Propiedades de la Transformada de Fourier de Tiempo

OpenStax-CNX module: m12957
1
Propiedades de la Transformada de
Fourier de Tiempo-Continuo
∗
Melissa Selik
Richard Baraniuk
Translated By:
Fara Meza
Erika Jackson
Based on
†
Properties of the Continuous-Time Fourier Transform
by
Melissa Selik
Richard Baraniuk
This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the
‡
Creative Commons Attribution License 2.0
Abstract
Se nombran algunas de las propiedades de la Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo.
En este modulo veremos algunas de las propiedades básicas de la Transformada de Fourier de TiempoContinuo1 (CTFT). La primera sección contiene una tabla que ilustra las propiedades, y la siguiente sección
discute unas de las propiedades mas interesantes más a fondo. En la tabl, oprima en el nombre de la operación
para ver la explicación se se encuentra más adelante. Véase este modulo2 para una tabla expandida de las
propiedades de Fourier.
Discutiremos estas propiedades para señales aperiodicas de tiempo-continuo pero entenderemos que propiedades similares se matienen para señales de tiempo-continuo y señales periódicas.
note:
1 Tabla de Propiedades de CTFT
∗ Version
1.2: Aug 1, 2005 8:49 pm -0500
† http://cnx.org/content/m10100/2.13/
‡ http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/
1 "Continuous Time Fourier Transform (CTFT)" <http://cnx.org/content/m10098/latest/>
2 "Propiedades de la Transformada de Fourier" <http://cnx.org/content/m12875/latest/>
http://cnx.org/content/m12957/1.2/
OpenStax-CNX module: m12957
2
Nombre de la Operación
Señal ( f (t) )
Transformada ( F (ω) )
Adición (Section 2.1: Linealidad)
f1 (t) + f2 (t)
F1 (ω) + F2 (ω)
Multiplicación Escalar
tion 2.1: Linealidad)
αf (t)
αF (t)
Simetría (Section 2.2: Simetría)
F (t)
Escalamiento en el Tiempo (Section 2.3: Escalamiento en el
Tiempo)
f (αt)
2πf (−ω)
1
ω
|α| F α
Desplazamiento en el Tiempo
(Section 2.4: Desplazamiento en
el tiempo)
f (t − τ )
F (ω) e−(iωτ )
Modulación (Desplazamiento de
Frecuencias) (Section 2.5: Modulació(Desplazo de la Frecuencia))
f (t) eiφt
F (ω − φ)
Convolución en el Tiempo (Section 2.6: Convolución)
(f1 (t) , f2 (t))
F1 (t) F2 (t)
Convolución en la Frecuencia
(Section 2.6: Convolución)
f1 (t) f2 (t)
1
2π
dn
dtn f
(iω) F (ω)
(Sec-
Diferenciación (Section 2.7: Time
Diferenciación)
(F1 (t) , F2 (t))
n
(t)
Table 1
2 Discusión de las Propiedades de la Transformada de Fourier
Después de haber visto la tabla anterior y tener un sentimiento de las proiedades de la CTFT, ahora nos
tomaremos un poc más de tiempo para discutir de las propiedades más importantes y útiles.
2.1 Linealidad
La combinación de las propiedades de la adición y de la multiplicación escalar de la tabla anterior demuestran
la propiedad básica de linealidada. Lo que debe de ver es que si uno toma la Transformada de Fourier de
una combinación lineal de señales entonces esta será la misma que la combinación lineal de la transformada
de Fourier de cada señal individual. Esto es crucial cuando usamos la tabla3 de las transformadas para
encontrar la transformada de una señal más complicada.
Example 1
Empezaremos con la siguiente señal:
z (t) = αf1 (t) + αf2 (t)
(1)
Ahora, después de tomar la transformada de Fourier, mostrada en la siguiente ecuación, notemos
que la combinación lineal de los términos no es afectada por la transformada.
Z (ω) = αF1 (ω) + αF2 (ω)
3 "Common
Fourier Transforms" <http://cnx.org/content/m10099/latest/>
http://cnx.org/content/m12957/1.2/
(2)
OpenStax-CNX module: m12957
3
2.2 Simetría
La simetría es una propiedad que nos puede hacer la vida más fácil resolviendo problemas que involucran
la transformada de Fourier. Basicamente ;p que dice esta propiedad es que ya que la función rectangular
en el tiempo es una función sinc en la frecuancia, entonces una función sinc en el tiempo será una función
rectangular en la frecuencia. Este es un resultado directo de las similaridades entre la CTFT y la inversa de
la CTFT. La única diferencia es que es escalda por 2π y una revocación de la frecuancia.
2.3 Escalamiento en el Tiempo
Esta propiedad trata con el efecto de la representación del dominio de frecuancia de una señal si la variable
tiempo es alterada. El concepto más importante par entender para la propiedad de escalammiento es que
las señales que son estrechas en el tiempo son amplias en la frecuancia y vice versa. El ejemplo más sencillo
de esto es la función delta, un pulso unitario4 con una muy pequeña duración, en el tiempo que se convierte
en función constante de longitud-innita en frecuencia.
La tabla anterior muestra esta idea para una transformación general del dominio-tiempo de la señal.
Usted debería de ser capaz de notar que esta ecuación muestra la relación mencionada anteriormente: si la
variable tiempo incrementa entonces el rango de la frecuencia sera decreciente.
2.4 Desplazamiento en el tiempo
El desplazamiento en el tiempo muestra que un desplazo en el tiempo es equivalente a un desplazo de fase
lineal en la frecuencia. Ya que el contenido de la frecuencia depende solamente de la forma de la señal, el
cual es invariabe en el desplazo en el tiempo, entonces solamente la fase del espectro será alterada. Esta
propiedad será provada facilmente usando la Transformada de Fourier, asi que mostraremos los pasos básicos
a continuación:
Example 2
Primero empezaremos dejando que z (t) = f (t − τ ). Ahora tomemos la transformada de Fourier
con la expresión anterior sustituida para z (t).
Z
∞
f (t − τ ) e−(iωt) dt
Z (ω) =
−∞
(3)
Ahora hagamos un pequeño cambio de variables, donde σ = t − τ . A través de la calculación
antarior, podemos ver que solamente la variable en el exponencial es alterada solo cambiando la
fase en el dominio de la frecuencia.
Z (ω)
=
R∞
= e
f (σ) e−(iω(σ+τ )t) dτ
R∞
f (σ) e−(iωσ) dσ
−∞
−∞
−(iωτ )
(4)
= e−(iωτ ) F (ω)
2.5 Modulació(Desplazo de la Frecuencia)
La modulación es absolutamente imprescindible para las aplicaciones de comunicaiones. Siendo capaces de
desplazar una señal a diferentes frecuencias, nos que mas que tomar ventaja de diferentes partes de los
espectros del electromagnetismo es lo que nos permite transmitir la televisión, radio y otroas aplicaciones a
través del mismo espacio sin interferencia signicativa.
4 "Elemental
Signals": Section Pulse <http://cnx.org/content/m0004/latest/#pulsedef>
http://cnx.org/content/m12957/1.2/
OpenStax-CNX module: m12957
4
La demostración de la propiedad del desplzamiento de la frecuencia es muy similar a la de desplazamiento
en el tiempo (Section 2.4: Desplazamiento en el tiempo); Sin embargo, aqui usaremos la transformada inversa
de Fourier. Ya que vamos a través de los pasos anteriores, la demostración de desplazamiento ene l tiempo,
a continuación solo mostrara los pasos iniciales y nales de esta demostración:
z (t) =
1
2π
Z
∞
F (ω − φ) eiωt dω
−∞
(5)
Ahora simplemente reducimos esta ecuación por medio de un cambio de variable y simplicando los términos.
Después probaremos la propiedad expresada en la tabla anterior:
z (t) = f (t) eiφt
(6)
2.6 Convolución
Convolución es una de las grandes razones para convertir señales en dominios de frecuancia ya que la
convolución en el tiempo se convierte en multiplicación en frecuencia. Esta propiedad es también otro
buen ejemplo de la simetria entre el tiempo y la frecuencia. También muestra que hay muy poca ganancia
cambiando el dominio de frecuancia cuando la multiplicación en el tiempo esta involucrada.
Introduciremos la integral de convolución, pero si no la ha visto anteriormente o necesita refrescar la
memoria véase el modulo de convolución de tiempo-continuo5 para una explicación mas profunda y su
derivación.
y (t)
=
=
(f1 (t) , f2 (t))
R∞
f (τ ) f2 (t − τ ) dτ
−∞ 1
(7)
2.7 Time Diferenciación
Ya que los sistemas LTI6 pueden ser representados en términos de ecuaciones diferenciales, es evidente
que con esta propiedad que conviertiendo al dominio de frecuencia nos permitirá convertir esta complicada
ecuación diferencial a una ecuación más sencilla que involucre multiplicación y adición. Esto también es
visto con mas detalle durante el estudi de la Transformada de Laplace 7 .
5 "Convolución de Tiempo-Continuo" <http://cnx.org/content/m12828/latest/>
6 "Clasicación y Propiedades de los Sistemas" <http://cnx.org/content/m12822/latest/>
7 "The Laplace Transform" <http://cnx.org/content/m10110/latest/>
http://cnx.org/content/m12957/1.2/