Medicion, Cifras Significativas e Incertidumbre

UNIVERSIDAD NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
ESCUELA DE QUÍMICA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN PÚBLICA
ASESORÍA NACIONAL DE QUÍMICA
FASCÍCULO EDUCATIVO
MEDACIONES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS E INCERTIDUMBRE:
¨PARA DEJARSE DE VARAS1¨
Lic. Randall Syedd L., UNA
Lic. Giovanni Obando, MEP
1
Nota: La vara era una unidad de longitud española antigua que equivalía a 3 pies. La vara castellana, o de
Burgos, medía 0,8359 m, y estaba dividida en dos codos, tres pies o cuatro palmos. Sirve de base para la
medición de área conocida como manzana equivalente a 10.000 varas cuadradas (100 × 100 varas; es decir:
83,59 × 83,59 = 6.987,29 m²).
1
Cifras significativas e incertidumbre en las mediciones
¿Qué es una medición?
¿Puede decirme qué hora es, exactamente? Cuando
lo haga, ¿cómo se sabe qué tan exacta es la hora? ¿Se
podría ser más exacto con el tiempo que se está dando?
¿Cómo se da cuenta que la hora que lee es la correcta y no
otra? Si por ejemplo vemos el Sol, podemos decir que es de
día, pero podemos aproximarnos más diciendo que estamos
en la mañana y aún la aproximación puede ser mayor al
observar el reloj, podríamos dar el tiempo con horas, minutos
y hasta segundos.
Fig.1. En Londres algunas
personas utilizan el famoso
Big Ben para saber la hora.
En todos los casos en que se calcule una longitud, se pese algún material, se lea un
reloj o una temperatura, estamos haciendo una medición.
Esta se define como una
comparación entre el objeto por medir y un patrón establecido. Se podríamos decir que un
mecate mide 30 manos; pero, como las manos son de diferentes tamaños, esa medida no
serviría como patrón. Por lo tanto, se debe utilizar un patrón universal, tal y como se hace
en el Sistema Internacional de Unidades (SI).
Al observar los instrumentos de las figuras siguientes, se pueden ilustrar los
conceptos “medición” y “exactitud”. ¿Cuál de los tres recipientes se puede considerar más
apto para medir y cuál es más exacto?
(a)
(b)
(c)
Figura 2. a) disolución de Cr3+ acuoso medida en un beaker, b) disolución de Cr3+ acuoso medida en
una probeta, c) disolución de Cu2+ acuoso medida en una pipeta graduada. (Fotos: R. Syedd, 2008;
cortesía Universidad Nacional, Heredia, Costa Rica).
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En la figura 2(a) aparece un beaker graduado cada 20 mililitros (mL) y la lectura del
volumen podría ser 50 mL, 58 mL o, cualquier otra lectura que el observador considere
apropiada, de acuerdo con la aproximación que realice. En la figura 2(b), tenemos una
probeta graduada cada 1 mL (cada línea representa 1 mL) y se podría leer su volumen
como 15 mL, pero otro observador podría leer 14 mL e incluso 14,8 mL, etc. En la figura 2
(c) se aprecia una pipeta graduada cada 0,1 mL y se puede observar una lectura de de la
disolución de 1,5 mL; aunque, mejorando la lectura, se podría leer el volumen entre 1,52
mL ó 1,53 mL. En todos los casos anteriores, se puede notar que el observador al tratar de
mejorar su lectura tiene un margen de inseguridad o incertidumbre en la medición que
realiza.
Lo que se puede deducir a partir de la lectura de las tres figuras es que, entre menor
sea la unidad de medición, más nos acercaremos al valor real que buscamos y esto se
conoce como exactitud. Según Brown (2005) en Química, La Ciencia Central, la exactitud
se define como qué tanto las mediciones individuales se acercan al valor correcto.
En el caso de las tres ilustraciones anteriores
existe un margen de error en la lectura que se hace
del volumen medido y este se produce, no solo por
la
calibración
del
instrumento
que
estamos
utilizando (errores de equipo), sino también por
fallas del observador (errores humanos). Esto se
conoce en las ciencias experimentales como
incertidumbre y, generalmente, se calcula como la
mitad de la unidad más pequeña. En el caso de la
bureta de la figura 3, podemos observar que la
unidad de medida es el mililitro y la división más
pequeña
es
0,1
mL.
Para la bureta la
Figura 3. Medición de una disolución en una
bureta. Se observa la altura correcta a la que
debe colocarse la mirada para evitar errores
de apreciación.
incertidumbre se calcula de la siguiente forma:
i = 0,1 mL = + 0,05 mL
2
Ecuación 1: Al resultado de la división se le adiciona
un + para indicar que es una “incertidumbre”
Lo anterior muestra que cualquier medición debe indicarse con dos decimales,
siempre que se utilice ese instrumento para la medición de volúmenes. De acuerdo con la
3
apreciación del observador, la lectura correcta sería 6,25 + 0,05mL por las siguientes
razones:
a. La cantidad 6,25 se obtiene al hacer el conteo de “líneas” de medición
b. Como la línea del volumen no está en el 6,2 sino cerca de este, se calcula el
siguiente decimal aproximado y en este caso se considera que es 5, por eso
aparece 6,25. Este último dígito es calculado al “ojo %” y por eso se conoce
como número inexacto. Para otro observador el último número podría ser 4 ó 3.
c. La parte adicional a la medida, + 0,05 mL,
corresponde a la incertidumbre
(representada con el símbolo +) y siempre debe aparecer. La incertidumbre nos
da un rango apropiado dentro del cual necesariamente esta el valor real. Para
este caso el intervalo sería desde 6,20 hasta 6,30 mL. Es decir, desde 6,25 –
0,05 mL hasta 6,25 + 0,05 mL.
d. Como la incertidumbre tiene 2 decimales, cualquier medición que se haga con
ese instrumento debe expresarse con dos decimales. Si la medida se leyera en
6,3 según el criterio del observador, debe escribirse 6,30 + 0,05 mL, adicionando
un cero para hacer que ambos tengan el mismo número de decimales.
Para el beaker de la figura 2(a), la incertidumbre se calcularía de la siguiente forma:
i = 20 mL = + 10 mL
2
Ecuación 2: cálculo de la incertidumbre del beaker de
la figura 2(a)
Así, de acuerdo al autor, la lectura del volumen es 50 + 10 mL y el rango está entre
40 y 60 mL sin decimales porque la incertidumbre no los incluye.
Un hecho importante es la relación que existe entre la incertidumbre y la exactitud;
entre más pequeña sea la incertidumbre del instrumento más exacto será el dato que se
obtenga en la medición. Esto nos permite concluir que, entre los tres instrumentos vistos
el más exacto es la pipeta. De la misma manera podríamos obtener la incertidumbre de
una regla, un termómetro o un reloj, en fin, de cualquier objeto que utilicemos para medir,
incluso una cuchara o una taza, tal y como aparece en las recetas en donde se indica
“tome media cucharadita…”. Las unidades básicas del sistema internacional de unidades
(SI) aparecen en el cuadro 1. En Costa Rica se adoptan a partir de1973, mediante decreto
ejecutivo Nº 5292.
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Cuadro 1. Unidades básicas del sistema internacional de unidades (SI)
Magnitud
Nombre
Longitud
volumen
Masa
Tiempo
corriente eléctrica
temperatura termodinámica
cantidad de sustancia
intensidad luminosa
Símbolo
metro
metro cúbico
kilogramo
segundo
amperio
kelvin
mole
candela
m
m3
kg
s
A
K
mol
cd
Además de las unidades básicas o patrones, también se encuentran las unidades
derivadas SI, de las cuales se ilustran algunos ejemplos en el cuadro 2.
Cuadro 2. Unidades derivadas del sistema internacional de unidades (SI).
Magnitud
ángulo plano
ángulo sólido
velocidad angular
aceleración angular
frecuencia
velocidad
aceleración
fuerza
presión
energía, trabajo, calor
potencia
densidad de flujo de potencia
momento lineal, impulso
momento angular
carga eléctrica
potencial eléctrico, fem
flujo magnético
resistencia
conductancia
inductancia
capacitancia
fuerza de campo eléctrico
desplazamiento eléctrico
fuerza de campo magnético
densidad de flujo magnético
temperatura Celsius
flujo luminoso
iluminación
radioactividad
Nombre especial
radián
steradian
Símbolo
rad
sr
hertz
Hz
newton
pascal
julio
watio
N
Pa
J
W
culombio
voltio
weber
ohm, ohmio
siemens
henrio
faradio
C
V
Wb
W
S
H
F
tesla
grados Celsius
lumen
lux
becquerel
T
ºC
lm
lx
Bq
Equivalencia
1
1
rad/s
rad/s2
s-1
m/s
m / s2
kg m / s2
N / m2
kg m2 / s2, N m
kg m2 / s3 , J/s
W / m2
kg m/s, N s
kg m2/s, N m s
As
W / A, J / C
Vs
V/A
A /V, W-1
Wb / A
C/V
V / m, N /C
C / m2
A/m
Wb/ m2 , N/(A m)
K
cd sr
lm/m2
s-1
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Acompañando las unidades básicas y las derivadas, se utilizan los prefijos. A pesar
de que son pocos de ellos los usados, existe una gran variedad. Los más comunes se
presentan en el cuadro 3.
Cuadro 3. Prefijos utilizados en el sistema internacional de unidades.
FACTOR
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
PREFIJO
yotta
zetta
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
hecto
deca
SÍMBOLO
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
d
FACTOR
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
PREFIJO
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
SÍMBOLO
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
En el manejo correcto de las unidades de medición es importante destacar la
presencia de cantidades que son exactas y las que no, para la correcta aplicación de las
mismas.
Números Exactos e Inexactos: Cuando queremos hacer una medición en Ciencias, se
pueden utilizar dos tipos de números, los exactos que corresponden a cifras como la
cantidad de monedas en un bolsillo, de mesas en el aula, la cantidad de piedras en un
recipiente o el número de alumnos.
También están las cantidades inexactas que
corresponden a las que no se pueden saber con seguridad como el peso de una moneda o
la distancia entre Paso Canoas y Heredia. Es en estas cantidades donde interviene las
unidades como medidas de convención. El interés científico por unificar las mediciones ha
creado una serie de procedimientos en el manejo de las unidades como los que se
describen a continuación.
Cifras significativas: En toda medición que hagamos, las cifras significativas son los
dígitos que se conocen con certeza más un dígito que es incierto, precisamente derivado
del posible error del instrumento y del observador. La medición de 6,25 mL calculada en la
figura 3 tiene tres cifras significativas. El último dígito de una cantidad es un aproximado
(tal y como vimos anteriormente). Siempre se escribe solamente un dígito estimado
como parte de una medición y la extensión del número (cantidad de dígitos) está
determinada por la incertidumbre del instrumento y el valor de la medida tomada.
Considerando estos aspectos, se pueden establecer varias reglas para facilitar la
comprensión en el manejo de las cifras significativas, estas se enuncian seguidamente:
6
Regla 1: Todos los dígitos distintos de cero son significativos.
Así por ejemplo:
1,365
cuatro significativas
23,7
tres cifras significativas
12
dos cifras significativas
Regla 2: Los ceros entre dígitos diferentes de cero son significativos.
Así por ejemplo:
1,205
cuatro cifras significativas
10521
cinco cifras significativas
6,021
cuatro cifras significativas
Regla 3: Los ceros que aparezcan a la izquierda antes de un dígito distinto de cero no son
significativos.
Así por ejemplo:
0,0025
dos cifras significativas
0,0001
una cifra significativa
0,0222
tres cifras significativas
Regla 4: Después de la coma decimal, los ceros que aparezcan son significativos,
respetando la regla anterior
Así por ejemplo:
64,0
tres cifras significativas
0,03200
cuatro cifras significativas
0,1030
cuatro cifras significativas
Regla 5: Los ceros al final de cifras sin coma decimal pueden considerarse o no
significativos, dependiendo del instrumento con el cual se hizo la medición. El número
5000 podría tener cuatro cifras significativas si los tres ceros fueran significativos. Si el
último cero no es significativo tendría solo tres cifras significativas, y de esa forma
sucesivamente. Se tiene certeza únicamente de que el 5 es significativo. Para evitar esa
ambigüedad con este tipo de cifras se recurre al uso de la notación científica, la cual nos
permite definir cantidades de cifras significativas.
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Ejemplos:
1,32 x 105
tres cifras significativas
2,00 x 105
tres cifras significativas
5.412 x 10-14 cuatro cifras significativas
1 x 10-5
una cifra significativa
Operaciones con cifras significativas
Cuando se desarrollan operaciones matemáticas con mediciones, se deben
respetar algunas reglas básicas, que surgen por los posibles errores involucrados en las
mediciones (humanos o del instrumento).
En suma y resta:
Ejemplo:
5, 8 5 1 4
0, 4 2 5 4 5
+ 1 2, 5 5
18 , 8 2 6 8 5
El último dígito en cada sumando (en negrita) es un número incierto, por tanto al
hacer la suma (o resta) el resultado es poco confiable.
Según el concepto de cifras
significativas, solo debe aparecer un número incierto, por ello, los resultados en sumas y
restas se expresan con el menor número de decimales que tenga uno de los operandos.
De esta forma, el resultado correcto en la suma anterior es 18,82 (sin redondear), debido a
que la cifra 12,25 solo presenta dos decimales. Cabe resaltar que el resultado final debe
ser redondeado de acuerdo con reglas establecidas que se explicaran más adelante.
En multiplicación y división:
Ejemplo:
15,689 0,693
3,654
= 2,9755
En este tipo de operaciones la regla indica que el resultado se debe expresar con la
menor cantidad de cifras significativas que tenga uno de los factores, debido a que en
cada uno de ellos el número incierto (en negrita y subrayado) está en último dígito. En
este caso el valor 0,693 tiene tres cifras significativas por lo tanto, el resultado debe ser
2,98 (redondeado).
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Reglas de Redondeo
En la mayoría de operaciones en que se utilizan cifras significativas es necesario
acortar los resultados por
las reglas anteriores, haciéndose necesario redondear
cantidades. Para realizar este proceso existen los siguientes criterios:
Si el dígito que se va a redondear está seguido por un número menor o igual que 4,
este permanece igual.
Cantidad por redondear
7,5329
0,834
1760
Redondear a
3 cifras significativas
2 cifras significativas
3 cifras significativas
Resultado final
7,53
0,83
1,76 x 103
Cuando el dígito a redondear está seguido por un dígito mayor o igual que 6, este
se aumenta en una unidad.
Cantidad por redondear
0,5764
15,99
67876
Redondear a
2 cifras significativas
3 cifras significativas
3 cifras significativas
Resultado final
0,58
16,0
6,79 x 104
Si se va a redondear un dígito que va seguido por un 5, se procede, según sea par
o impar, de la siguiente manera:
Número par: El número por redondear permanece igual.
Cantidad por redondear
2,3654
5,25
1885
Redondear a
3 cifras significativas
2 cifras significativas
3 cifras significativas
Resultado final
2,36
5,2
1,88 x 103
Número impar: El número por redondear se aumenta en uno.
Cantidad por redondear
4,7752
72,35
67542
Redondear a
3 cifras significativas
3 cifras significativas
2 cifras significativas
Resultado final
4,36
72,4
6,8 x 104
9
Una vez que se apliquen las reglas anteriores, tanto en la toma de mediciones como
en las operaciones con estas, se puede estar más seguro de que los reportes serán más
precisos y más exactos.
La precisión la definiremos como la concordancia entre varios valores de una misma
medición. Esto es, cuando medimos el mismo objeto y con el mismo instrumento, si las
medidas son semejantes, podemos asegurar que estas son precisas.
En el caso de la exactitud, ya definida en el texto, no necesariamente debe coincidir
con la precisión. Esto se explica con el ejemplo que se describe a continuación. Tres
famoso futbolistas hicieron tres lanzamientos de penales para determinar cual era mejor
considerando aspectos de precisión y exactitud, los resultados de los tres penales de cada
uno se ilustran en las caricaturas de las figuras 4, 5 y 6.
Figura 4. Lanzamiento de tres penales
de Ronaldo de la selección de Brasil.
Ronaldo tuvo una exactitud alta
porque anotó dos de los tres penales.
No obstante, su precisión no fue muy
alta debido a que cada uno de sus
tiros fueron algo dispersos entre sí.
Figura 5. Lanzamiento de tres penales
de Ronaldinho de la selección de
Brasil. Ronaldinho tuvo una exactitud
muy baja porque no anotó ninguno de
los penales. Su precisión también fue
muy baja debido a que cada uno de
sus tiros fueron muy dispersos entre
sí.
Figura 6. Lanzamiento de tres penales
de Wanchope de la selección de
Costa Rica. Pablo tuvo una excelente
exactitud porque anotó todos sus
penales. Además su precisión
también fue excelente debido a que
todos sus tiros estaban muy próximos
entre sí.
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Debido a que ninguno de ellos es experto en mediciones
científicas contratan los servicios de un árbitro sumamente
experimentado, el cual se muestra en la figura 7. Todos los
jugadores discutieron entre sí diciendo que cada uno había
tenido mejor precisión y exactitud. Como el arbitro tardaba
mucho en dar su decisión, Ronaldhino se enojó mucho y le gritó
a Homero. Como éste no sabía que decir, sacó sus libros
de química que tenía del colegio y encontró la respuesta
(¡Wanchope era el ganador!). Homero dio su veredicto:
Wanchope
ganó
y;
Ronaldo
y
Ronaldinho
fueron
Figura 7. Homero Simpson,
árbitro
oficial
de
la
competencia de precisión y
exactitud.
expulsados por tratar de confundir al árbitro. ¡Oeeeh, Oeeh, Oeeh, Oeeeeh, ticos!.
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