sistemas de control avanzado - control moderno

SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO - CONTROL MODERNO
1º CUATRIMESTRE 2016 - UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR
INFORME Nº 2: MODELO EN ECUACIONES DE ESTADOS E IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS
Fecha de entrega primera parte: 15/04/2016
Fecha de entrega informe final: 29/04/2016
El sistema bajo estudio es el péndulo invertido con volante de inercia. Un esquema del sistema se muestra en
la figura:
pivote
m1
c
θ1
I1
brazo
motor
polea del motor
L
m2
I2
.
θ2
correa
volante
r
Considerar como variable de entrada a la tensión del motor y como variable de salida la posición angular del
brazo del péndulo. Además, considere que son despreciables las fricciones en los ejes y el momento de inercia
del motor.
A partir de las ecuaciones diferenciales que rigen la dinámica de este sistema obtenidas en el informe anterior,
desarrolle los siguientes puntos:
Primera parte:
En base a mediciones experimentales provistas por la cátedra: (tensión del motor (control), θ 1 , θ 2 ,
Ts=.01s)
estimar
velocidades
y
aceleraciones
usando
diferencias
finitas
ascendentes:
x&1[ kT ] ≈
x1 [( k + 1)T ] − x1 [ kT ]
x [kT ] − x1 [( k − 1)T ]
, descendentes: x&1 [ kT ] ≈ 1
, o un promedio de ambas,
T
T
donde T es el tiempo entre las muestras de medición. Si es necesario filtre las señales estimadas para reducir
el ruido incrementado al derivar. [Recomendación: pruebe el estimador con una señal conocida, como por
ejemplo: sen(ωt ) y cos(ωt ) ]. Envíe un archivo a [email protected], con las señales estimadas (fecha
límite: 15/04/2016).
Segunda parte:
a)
Hallar una representación en variables de estado, detallando las ecuaciones de estado y de salida.
b)
Considerar los nuevos parámetros qi y ρ, que están vinculados con los parámetros físicos del sistema por las
siguientes relaciones:
q1 =
g( m1c + m2 L )
,
m1c 2 + m2 L2 + I1
2
q2 =
1
N 2 kT kF
,
R m1c 2 + m2 L2 + I1
q3 =
NkT
1
,
R m1c 2 + m2 L2 + I1
2
ρ = (m1c + m2L + I1)/I2,
donde N es la relación de reducción entre la polea del motor y la del disco, R la resistencia eléctrica del
bobinado del motor, kT la constante de torque y kF la constante de la fuerza contraelectromotriz del
motor, I1 e I2 son los momentos de inercia con respecto al centro de masa de la barra y el disco.
Expresar las ecuaciones de estado obtenidas en a) en función de estos parámetros y observar la
linealidad con respecto a los parámetros: ( q1 , q2 , q3, , ρ ) .
c)
A partir de las ecuaciones lineales obtenidas en b) las mediciones de las posiciones y las estimaciones de
las derivadas (primera parte), encontrar un conjunto de parámetros que minimice el error medio
cuadrático [Recomendación: usar en MATLAB la función “svd”, ver tabla 2.6 pag. 60 del libro que
sigue la cátedra (Vaccaro), ecuación (2.39), o la operación de pseudoinversa de MATLAB].
d)
Realizar un modelo en SIMULINK con el modelo no lineal identificado (utilice como ejemplo el modelo
provisto por la cátedra en “modelo.zip”). Comparar con las mediciones y comprobar la validez de los
parámetros identificados, del modelo y de las simplificaciones consideradas.
t
Clock
x1
posición de la barra
Out1
x2
Out2
u
In1
veloci dad de la barra
x3
T ensión del motor
Out3
posición del disco
x4
Out4
velocidad del disco
Pendulo
e)
Realizar un Informe Final detallando todos los pasos realizados en la primera y segunda parte.
Fecha de entrega del Informe Final y modelo en SIMULINK: 29/04/2016
Ejemplo de identificación de parámetros en una ecuación diferencial no lineal, pero lineal en los
parámetros:
Considere que se quiere identificar los parámetros q1 y q2 de la siguiente ecuación:
z&1 = q1 sen z1 + q2u
midiendo o conociendo los valores de las variables z1 , z&1 , y u en N instantes de tiempo. Las variables medidas se
pueden representar con vectores de dimensión N. Se construye un sistema de ecuaciones lineales, donde las
incógnitas son los parámetros q1 y q2 . Planteando la ecuación diferencial en cada instante de tiempo se tiene
[ z&1 ] = [sen z1
q 
u]  1  .
 q2 
 q1 
 ; A = [sen z1 u ] ; e y = [ z&1 ] ; donde A e y tienen N filas (una para cada instante), se desea
 q2 
Llamando x = 
resolver la ecuación lineal: y = Ax . Observe que la matriz A es rectangular, cada fila corresponde a evaluar los
datos en cada instante de tiempo. Este es un sistema que generalmente no tiene solución, pues siendo N>2 y
debido a los errores de medición, prácticamente resulta incompatible. Por eso se busca la solución de menor norma
de error o de “mínimos cuadrados”. Ver Pág. 57 o tabla 2.6 de Pág. 60 del libro que sigue como base la cátedra
(Vaccaro).