97 - IES Los Pedroches

I.E.S. Los Pedroches. 2º de Bachillerato - Matemáticas II de las CC.SS. Curso 2003-04.
EJERCICIO 1 DE SELECTIVIDAD Sep’97 A
Cada mes una empresa puede gastar, como máximo 1000000 pta en salarios y 1800000 pta en energía (electricidad
y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 pta y
50 pta por cada unidad B. El coste salarial y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A
y una del B aparece en la siguiente tabla:
A
B
Coste salarial
200
100
Coste energético 100
300
Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el
beneficio sea máximo.
Producto A
Producto B
Total
Coste salarial en ptas/u Coste energético en ptas/u Beneficio en ptas/u
200
100
80
100
300
50
# 1.000.000
# 1.800.000
Nº de unidades
x
y
Beneficio: z  80 x  50 y (ha de ser máximo).
Restricciones:
200 x  100 y # 1.000.000 Y 2x  y # 10.000
100 x  300 y # 1.800.000 Y x  3y # 18.000
x $ 0 ; y $ 0 (el número de unidades es no negativo)
Región factible.
Rectas:
r1 / y  10.000  2x Y
18.000  x
Y
3
x $ 0 Y r3 / x  0
r2 / y 
x
y
x
y
0
5.000
10.000 0
18.000 3.000
0
5.000
y $ 0 Y r4 / y  0
Semiplanos:
< P1 (0 , 0)
Y 2 · 0  0 # 10.000 (V) Y P1 0 S1 (semiplano por debajo de r1 , incluida r1)
2x  y # 10.000 /00
< P2 (0 , 0)
Y 0  3 · 0 # 18.000 (V) Y P2 0 S2 (semiplano por debajo de r2 , incluida r2)
x  3y # 18.000 /00
< x $ 0 e y $0 Y primer cuadrante incluidos los ejes .
La región factible es la zona poligonal ABCD, incluidos los lados.
Maximización.
Vector director de la recta d / 80x  50y  0 Y vP  (50 , 80) . (5.000 , 8.000) .
El máximo se obtiene desplazando d paralelamente a sí misma dentro de la región factible:
- el óptimo máximo se alcanza en C, punto de dicha región más alejado hacia la derecha.
y  10.000  2x
18.000  x
Y 10.000  2x 
Y x  2400
/
C  r1 _ r2 Y y  18.000  x 00
3
00 Y y  5200 Y C (2400, 5200)
3
0
Luego, se han de producir 2400 unidades de A y 5200 unidades de B.
El máximo beneficio es: zmáx  80 · 2400  50 · 5200  452.000 ptas .