Optimización cm x 30

Optimización
1. De las cuatro esquinas de una lámina cuadrada de 30cm de lado, se suprimen
cuadrados iguales de lado x . Se doblan los bordes de la lámina recortada
para formar una caja sin tapa. Determina la longitud x , para que el volumen de
la caja sea el máximo posible
x
x
30  2x
30
30  2x
x
V ( x)  (30  2 x)(30  2 x)( x)
 (30  2 x) 2 ( x)


 900  120 x  4 x 2 ( x)
 900 x  120 x 2  4 x 3
V ' ( x)  900  240 x  12 x 2  0
300  80 x  4 x 2  0
150  40 x  2 x 2  0
75  20 x  x 2  0
x 2  20 x  75  0
( x  15)( x  5)  0
x  15  0, x  5  0
x  15
x5
Función a maximizar
2. Encuentra dos números cuya suma sea 20 y el producto del cuadrado de uno
de ellos por el cubo del otro sea un valor máximo
Primer número: x
Segundo número: 20  x
P( x)  x 3 (20  x) 2

 x 3 400  40 x  x 2

 x 5  40 x 4  400 x 3
P ' ( x)  5 x 4  160 x 3  1200 x 2  0


5 x 2 x 2  32 x  240  0
5 x ( x  12)( x  20)  0
2
5 x 2  0, x  12  0, x  20  0
x  0,
x  12,
x  20
P ' ' ( x)  20 x 3  480 x 2  2400 x
P ' ' (0)  20(0) 3  480(0) 2  2400(0)  0 
P ' ' (12)  20(12) 3  480(12) 2  2400(12)  5760
 
En x  12 hay un máximo
P ' ' (20)  20(20)  480(20)  2400(20)  16000  
En x  20 hay un mínimo
3
2
Como en x  12 hay un máximo, los números son: 12 y 8
1, 2, 3, 5, 7, 13, 14, 16, 20, 21, 30, 31, 32, 35, 37