En suma este Iibro es una valiosa contribución cuya utilidad se ve

En suma este Iibro es una valiosa contribución cuya utilidad se ve
fincada en su accesible tamaño y en su sólido y riguroso manejo del
material tratado. La edición, sin embargo, está plagada de erratas, y más
grave aún, es difícilmente asequible. Pero estamos seguros que este
breve, pero condensado libro llena, aunque no agota, una gran laguna
sobre este tema en nuestros países.
LUIS ARGUDÍN
W.V. Quine, Methods of Logic, Harvard University Press, Cambridge,
4a. edición, 1982; x + 334 pp.
Treinta y cuatro años después de su primera aparición, esta obra de
Quine sigue ocupando un lugar de privilegio en la bibliografía ló~cofilosófica y continúa siendo recomendada en las "guías de lectura' de
numerosos libros como un excelente texto de lógica elemental. Varias
razones justifican esta actitud ante la obra. En primer lu~ar, la temática
abordada en ella no se ciñe únicamente a los aspectos tecnico-formales
de la lógica; por el contrario, reciben atención cuidadosa muchas cuestiones de naturaleza filosófica o conceptual. En segundo lugar, Methods •..
está muy bien logrado en ambos aspectos; la personalidad
filosófica de su autor, y su conocida competencia lógico-matemática,
han dado lugar a un libro sugerente en lo filosófico, iluminador en lo
conceptual, y siempre preciso y exacto en lo lógico-formal, sin que esto
último vaya en desmedro de la claridad y elegancia de la exyosici.ón.
Cabe destacar también que el contenido de la obra la hace úti para un
doble objetivo: a través de sus páginas se puede tomar contacto con los
elementos de una disciplina importante y también con muchos puntos
de vista filosóficos de un autor de notoria influencia en este siglo.
Todos estos rasgos de Methods •.. contribuyeron, sin duda, a que el
libro se convirtiera en un clásico de la literatura moderna sobre estos
temas.
Methods ... es una obra tan conocida que resultaría ocioso hacer un
análisis detallado de su contenido; sí puede resultar de utilidad, en cambio, dar alguna información de las novedades que registra esta edición
respecto de las anteriores. Tres ediciones (en 1950, 1959 y 1972) precedieron a la que nos ocupa. En la primera, el libro estaba dividido en
cuatro partes dedicadas, respectivamente, a las funciones de verdad, la
ló~ca de la cuantificación monádica, la teoría general de la cuantificacion, y alguna noticia de desarrollos formales que extienden la lógica
elemental presentada en las partes anteriores (teorías deja identidad, de
las descripciones, de conjuntos). Quine no empleaba un enfoque axiomático ni de deducción natural en las dos primeras partes; en ellas exponía métodos de decisión, uno de los cuales suministraba un algoritmo
muy ágil para la lógica proposicional. En la tercera parte se desarrollaba
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con detalle un método de deducción natural que permitía resolver los
problemas cuantificacionales y era de mucha utilidad en la enseñanza de
estrategias deductivas. La estructura del libro no fue alterada en la segunda edición. Los principales cambios fueron una mejora en la exposición de los teoremas que justifican el sistema de deducción natural de la
tercera parte y la incorporación de un apéndice dedicado a los teoremas
de completitud y de Lowenheim,
En la tercera edición el libro apareció muy renovado. En las ediciones anteriores, Quine finalizaba la segunda parte exponiendo un método
de decisión para la cuantificación "uniforme" (un tipo de cuantificación monádica en la cual se usa una sola variable de individuo, la letra
'x ).1 Al desarrollar el método, Quine omitía escribir las variables de las
fórmulas, Lo hacía por simple comodidad; pero, al mismo tiempo, dejaba al descubierto un hecho de interés teórico: que las variables del formalismo utilizado eran fácilmente prescindibles. Esto sugería la posibibilidad de utilizar desde el principio un formalismo sin variables y
adecuado para manejar los problemas que antes se trataban con la
cuantificación uniforme. Esta es la posibilidad que Quine explota en
la tercera edición. Un ejemplo aclarará los cambios. Suprimiendo las
variables de '( 3 x) (Fx y Gx)' obtenemos '(3) (F y G).2 En las versiones anteriores del libro, la segunda fórmula era tratada como una
abreviatura de la primera (obsérvese que la reconstrucción unívoca de
la fórmula original es posible porque sabemos que sólo aparecía en ella
una variable, 'x '), En la nueva versión, la segunda fónnula tiene una
semántica independiente: 'F' Y 'G' representan términos como antes;3
'y' es' un operador binario que aplicado a términos produce términos
(aunque en otras ocurrencias puede aplicarse a oraciones dando oraciones), y '( 3 )' es otro operador que aplicado a un término da una
oración (que es verdadera si y sólo si el término no es vacío). En esta
línea (que Quine llama "booleana'), se puede construir una lógica de
términos que permite analizar las inferencias tratadas habitualmente
con la cuantificación monádica, sin hacer uso alguno de variables ni
cuantificadores. Desarrollando esta idea, Quine reestructura en 1972
la segunda parte de Methods. . . y posterga allí la introducción de
cuantificadores, tratando primero la lógica monádica con el enfoque
aludido. El autor hace claro que tal enfoque booleano no exige la
1 La cuantificación uniforme tiene también otras restricciones (en el alcance
de un cuantificador no hay subfórmulas que no tengan libre la variable del cuantificador, etc.).
2 Quine también suprime los paréntesis de los cuantificadores, dado que ellos
son similarmente prescindibles.
3 Más exactamente, términos generales absolutos, como 'hombre', distintos de
términos singulares como 'Sócrates' y de términos generales relativos como 'tío'.
En lo que sigue, 'término' abreviará siempre la expresión más exacta utilizada al
comienzo de esta nota.
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aceptación ontológica de clases. En la cuarta edición, Quine llega más
lejos en la utilización de recursos booleanos; pero antes de comentarlos,
indicaré brevemente otros cambios de la tercera edición. La tercera
parte del libro también resulta reestructurada. En lugar de desarrollar
con detalle un método de deducción natural, como en las dos primeras
ediciones, Quine prefiere ahora desplegar una variedad de métodos
lógicos alternativos. Uno de ellos es considerado más importante que los
otros (Quine lo llama "The Main Method'), pero es distinto del método
que más atención había recibido antes, más simple que aquél y admite
también una prueba de completitud relativamente sencilla. El viejo metodo es degradado y se lo expone de manera breve en una sección de
lectura optativa.
En la cuarta edición, el libro conserva la estructura cuatripartita original (sin apéndices; los temas que se trataban en ellos han sido absorbidos por capítulos inmersos en el texto). Nuevamente, los cambios más
importantes tienen lugar en la segunda y tercera partes. En la segunda,
Quine extiende el uso de recursos booleanos ontológicamente "descomprometidos". El autor utiliza ahora la notación de abstracción de cla8eS,4 que habitualmente
se emplea para introducir nombres de conjuntos. En el enfoque de Quine -no comprometido con el supuesto de
existencia de clases-, tal notación es sólo una "manera de hablar"; los
supuestos nombres son contextualmente eliminables, en el sentido de
que las oraciones en que aparecen pueden traducirse a otras oraciones
en las que ya no hay mencion alguna de conjuntos. Tomemos, por ejemplo, la notación
(1)
{x:
Fx }
que habitualmente se lee como 'el conjunto de los x tal que x es F'. (1)
puede aparecer en contextos como
(2) y
E: {x : Fx }
que aparentemente afirma la pertenencia de 'y' al conjunto que antes
habríamos mencionado. Pero en el enfoque "descomprometido"
de
Quine, (2) es simplemente otra manera de decir 'Fy' y no conlleva compromiso alguno con la existencia de clases. Todo contexto oracional en
que aparezca (1) es susceptible de alguna paráfrasis similar. Quine había
utilizado recursos de este tipo en obras anteriores: la "teoría virtual de
clases" de O Sentido da nova lógica y Set Theory and Its Logic, maneja4
En el presente contexto, 'clase' y 'conjunto' serán sinónimos.
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ba las notaciones de la teoría de conjuntos en la misma forma que el
enfoque booleano "descomprometido" gue hemos descrito someramente aquí. Pero en aquellas obras la teoría virtual era un mero recurso
auxiliar de una teoría de conjuntos más fuerte, con auténticos compromisos ontológicos. En la presente edición de Methods ... Quine opina
que además de tal papel subsidiario en la teoría de conjuntos, la teoría
virtual de clases (o el enfoque booleano "descomprometido") puede ser
de utilidad en la lógica elemental para "regimentar" las cláusulas relativas del lenguaje ordinario. A su vez, las cláusulas relativas son de interés
para la lógica, porque con su ayuda puede abstraerse lo que se predica
de un determinado objeto en una oración en que se lo menciona. En
oraciones sencillas tal recurso no es necesario, porque un término simple puede representar lo que se predica de cierto objeto: en 'Juan es
alto, el término 'alto' indica lo que se predica de Juan. Pero es difícil
construir un término que exprese lo predicado de Tom en
(3) Tom solía trabajar para el hombre que asesinó a la hermana más joven de Tom.
En este punto podemos acudir a las cláusulas relativas. Con su ayuda,
podemos construir
(4) quien solía trabajar para el hombre que asesinó a su hermana más
joven,
que representa bastante bien lo que se afirma de Tom en (3). Pero (4)
tiene un 'su' ambiguo (la pobre asesinada ¿era hermana del empleado
o del empleador?). Un uso de variables permite obtener
(5) x tal que x solía trabajar para el hombre y, tal que y asesinó a la
hermana más joven de x.
(5) No tiene la ambigüedad que molestaba en (4) y, como veremos,
puede usarse para representar lo afirmado acerca de Tom en (3). El primer 'tal que' de (5) recuerda la lectura usual de la notación conjuntística (1). Y, en efecto, tal notación conjuntística es de utilidad para brindar cierta representación de (5): para ello, debe reemplazarse la eX~)fesión 'Fx' de (1) por la oración abierta que sizue al primer 'tal que en
(5). Nos queda un aparente nombre de clase. Si ahora afirmamos la pertenencia de Tom a dicha clase, obtenemos una proposición equivalente
a (3) (sin compromisos ontológicos conjuntísticos, porque el supuesto
nombre de clase y la afirmación de pertenencia deben tratarse como lo
hicimos con (2». Esto ilustra la consideración que hicimos antes: la notación de abstracción sirvió para "regimentar" una cláusula relativa, flue
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a su vez representaba -a la manera de un término complejo-lo que se
predicaba de cierto individuo en una oración.
Trabajando en la línea descrita, Quine muestra la función que
puede tener una teoría simulada de clases en el seno de la lógica elemental. El enfoque contribuye también a clarificar la naturaleza pronominal de las variables. Ln capítulo posterior -de la cuarta parte-, dedicado a operadores combinatorios, proporciona una clarificación
adicional del tema de las variables ligadas.
La tercera parte del libro sufre una modificación por razones al~o
pintorescas. En el prefacio, Quine anuncia que el método de deduccion
natural, que había sido central en las primeras ediciones y tratado de
manera breve y secundaria en la tercera, vuelve a recibir un tratamiento completo, respondiendo a quejas de profesores que se habían aficionado al método y lamentaban la suerte corrida por él en la tercera
edición. A pesar de la reivindicación parcial, el método sigue confinado
a secciones de lectura optativa ya la sombra del "main method".
Aparte de las modificaciones apuntadas, la obra ha sido objeto de
correcciones y mejoras menores, como el autor acostumbra introducir
en las reimpresiones de sus libros.
A través de los comentarios precedentes, el lector puede apreciar que
Jlethods ... ha evolucionado tanto que su lectura puede resultar provechosa aun para buenos conocedores de las primeras, clásicas, versiones.
Otra consecuencia algo curiosa de los cambios sufridos por el libro es
que los profesores que imparten lógica pueden encontrar, quizás, que
las distintas ediciones de la obra pueden resultar de utilidad en cursos
de distintas naturalezas y objetivos.
RAÚLORAYEN
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