Probar que si d n entonces G tiene un subgrupo de orden d. 4.2. Cocientes En lo que sigue veremos cuándo podemos dar una estructura de grupo al conjunto de clases laterales como se hace con Zn . Dados dos conjuntos X y Y en un grupo G definimos XY = {xy : x ∈ X, y ∈ Y }. 4.15 Observación. Sea G un grupo y H, K ≤ G. Entonces (a) HH = H. (b) HK no necesariamente es un subgrupo de G. (c) HK es subgrupo de G si y sólo si HK = KH. En este caso HK =<H, K>. Demostración. (a) La contención “⊂”se da porque H es subgrupo de G; para la contención “⊃”basta observar que 1 ∈ H. (b) Sean G = S3 , H =<(1 2)> y K =<(2 3)>. Entonces se tiene que HK = {(1), (1 2), (2 3), (2 3 1)}, el cual tiene 4 elementos y entonces no puede ser subgrupo de S3 , que tiene 6 elementos, por el teorema de Lagrange, (c) Supongamos que HK es subgrupo de G. Entonces K, H ⊂ HK que es cerrado bajo la multiplicación, ası́ que KH ⊂ HK. Ahora sea x ∈ HK; queremos ver que x ∈ KH. Como 21 HK es subgrupo, tenemos que x−1 ∈ HK; escribamos x−1 = hk; entonces x = (x−1 )−1 = (hk)−1 = k −1 h−1 ∈ KH. Ahora supongamos que HK = KH y probemos que HK ≤ G: 1 = 1 · 1 ∈ HK; si h1 , h2 ∈ H y k1 , k2 ∈ K, entonces h1 k1 h2 k2 = h1 h3 k3 k2 ∈ HK para ciertos h3 ∈ H, k3 ∈ K; si h ∈ H y k ∈ K entonces (hk)−1 = k −1 h−1 ∈ KH = HK. ♦ 4.16 Proposición. Sea H un subgrupo de un grupo G. Son equivalentes: (a) Para cualquier pareja de elementos a y b de G se tiene que los conjuntos aHbH(= {ahbh0 : h, h0 ∈ H}) y abH(= {abh : h ∈ H}) son iguales. (b) Para cualquier a ∈ G se tiene que H es igual al conjunto aHa−1 (= {aha−1 : h ∈ H}). (c) Para cualquier a ∈ G se tiene que aH = Ha (es decir la clase lateral izquierda de a coincide con su clase lateral derecha). (d) G = {aH : a ∈ G} forma un grupo mediante la multiplicación ∗ definida por aH ∗ bH = abH. Demostración. (a) ⇒ (b) Sea a ∈ G. Veamos primero que aHa−1 ⊂ H. Sea h ∈ H; queremos ver que aha−1 ∈ H, pero aha−1 H = aHhHa−1 H = aHa−1 H = aa−1 H = H. Para ver la otra contención basta multiplicar la contención ya demostrada por a−1 por la izquierda y por a por la derecha (y usar que el resultado es válido para toda a). (b) ⇒ (c) Es claro. (c) ⇒ (a) Sean a, b ∈ G; entonces aHbH = abHH = abH. (a) ⇒ (d) Primero debemos ver que la operación está bien definida, es decir, que si a1 H = a2 H y b1 H = b2 H entonces a1 b1 H = a2 b2 H; pero a1 b1 H = a1 Hb1 H = a2 Hb2 H = a2 b2 H. Ahora veamos las propiedades de grupo. Es claro que la operación es asociativa pues lo es en G; el elemento unitario es H; la cerradura es clara de la definición y el inverso de aH es a−1 H. (d) ⇒ (a) Sean a, b ∈ G. Para ver que aHbH ⊂ abH, sean ah1 ∈ aH y bh2 ∈ bH; entonces aH = ah1 H y bH = bh2 H y, como la operación está bien definida, ah1 bh2 ∈ ah1 Hbh2 H = abH. Ahora veamos la otra contención: Sea h ∈ H; entonces abh = a1bh ∈ aHbH. ♦ Si H ≤ G satisface las propiedades de la proposición anterior decimos que H es normal en G y escribimos H /G. Al grupo formado por las clases laterales se le llama grupo cociente y se le denota por G/H. Para a ∈ G, es fácil ver que aHa−1 es subgrupo de G; se le llama conjugado de H por a. Gracias a (a) de la proposición, omitimos ∗ en la notación de la operación. También observemos que, por la demostración de (a) ⇒ (b), para probar que un subgrupo H de un grupo G es normal, basta probar la contención aHa−1 ⊂ H para toda a ∈ G. 4.17 Ejercicio. Probar que si H ≤ G son grupos, <X>= H y para toda x ∈ X y a ∈ G se tiene que axa−1 ∈ H, entonces H / G. 22 Dos grupos G y H son isomorfos si existe una función biyectiva f : G → H que preserva la multiplicación, es decir, dados a, b ∈ G se tiene que f (ab) = f (a)f (b) (la primera operación se realiza en G y la segunda en H). En este caso escribimos G ≈ H. Observemos que la relación de isomorfismo es de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva). Dos grupos isomorfos son prácticamente iguales; la función f simplemente es un cambio de nombre de los elementos de G a los elementos de H. 4.18 Nota. Si G es un grupo cı́clico, entonces G es isomorfo a exactamente uno de {1}, Z o Zn para algún entero n ≥ 2. Por ejemplo, el subgrupo de C \ {0} generado por i es isomorfo a Z4 y para todo n ∈ N, se tiene que nZ ≈ Z. Dados dos grupos G y G0 , su producto directo es el grupo G×G0 = {(a, a0 ) : a ∈ G, a0 ∈ G0 } con la multiplicación coordenada a coordenada, es decir, (a, a0 )(b, b0 ) = (ab, a0 b0 ) para a, b ∈ G y a0 , b0 ∈ G0 . 4.19 Ejercicio. Probar que para cada p primo sólo hay un grupo de orden p salvo isomorfismo. 4.20 Ejercicio. (∗) Probar que hay exactamente dos grupos no isomorfos de orden 4 y que ambos son abelianos. 4.21 Ejemplo. (a) Para cualquier grupo G se tiene que {1}, G / G. Además G/{1} ≈ G y G/G ≈ {1}. (b) Si G es abeliano, entonces todo subgrupo es normal. (c) Z/nZ ≈ Zn para cualquier natural n. (d) Si H / G y H 0 / G0 son grupos, entonces H × H 0 / H × G0 y (G × G0 )/(H × H 0 ) ≈ (G/G0 ) × (H/H 0 ) . (e) Si H y K son subgrupos normales de G entonces H ∩ K es normal en G. (f) Si K ≤ H ≤ G son grupos y K es normal en G entonces K es normal en H. (g) Si H ≤ G son grupos y [G : H] = 2, entonces H / G y G/H ≈ Z2 . (h) En S3 el subgrupo generado por (1 2) no es normal. (i) SLn (R) / GLn (R) y se tiene que GLn (R) SLn (R) 1 ≈ R \ {0}. (j) R/Z ≈ S 1 mediante f : R/Z → S dada por f (x + Z) = e2πix = (cos(2πx), sen(2πx)). (k) En R2 sea H = {(x, 0) : x ∈ R}. Entonces H ≈ R y R2 /H ≈ R. (l) Sea Q = {±1, ±i, ±j, ±k} en donde 1 es el elemento unitario, −1 conmuta con todos los elementos y la multiplicación está dada por las reglas: (−1)2 = 1, i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1. éste es un grupo llamado grupo de los cuaternios; es un grupo no abeliano en el que todo subgrupo es normal. Se puede ver que Q es isomorfo al subgrupo Q0 de GL2 (C) generado por 23 0 i 0 −1 A= y B= , i 0 1 0 con A ↔ i y B ↔ j, ası́ que Q0 = {I, A, A2 , A3 , B, AB, A2 B, A3 B}. 4.22 Ejercicio. Sean H, K ≤ G grupos. Probar lo siguiente: (a) Si H o K es normal en G entonces HK ≤ G. (b) Si H / G y K / G, entonces HK / G. 4.23 Ejercicio. (∗) Sea G un grupo y sea Z(G) = {x ∈ G : ax = xa para toda a ∈ G}. Probar que Z(G) es un subgrupo normal de G. Se le llama centro de G. 4.24 Ejercicio. (∗) Probar que Z(GL2 (R)) = {aI : a ∈ R}, donde I es la matriz idéntica. 24 5. 5.1. Homomorfismos Homomorfismos Sean G y H dos grupos. Una función f : G → H es homomorfismo si para a, b ∈ G se tiene que f (ab) = f (a)f (b). Nótese que la primera operación se ejecuta en G y la segunda en H. Recordemos que los homomorfismos biyectivos se llaman isomorfismos. Un homomorfismo f : G → G se llama endomorfismo. Un isomorfismo de G en G se llama automorfismo. 5.1 Ejemplo. (a) Sea G un grupo. La función idéntica idG : G → G definida por idG (a) = a para todo a ∈ G es automorfismo. (b) Sean G y H dos grupos. La función constante con valor 1H es homomorfismo. (c) Si H es subgrupo de un grupo G entonces la función inclusión i : H → G definida por i(a) = a para todo a ∈ H es homomorfismo. (d) Si f : G → H es homomorfismo biyectivo entonces f −1 : H → G (definida por f −1 (a) es el único elemento b de G tal que f (b) = a) es homomorfismo. (e) Si H /G son grupos entonces la proyección natural o función de paso al cociente p : G → G/H definida por p(a) = aH es homomorfismo. (f) La composición de homomorfismos es homomorfismo. (g) Si f : G → H es homomorfismo y K ≤ G, entonces la restricción f |K de f a K (definida por f |K (a) = f (a) para todo a ∈ K) es homomorfismo. (h) Si G y H son grupos entonces la proyección a G pG : G × H → G (definida por f (a, b) = a) es homomorfismo. (Y también lo es la proyección pH a H.) (i) Si G, H y K son grupos y f : G → H y g : G → K son homomorfismos entonces también lo es (f, g) : G → H × K definida por (f, g)(a) = (f (a), g(a)). (j) La función determinante es homomorfismo de GLn (R) en R \ {0}. (k) La función exponencial exp : R → R \ {0}. es homomorfismo. (l) La función logaritmo log : {r ∈ R : r > 0} → R es homomorfismo. (m) Si r ∈ R entonces la función “multiplicar por r”, µr : R2 → R2 , definida por µr (v) = rv, es homomorfismo. (n) Toda transformación lineal entre espacios vectoriales es homomorfismo de grupos. (ñ) Sea G un grupo y sea a ∈ G. La función γa definida por γa (b) = aba−1 es automorfismo (llamado automorfismo interior). 5.2 Ejercicio. Sea G un grupo. Probar que la función dada por a 7→ a−1 es homomorfismo si y sólo si G es abeliano. Dado un homomorfismo f : G → H entre dos grupos G y H el núcleo o kérnel de f es Ker(f ) = {a ∈ G : f (a) = 1}; la imagen de f es Im(f ) = f (G) = {f (a) : a ∈ G}. 25 5.3 Ejercicio. Sea f : G → H un homomorfismo. Entonces. (a) f (1G ) = 1H . (b) Para todo a ∈ G se tiene que f (a−1 ) = f (a)−1 . (c) Para todo n ∈ Z y a ∈ G se tiene que f (an ) = f (a)n . (d) Ker(f ) es un subgrupo normal de G. (e) Si K ≤ H entonces f −1 (K) = {a ∈ G : f (a) ∈ K} es subgrupo de G. (f) Im(f ) es subgrupo de H; más general, si K es subgrupo de G entonces f (K) = {f (a) : a ∈ K} es subgrupo de H. Lon homomorfismos inyectivos se llaman monomorfismos y los suprayectivos se llaman epimorfismos. 5.4 Proposición. Sea f : G → H un homomorfismo de grupos. Entonces (a) f es monomorfismo si y sólo si Ker(f ) = {1} (decimos que el núcleo es trivial). (b) f es epimorfismo si y sólo si Im(f ) = H. 5.5 Observación. Si f : G → H es monomorfismo, entonces la misma f induce un isomorfismo de G al subgrupo Im(f ) de H. 5.6 Observación. Si f : G → H es homomorfismo, entonces para probar que f es monomorfismo, basta ver que si a ∈ G es tal que f (a) = 1 entonces a = 1. 5.7 Ejercicio. Sea f : G → H homomorfismo y sea a ∈ G. Probar que si a ∈ G tiene orden n ∈ N entonces f (a) tiene orden un divisor de n. 5.8 Ejercicio. Sea f : G → H epimorfismo. Probar que si G es abeliano entonces también lo es H. 5.9 Ejercicio. (∗) Sea f : G → H epimorfismo. Probar que si G es finitamente generado entonces también lo es H, y que si G es cı́clico entonces H es cı́clico. 5.10 Ejercicio. Probar que si G es grupo entonces Aut(G) = {f : G → G : f es automorfismo} es un grupo bajo la composición. 5.11 Ejercicio. (∗) Probar que la función γ : G → Aut(G) definida por γ(a) = γa (ver 5.1(ñ)) es homomorfismo de grupos. 5.12 Ejercicio. (∗) Probar que G es un grupo finito y H es el único subgrupo de G de orden |H| entonces H es normal en G. (Sugerencia. Para a ∈ G considerar la imagen de H con respecto a γa : G → G (ver 5.1(ñ).) 26 5.13 Ejercicio. Sean G un grupo y a ∈ G. Probar que existe un único homomorfismo f : Z → G tal que f (1) = a. 5.14 Ejercicio. (∗) Para a, b ∈ R, a 6= 0, sea ψa,b : R → R definida por ψa,b (x) = ax + b. Probar que G = {ψa,b : a, b ∈ R, a 6= 0} es un grupo bajo la composición y que G es isomorfo al subgrupo H de GL2 (R) definido por a b H={ : a, b ∈ R}. 0 1 5.15 Ejercicio. (∗) Sea G el grupo de los racionales positivos mediante la multiplicación. Probar que Z[x] ≈ G. (Sugerencia. Enlistar los primos: p0 = 2, p1 = 3, p2 = 5, etc. y definir φ(a0 + a1 x + · · · + an xn ) = pa00 pa11 · · · pann .) 5.16 Ejercicio. (∗) Sea G un grupo abeliano finito. (a) Probar que si n ∈ N es primo relativo con |G| entonces la función f : G → G definida por f (a) = an es un automorfismo. (b) Probar que si |G| es impar entonces todo elemento de G tiene raı́z cuadrada única (es decir, si a ∈ G entonces existe x ∈ G tal que x2 = a.) 5.2. Homomorfismos en cocientes Sean H / G y G0 grupos. Si f : G/H → G0 es homomorfismo y p : G → G/H es la proyección al cociente, entonces f = f ◦ p : G → G0 es homomorfismo y para toda a ∈ G se tiene que f (aH) = f (a); además, si a ∈ H entonces f (a) = 1G0 . El recı́proco es también cierto como veremos a continuación. 5.17 Teorema. Propiedad universal del cociente (PUC). Sean H / G y G0 grupos. Dado un homomorfismo f : G → G0 tal que H ⊂ Ker(f ) existe un único homomorfismo f : G/H → G0 tal que si p : G → G/H es el homomorfismo de paso al cociente entonces f = f ◦ p. El homomorfismo f está definido por f (aH) = f (a) para toda a ∈ G. Demostración. Es claro que si queremos que f cumpla que f = f ◦ p entonces f debe estar definida por f (aH) = f (a) para toda a ∈ G y de esta manera tenemos la unicidad. Veamos que f está bien definida, es decir, que no depende de los representantes. Sean a, b ∈ G tales que aH = bH; queremos ver que f (a) = f (b) (pues con cualquiera de éstos se define f ), pero aH = bH ⇒ b−1 a ∈ H ⇒ f (b−1 a) = 1 ⇒ f (b)−1 f (a) = 1 ⇒ f (a) = f (b). 27 Claramente f es homomorfismo (pues la operación en G/H se define a partir de representantes). ♦ 5.18 Observación. La PUC nos dice que para definir un homomorfismo que sale de un cociente de grupos G/H es necesario y suficiente definirlo en G de manera que H tenga imagen trivial. En ese caso el homomorfismo en el cociente se define a través de los representantes. 5.19 Corolario. Sean n, p ∈ N con p primo. Entonces es posible definir f : Zn → Zp por f (a + nZ) = a + pZ si y sólo si p n. Demostración. Consideremos las proyecciones naturales p : Z → Zn y f : Z → Zm . (⇒) Observemos que f ◦ p = f , pero n + mZ = f (n) = f (p(n)) = f (0) = 0 = mZ, ası́ que n ∈ mZ, de donde m n. (⇐) Digamos que n = mk y sea a ∈ Z. Entonces f (na) = f (mka) = 0, de donde nZ ⊂ Ker(f ) y la proposición anterior nos dice que podemos definir f de manera que f (a + nZ) = a + mZ. ♦ 5.20 Corolario. Primer teorema de isomorfismo. Sea f : G → G0 un homomorfismo. Entonces G ≈ Im(f ) Ker(f ) mediante aKer(f ) ↔ f (a). Demostración. Por PUC, la función f : G/Ker(f ) → Im(f ) es homomorfismo. Por 5.4(a), para ver que f es monomorfismo, basta ver que su núcleo es trivial. Supongamos entonces que f (aKer(f )) = 1; entonces f (a) = 1, de donde a ∈ Ker(f ), ası́ que aKer(f ) = Ker(f ) = 1G/Ker(f ) . Es claro que f es epimorfismo pues está definida como f y se restrigió su codominio a Im(f ). ♦ 5.21 Nota. Habı́amos visto que si H es un subgrupo normal de un grupo G entonces se tiene un epimorfismo G → G/H con núcleo H y ası́ todo subgrupo normal es núcleo de un epimorfismo. Gracias el primer teorema de isomorfismo, el recı́proco también es cierto, es decir, si f : G → G0 es un epimorfismo de grupos, entonces G0 es isomorfo al cociente G/Ker(f ). Entonces, hablar de cocientes es lo mismo que hablar de epimorfismos, de manera análoga a que hablar de subgrupos es lo mismo que hablar de monomorfismos (ver 5.5). En 4.21 ya habı́amos dado algunos ejemplos de ciertos cocientes que resultaban isomorfos a grupos conocidos. Ahora ya podemos formalizar esto. 5.22 Ejemplo. (a) La función f : R → C\{0} dada por f (x) = e2πix = (cos(2πx), sen(2πx)) 28 tiene por núcleo a Z y por imagen a s1 , ası́ que R/Z ≈ S 1 . (b) La función det : GLn (R) → R \ {0} es epimorfismo con núcleo SLn (R), ası́ que GLn (R)/SLn (R) ≈ R \ {0}. Z10 (c) {0,5} ≈ Z5 pues el homomorfismo Z10 → Z5 dado por 1 7→ 1 es suprayectivo y tiene por núcleo a {0, 5}. (d) Si H ≤ G y H 0 ≤ G0 son grupos, entonces (G × G0 )/(H × H 0 ) ≈ (G/G0 ) × (H/H 0 ) pues si p : G → G/H y q : G0 → H 0 son las funciones de paso al cociente, entonces (p, q) : G/H → G0 /H 0 es epimorfismo con núcleo H × H 0 . 5.23 Ejercicio. Usar el primer teorema de isomorfismo para determinar a qué grupo conocido es isomorfo Sn /An . 5.24 Corolario. Segundo teorema de isomorfismo. Sean H, K subgrupos de un grupo G con K / G. Entonces HK H ≈ H ∩K K mediante a(H ∩ K) ↔ aK para toda a ∈ H. Demostración. Por 4.15(a) y 4.22(a) tenemos que HK es el subgrupo de G generado por H ∪ K. Además es claro que H ∩ K / H y K / HK. Sea i : H → HK la inclusión y la función de paso al cociente. Sea f : H → HK la composición de i con sea p : HK → HK K K p. Observemos que H ∩ K = Ker(f ) y que f es suprayectiva, ası́ que el primer teorema de isomorfismo nos da el resultado. ♦ En el caso finito, si alguno de los subgrupos H o K de G es normal, entonces del segundo |H|K| teorema de isomorfismo podemos deducir que |HK| = |H∩K| ; sin embargo este resultado es cierto aun cuando ninguno de los dos subgrupos es normal (y HK no es subgrupo de G) como veremos en la siguiente proposición. 5.25 Proposición. Fórmula producto. Sean H, K ≤ G grupos con G finito. Entonces |HK| = |H||K| . |H ∩ K| Demostración. Definamos la función f : H × K → HK por f (h, k) = hk. Es claro que esta función es suprayectiva. Bastará probar que para toda x ∈ HK, |f −1 (x)| = |H ∩ K|. Sea x = hk ∈ HK (con h ∈ H, k ∈ K). Afirmamos que f −1 (x) = {(ha, a−1 k) : a ∈ H ∩ K} (el cual es claro que tiene |H ∩ K| elementos). En efecto, la contención “⊃” es obvia; para ver la contención “⊂” sea (h0 , k 0 ) ∈ f −1 (x) y sea a ∈ G tal que h0 = ha; tenemos que hk = x = f (h0 k 0 ) = h0 k 0 = hak 0 , ası́ que k 0 = a−1 k, como querı́amos, y además es claro que a ∈ H ∩ K. ♦ 29 5.26 Ejercicio. (∗) Sea G un grupo y sean H y K subgrupos de G. (a) Probar que si H y K son normales en G y H ∩ K = {1} entonces los elementos de H conmutan con los de K (Sugerencia. Para h ∈ H y k ∈ K, considerar el elemento hkh−1 k −1 .) (b) Probar que si H y K son normales, H ∩K = {1} y <H, K>= G entonces G ≈ H ×K. (c) Dar un ejemplo en el que H ∩ K = {1}, <H, K>= G y uno de H y K es normal en G, pero G no es isomorfo a H × K. 5.27 Ejercicio. (∗) Probar que si m y n son naturales sin factores en común entonces Zm × Zn ≈ Zmn . 5.28 Ejercicio. Sea f : G → G0 un epimorfismo de grupos. Probar que si H /G entonces f (H)/G0 . Dar un ejemplo que pruebe que si f no es suprayectiva entonces no necesariamente se da la conclusión. 5.29 Ejercicio. Sea f : G → G0 un homomorfismo de grupos. Probar que si H 0 / G0 entonces f −1 (H 0 ) / G. El siguiente resultado nos dice cómo son los subgrupos de un cociente. 5.30 Teorema. Teorema de la correspondencia. Sea G un grupo y H / G. Entonces existe una correspondencia biyectiva entre los subgrupos de G que contienen a H y los subgrupos de G/H. Esta correspondencia está dada por la proyección natural y preserva inclusión y normalidad. Demostración. Sean S = {K ≤ G : H ⊂ K} y T = {K : K ≤ G/H}. Sea p : G → G/H la proyección natural y sea p∗ : S → T definida por p∗ (K) = p(K) = {kH : k ∈ K} = K/H el cual, por 5.3(f), es subgrupo de G/H. Definamos q ∗ : T → S por q ∗ (K) = p−1 (K). Por 5.3(e) q ∗ (K) ≤ G; además es claro que q ∗ (K) ⊃ H pues 1 ∈ K y p(H) = 1. Veamos que p∗ y q ∗ son inversas una de la otra. Sea K ∈ T ; tenemos que p∗ (q ∗ (K)) = p(p−1 (K)) = K pues p es suprayectiva. Por otro lado, si K ∈ S entonces q ∗ (p∗ (K)) = p−1 (p(K)), el cual queremos ver que es igual a K; la contención “⊃” es obvia y la contención “⊂” es porque si x ∈ p−1 (p(K)) entonces p(x) ∈ p(K) = K/H, ası́ que xH = kH para alguna k ∈ K, de donde k −1 x ∈ H ⊂ K y por lo tanto x ∈ K. Es claro que p∗ y q ∗ preservan inclusión. Sea K ∈ S. Entonces K / G ası́ que, por 5.28, p∗ (K) / G/H. También, por 5.29, si K / G/H entonces q ∗ (K) / G. ♦ 5.31 Ejemplo. La red de subgrupos de Z que contienen a 12Z y la red de subgrupos de Z12 son: 30 Z12 ......... ..• ..... ........ . .... Z • .. ......... ..... ........ ..... ..... ..... ..... . . . . ..... ..... ..... ..... ..... . . . . ..... ... . . . ..... . ... . ..... . . . ..... ... . . . . ..... .... . ..... . . ..... ... . . . . ..... ... . . . . . .......... . . ..... . . ..... ... ..... . . . . . . . . . . ..... ... ... . . . . . . . . . . ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . . . . . . . . ..... . .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ..... . . . . . . . . . . . ...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . ..... . . ..... ..... ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . . ..... . ..... ..... ..... ..... ..... ........ .......... . 2Z • 4Z • ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . . ..... ... . . . ..... . ... . ..... . . . ..... ... . . . . ..... .... . ..... . . ... ..... . . . . ..... ... . . . . . .......... . . ..... . . ..... ... ..... . . . . . . . . . . ..... ... ... . . . . . . . . . . ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . . . . . . . . ..... . .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ..... . . . . . . . . . . . ...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . ..... . . ..... ..... ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . . ..... . ..... ..... ..... ..... ..... ........ .......... . • 3Z • <2>• • <4> 6Z • 12Z •<3> • <6> • {0} Nótese que Z/12Z ≈ Z12 , <2>= 2Z/12Z ≈ Z6 , <3>= 3Z/12Z ≈ Z4 , <4>= 4Z/12Z ≈ Z3 , <6>= 6Z/12Z ≈ Z2 y {0} = 12Z/12Z ≈ Z1 , 5.32 Corolario. Tercer teorema de isomorfismo. Sean H y K subgrupos normales de un grupo G de manera que H ≤ K. Entonces G/H ≈ G/K. K/H Demostración. Sea p : G → G/K la proyección natural. Como H ⊂ K = Ker(p), entonces p induce p : G/H → G/K (dada por p(aH) = aK para a ∈ G). Es claro que p es epimorfismo (pues p lo es). Además Ker(p) = {aH : p(aH) = K} = {aH : aK = K} = {aH : a ∈ K} = K/H. El resultado entonces se deduce del primer teorema de isomorfismo. ♦ 5.33 Ejemplo. Z12 /<2>≈ Z/2Z ≈ Z2 , Z12 /<3>≈ Z/3Z ≈ Z3 , Z12 /<4>≈ Z/4Z ≈ Z4 y Z12 /<6>≈ Z/6Z ≈ Z6 . Hemos visto que muchas condiciones en grupos son heredadas a subgrupos o a cocientes. Recı́procamente, a partir de condiciones de subgrupos y cocientes se pueden obtener condiciones del grupo. A continuación veremos algunas aplicaciones de esto. 5.34 Proposición. Si G es un grupo y H es un subgrupo normal en G tal que H y G/H son finitamente generados, entonces también lo es G. Demostración. Supongamos que X es un conjunto finito que genera H y Y es un conjunto finito que genera G/H. Por cada elemento y ∈ Y tomemos un representante y ∈ G. 31 Afirmamos que X ∪ Y genera G. Sea a ∈ G. Entonces aH = y e11 y e22 · · · y ekk para ciertos y i ∈ Y y ei ∈ {−1, 1}. De aquı́ tenemos que yk−ek · · · y2−e2 y1−e1 a ∈ H, que está generado por X y ası́ existen x1 , x2 , . . . , xl ∈ X y f1 , f2 , . . . , fl ∈ {−1, 1} tales que yk−ek · · · y2−e2 y1−e1 a = xf11 xf22 · · · xfl l . Despejando tenemos la expresión para a como producto de elementos de X ∪ Y y sus inversos, como querı́amos. ♦ También muchas veces pasar a cociente o a subgrupos es útil al probar por inducción algo sobre un grupo finito G, como veremos a continuación. 5.35 Proposición. Si G es un grupo abeliano finito de orden n y d es un divisor de n entonces G contiene un subgrupo de orden d. Demostración. Procedemos por inducción sobre n. Para n = 1 no hay nada que probar. Sea n > 1 y supongamos que el resultado es verdadero para todos los enteros menores que n. Primer caso: d = p primo. Sea 1 6= a ∈ G y sea k el orden de a. Si p k entonces k = pl para cierta l ∈ Z y al tiene orden p, ası́ que <al> es el subgrupo buscado. Si p 6 k entonces, por ser p primo, p |G|/|<a>|. Como G/<a> es grupo (por ser G abeliano) y tiene orden menor que n, la hipótesis de inducción aplica y ası́ existe H subgrupo de G/<a> de orden p; entonces H es cı́clico, digamos, generado por b = b <a>. Como bp ∈<a>, que es cı́clico de orden k, entonces bpk = 1: Veamos que bk 6= 1, de donde tendremos que bk tiene orden p, como querı́amos. Suponiendo que bk = 1 tomemos una combinación lineal de k y p que nos rk+sp = 1 =<a>, lo cual es un absurdo. dé 1: rk + sp = 1; entonces b = b Segundo caso: d no es primo. Sea p un factor primo de d y digamos que d = pk. Por el primer caso, sea H subgrupo de G de orden p; entonces G/H es un grupo (pues G es abeliano) de orden np y, como k |G/H|, por hipótesis de inducción, existe K ≤ G/H de orden k. Por el teorema de la correspondencia K = K/H para algún K ≤ G que contiene a H y |K| = pk = d, como querı́amos. ♦ 5.36 Ejercicio. (∗) Probar que si G es un grupo finito y H es un subgrupo normal en G tal que mcd(|H|, [G : H]) = 1 entonces H es el único subgrupo de G de orden |H|. (Sugerencia. Si K ≤ G y |K| = |H|, ¿qué pasa con los elementos de K en G/H?) 5.37 Ejercicio. (∗) Dado un grupo G definimos Int(G) = {γa : a ∈ G} (ver 5.1(ñ) y 5.11). Probar que Int(G) es un subgrupo normal de Aut(G) y que Int(G) ≈ G/Z(G). 5.38 Ejercicio. (∗) Probar el Teorema chino del residuo: Sea k un entero positivo y supongamos que n1 , n2 , . . . , nk son k números naturales primos relativos por parejas (es 32 decir, para cada pareja (i, j) con i 6= j y 1 ≤ i, j ≤ k tenemos mcd(ni , nj ) = 1). Sean b1 , b2 , . . . , bk enteros cualesquiera. Entonces el sistema x ≡ b1 (mod n1 ) x ≡ b2 (mod n2 ) .. . x ≡ bk (mod nk ) tiene solución entera. (Sugerencia. Para cada i = 1, 2, . . . , k sea pi : Z → Zni la proyección natural. Considerar la función (p1 , p2 , . . . , pk ) : Z → Zn1 × Zn2 × · · · × Znk y comparar tamaños.) 5.39 Ejercicio. (∗) Sean m y n números naturales. (a) Probar que si m y n son primos relativos, entonces φ(mn) = φ(m)φ(n), donde φ es la función de Euler (ver final del capı́tulo 3). (Sugerencia. Usar la construcción del ejercicio anterior.) (b) Probar que (a) es falso si m y n no son primos relativos. (c) Probar que si p es primo y r es natural entonces φ(pr ) = pr−1 (p − 1). (Sugerencia. Hacer la lista de los números de 1 a pr por renglones de longitud p y observar que en cada renglón exactamente un elemento es múltiplo de p.) (d) Usar (a) y (c) para probar que si n = pr11 pr22 · · · prkk es la descomposición de n como producto de potencias de primos distintos entonces φ(n) = pr11 −1 (p1 − 1)pr22 −1 (p2 − 1) · · · prkk −1 (pk − 1). 5.40 Ejercicio. (∗) Probar que si G es un grupo tal que G/Z(G) es cı́clico (donde Z(G) es el centro de G), entonces G es abeliano. 33 6. 6.1. Acciones de grupos en conjuntos Acciones Sea X un conjunto y sea G un grupo. Decimos que G actúa en X si está dada una “multiplicación” G × X → X, denotada por (a, x) 7→ a · x, que satisface: 1 · x = x para toda x ∈ X y, para a, b ∈ G y x ∈ X, (ab) · x = a · (b · x). En este caso decimos que X es un G-conjunto. Escribimos simplemente ax en lugar de a · x. 6.1 Ejemplo. (a) Si V es R-espacio vectorial no trivial entonces la multiplicación escalar define una acción del grupo R \ {0} sobre el conjunto V \ {0}. (b) El grupo cı́clico <a> de orden 2 actúa en la esfera S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 +y 2 +z 2 = 1} por aw = −w para w ∈ S 2 . (c) Para n natural, el grupo Sn actúa sobre X = {1, . . . , n} bajo la acción (σ, i) 7→ σ(i), para σ ∈ Sn e i ∈ X. (d) El grupo diédrico D4 de orden 8 actúa sobre el conjunto X = {1, 2, 3, 4} de vértices de un cuadrado bajo la acción (σ, i) 7→ σ(i), para σ ∈ D4 e i ∈ X. En general, si X es un G-conjunto y H ≤ G, entonces X es un H-conjunto bajo la restricción de la acción de G a H. (e) Sean n ∈ N y σ ∈ Sn . Entonces < σ > actúa en X = {1, . . . , n} bajo la acción r (σ , i) 7→ σ r (i), para i ∈ X. (f) Si G es un grupo, entonces G es G-conjunto bajo la multiplicación: Para a, b ∈ G la acción está definida por (a, b) 7→ ab. (g) Si G es un grupo entonces G es G-conjunto bajo conjugación: Para a, b ∈ G la acción está definida por (a, b) 7→ aba−1 . (h) Si G es un grupo y H es un subgrupo, entonces G actúa sobre el conjunto de clases laterales izquierdas de G con respecto a H, que denotamos por G/H (aunque H no sea normal) por traslación: Para a, b ∈ G, la acción está definida por (a, bH) 7→ abH. (i) Si G es un grupo, entonces G actúa sobre el conjunto S de subgrupos de G bajo conjugación: Para a ∈ G y H ≤ G, la acción está definida por (a, H) 7→ aHa−1 . 6.2 Teorema. Teorema de Cayley. Todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones. Demostración. Dado G grupo, definamos ψ : G → SG por ψ(a)(x) = ax, para a, x ∈ G. Veamos que ψ es monomorfismo. Sean a, b, x ∈ G; entonces ψ(ab)(x) = (ab)x = a(bx) = ψ(a) ◦ ψ(b)(x), de donde ψ(ab) = ψ(a) ◦ ψ(b) y, por lo tanto, ψ es homomorfismo. Ahora, sea a ∈ G tal que ψ(a) = idG ; entonces ax = x para toda x ∈ G, de donde a = 1 y 34 ası́ Ker(ψ) = {1} y ψ es monomorfismo. ♦ El resultado anterior teóricamente es muy fuerte, pues nos dice que, para estudiar los grupos, podemos restringirnos sólo a los subgrupos de los grupos de permutaciones. Sin embargo, no resulta práctico pues los grupos de permutaciones son muy grandes, por ejemplo, si G tiene orden un natural n, entonces observemos que SG tiene n! elementos, ası́ que G es muy pequeño en comparación con SG . Sin embargo, veremos a continuación que podemos trabajar muchas veces los grupos dentro de grupos de permutaciones no tan grandes, mediante las llamadas representaciones, que son, como en el teorema de Cayley, homomorfismos (tal vez no inyectivos) de un grupo G en un grupo de permutaciones SX . Concretamente, si G es un grupo y X es un conjunto, un homomorfismo ψ : G → SX se llama representación de G como grupo de permutaciones de X. La siguiente proposición nos dice que: “hablar de una acción de G en un conjunto X es lo mismo que hablar de una representación de G como grupo de permutaciones de X”. 6.3 Proposición. Si G es un grupo y X es un G-conjunto, entonces la acción µ : G × X → X define un homomorfismo ψ : G → SX por ψ(a)(x) = ax, para a ∈ G y x ∈ X. Recı́procamente, todo homomorfismo de grupos ψ : G → SX define una acción del grupo G sobre el conjunto X a través de (a, x) 7→ ψ(a)(x). Estas dos correspondencias son inversas una de la otra. Demostración. Supongamos que tenemos una acción de G sobre X y sea ψ definida como en el enunciado del teorema. Empecemos por ver que ψ está bien definida, es decir, que si a ∈ G entonces ψ(a) es una permutación de x, esto es, que ψ(a) es biyectiva. Esto es claro pues para a ∈ G, ψ(a) tiene por inversa a ψ(a−1 ). Ahora queremos ver que ψ es homomorfismo, ası́ que tomemos a, b ∈ G y x ∈ X. Tenemos ψ(ab)(x) = (ab)x = a(bx) = ψ(a) ◦ ψ(b)(x); esto es para toda x ∈ X, ası́ que ψ(ab) = ψ(a) ◦ ψ(b), Ahora supongamos que ψ : G → SX es un homomorfismo. Como sabemos que todo homomorfismo manda al neutro en el neutro, para toda x ∈ X tenemos 1x = ψ(1)(x) = idX (x) = x. Por ser ψ homomorfismo de grupos, para a, b ∈ G y x ∈ X tenemos (ab)x = ψ(ab)(x) = ψ(a) ◦ ψ(b)(x) = ψ(a)(bx) = a(bx). Es claro que las dos correspondencias definidas son una inversa de la otra. ♦ Dado un grupo G y un G-conjunto X, tenemos las siguientes definiciones y observaciones: Para x ∈ X, la órbita de x es O(x) = {ax : a ∈ G}, Es claro que las órbitas definen una partición en X (es decir, X es la unión ajena de las órbitas); en particular, si X es finito entonces su tamaño es la suma de los tamaños de las órbitas. 35 La acción es transitiva si para toda x ∈ X se tiene que O(x) = X. Para x ∈ X, el estabilizador de x es E(x) = {a ∈ G : ax = x}. El estabilizador de cualquier elemento de x es un subgrupo de G. La acción es fiel si la representación asociada es monomorfismo. En general, el núcleo de la representación es la intersección de los estabilizadores. Haciendo referencia a los ejemplos de 6.1 tenemos lo siguiente. 6.4 Ejemplo. (a) Si v ∈ V \ {0} entonces O(v) es el subespacio generado por v sin el 0. La acción es fiel. (b) Dado w ∈ S 2 su órbita es {w, −w} y su estabilizador es trivial. Ası́ la representación es fiel. (c) Sn actúa transitivamente sobre X = {1, . . . , n}. Si i ∈ X el estabilizador de i es el conjunto de permutaciones que dejan fijo a i, el cual es isomorfo a Sn−1 . La representación asociada es la identidad (y es fiel). (d) La acción de D4 sobre X = {1, 2, 3, 4} también es transitiva. El estabilizador del 1 es el subgupo <(2 4)>. La representación es la inclusión D4 → S4 . (e) La órbita de un elemento i ∈ {1, . . . , n} es el conjunto de números en el mismo ciclo de σ que i. Ası́, la acción es transitiva si, y sólo si, σ es un ciclo de longitud n. (f) La representación aquı́ es la dada por el teorema de Cayley. La acción es transitiva y fiel. El estabilizador de cualquier elemento es el subgrupo {1} de G. (g) Para a ∈ G, la órbita de a es la clase de conjugación de a (es decir, el conjunto formado por todos los conjugados de a en G), denotado por aG . Por ejemplo si G es abeliano, entonces aG consta de un solo elemento para toda a y si σ ∈ Sn , entonces σ Sn consta de todos los elementos de Sn que tienen la misma estructura cı́clica que σ. El estabilizador E(a) consta de los elementos que conmutan con a,Tllamado centralizador de a y denotado por CG (a) (o C(a) si G se sobrentiende). Como a∈G C(a) = Z(G), entonces la representación tiene por núcleo al centro de G; en particular la representación es fiel si, y sólo si, Z(G) es trivial. (h) La acción es transitiva. Dado bH ∈ G/H, su estabilizador es b−1 Hb, ası́ que si H es normal en G, entonces H es el estabilizador de todos los elementos y el núcleo de la representación es H. (i) Si H ≤ G entonces la órbita de H es el conjunto de conjugados de H en G y el estabilizador de H se llama normalizador de H en G y se denota por NG (H) (o N (H) si G se sobreentiende). Si H / G entonces su órbita consta de un solo elemento: el mismo H, y N (H) = G. 6.5 Ejercicio. Probar que si H ≤ G son grupos, entonces N (H) contiene a H y es el mayor subgrupo de G en el cual H es normal (en el sentido de que si K es un subgrupo que contiene a H y tal que H / K, entonces K ⊂ N (H)). 36 6.6 Proposición. Sean G un grupo y X un G-conjunto. Entonces para toda x ∈ X, se tiene que |O(x)| = [G : E(x)]. Demostración. Consideremos el conjunto G/E(x) de clases laterales izquierdas de E(x) en G y definamos γ : G/E(x) → O(x) por γ(aE(x)) = ax para a ∈ G. Veamos que esta función está bien definida y es inyectiva: Para a, b ∈ G, tenemos aE(x) = bE(x) ⇔ b−1 a ∈ E(x) ⇔ b−1 ax = x ⇔ ax = bx. Como la función es claramente suprayectiva, tenemos el resultado. ♦ 6.7 Corolario. Sean G un grupo finito y X un G-conjunto. Entonces el número de elementos en cualquier órbita es un divisor de |G|. ♦ 6.8 Corolario. Si G es un grupo finito y a ∈ G, entonces |aG | = [G : CG (a)]. En particular |aG | es divisor de |G|. ♦ 6.9 Corolario. Si H es un subgrupo del grupo finito G, entonces el número de conjugados de H en G es [G : NG (H)]. En particular ese número es divisor de |G|. ♦ 6.10 Corolario. Teorema de representación en clases laterales. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de ı́ndice finito n. Entonces existe un homomorfismo ψ : G → Sn con Ker(ψ) ⊂ H. Demostración. Consideremos la acción de G en el conjunto de clases izquierdas de H en G dada T por traslación (ver ejemplo 6.1(h)) y sea ψ la representación asociada. Entonces Ker(ψ) = b∈G E(bH) ⊂ E(H). Pero si a ∈ E(H) entonces aH = H, ası́ que a ∈ H. ♦ En el corolario anterior, para H = {1} tenemos el Teorema de Cayley. Con otros H podemos aplicar el corolario para obtener resultados interesantes, como veremos a continuación. 6.11 Corolario. Los únicos grupos de orden 6, salvo isomorfismo, son S3 y Z6 . Demostración. Sea G un grupo de orden 6. Como 6 es par, por el ejercicio 1.9, G tiene algún elemento a de orden 2. Veamos que también tiene un elemento de orden 3. En caso contrario, tampoco tendrı́a un elemento de orden 6, ası́ que se tendrı́a que x2 = 1 para todo x ∈ G, de donde G serı́a abeliano y, si b fuera otro elemento de orden 2, entonces {1, a, b, ab} serı́a subgrupo de G, pero esto es imposible por Lagrange. Sea b un elemento de orden 3. El subgrupo K generado por b es de ı́ndice 2 ası́ que, por 4.21(g), es normal en G. Sea H =<a>. Consideremos la representación ψ : G → S3 dada por la acción de G en las clases izquierdas 37 de H en G. Por representacionclaseslaterales, el núcleo de esta representación es subgrupo de H. Tenemos dos posibilidades; la primera es que Ker(ψ) sea trivial, en cuyo caso ψ es inyectiva y, por cardinalidades, es biyectiva y en este caso tenemos que G ≈ S3 . La otra posibilidad es que Ker(ψ) = H; en este caso, H es normal en G y, por la fórmula producto 5.25, HK = G, de donde, por 5.26(b), G ≈ H × K ≈ Z2 × Z3 ≈ Z6 (el último isomorfismo es por 5.27). ♦ 6.12 Ejercicio. Sea X un G-conjunto. Probar que si x, y ∈ X son elementos en la misma órbita, entonces E(x) y E(y) son subgrupos conjugados de G. 6.13 Ejercicio. Sea G un grupo. (a) Probar que si X es un G-conjunto transitivo, entonces existe un subgrupo H de G tal que X es isomorfo como G-conjunto a G/H con la acción de traslación (es decir, existe una biyección f : X → G/H tal que f (ax) = af (x) para toda a ∈ G y toda x ∈ X). (b) Probar que si H y K son subgrupos de G, entonces G/H y G/K son isomorfos como G-conjuntos si y sólo si H y K son conjugados en G. 6.14 Ejercicio. Probar que si G es un grupo finito de orden impar, entonces el único elemento a que es conjugado de su inverso es a = 1. (Sugerencia. Suponiendo que a y a−1 son conjugados, calcular el número de elementos de aG .) 6.15 Corolario. Ecuación de clase. Sea G un grupo finito. Entonces X |G| = |Z(G)| + [G : CG (ai )], i donde para cada clase de conjugación con más de un elemento se escogió un elemento ai . Demostración. Sabemos que el orden de G es la suma de los tamaños de las órbitas y, por 6.8, la órbita de un elemento a ∈ G tiene [G : CG (a)] elementos. Las órbitas que constan de un solo elemento son |Z(G)|. ♦ 6.16 Corolario. Teorema de Cauchy. Si G es un grupo finito de orden n y p es un divisor primo de n, entonces existe a ∈ G de orden p. Demostración. Sea n = pk. Hacemos inducción sobre k. Para k = 1 el grupo es cı́clico de orden p, ası́ que no hay nada que probar. Supongamos entonces que k > 1. El caso en que G es abeliano se tiene por 5.35. Supongamos entonces que G no es abeliano. Si a ∈ G \ Z(G), entonces CG (a) 6= G, ası́ que si p |CG (a)| para alguna a ∈ G \ Z(G), entonces podemos aplicar hipótesis de inducción para encontrar el elemento buscado dentro de CG (a). En el caso en que p 6 |CG (a)| se tiene que p [G : CG (a)] y, si esto ocurre para todo a ∈ G \ Z(G), entonces, por la ecuación de clase, p |Z(G)|, pero Z(G) es abeliano, ası́ que 38 por lo demostrado arriba, existe a ∈ Z(G) de orden p. ♦ Un grupo G es simple si no tiene subgrupos normales aparte de {1} y G. Sabemos que si G es abeliano, entonces G es simple si, y sólo si, G ≈ Zp para algún primo p. El caso no abeliano es mucho más complicado. 6.17 Lema. Dentro de A5 una clase de conjugación consta de todos los 3-ciclos. Demostración. Sabemos que los 3-ciclos son permutaciones pares y que todos son conjugados dentro de S5 ; veremos que también lo son dentro de A5 . Sea σ = (1 2 3). Contando = 20, pero todas las posibilidades de 3-ciclos distintos (a b c) tenemos que |σ S5 | = 5·4·3 3 120 S5 [S5 : CS5 (σ)] = |σ |, ası́ que |CS5 (σ)| = 20 = 6. Es claro que los siguientes elementos conmutan con σ: (1), (1 2 3), (1 3 2) (4 5), (1 2 3)(4 5) y (1 3 2)(4 5); como son 6 elementos, éstos forman CS5 (σ). De ellos, los primeros tres están en A5 y los otros tres, no, de donde CA5 (σ) = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}, que tiene tres elementos. Entonces |σ A5 | = [A5 : CA5 (σ)] = 60 = 20, 3 de donde todos los 3-ciclos son conjugados de σ también en A5 . ♦ 6.18 Lema. Para n ≥ 3, los 3-ciclos generan An . Demostración. Los elementos de An son todos producto de un número par de transposiciones, ası́ que basta probar que si σ y τ son transposiciones distintas, entonces στ es producto de 3-ciclos. Sean σ = (i j) y τ = (k l) (para ciertos i, j, k, l ∈ {1, 2, . . . , n} con i 6= j y k 6= l). Si σ y τ no son ajenos, digamos j = k, entonces στ = (j l i) que es 3-ciclo; si σ y τ son ajenos, podemos escribir στ = (i j)(j k)(j k)(k l) el cual, usando el caso anterior, es producto de dos 3-ciclos. ♦ 6.19 Proposición. El grupo alternante A5 es simple. Demostración. Sea {1} 6= H / A5 . Queremos ver que H = A5 . Por los dos lemas anteriores, basta probar que H contiene un 3-ciclo. Sea 1 6= σ ∈ H. Si σ es 3-ciclo, ya acabamos. Supongamos que no lo es. Entonces σ es producto de dos biciclos ajenos o un 5-ciclo. En el primer caso, sin pérdida de generalidad, supongamos que σ = (1 2)(3 4). Sea τ = (1 2)(3 5). Entonces (3 5 4) = τ στ −1 σ −1 ∈ H. 39 En el segundo caso, sin pérdida de generalidad, supongamos que σ = (1 2 3 4 5). Sea τ = (1 3 2). Entonces (1 3 4) = τ στ −1 σ −1 ∈ H.♦ Se puede probar que para n ≥ 6, An tampoco es simple y que el grupo simple más pequeño no abeliano es A5 (que tiene 60 elementos). No haremos esto aquı́. 6.20 Ejercicio. (∗) (a) Probar que si G es un grupo finito y G tiene un subgrupo H 6= G tal que |G| - [G : H]! entonces G no es simple. (Sugerencia: Usar el teorema de representación en clases laterales.) (b) Probar que si |G| = pk con p primo y k < p entonces G no es simple. (En particular, si p y q son primos distintos y G es un grupo de orden pq, entonces G no es simple). 6.21 Ejercicio. (∗) (a) Sean H ≤ G grupos finitos. Probar que si [G : H] = 2 y a ∈ H, entonces 1 |aH | = |aG | o |aH | = |aG |. 2 (Sugerencia: Usar el segundo teorema de isomorfismo.) (b) Probar que hay dos clases de conjugación de los 5-ciclos en A5 y que cada clase tiene 12 elementos. (c) Probar que las clases de conjugación en A5 tienen tamaños 1, 12, 12, 15 y 20. 6.22 Ejercicio. (∗) Probar que si G es un grupo infinito simple, entonces G no tiene ningún subgrupo (distinto del mismo G) de ı́ndice finito. (Sugerencia. Usar el teorema de representación en clases laterales.) 6.2. p-grupos Sea p un número primo. Un grupo G es p-grupo si todos sus elementos tienen orden una potencia de p. Observemos que si G es un p-grupo finito, entonces su orden es una potencia de p. De aquı́ en adelante en esta sección p es un número primo. 6.23 Lema. Si G es un p-grupo finito, entonces Z(G) es no trivial. Demostración. Si G es abeliano, entonces Z(G) = G. Si G es no abeliano, entonces en la ecuación de clase tenemos que p [G : CG (a)] para toda a ∈ G \ Z(G) y también p |G|, ası́ que p |Z(G)|. ♦ 40 6.24 Corolario. Si G es un grupo de orden p2 , entonces G es abeliano. Demostración. Supongamos que G no es abeliano; entonces, usando el lema anterior tenemos que Z(G) tiene orden p y ası́ G/Z(G) también tiene orden p, por lo cual es cı́clico. Por el ejercicio 5.40 concluimos que G es abeliano, lo cual es contrario a nuestra suposición. Entonces G es abeliano. ♦ 6.25 Ejercicio. (∗) Probar que, salvo isomorfismo, los únicos grupos de orden 9 son Z9 y Z3 × Z3 . 6.26 Corolario. Si G es un p-grupo de orden pr , entonces para cada s ≤ r, G tiene un subgrupo normal de orden ps . Demostración. Hacemos inducción sobre r. Para r = 1 no hay nada que probar. Supongamos que r > 1. Sea s ≤ r. Por 6.23, Z(G) no es trivial, ası́ que existe H ≤ Z(G) tal que |H| = p. Observemos que H / G puesto que H ⊂ Z(G), ası́ que podemos considerar el cociente G/H, que tiene orden pr−1 . Por hipótesis de inducción, como toda s−1 ≤ r−1, G/H tiene un subgrupo normal K de orden ps−1 . Entonces, por el teorema de la correspondencia, K = K/H para un subgrupo K normal en G; es claro que |K| = ps . ♦ 6.27 Ejercicio. (∗) Sean G un p-grupo y X un G-conjunto finito. Probar que si p - |X| entonces existe x ∈ X tal que O(x) = {x}. 6.28 Lema. Sea G un p-grupo finito y sea H un subgrupo propio de G. Entonces H está contenido propiamente en N (H). Demostración. Hacemos inducción sobre |G|. Si existe un elemento a ∈ Z(G) \ H, H es un subgrupo entonces a ∈ N (H) \ H. Supongamos entonces que Z(G) ⊂ H; entonces Z(G) propio del p-grupo G/Z(G) y, como sabemos que Z(G) 6= {1} (por 6.23), entonces podemos aplicar hipótesis de inducción para ver que N (H/Z(G)) contiene propiamente a H/Z(G); ahora usamos el teorema de la correspondencia para obtener un subgrupo K de G que contiene a H y en el cual H es normal, ası́ que H es un subconjunto propio de K, el cual es subconjunto de N (H). ♦ 6.29 Corolario. Sea G un p-grupo de orden pk . Entonces existe una cadena de subgrupos {1} = G0 ⊂ G1 ⊂ · · · ⊂ Gk−1 ⊂ Gk = G tal que para toda i, |Gi | = pi , Gi−1 / Gi y Gi /Gi−1 ≈ Zp . Demostración. Usamos 6.26 y 6.28. ♦ Una cadena como la del corolario en la que cada subgrupo es normal en el siguiente se llama subnormal; si además los cocientes son simples entonces la cadena es una serie de 41 composición para G. El teorema de Jordan-Hölder dice que todo grupo finito tiene serie de composición y que en cualesquiera dos series de composición, los factores (cocientes entre términos consecutivos de la serie) son isomorfos (tal vez en distinto orden). Un grupo finito es soluble si en sus series de composición los factores son simples abelianos. Entonces 6.29 nos dice que todo p-grupo finito es soluble. 42 7. Teorema de Sylow En esta sección G denota un grupo finito y p es un número primo. Un p-subgrupo de G es un subgrupo de orden una potencia de p. Un p-subgrupo de Sylow (o un Sp -subgrupo) es un p-subgrupo de orden pr si G tiene orden pr m y p 6 m, Probaremos que todo grupo finito tiene subgrupos de Sylow y además daremos algunas condiciones importantes sobre la cantidad de subgrupos de Sylow. Para ello necesitamos algunos lemas. 7.1 Lema. Sea K un campo con q elementos. Entonces |GLn (K)| = (q n − 1)(q n − q) · · · (q n − q n−1 ). Demostración. Notemos que GLn (K) se puede ver como el grupo de automorfismos de un K-espacio vectorial de dimensión n. Entonces |V | = q n y cada transformación lineal T : V → V está dada por la imagen de una base fija (v1 , v2 , . . . , vn ) de V . La transformación T es automorfismo si y sólo si la dimensión de la imagen de T es n. Entonces T (v1 ) se puede escoger de q n − 1 formas (cualquier elemento de V \ {0}); después T (v2 ) puede ser cualquier elemento en V \ V1 , donde V1 es el subespacio generado por T (v1 ), que tiene q elementos, ası́ que hay q n − q posibilidades para T (v1 ) y ası́ sucesivamente. ♦ 7.2 Lema. Para p primo y n ∈ N, GLn (Zp ) tiene un Sp -subgrupo. Demostración. Por el lema anterior, |GLn (K)| = (pn − 1)(pn − p) · · · (pn − pn−1 ) = p1+2+···+(n−1) (pn − 1)(pn−1 − 1) · · · (p − 1) n(n−1) = p 2 a, n(n−1) donde a es un número primo relativo con p. Basta exhibir un subgrupo de orden p 2 . Sea H el subgrupo de GLn (Zp ) formado por las matrices que tienen 10 s en la diagonal principal y 00 s por debajo de esa diagonal. Claramente H es subgrupo de GLn (Zp ) y |H| = pr donde 2 r es el número de lugares por arriba de la diagonal, que es igual a n 2−n (pues n2 es el número total de lugares, n son los lugares en la diagonal y dividimos entre 2 por la simetrı́a); ası́ r = n(n−1) .♦ 2 Sean H, S subgrupos de G. Para a ∈ G la clase lateral doble de a con respecto a H y S es SaH = {sah : s ∈ S, h ∈ H}. 43 7.3 Observación. Sean H, S subgrupos de G. (a) Las clases dobles de G con respecto a H y S forman una partición de G. (b) Si a ∈ G, entonces SaH es la unión de exactamente [H : H ∩ a−1 Sa] clases laterales derechas de S en G. (Análogamente SaH es la unión de exactamente [S : S ∩ a−1 Sa] clases laterales izquierdas de H en G.) Demostración. (a) Es claro que la unión de las clases dobles es G (pues si a ∈ G, entonces a ∈ SaH). Para ver que son ajenas supongamos que SaH ∩ SbH 6= ∅ y sean −1 s1 , s2 ∈ S y h1 , h2 ∈ H tales que s1 ah1 = s2 bh2 ; entonces a = s−1 1 s2 bh2 h1 , por lo tanto, si −1 −1 s ∈ S y h ∈ H entonces sah = ss1 s2 bh2 h1 h ∈ SbH, de donde concluimos que SaH ⊂ SbH y, análogamente tenemos SbH ⊂ SaH. (b) Dado x ∈ G, si x ∈ SaH entonces Sx ⊂ SaH; de esta manera, como G es la unión de clases laterales derechas de S, tenemos que SaH es la unión de algunas clases laterales derechas; además si Sx ⊂ SaH entonces x = sah para algunas s ∈ S y h ∈ H, por lo tanto Sx = Sah, ası́ que toda clase lateral derecha de S es de la forma Sah para alguna h ∈ H. Hasta aquı́ hemos probado que SaH es la unión de clases laterales derechas y que todas son de la forma Sah para alguna h ∈ H. Queremos ver cómo se repiten. Para h1 , h2 ∈ H tenemos −1 Sah1 = Sah2 ⇔ Sah1 h−1 =S 2 a −1 −1 ⇔ ah1 h2 a ∈ S −1 ⇔ h1 h−1 2 ∈ H ∩ a Sa ⇔ h1 (H ∩ a−1 Sa) = h2 (H ∩ a−1 Sa). Entonces hay exactamente [H : H ∩ a−1 Sa] distintas. ♦ 7.4 Lema. Sean H, S ≤ G. Entonces X [G : S] = [H : H ∩ a−1 Sa], a∈X donde X consta de exactamente un elemento por cada clase doble. Demostración. [G : S] es el número de clases laterales derechas de S en G y, por ??, este número es la suma del número de clases laterales derechas de S en G dentro de SaH, tomando una a por cada clase doble, y, finalmente, también por ??, este número es X [H : H ∩ a−1 Sa].♦ a∈X 7.5 Lema. Si G tiene un Sp -subgrupo S y H ≤ G entonces existe a ∈ G tal que (aSa−1 ) ∩ H es Sp subgrupo de H. En particular, si un grupo tiene Sp -subgrupos, entonces cualquier subgrupo también los tiene. Demostración. Si S es Sp -subgrupo de G entonces [G : S] es primo relativo con p ası́ que, por ??, existe a ∈ G tal que [H : H ∩ a−1 Sa] es primo relativo con p. Para esa a también se tiene H ∩ a−1 Sa ⊂ a−1 Sa ≈ S, que es p-grupo. ♦ 44 7.6 Teorema. Teorema de Sylow. Sea G un grupo finito. Se tiene lo siguiente: (a) G tiene al menos un subgrupo de Sylow. (b) Si S es Sp -subgrupo de G entonces cualquier conjugado de S también es Sp -subgrupo de G. (c) Todo p-subgrupo está contenido en un Sp -subgrupo. (d) Dos subgrupos de Sylow cualesquiera son conjugados. Demostración. (a) Sea |G| = n. Por ??, G es isomorfo a un sugrupo de Sn , el cual es isomorfo a un subgrupo de GLn (Zp ) mediante σ 7→ Tσ , donde Tσ es la transformación de Znp que permuta una base fija de Znp según σ. Por lema ??, GLn (Zp ) tiene subgrupo de Sylow ası́ que, por lema ??, también G lo tiene. (b) Esto es claro, pues dos subgrupos conjugados tienen el mismo número de elementos. (c) Sea H un p-subgrupo y sea S un Sp -subgrupo. Por ?? existe a ∈ G tal que H ∩ aSa−1 es Sp -subgrupo de H, pero H es p-grupo, ası́ que H ∩ aSa−1 = H, de donde H ⊂ aSa−1 que, por el inciso anterior, es Sp -subgrupo. (d) Si H es un Sp -subgrupo y S es Sp -subgrupo entonces, por lo que vimos en (c), existe a ∈ G tal que H ⊂ aSa−1 , pero entonces se da la igualdad, por cardinalidades. ♦ 7.7 Corolario. Si G sólo tiene un Sp -subgrupo H, entonces H / G. ♦ 7.8 Corolario. Si p |G| entonces existe H ≤ G tal que |H| = ps . ♦ s Ahora veremos cuáles son las posibilidades para las cantidades de subgrupos de Sylow. Necesitamos otro lema. 7.9 Lema. Si S es un Sp -subgrupo de G y H es un p-subgrupo entonces H ⊂ NG (S) si, y sólo si, H ⊂ S. Demostración. Sólo tenemos que probar la implicación (⇒). Por ?? aplicado a NG (S) en lugar de a G, tenemos que existe a ∈ NG (S) tal que H ⊂ a−1 Sa = S. ♦ 7.10 Proposición. Si |G| = pr m con m primo relativo con p y k es el número de Sp -subgrupos, entonces k es un divisor de m y k ≡ 1 (mod p). Demostración. Vamos a probar algo más fuerte: que si H es un p-subgrupo, entonces el número kH de Sp subgrupos de G que contienen a H es congruente con 1 módulo p. Sea X un conjunto de representantes de clases dobles con respecto a N (S) y H. Todos los Sp -subgrupos son de la forma a−1 Sa para alguna a ∈ G. 45 Afirmamos que si H ⊂ a−1 Sa entonces existe una única x ∈ X tal que a−1 Sa = x−1 Sx. En efecto, sea x ∈ X tal que a ∈ N (S)xH. Entonces a ∈ N (S)xa−1 Sa; tomemos entonces b ∈ N (S) y s ∈ S tales que a = bxa−1 sa; entonces 1 = bxa−1 s de donde a = sbx. De aquı́ tenemos que a−1 Sa = x−1 b−1 s−1 Ssbx = x−1 b−1 Sbx = x−1 Sx puesto que b ∈ N (S). Ahora queremos ver que x es única, pero −1 −1 a−1 1 Sa1 = a2 Sa2 ⇒ a1 a2 ∈ N (S) ⇒ N (S)a1 H = N (S)a2 H. Ahora, por ?? tenemos que [G : N (S)] = X [H : H ∩ x−1 N (S)x] x∈X y, como H es p-grupo, todos los términos son una potencia de p, tal vez p0 = 1. Veamos cuáles son 1. Tenemos: [H : H ∩ x−1 N (S)x] = 1 ⇔ H = H ∩ x−1 N (S)x ⇔ H ⊂ x−1 N (S)x ⇔ xHx−1 ⊂ N (S) ⇔ xHx−1 ⊂ S ⇔ H ⊂ x−1 Sx. Entonces el número de sumandos que son 1 es kH . Concluimos que [G : N (S)] ≡ kH (mod p). Esto es para toda H, ası́ que si lo aplicamos a H = S y ası́ tenemos que k = [G : N (S)] ≡ 1 (mod p). Como kes el tamaño de una órbita en la acción de G por conjugación sobre sus subgrupos, entonces k |G|; por otro lado, por lo demostrado arriba ya sabemos que k es primo relativo con p, ası́ que k m. (Además k = [G : N (S)] donde S es un Sp -subgrupo cualquiera.) ♦ El resultado anterior es muy importante pues nos dice cuáles son los candidatos para kp . En caso que pueda deducirse que kp = 1 se tiene que el único Sp subgrupo es normal. 7.11 Proposición. Si para cada primo p sólo hay un Sp -subgrupo, entonces G es el producto directo de sus Sp -subgrupos. Demostración. Esto se puede ver fácilmente por inducción, usando el teorema de Lagrange y 5.26. ♦ 7.12 Ejemplo. Si G es un grupo de orden 15, entonces G es cı́clico. Demostración. Las posibilidades para las cantidades k3 de S3 -subgrupos son k3 = 1, 4, 7, 10, 13 pues k3 debe ser congruente con 1 módulo 3. Por otro lado, k3 15, ası́ que la 46 única posibilidad es k3 = 1. De aquı́ tenemos que sólo hay un 3-subgrupo de Sylow H3 . Análogamente, Las posibilidades para las cantidades k5 de S5 -subgrupos son k3 = 1, 6, 11 y sólo k5 = 1 es divisor de 15, ası́ que sólo hay un 5-subgrupo de Sylow H5 . Entonces, G ≈ H3 × H5 ≈ Z3 × Z5 ≈ Z15 (el último isomorfismo es por 5.27. ♦ 7.13 Ejercicio. (∗) Probar que si G es un grupo abeliano finito y p |G| entonces sólo hay un p-subgrupo de Sylow y consta de todos los elementos de G cuyo orden es una potencia de p (llamado parte p-primaria de G). 7.14 Ejercicio. (∗) Dar un ejemplo de un primo p y de un grupo en el que los elementos de orden una potencia de p no formen subgrupo. Otro resultado útil, corolario de 6.10, es el siguiente. 7.15 Proposición. Si |G| = p m, con m primo relativo con p y p 6 (m − 1)!, entonces G no es simple. r r Demostración. Si m = 1 entonces G es un p-grupo y ya sabemos que no es simple. supongamos que m > 1 y sea H un Sp -subgrupo. Como pr 6 (m − 1)!, tenemos que |G| 6 m! = [G : H]!, ası́ que el resultado se tiene por 6.10. ♦ 7.16 Ejemplo. No existe ningún grupo no abeliano simple de orden menor que 60. Demostración. Por la proposición anterior, basta considerar los casos |G| = 30, 40 y 56. Haremos el caso de |G| = 30 y dejaremos los otros dos como ejercicio. Supongamos entonces que G es un grupo simple de orden 30. Para p = 3, 5 sea kp el número de Sp -subgrupos de G. Entonces k3 = 4, 7, 10, 13, 16, . . . y el único de éstos que divide a 30 es 10. La intersección de dos S3 -subgrupos es trivial, por Lagrange. Entonces entre todos nos dan 10 × 2 = 20 elementos distintos de orden 3. Análogamente k5 = 6, 11, 16, . . . y el único de éstos que divide a 30 es 6. Aquı́ obtenemos 6 × 4 = 24 elementos de orden 5. Pero entonces tenemos 20 + 24 = 54 elementos distintos de 1, lo cual es un absurdo. ♦ 7.17 Ejercicio. (∗) Probar que si |G| = 40, entonces G no es simple. 7.18 Ejercicio. (∗) Probar que si |G| = 56, entonces G no es simple. 7.19 Ejercicio. (∗) Sea H un p-subgrupo normal de un grupo G. Probar que H está contenido en S para todo S p-subgrupo de Sylow de G. 7.20 Ejercicio. (∗) Probar que todo grupo de orden 45 es abeliano. 47 7.21 Ejercicio. (∗) Probar que un grupo de orden 96 no puede ser simple. 48 8. Grupos abelianos finitos A continuación enunciaremos, sin demostración, el importante teorema que nos dice cómo son todos los grupos abelianos finitos. 8.1 Teorema. Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. Si G es abeliano finito entonces G es isomorfo a un único producto directo de grupos cı́clicos en cualquiera de las siguientes dos formas: Zd1 × Zd2 × · · · × Zdk , donde d1 d2 · · · dk , llamada forma canónica de divisores elementales, o Zp1 r1,1 ×Zp1 r1,2 ×· · ·×Zp1 r1,m1 ×Zp2 r2,1 ×Zp2 r2,2 ×· · ·×Zp2 r2,m2 ×· · ·×Zps rs,1 ×Zps rs,2 ×· · ·×Zps rs,ms donde p1 < p2 < · · · < pr son números primos y, para cada i, j, ri,j ≤ ri,j+1 , llamada forma canónica primaria. ♦ 8.2 Observación. Usando ?? es posible comparar las dos formas canónicas. Haremos un ejemplo. 8.3 Ejemplo. Dar la lista de todos los grupos abelianos de orden 360 según las dos descomposiciones canónicas, apareando los de una lista con los de la otra cuando sean isomorfos. Solución. Tenemos que 360 = 23 · 32 · 5. Entonces p1 = 2, p2 = 3 y p3 = 5. Las posibilidades para los exponentes de p1 son 3, (1, 2), (1, 1, 1). Las posibilidades para los exponentes de p2 son 2, (1, 1). Sólo hay una posibilidad para el exponente de p3 : 1. Entonces en la forma canónica primaria las posibles descomposiciones canónicas son: Z8 × Z9 × Z5 , Z2 × Z4 × Z9 × Z5 , Z2 × Z2 × Z2 × Z9 × Z5 , Z8 × Z3 × Z3 × Z5 , Z2 × Z4 × Z3 × Z3 × Z5 , Z2 × Z2 × Z2 Z3 × Z3 × Z5 . Ahora, para poner cada una de éstas en la forma canónica de divisores elementales, juntamos las potencias mayores de cada primo y luego las que le siguen, etc., como sigue: (8, 9, 5) → 360, (2, 4, 9, 5) → (2, 180), (2, 2, 2, 9, 5) → (2, 2, 90), (8, 3, 3, 5) → (3, 120), (2, 4, 3, 3, 5) → (6, 60), (2, 2, 2, 3, 3, 5) → (2, 6, 30). Entonces, los grupos distintos en forma 49 canónica de divisores elementales son Z360 Z2 × Z180 Z2 × Z2 × Z90 Z3 × Z120 Z6 × Z60 Z2 × Z6 × Z30 . 8.4 Ejercicio. (∗) Dar la lista de todos los grupos abelianos de orden 1500 según las dos descomposiciones canónicas, apareando los de una lista con los de la otra cuando sean isomorfos. ¿A cuál de ellos es isomorfo Z6 × Z10 × Z25 ? Los grupos abelianos finitos son más sencillos que los no abelianos. Al igual que los psubgrupos de un grupo nos pueden dar información del grupo los subgrupos abelianos o los cocientes abelianos de un grupo nos pueden dar información. Por esta razón definimos el subgrupo conmutador [G, G] de un grupo G como el subgrupo generado por los elementos de la forma aba−1 b−1 , para a, b ∈ G. 8.5 Proposición. Sea G un grupo cualquiera. Entonces (a) Si f ∈ Aut(G) entonces f ([G, G]) ⊂ [G, G]. (Por esta razón se dice que [G, G] es caracterı́stico.) (b) [G, G] / G. (c) [G, G] es el menor subgrupo de G tal que G/[G, G] es abeliano (en el sentido que [G, G] está contenido en cualquier subgrupo H que cumpla que G/H es abeliano). (G/[G, G] se llama abelianizado de G.) Demostración. (a) Es claro que los generadores de [G, G] van a dar, mediante f , a generadores de [G, G]. (b) Esto es obvio usando los automorfismos γa para a ∈ G. (c) Sea K = [G, G]. Entonces para a, b ∈ G, aKbKa−1 Kb−1 K = aba−1 b−1 K = K, ası́ que G/[G, G] es abeliano. Ahora sea H tal que G/H es abeliano; por lo tanto para a, b ∈ G, aba−1 b−1 H = aHbHa−1 Hb−1 H = H, de donde [G, G] ⊂ H. ♦ 8.6 Ejemplo. (a) Si G es abeliano entonces su conmutador es {1}. (b) Si Q es el grupo de los cuaternios entonces [Q, Q] = {1, −1}. (c) [S3 , S3 ] =<(1 2 3)>. 8.7 Ejercicio. Encontrar [S4 , S4 ]. 8.8 Ejercicio. Encontrar [A5 , A5 ]. 50 Referencias y lecturas complementarias [1] Dixon D., Problems in Group Theory, Dover Publications, 1973. [2] Fraleigh J.B., A First Course in Abstract Algebra, Reading, Addison Wesley, 1973. [3] Herstein I.N., Topics in Algebra, 2a. ed., John Wiley, New York, 1975. [4] Jacobson N., Basic Algebra I, W. H. Freeman and Company, 1985. [5] Pérez M.L. Teorı́a de Números, Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas, Instituto de Matemáticas, UNAM, 2a edición, 2009 [6] Rotman J., Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, 1st edition (2002). [7] Rotman J., An Introduction to the Theory of Groups, 3a. ed., Allyn and Bacon, 1984. 51

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