Procedimiento de verificación y aplicaciones para la especificación

ESTADISTICA ESPAÑOLA
núm. 102, 1984, p^gs. 13 a 34
Procedimiento de verificación y aplicaciones para la
especificación de modelos econométricos
por ANTONIO GARCiA FERRER
Departamento de Econometrta.
Universidad Autónoma de Madrid
RESU MEN
La intención de este trabajo es demostrar cómo la mayoria de los tests
estadísticos utilizados en Econometría pueden derivarse a partir de! planteamiento general de !os tests clásicos de verificación de hipótesis. A partir
de dicho esquema se derivan los tres tests clásicos de !a razón de verosimilitud de Wald, y de multiplicadores de Lagrange, y se presentan algunas
aplicaciones relacionadas con restricciones en modelos lineales y no linea!es y en contrastes de especi^cación dinámica.
Puluhrt^.ti c•/r! ^ ^E^: Tests clásicos, resiricciones lineales y especifícación dinámica.
.
INTRODUCCION
Aunque las consecuencias de !os errores de especifcación de los modelos economé-
tricos son bien conocidas, !os numerosos tests que se aplican para contrastar dicha
especificación no están (aparentemente) generados por un cuerpo teórico común. Consecuentemente, e! investigador en economía aplicada se encuentra con un número
considerable de situaciones (restricciones en los parámetros, autocorrelación, heteroce-
l^
E.!^TADISTIC^A ESPA1tiOLA
^1<«tici^iad, e^;pecificucicin dinámic^, etc.) en la^ que aplica dicho^ tests de furma ^istem^itl^^i ^in entender, cl^iramente, el tiigniticudo y el origen común de lo^ mismos.
1..^^ intención de este trahujo e^ triple. En primer lugar, Ilevaremc^^ a cabo un
pl^^nte^imiento ^eener^^l de luti distintos tesis en Econometría utilizando solamente dos
c^itegc^rí^i^: test^ de mal^^ etipecificación-tesis de especi^cación, por un lado, y modelos
^rnidadc^^-modelos nc^ unidados, por otro. En segundo lugar se procederá a la derivación
de los te^t^ de la razón de verosimilitud, de Wald, y de multiplicadores de Lagrange,
dentru del esquemu clásico de verificación de hipótesis. Por último, examindremos
algunds de la^ aplicaciones de dichoti test^ mediante las que se pondrá de mani^esto
cómu Ic>> diversos test^ que el economi^ta utiliza con asiduidad no són, sino, casos
e^peci^^les deriv^idu^; de !o^ testti clásicus de verificación de hipcítesi^.
NI.AN"TEAMIENTO GENERAL DE 1_OS TESTS DE HIPOTESIS EN
ECONOIWIETRIA
A la hora de buscar una modelizac ión econométrica adecuada, los contrastes de
hipótesis pueden encontrar^e dentro de dos categorías generales. los tests de especifícación y los tests de mala especificación o error en la especificación. Veamos la diferencia
entre ellos a tr^vé^ de un sencillo ejernplo. Supongamos que la función de consumo de
un grupo de T individuo^ viene e^pecificadd por el siguiente modelo
c^, -- x+ R,^, + Yct,, + E,
r-- 1
(2.1)
en donde 'tr y c^^^ representan rentd y riqueza, respectivamente, y E, se distribuye
nurmul e independientemente con medid 0 y varianza Q^ . Alternativamente, y como
consecuencid de razone^ técnicas (multicolinealidadl o de ausencia de información
estddí^;tic^, sobre c^^f, considerarnoti el modelo
c ^, = x + ^3 ^^, + r^,
^
t - 1, . . . , T
tr, ^ N 1 D(0, c^,? )
( 2.2j
Una ti^rmd naturaf de proceder sería estimdr (2.1) por MCO y aplicar un test t para
veriticdr I^i hipóte^is de que •^ = 0. Este sería un t^.^^t cle c^.^^^^^c•i/ic•uciún. Sin embargo, la
inclusión de u^, en el modelo podría no haber sido una posibilidad obvia, de forma que
hubiésemos podido estimar ( 2.2) sin un modelo dlternativo en mente. En este caso,
^eri^i prudente verificar si el rnodelo ( 2.2) es adecuado o no sobre la base de un test
^iplicado d los residuos rr,. Este sería un tc^.^^t clc^ c^rrur c^n !cr c^.^^nE-c•i/ic•uc•i^^n, es deeir, un
test construido sin una hipóte^is alternativd en mente. Como tdl, es un procedimiento
diseñudo pdru veritic^r I^i bonddd de ujuste del modelo construido bajo una determinada
PROCEDIMIEN?OS DE VERIFICAC[ON Y APLICACIONES
1S
hipótesi^;, basada sabre la idea de que si el modelo es razonabfemente adec uado, los
residuos obtenidos han de distribuirse aleatoriamente.
Nu siempre, ios procedimientos de verificación pueden clasificar:se como tests de
especificación a tests de mala especificación. Volviendo al ejempio de la función de
consumo anterior, nos podemos encontrar con las siguientes especificaciones alternativas de c,
c, =^3 ti^, + E l
jE r^- N f D( 0. cT É)
í2•3l
t•, = ycx^, + r^,
tr, ^ N iD(0, cs ;)
[2.4)
Los modelos [2.3) y^2.4) se considera j^c^ unicluc^os, en el sentido de que ninguno de
ellos puede obtenerse comu un caso especiai del otro. Aunque apenas mencionaremos
este tipo de modelos en este trabajo, Harvey (1981, pp. 175- l79), Judge y col .(1980, pp.
43ó-439) y Maddala ( 19^31) presenian atgunas soluciones para el tratamiento de los
mismos '. En cualquier caso, podemos resumir el esquerna general de los distintos
procedimientos de veriticación en e! siguiente cuadro:
Hipótesis anidadas
Test de especiticación
Test de mala especificación
3.
Hipótesis na anidadas
Tests clásicos:
-- Razón de verosimilitud
--- Wald
-- Multiplic. de Langrange
Test de Cox (1962)
Test de Atkinson (1970)
- Técnicas gráficas
Criterio de
-- Test estadísticos de residuos
Akaike (19731
infarmación de
TESTS CLASICOS .DE VERIFICACION DE HIPOTESIS
Los r^unddmentos de la dproximación clásica dei contraste de hipótesis se encuentran
en lus trabajos de Neyman y Pearson. En dicha aproximación se consideran una
hipótetiis nula ( Hr, ) y una hipótesis dlternativa, y el espacio muestral se particiona en
das re^;ir^nes. l^na es ta región de aceptacicín (1os datos son consistentes con fa hipótesis
nuld) y otrd es 1d región crítica (rechdzo), de forma que la esencia de cualquier buen
test resicfe en la elección óptimd de la región crítica. Definidos los tipos de error posible
(1 y i I), y estando el nivel de significación (tamaño) del test fijado por la probabilidad
' Breusch y Pagan (19801 demuestran cómo se puede tratar este tipo de modelos como un cdso
especiaf del test de multipiicadores de Lagrange. Sin embargo, Pesdran (19K1) demuestra cómo
esto sólo es posible baja el supuesto de conocer «a priori» los parámetros de! modelo altern^ativo.
1 E^
FSTAL)ISTICA L:SPAlVOLA
m4:rxim^^ del errur del tipu l, el test se considera óptimu si minimiza la prohahilidad del
errur de tipo 11 suhre el canjunto de los valores de Ios parámetrus ascx:iadus con la
^^Itern^^tiv^^. F ste test tie denomin^r ^^ni/^^r^»c^^^rc^^^rc^ ^»^r,^ ^^^^tc- ^^tc- ( UM P) =, y^r que la
putenci^^ del test viene detinida por
{ 1 - prob (error tipa Il)}
y el lema de Neyman y Pearson proporciona la forma operativa de dic ho test.
3.1.
EL TEST DE LA RAZÓN DE VEROSIMILITUD (RV)
Conucido en la literatura coma el estadístico de Wilks (1932), su utilización en
Econometría no ha sido tan exhaustiva como los otros tests clásicos, como consecuencia de las dificultades de cálculo que suponía la implantación de la estimación
maximaverusímil. Sin embargo, con el desarrollo reciente de los algoritmos de estimación mdximoverosímil, la aplicación del test RV en trabajos empíricos ha adquirido un^, relevancia considerable. Como ejemplo baste citar los trabajos de Byron (1974)
y Wuadland (1975 ).
Uefinido un vectar de ahservaciones
^'
tTx r1
= ^ 1',, ^'2, ..., ^^T^ ^
^3.1)
tom^^das ^^le^rtorir^mente de una distribución que depende de un vector de parámetros
() = If^^, f)`, ..., f)k]'
podemos formular las dus hipótesis como
H^, :
f) = E), ^
H^:
H = El^
de torma que, de acuerda con Silvey (1970), el test RV vendría definido camo
i^ - i-(^',..^^^, ..., ^^T) -
C,(f^„ )
l_(E^,1
( 3.3^
dunde h.(E)„ ) y I_(H, ) son las funciones de verosimilitud obtenidas bdjo H„ y H, , respectiv^imente. Por desgracia, la aplicabiliddd de Id expresión ^ 3.3) sólo se puede Ilevdr a la
2 Desgraciadamente, excepto para casos muy especiales, no existen tests uniformemente más
potentes. Para una discusión detallada de este tema ver Zellner (19t32, pp. 152-160).
PROCE:i^iti41ENTOS DE VER[FICACIC)N Y APLI(:AC'!(^tiES
i7
pr^ictic^a si 1^^ di^;tribución en, en pequeñ^s muestras, cie 'r. (o alguna transformación
mcanótan^^ de Id mism^^) es conc^cida. C'omU esto raras veces se da en Id realidad, tantu
étite coma ios atros tests que veremos se Ilevan a cabo sobre la base de la upr•c,.ri^ nuc•iúrt u.yirttcític•ct ^ .
En efecto, si H^ está anidada en H, y se satisfacen tas condiciones de normalidad y
eficiencia asintótica para la estimación maximoverosimil, Id teoría asintótica proporciona !as bases para una aproximación viable del test RV. Si llevamas a cabo la
expansión de )og C.(E)c,) en serie de Taylor alrededor del estimadar maximoverosímil sin
restricciones ^ ^ tenclremos que
fog L(4„ )^ log L{4) +{E^ - 9„ )' D lag L(E^) +
{3.4j
+ ^ (9 - 90 )' G2 log L(8) ( ^ - 9^^ )
2
EI segundo término de [ 3.4) es cero, ya que 8 es ei estimadar MV no restringida, de
forma que
log L{8„ ) - 1ag L(f^ ) ^ ^-- (8 - s^, )` D^ log L.(`4) (9 - ^^, )
2
c^ lo que es igual (multiplicando por -- 2), utilizando ( 3.3)
- 2 log i. ^((j - f)^,y' {- D^ log L(^)} (f:) - E^^„ )
Pues bien, tiiguiendv a Silvey (1970, pp. 114) es fácilmente demostrable córnc^ hcljc^ /cc.ti
c•c^nclic•ic^r^c'.^^ c!c' rt^,^^^rlclric/cict, el estddísticv
RV = - 2 log ^. _ (Ej - d^,)' { - DZ log (8)} (^Ñ - f)o)t,X^
[3.5[
se distribuye asintóticamente bajo Ht, como una x q, siendo y el número de restriccioneti
necesarias p^iru ciefinir I^ hipótesis nul^a.
Aunque el test ^2V es c•U/1.^'r.1tc'/lt[' {prc^piedad derivada de !a consistencia del estimador M V) :^u rr^u^^c^r clc^.^' ^ •c'ntcrjcr comparativd cc^nsiste en la necesidad de etitimar los dos
vectoreti de parámetros E) y E),,. Esta e^, en muchas cxasiones, un grun incc^nveniente
cuandc^ tie le compara con Ic^s utros testti que sólc^ necesitan estimar E) u E^^, .
` Harvey (19K1, pp. lb1-162) presenta dos excelente^ ejemplos de cómo la inclusión de un
subconjunto de variables en el modelo de regresión y el concxido tetit de Chow pueden verificarse
como caso^ particulares del test RV mediente una sencilla transfurmacirín monótvna de ^.
1R
ESTADISTICA ESPAÑOL.A
3.^.
E1. TEST DE WALD (W ^
Aunque este test ya había sido utilizado previamente por el propio Wald (1943), Roy
t 1957) y Silvey ( 195K), fue Zellner ( 1%2) quien lo introdujo en el campo econométrico.
Posteriormente, su utilización ha sido exhaustiva en trabajos empíricos, especialmente
desde que Zellner y col. (1967) incluyeron un algoritmo en un programa de orcienador
que era proporcional al estadístico de Wald.
EI test de Wald puede Ilevarse a cabo sobre la base del ^nc^clelu sin re.striccivnes
exclusivamente, lo que resulta muy ventajoso cuando el modelo restringido es difícil de
estimar. La idea subyacente en el test W es que si H^, es cierta, las restricciones
impuestas por ésta deben cumplirse cuando el modelo se estime no restringido.
Si suponemos y restricciones líneales sobre 4 de la forma
H^, : R^ _ ^r
[ 3.6 ]
donde R es una matriz (y x k^ de constantes conocidas y r es un vector (y x l) de
constantes conocidas, los elementos del vector Rl^ - r deben estar cercanos a cero
cuando Ht, sea cierta. EI problema reside, pues, en decidir algún criterio para determinar cuanda R9 - r está lo suficientemente cercano a cero para que sea consistente con
H^ .
Por teori^a asintótica sabemos que
^/ I (^ - e ) ^ N[^. lA" ^ (e ) ]
donde lA- I(d ) es la inversa de la matriz de información asintótica de Fisher, de forma
que utilizando el teorema de Cramer
^R(E^ --- 4 ) _ ^( REj - r)d--♦ N [ 0, R • 1 A" ^ (^8 ) • R' ]
y utilizando el Teorema A.44 de Toutenburg ( 19^2, pp. 190), tendríamos que
T • (R^ -- r^'[R • IA^^(H) • R'j ^ I(R8 - r)^ Xy
[3.7]
La distribución [ 3.7 ] permanece inalterada si cambiamos la matriz T• IAt9 ) por
cudlquier matriz asintóticamente equivalente para la que se cumpla que
nI lí^n
^ 1*(p) = lA(6)
T --^ ^ T
[3.^]
de forma que tendríamos la de^nición usual del test de Wald como
W = (Re - r)'[R • 1*-^(e) • R']wI(R8 - r)
[3.9]
PR©CEDIMIENTOS DE VERíFICACION Y APL[CACIONES
19
Una ventaja importante del test W es que resulta hustuntc^ .tle_riht^, en el sentido de
que puede ser definido en términos de un conjunto bastante amplio de estimadores ( no
sólo los M V), de forma que la distribución asintótica de este criterio depende de las
condiciones Iocales en las restricciones. De hecho, el poder asintótico del test W
depende únicamente de la eficiencia y consistencia de los estimadores utilizados, por lo
que cualquier estimador asintóticamente eficiente sirve para construir tesis equivalentes
al te st R V.
3.3.
E L TEST DE LC?S M ULTIPI.lCADORES DE LAGRANGE ( ML)
EI test ML fue introducido en la literatura econométrica por Aitchison y Silvey
(1958) y Silvey (1959). En cierta forma, el test ML puede interpretarse como el precio
st^mhru cle !us r^.stric^c•ione.^^, por lo que-, desde un punto de vista intuitivo, su utilizaeión
resulta muy atractiva para los econornistas. Su uso ha sido, pues, exhaustivo y como
ejemplos podríamos citar los trabajos de Trivedi (1970) y Byron (1972).
EI test ML se lleva a eabo sobre !a estimación del mc^delv restrínKic^o, y Silvey
(1959) demuestra como bajo las condiciones de regularidad utilizadas en la derivación
de la distribución asintótica del test RV, los estadísticos w y ML resultan ser asintóticamente equi valentes a aquel.
Supongamos un conjunto de q restricciones de la forma
Ho:h^(8)--0
j- 1,2,...,y
[3.I0]
siendo ^^^ una función de 8, cuyas primeras derivadas existen. De acuerdo con Aitc hison
y Silvey ( 195K), la función de verosimi^itud restringida vendría dada por
log L* = log L+
^^.^ h^ (8 )
[ 3.1 1)
donde los ti1 son los multiplicadores de Lagrange. Diferenciando [3.11 j con respecto a
Ios parámetroti desconocidos f) y^, tendríamos
^iogL*
4 log L
9©
9 E^
9 log L*
^^
_
-=/1^E^„)=0
+
e ^30
4
^ h^ (0 )
^ ^^^
`i f^
j 1
J- 1,...,y
=o
[ 3.12)
6 =E^
[3.13j
F-.S"TADISTIC'A ^:^PAtiOI.A
y llamando
^a lU^ 1_*
D -
^^f^
Ikx 11
^ t^^-'H^^
C^^l^(f) )
Ñ t^t^y^
^
^^ _ ^^n
c^41
,
- (^^^ti,,
Iqx Il
/',. y
^
)^ H ^:. H^^
tendríamos que las condiciones de primer orden vendrían dadas pur
D+Ñ^^-0
{r^ (()„ ) - U
j -- 1. . . .. ^l'
{3.14J
(3.15)
La idea subyacente a) test ML es que cuando H(, es correcta, el estimador restrin^ido tin tenderá a estar cerca del estimador M V(H ), de forma que D-^ 0. Bajo las
condiciones de regularidad que suponen la intercambiabilidad de las cond iciones de
integración y diferenciación, se demuestra que si se cumplen las condiciones de Crowder (1976), el test M1-, (bajo H(,> puede escribirse comu
MI_ =_- p, ^-^^ ; ^`, ^ ,1-1Ñ^^X^
donde 1= E-
c'^ log l..
^c^H'
(3.16^
es la matriz de int^^rmación de Fisher e valuada para
E^ =^^. Si ahora sustituimos D por su valor, obtendremos otra expresión del test ML
CURIU
ML ^{D log L(E^^,)}' 1-^(f^^){D log [_((^(,)} ^ xya)
[3.17)
Por ^último, Breusch y Pagan (19KO) proponen una tercer^i fiorma de present^ición del
estadístico ML para ayuellos casos en que sea dificil la construcción de l^^ matriz de
información s. En estos casos, puede ser útil derivar un rnétodo indirectu de cálculo
del test MI_ basado en el hecho de qué tipo test puede construirse aplicandu la fórmula
de Wald a las estimaciones de ld primera iteración del algoritmo del scuring cle Fisher
4 l.a equ^valencia de las expresiones [3.17] y[3.5] puede verse fácilmente desarrollando en serie
de Taylor { D log L(Ho ) } alrededor de E^. Véase, pUr ejemplo, Harvey (19^1, p. 168).
s Cumo, por ejemplo, en el madelo de parámetros camhiantes de Rosenberg (1973).
PRUCEUIMIFNTOS DE v>^Ril`7C.AC:IC^N Y APLtcaC^it)NES
21
cuando se utifizan como valores iniciales los valores de máxima verosimilituci bajo H^,.
En este caso, la expresión resultante sería:
w
^,
M L ! (^ - d° )' I (d° ^ EFj ^ - ^^, ^
[3.1f^)
que podría interpretarse como un test de Wald para verificar ia hipótesis de que H= É^° .
3.4.
COMPARACIÓN ENTRE LQS DISTINT4S TESTS
tdealmente, ei punto crucial a la hora de examinar la forma de1 test estadístico
relevante es determinar, en cada caso en particular, si éste puede transformarse en un
estadístico, cuya distribución exacta bajo H^, sea conocida. Dadd la imposibilidad de
conseguir esto de forma general, la comparación entre los distintos tesis debe Ilevarse a
cabo sobre la base de dos criterios: conveniencia de cálculo y potencia de los tests.
De acuerdo con lo que hemos expuesto anteriormente, resulta obvio que Ios tres
tests difieren en el tipa de información requerida. EI test RV requiere la estimación de
ambos modelos, restringido y no restringido, mientras que el test W requiere solamente
el modeto sin restricciones, y el test ML el modelo restringido. Consecuentemente,
desde el punto de vista del coste de cálculo, el test RV es el que requiere mayor
información y, lógicamente, los test W y ML son, generalmente, preferibles.
También hemos demosirado anteriormente como, desde un punto de vista asintótico, los tres tienen la misma distribucicín x Z, de forma que la preferencia por uno u otro
es irrelevante para el caso de grandes muestras. En pPyr^^ñus mr«strus, sin embargo,
sus propiedades son distintas y el hecho de utilizar resultados basados en tests asintóticos puede originar resultados conflictivos. En este sentido, Berndt y Savin (197?)
demuestran camo, bajo determinadas condiciones, los tests estadísticos cumplen la
desigualdad
W >_ RV ? ML 6
Sin embargo, Evans y Savin (19K2) demuestran como el conflicto entr-e los tests
asintóticos es una cansecuencia del hecho de que los niveies de si^;nificación de los
mismos no son correctus. Asimismo, demuestran como la probabilidad de conflicto es
míníma cuandu dichos tests se modifican uti{izanda factores de corrección bas^cíus en
las técnicas de expansión de Edgeworth para encontrar las distribuciones exactas de los
tesis bajo H^, .
,,
i
6 Mizon (1977) no encuentra evidencia empírica de que esta desigualdaci ^e mantenga para
modelos no lineales.
ESTADISTICA ESPAÑOLA
22
APLICACIONES DE LOS TESTS DE ESPECIPICACION
a.
La. razón t'undamental de esta sección es comprobar como un porcentdje considerdble de los contrastes de hipótesis usuales en la modelización econométrica se pueden
derivar como casos particulares de los test de W, RV y M[_.
4.1.
RESTRICCIONES LINEALES EN E1. MODELO LiNEAL GENERAL
Supongamos el modelo lineal general
y = Xj3 + u
donde r^ ^ N[D (0, aZl) y X es una matriz ( T x k) de regresores exógenos. En éste, se
quieren contrastar q restricciones lineales sobre [i en la forma
Ho:
[4.1j
Ra = r
donde R es una matriz conocida (q x k^ de rango q, y r es un vector ( y x 1) igualmente
conocido.
Si suponemos una uproxirnucivrr cuudráticu, el logaritmo de la función de verosimilitud viene dado por
T
T
log L(a , a 2)_ --_ log 2n --- log a 2-2
2
2
1
6 2(y - X^3 )' { y-?^i )
[ 4. 2 J
y maximizando [4.2^ con respecto a a obtenemos el estimador M V no restringido
^ ` (X,X)-^^v
[4.3]
Para construir el estadístico RV necesitamos también el estimador MV restringido
que podemos obtener directamente de la maximización de [4.2^ sometida a la restri^ción
[4.1] y que, de acuerdo con Theil (1971, p. 285), viene dado por
A
^
-- (X'X)^1R'[R(X'X)-^R']!^(Ra - r^l
[4.4]
Si definimos i^ ! y- Xj3 y i^ = y-- X^3, podemos escribir el logaritmo de la funcián
de verosimilitud no restringida ( omitiendo las constantes) como:
"T
I og L(p )^ --- log a z-2
1
2a2
r^ 'r^
[ 4. S]
PROC'ED[MIENTUS DE VF:RIEICAC'IC,^N Y ArE_I(^AC'It_^^t-.^
?3
y la re stri ngida como
T
l08 L(R) ^ -- -- log c^ 22
1
26`
r^ '^^
De acuerdo can [3,Sj, la diferencia entre j4.Sj y[4.bj se puede utilizar para definir e1
estadistico RV. Para ello, reformulamos (4.6j sabiendo que
ti = y -- ^3 ^ i^ -- ( X ` X ) ^ r R' [ ^t( X' X ) - r i^' j -- ^ ( R^3 -- r )
[ 4 . 7}
.
tras sustituir a en [4.4j. De forma que sabiencio que t^'X =© podemos escribir [4.6]
como
ic^g L(^i )^ - T log, a 2-- 1
2 cs ^
2
^^'^f -
1 (Ra - r)'[Rtx'X)_^R']_I(R^3 - r)
2
EI estadístico RV podr9'a, consecuentemente, e^+c:ribir^^e cc^mc^
^
,.
RV = 2[log L(^i) --- log L(^i)j =
= (R^i -- r)'[a^=R(X'X)^rR' ] -^(R^^ _ r)
[ a .^)
Por otra parte, el estadístico W se ohtiene directamente de ] 3.y] , y pcxiemos escribirlo como
w - (R^ ^ r)^[Q2 ' R(X`X)^rR') -r(R^ --- r>
[4.IU)
Hinalmente, para ubtener el estadísticu ML ^ahernos que de I^^^ ^:^^n^iicic^ne^ ^ie [^rirner
orden de la maximización c:c^n restricciones, y s^,^tituyenda ^ en [^.^):
D Ic^^ I_([3 l-- R' [ R( X' X)' 1^' ]_ r( Rj:i - ^)
[ 4.1 1 ^
de furma que su^tituyendc^ en )3.17]
L M ^ ( R^i __ r 1' ( cr ^ R( X' X ) _^ ^ R, ) ._ ^ ( R[^ ^__ ,.^
^ ^ .12)
I^emotitrada !a igualdad R V=^ W= M l^ ', y pue tito que c^ = e^ cie^cunuc i^ic^, pudemos
sustituirlo pc^r su valur estimi^cio. Puesto que
' E tita demosiración es fácilmente ^;eneralirable par^ tl ca^o de un^^ rnatriz de c^^v.iri^inra^ SZ
conocida. Engle ( 19R4) demuestra dicha gene ^-aliración, asi como el cdso en q^,e cc^nsideremus un
subconjunto de parámetros restrin^i^l^,ti bajc^ F^,.
ESTADISTICA ESPAÑOLA
24
(T - k )02
^
^
xT_^
a2
nos encontrarnos que dividiendo pc^^ r sus respectivos grados de libertad obtenemos el
test general de hipátesis para la verificación de q restricciones lineales, expresado por
(R^ -- r)`[R • {X'X)"^R']^^(R^i -- r)
_ .. Fq, r-^r
.
[4.13]
^t 2 • q
De esta forma se dernuestra fácilmente cómo los usuales tests F y t(q = 1), que se
utilizan para contrastar restricciones lineales en el modelo lineal general, no son sino
.
casos particulares de los test RV, W y ML.
MODELOS NO LINEALES: TESTS DE AUTOCORRELACI(5N
4.2.
De acuerdo con Breusch y Pagan (1980), supongamos un modelo no lineal de la
forma
vr--X^-ra,^)+r^^
t -- 1,...,T
[4.14)
donde r^^ -- 1^JlD(0, cs2), y donde k(.x,, 8) es independiente de r^,. E1 veetor de k
parámetros 8 se particiona en H^ y 8^ de q y(k -- q) parámetros, respectivamente, y
desearnos contrastar la hipótesis nula
^:
o
®i ^ ^i
Bajo estos supuestos, el {ogaritmo de la funcián de verosimilitud (omitiendo constante s ) se rá
log L(E^ ) ^ -- 1^ T lo gQ2 --
I-r^'tr
2Q2
En este caso es fácilmente demastrable que la matriz de información será diagonal
en bloques entre E^ y a^ de forma que sálo necesitaremos las derivadas con respecto a
1
^j, y ello nos permite concentrarnos^ exclusivamente en el exponente -- ^Qz rr'r^. Consec uentemente, las cantidades necesarias para evaluar [ 3.9j y[ 3.16j serian
p .^
alogL
l
_ ^ ____ C,^^,
cs 2
a8
^ Ecc^ c^
^ - E L\ a lae L /^ a'ae L I J - Q
zs
PRE)CEIjIM1ENTOS DE VERIFICAC'IC}ti' Y APLiC'ACiOVE:S
(^ ^,^ r
donde G vdcobiano de ^,^ ) es una matriz tT x k ^ que contiene a^f) - e n i a pcas ik
ción (t, k). De esta forma, podemos expresar los tests de Wald y Lagrdnge como
W = (^^ ^ -- H°]'Q -2[G' {^) )G(E^ )] -1(E^ ^ - ^^ ° } ^ ^X y
[ 4.15]
ML - cx-2rr'C'.^,[E(G'G)]-^G'r`^ ^`
[4.16]
dande i^ son los reSll^llUS dP/ mo^elo ul c{j^lstur los ( k -^) estimaciones de 4^ mientras
que restringimos 8, = H°, y E(G' G) es E(G' G) evaluada para las valores de 9= 6° y 92.
si evaluamos E(G' G) coma G' G entonces [4. l6] se convierte en
ML:
á-^^^'^[^,G]-iG^r^ ^
.
Xy
[4.17)
De acuerdo con [4.17], Godfrey (1978) y Engle ( 19^0) demuestran cómo dicha
expresión puede escribirse como
ML = T • Rz
[4.1^]
dande el R^ es el coeficiente de correlación que resulta de efectuar la regresión de r^
_
sobre G.
Veamos a eontinuación cómo podemos aplicar estos tests a determinados esquemas
de autocorrelación, y cómo podemos derivar los tets específicos en cada caso coma
casos particulares de los mismos.
1.
Supongamos el siguiente modelo de regresión simple
^^^ - a.r, + ^^,
t - 1. . . . , T
[4.19]
en donde loti errores siguen un esquema de autocorrelación AR(1), de la forrna
ii, = pr^,_ i+ E,
p c 1
[4.20]
siendc^ E^ -- NID(0, cs^ ). En este caso, el problema de veri^car el supuesto de ausencia
de autocorrelación podria llevarse a cabo verificando
H^,:
p=0
" Esta expresión puede generalizarse para el caso de sistemas de ecuaciones aparentemente no
relacionadas, en cuyo caso ( 4.16] sería
ML: r^'(^ c^ 1)- ^G{ E[G'(E ® 1)- t Gl }-^G'(E ® I)i^
^4. lbb)
26
ESTAD1STlCA ESPAÑ4LA
frente ^i
H^:
p
^0
utilizando [ 4.2U) y( 4.19] podemos escribir Er camo
E^ _ ^^! - p^^ f_^ -- _vr --^3xr -- p yl_ ^+ pp.^r_ ^_
-( vr - P vr- ^)-` R(-^^ - P xr- ^)
de forma que podríamos obtener estimaciones minimocuadráticas autorregresivas
(1'ViCA) de los parámetros desconocidos, minimizando
S([i, p) - ^ E^ -- ^ ({ti^, - pti^r_^) -- R(xr -- px,_^)]2
r^ 1
[4.21]
r=1
con respecto a a y p.
La verificación de Ha: p= U se podría Ilevar a cabo utilizando cualquiera de los
tests clásicos. En efecto, pc^dríamos aplicar el test de Wald dividiendo el estimador
MCA de p por un error estándar. También podríamos aplicar el test RV, comparando el
logaritmo de la función de verosimilitud asociado con las estimaciones MCA al obtenido, utilizando MCO bajo la restricción p= 0. En este caso, sin embargo, el test ML
es el más sencillo de aplicar, ya que se reduce a minimizar [4.21j sometido a la
restricción p = U.
De esta forma, el lagrangiano asociado sería
S*(a, p, ^,) = S(^3, p) + 2^p
[4.22]
donde ^ es el multiplicador de Lagrange.
Igualando las primeras derivadas a cero, tendríamos
aS*
c^5(^i, p)
__p
_____ _
aa
a s*
ap
--
^a
s(R, P)
ap
A
-+ 2^, -o
[ 4.23]
as*
--2p--0
a ^.
que p= 0 y a sería el estimador MC{^ de ^3 en [ 4.19] , ya que satistáce
A
aS(^i)
a
a
= 0,
PROCEDIMIENTOS DE VERIFICACION Y APLICACIONES
siendo S ([3) =^ r^; . De esta forma, el test ML se reduce a veriticar la signifi+cativir=1
^
dad de ^. , que vendría dada por
A
1 ^S([i, 0)
ap
2
[de la ecuación [4.2I]]
[ 4.24]
r
[£rur-
_^ llrur_I
[de la ecuación [4.20J]
r=i
donde ^^o = 0 y i^r = Er(^i, 0) = u,(^3) = yt - xr^3 es el residuo MCO en el período t{t =
l, 2, ..., T).
De esta forma, el test de .sikni,f ic•utir^idud dP ^. se reduc•e u r^erif ic•ur lu siknif icutir•iclud de lu uutvc•vr•uriun^u ( dividiendo por T) u de !u uutvc•orreluciún (dividiendo por
^i^^ ) de pri^»er vrden, ya que dichas transformaciones no afectan la forma del estadístico M L.
Adicionalmente, para un esquerna autorregresivo del tipo ur = ^^,_ Ip, + Er, y siendo
X una matriz con regresores estrictamente exógenos, Breusch y Pagan ( 1980) demuestran cómo el test
M L= Tr ^ ^- x ^
[4.25]
es el estadístico que se utiliza normalmente en los pragramas de Box-Jenkins para
comprobar la afeatoriedad de los residuos, demostrando cómo los tests basados en la
función de autocorrelación de los residuos son, en realidad, test iViL, asintóticamente
equivalentes a W y RV 9.
Asimismo, para procesos autorregresivos de ©rden p. de tal forma
,,, = P,^^r-I + p^^r-2 + ... + pp1^,_p
en donde la hipótesis nula viene expresada de la forma
E^f^,.•
_ 0 .
p ^ _ p2 _ ... _ pv
e implica la verificación conjunta de que r^, r^, ..., rp son ceros, Breusch y Pagan (1980)
dernuestran cómo el estadístico ML coincide prácticamente con el de Box-Pierce para el
caso en que ^ sea sufic ientemente grande .
y Si X contiene variables endógenas retardadas, el test /^ de Durbin se puede obtener igua!mente como una aplicación del Test ML. Véase, por ejemplo, Dolado (1981, pp. 18-19>.
28
ESTAD1STiCA ESPAlVOLA
2.
^
En algunas ocasiones, especialmente cuando trabajamos con relaciones dinámi-
cas, e^ importante verificar la posibiiidad de procesos de medidas móviles. l.a relevancia de éstos el mismo test ML al margen de que la especificación alternativa sea AR( l)
o MA(1). Este resultado realmente impartante puede generalizarse para procesos puros
AR(p ) o MA(y} y procesos mixtos ARMA (p, q) 10.
4.3.
CONTRASTE DE LA ESPECIFiCACtÓN DINÁMICA
Nasta hace relativamente pocos años, toda la literatura econométrica sobre retardos
distribuidos solía poner un mayor +^nfasis en una parametrización adecuada que redujera
el número de retardos, que en determinar et número máximo de los misrnos que debían
aparecer en el modelo. A pesar de las críticas y de los resultados obtenidos por los
rnodelos de series temporales, tadavía es muy frecuente, en la práctica, la sola utilización de tests de mala especificación basados en procesos AR(1) a AR(4). Esto impone
re.slricciones no contrustudu.s de ezistenciu de f'actore.s comr^nes que pueden llevar a la
aceptacián de modelos con una maía especifcación dinámica.
La metodología que cornentamos a continuación parte de combinar la información
estructural de la Teoría Económica con las técnicas del análisis de Series Temporales y
de Econametría. Fue propuesta inicialmente por Sargan (1964) y extendida posteriormente por el propio Sargan t 1975) y Mizon (1977b^. La característica fundamental de la
metodología del análisis de factores comunes (COMFAC) es la de comenzar por el
modelo más general posible y proceder a contrastar secueneialmente si versíones cada
vez más restringidas son consistentes con los datos.
Siguiendo a Mizon y Hendry (1980), supongamos el siguiente modelo autorregresivo
con retardos distribuidas de la forma
6(L)^4, = w^
[4.30]
o, similarmente, diferenciando entre la variable endógena yt y las exógenas x,
Ce^ ( L)] ; [e; ( i.-.)^ [^ y,
= w,
[4.30bj
L x,
donde 4(L) es un vector de (k x 1} polinomios en el operador de retardos L, de orden
m^, m^, ..., mk, y donde los valores de m^ (j = 1, 2, ..., k) se toman lo suficientemente
grandes eomo para asegurarse que wr es un proceso puramente aleatorio con medida 0 y
'0 También puede generalizarse para sistemas de ecuaciones con valores retardados de la
variable endógena coma regresores. Véase, par ejemplo, Breusch y Godfrey {1981).
PROCEDIMIENTOS DE vERiFICwC10N Y aPL.iCACiONE5
29
varianza a m. E1 rnodelo [ 4.30j , para el número máximo de valores mo , m,,..., m k (que
deben especi^carse «a priori^), forma lo que consideramos la hip4tesis inicial. Posteriormente, consideramos las dos siguientes parametrizaciones:
p(L)cx{L)'zr = Er
[4.31 J
donde p( L) es un polinomio escalar en t de orden r, a( L) es un vector de ( k x 1)
polinomios en L de árdenes /o, !,, ..., I,^ y E, es un proceso de ruido blanco, y
9*(L,)'Zr = E^
[4.32)
donde las restricciones en 6( L), para definir 8*( L) se eligen sobre la base de la
información proveniente de la Teoría Econónrtica. Comparando [4.31j y[4.32], vemos
que [ 4. 32j sbto será válido si
8(L) = p(L)a(L)
[4.33]
lo que implica que los polinomios de 9(L) tienen un factor común de p(L). Sin embargo,
[4.31j puede escribirse de la forma
a(L)'^, = u^
[ 4. 34]
p ( L) ur = E r
que es un modelo lineal con los errores generados por un proceso autorregresivo de
orden r, de forma que a ( L) representa la parte dinámica sistemática, y p(L) el modelo
dinámico de los errores ".
De acuerdo con las expresiones [4.30] a[4.34], el procedimiento de contrastacián
determina, en una primera etapa, los retardos máximos que van a intervenir en una
segunda etapa que constrasta cuantos factores comunes aparecen en la forrnulación
[4.30j . Un procedimiento de contr'astación secuencial llevado a cabo de esta forma
posee una gran potencia asintática 12, y los detalles de la determinacibn det orden de ios
desfases pueden verse en Mizon (1977b).
Por último, la cleterm^nuric^n de! ntí^nerv cIe ,tuc•tc^res co^nr^rres eonsiste en eontrastar
la siguiente secuencia de hipótesis
P^(L)am_.(L) = 8,„(L)
[4.35]
" En principio, la sola especificación de formas AR aparece como una restricc ión bastante
fuerte. Sin embargo, Hendry (1977) demuestra cómo el correlograma de un proceso t1^A puede
aproximarse razonablemente por el de un AR. Adicionalmente, y como vimos anteriormente,
Godfrey (1978) demuestra córno el test ML de correlación serial en los residuos no depende del
tipo de proceso AR o MA.
' I Ver, Anderson (1971, cap. 3.2 ).
^^STAC)1STICA ESPAÑOI_A
^()
(^^^r^i r-= U, i, .... ^r^ ; ^iendc^ »^ = mín (r^^,> y t^,„( L) el vector de (k x i) polinomios en L
^ie ia hipóte^i^^ inicial. L.a^ re^tricciune^ de factores comunes implícitas en ( 4.35) pueden
e^cribirse de ld fc^rm^^
^4^ • ^^ (^ y - o
tal que dadas las estimac:i©nes no restringidas 4), tal que
.
T(E.) -- H^^^ N(o, Q^, V)
[4.36]
.
y siendo
^ = Q^,(JVJ')
donde
J -- lím ^`^ae'
p
( 4.36j implica que
A
^/ `[k^8) -- k(0)j ú N(0, i^)
{4.37]
podemos utilizar ei test de Wa1d de forma que siendo r el número de factores comunes
bajc^ Ha
.
W ^ T • ^'(^)'^l^x(^) ú Xrk
Aunque esta metodología no esté exenta de problemas importantes [ véase, por
ejernplo, Currie (1981)j, ya está produciendo resultados prometedores en temas tan
irnportantes como consumo [ Mi2on y Hendry (1980)^, precios [ Sargan (1980)] o demdnda de dinero [ Dolado (1982)j .
S.
^
CONCLUSIQNES
En las páginas precedentes, hemos visto la gran utilidad de los tests de verificación
clásícos a la hora de verificar un número considerable de tests de hipótesis. La
utilización de uno u otro va d depender, básicamente, de las características del problema especifico que estemos tratando. De hecho, los distintos tests que hemos visto, si
son usados correctamente, pueden Itegar a ser c•vmplementurio.s en vez de sustitutivos.
En cualquier caso, no existe una solución generalmente aceptable, y lo que hemos
presentado aqui es obviamente una aproximacián sistemática incompleta. Por ejempto,
el procedimiento de psp^c^i^ic•ur^i^^n dinúmicu utilizado es sólo uno de los cinco propuestos por Leamer (19?8) («Simplification Search^). La búsqueda de una especificacíón
correcta deberia, necesariamente, eansiderar Ios otros cuatro.
PROCEDIMIENTOS DF VERtFICACION Y APLICACIONES
31
Sin embargo, sobre la base de lo anteriormente expuesto podrían hacerse algunas
consideraciones:
1.
Empezar con un modelo sencillo y a la vista del R^ ir añadiendo variables nunca
es un método aconsejable. Pueden aparecer serios problemas de corretación espurea y
de agotamiento de datos que hagan inservible el modelo. En cualquier caso, siempre es
aconsejable un test de mala especificación que asegure que los residuos sean ruido
blanco.
2.
Toda la in/c^rmuc•ic^n di.spc^nihle «a pri©ri^^ debe utilizarse para tener dispuesto
un esquema de decisión antes de llevar a cabo el proceso de estimación. Entonces se
pueden Ilevar a cabo los tests de especificación comenzando con el modelo más general
para ir de5cendiendo posteriormente a modelos más sencillos.
3.
Una cuestión importante que debe destacarse en el uso de los procedimientos de
contrastación secuencial es cómo deben controlarse los ni^^^les de siXnific-uc•iún en cada
etapa de la sucesión. En este sentido, es importante darse cuenta que la imposición de,
por ejemplo, un nivel del S por 100 en cada una de 1as etapas puede hacernos creer
inconscientemente que estamos trabajando globalrnente al S por 100, cuando, realmente,
lo estamos haciendo a un nivel mucho mayor 13.
4.
Por último, la estrategia propuesta en las páginas anteriores puede verse como
una forma de especi^cación del modelo, que es válida internamente (buen ajuste de los
datos de la muesira). Es igualmente importante, tal como señala Harvey (19^ 1, pp.
iK3-i^7) determinar si el modelo es igualmente bueno fuera de la muestra, verificando
su actuación predicti va fuera del período muestral.
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ESTADtSTICA ESPAI'^OLA
3^4
SUMMARY
VERIHICATION METHODS AND APPLICATION POR THE
SPECIFICATION OF ECONOMETRIC MODELS
The main intention of this paper is to show how most of ihe statistical
tests used in Econometrics can be derived from the general framework of
clasical hypothesis testing. Following such scheme we derive the Likelihoad Ratio, Wald and Lagrange multipliers tests and present some applicdtions related to restrictions in linear and non linear models and dynamic
specification.
^C'^v H^^^rcl.^^: Clasical Tests, linear restriccions and dynamic specification.
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