Problema 4

MEC 2245 Mecánica de Fluidos
CAPITULO: C7
ANALISIS DIMENSIONAL
Problema (Mott Robert) Se
encuentra fluyendo agua a 40ºC
de A hacia B a través del sistema
mostrado en la figura. Determine
la velocidad de flujo de volumen
de agua si la distancia vertical
entre las superficies de los dos
depósitos es 10 m. Ambas
tuberías son de hierro cubiertas
de asfalto. Los codos son
estándar.
Sección: PR-7
Problema 7.3
Página: 1
Rev. 0
Ke
Resumen de datos
-4
µ=6.51x10 k/m-s ( a 40 ºC)
3
Ks
ρ = 992 kg/m ( a 40 ºC)
D1= 90.9 mm (tubería de 3”)
L1 = 55 m (longitud total de la tubería de 3”).
D2= 165.2 mm (tubería de 6”)
L2 = 30 m (longitud total de la tubería de 6”).
e = 0.12 mm (tubería de hierro revestida de asfalto, obtenido de tabla)
Le/D = 30 (longitud equivalente para codo estándar de 90º, según tabla)
Le/D = 45 (Válvula de mariposa completamente abierta, según tabla)
Ka =0.5 (Coeficiente de resistencia de la expansión súbita)
Ke = 1.0 (Coeficiente de resistencia de entrada para tubería entrante)
Ks=1.0 (coeficiente de resistencia de salida, no importa la forma de conexión del tubo con el
tanque).
Variable a calcular
Q (flujo volumétrico), en este caso las pérdidas de carga en el sistema de tubos
en serie es un dato indirecto (se puede calcular a partir de la ecuación
generalizada de Bernoulli).
Hipótesis
i) Flujo permanente e incompresible
Principios y/o Ecuaciones principales:
La ecuación generalizada de Bernoulli (consecuencia de la primera ley de la
termodinámica) para calcular la pérdida de carga en el sistema de tuberías.
La ecuación de Darcy para el cálculo de la velocidad media de flujo y por
tanto del caudal.
Resolución
Calculemos, primero la pérdida de carga (por fricción y en accesorios), hp, en el sistema
hidráulico. Para esto aplicamos la ecuación generalizada de Bernoulli, entre los puntos A y B
de la superficie de los tanques, mostrados en la figura.
𝑝𝐴
𝜌𝑔
+
𝑉𝐴2
2𝑔
Elaborado por: Emilio Rivera Chávez
Fecha de elaboración: 22/05/2013
+ 𝑧𝐴 =
𝑝𝐵
𝜌𝑔
+
𝑉𝐵2
2𝑔
+ 𝑧𝐵 + 𝑕𝑝
Revisado por:
Fecha de revisión:
(1)
MEC 2245 Mecánica de Fluidos
CAPITULO: C7
ANALISIS DIMENSIONAL
Sección: PR-7
Página: 2
Problema 7.3
Rev. 0
Las presiones, pA y pB son 0 (presión atmosférica),
Las velocidades en la superficie de los tanques VA y VB son despreciables (tanques de grandes
dimensiones).
Por tanto,
𝑕𝑝 = 𝑍𝐴 − 𝑍𝐵
𝑕𝑝 = 10 𝑚𝑐𝑎
Sabemos que en un sistema de tuberías en serie la perdida de carga por fricción y en
accesorios total es,
𝑕𝑝 = 𝑕𝑓 + 𝑕𝑎 (2)
Donde, la pérdida de carga por fricción está dada por la ecuación de Darcy,
𝑕𝑓 =
𝑓𝑖
𝐿𝑖 𝑉 𝑖 2
𝐷𝑖 2𝑔
(3)
Como todos los dos tramos de tubería son de diferente diámetro, la velocidad media de flujo en
cada tramo es diferente, y también el factor de fricción, entonces la pérdida de carga por
fricción está dada por:
𝑕𝑓 = 𝑓1
𝐿1 𝑉1 2
𝐿2 𝑉2 2
+ 𝑓2
𝐷1 2𝑔
(3a)
𝐷2 2𝑔
En este caso, es mejor poner hf en función del flujo volumétrico Q.
𝜋
4𝑄
𝑄 = 𝑉𝐴 = 𝑉 4 𝐷2 → 𝑉 = 𝜋𝐷 2 (4)
Sustituyendo en (3a)
𝑕𝑓 = 𝑓1
𝐿1
8𝑄 2
4 + 𝑓2
𝐷1 𝜋 2 𝑔𝐷1
𝑕𝑓 =
8𝑄 2
𝐿2
𝐷2 𝜋 2 𝑔𝐷24
8𝑄 2
𝜋 2𝑔
𝑓1
=
55
0.09095
8𝑄 2
𝑓1
𝜋 2𝑔
𝐿1
+ 𝑓2
𝐷15
𝐿2
(5)
𝐷25
30
+ 𝑓2
0.1652 5
𝑕𝑓 = 733006𝑓1 + 20167𝑓2 𝑄2
(5a)
La pérdida de carga en accesorios, en términos de longitud equivalente y coeficiente de
resistencia, es:
𝑕𝑎 =
Donde
𝐿𝐸
𝐷
𝑓𝑖
𝑉𝑖 2
𝐿𝐸
𝐷 𝑖 2𝑔
+
𝑘𝑗
𝑉𝑗 2
(6)
2𝑔
, es la relación longitud equivalente del accesorio contra el diámetro de la tubería
en la que esta insertado el accesorio.
𝑉1 2
𝐿𝐸
𝑕𝑎 = 2𝑓1
𝐷 𝑐𝑜𝑑𝑜 2𝑔
+ 𝑓2
𝑉2 2
𝐿𝐸
𝐷 𝑐𝑜𝑑𝑜 2𝑔
+ 𝑓2
𝑉2 2
𝐿𝐸
𝐷 𝑣𝑎𝑣𝑢𝑙𝑎 2𝑔
𝑉1 2
+ 𝑘𝑎 + 𝑘𝑒
2𝑔
+ 𝑘𝑠
1
8𝑄 2
𝐷24
𝜋2𝑔
𝑉2 2
2𝑔
(6a)
Combinado la ecuación 6a con 4, se tiene
𝑕𝑎 =
2𝑓1
1
𝐷14
+ 𝑓2
1
𝐷24
𝐿𝐸
𝐷 𝑐𝑜𝑑𝑜
+ 𝑓2
1
𝐷24
𝐿𝐸
𝐷 𝑣𝑎𝑣𝑢𝑙𝑎
+ 𝑘𝑎 + 𝑘𝑒
1
𝐷14
+ 𝑘𝑠
Sustituyendo valores y haciendo cálculos tenemos,
𝑕𝑎 =
𝑓1
2
0.09094
+ 𝑓2
1
0.1652 4
Elaborado por: Emilio Rivera Chávez
Fecha de elaboración: 22/05/2013
30 + 𝑓2
45
0.1652 4
+
1.5
0.09094
+
Revisado por:
Fecha de revisión:
1
8𝑄 2
0.1652 4
𝜋 2𝑔
(6b)
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CAPITULO: C7
ANALISIS DIMENSIONAL
Sección: PR-7
Problema 7.3
Página: 3
Rev. 0
𝑕𝑎 = 72687.5𝑓1 + 3332.5𝑓2 + 1928.2 𝑄2 (6c)
Por tanto la pérdida de carga total por fricción y en accesorios en la red será:
𝑕𝑝 = 733006𝑓1 + 20167𝑓2 𝑄2 + 72687.5𝑓1 + 3332.5𝑓2 + 1928.2 𝑄2
𝑕𝑝 = 805693.5𝑓1 + 23499.5𝑓2 + 1928.2 𝑄2 = 10 (7)
De donde,
𝑄=
10
805693.5𝑓1 + 23499.5𝑓2 + 1928.2
Como sabemos el factor de fricción es función del número de Reynolds y de la rugosidad
relativa.
Número de Reynolds:
𝑅=
𝜌𝑉𝐷
𝜇
=
4𝜌𝑄
𝜇 𝜋𝐷
(8)
4∙992𝑄
𝑅1 = 6.51x10 −4 𝜋0.0909 = 2.134𝑥107 𝑄
4∙992𝑄
𝑅2 = 6.51x10 −4 𝜋0.1652 = 1.174𝑥107 𝑄
Rugosidad relativa
𝑒
0.12
=
= 1.3 ∙ 10−3
𝐷1 90.90
𝑒
0.12
𝜀2 =
=
= 7 ∙ 10−4
𝐷2 165.2
𝜀1 =
A partir de estas ecuaciones y por aproximaciones sucesivas calculamos el flujo volumétrico.
Qa
1
R1
f1
R2
f2
Q
error
2.13E+07
0.02
1.17E+07
0.018
0.02327
97.67%
0.02327
4.97E+05
0.0205
2.73E+05
0.0185
0.02301
1.12%
0.02301
4.91E+05
0.021
2.70E+05
0.019
0.02277
1.04%
0.02277
4.86E+05
0.0211
2.67E+05
0.0193
0.02271
0.26%
Entonces el flujo volumétrico es,
𝑸 ≅ 𝟎. 𝟎𝟐𝟐𝟕𝟏
Elaborado por: Emilio Rivera Chávez
Fecha de elaboración: 22/05/2013
𝒎𝟑
𝒍
= 𝟏𝟑𝟔𝟐. 𝟔
𝒔
𝒎𝒊𝒏
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