Codificación y decodificación de los códigos cíclicos
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Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Comparativa con otros códigos Cruz Enrique Borges Hernández Universidad de Cantabria 7 de marzo de 2005 Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Contenido 1 Motivación Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Contenido 1 Motivación 2 Tipos de códigos Codificación Decodificación Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Contenido 1 Motivación 2 Tipos de códigos Codificación Decodificación 3 Conclusiones Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Necesidad de códigos correctores de errores Desarrollo de un nuevo sistema de comunicación Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Necesidad de códigos correctores de errores Desarrollo de un nuevo sistema de comunicación Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Necesidad de códigos correctores de errores Desarrollo de un nuevo sistema de comunicación ¿Podemos crear un código que subsane los errores? Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Necesidad de códigos correctores de errores Desarrollo de un nuevo sistema de comunicación ¿Podemos crear un código que subsane los errores? Fácil de codificar Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Necesidad de códigos correctores de errores Desarrollo de un nuevo sistema de comunicación ¿Podemos crear un código que subsane los errores? Fácil de codificar Fácil de decodificar Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Necesidad de códigos correctores de errores Desarrollo de un nuevo sistema de comunicación ¿Podemos crear un código que subsane los errores? Fácil de codificar Fácil de decodificar Capacidad correctora suficiente Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos en bloque Un código en bloque es una aplicación inyectiva: [ C: Ak → B n k∈N Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos en bloque Un código en bloque es una aplicación inyectiva: [ C: Ak → B n k∈N Códigos en bloque Diccionario Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos en bloque Un código en bloque es una aplicación inyectiva: [ C: Ak → B n k∈N Códigos en bloque Diccionario Cruz Enrique Borges Hernández 0 1 2 3 Diccionario: 0000 4 1100 1001 5 0101 1010 6 0110 0011 7 1111 Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos en bloque Un código en bloque es una aplicación inyectiva: [ C: Ak → B n k∈N Códigos en bloque Diccionario Mensaje 3572 0 1 2 3 ⇒ Diccionario: 0000 4 1100 1001 5 0101 1010 6 0110 0011 7 1111 Código 0011 0101 1111 1010 Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos en bloque Un código en bloque es una aplicación inyectiva: [ C: Ak → B n k∈N Códigos en bloque Diccionario 0 1 2 3 Excesivamente costoso Desconocemos la distancia mı́nima Mensaje 3572 ⇒ Diccionario: 0000 4 1100 1001 5 0101 1010 6 0110 0011 7 1111 Código 0011 0101 1111 1010 Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos lineales Sea Kq un cuerpo de q elementos. Llamaremos código lineal de longitud k a un subespacio vectorial C de Knq con dim C = k. Códigos lineales Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos lineales Sea Kq un cuerpo de q elementos. Llamaremos código lineal de longitud k a un subespacio vectorial C de Knq con dim C = k. Códigos lineales Matriz Generatriz Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos lineales Sea Kq un cuerpo de q elementos. Llamaremos código lineal de longitud k a un subespacio vectorial C de Knq con dim C = k. Códigos lineales Matriz Generatriz Cruz Enrique Borges Hernández g11 . . . g1n .. G = ... . gk1 . . . gkn Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos lineales Sea Kq un cuerpo de q elementos. Llamaremos código lineal de longitud k a un subespacio vectorial C de Knq con dim C = k. Códigos lineales Matriz Generatriz g11 . . . g1n .. G = ... . gk1 . . . gkn Codificación g11 . . . g1n .. = (c , . . . , c ) (a1 , . . . , ak ) ... 0 n . gk1 . . . gkn Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos lineales Sea Kq un cuerpo de q elementos. Llamaremos código lineal de longitud k a un subespacio vectorial C de Knq con dim C = k. Códigos lineales Matriz Generatriz g11 . . . g1n .. G = ... . gk1 . . . gkn Desconocemos la distancia mı́nima Codificación g11 . . . g1n .. = (c , . . . , c ) (a1 , . . . , ak ) ... 0 n . gk1 . . . gkn Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos cı́clicos Sea Kq un cuerpo de q elementos y S un código lineal de longitud n. C es un código cı́clico si y solo si (c0 , . . . , cn − 1) ∈ C entonces (cn−1 , c0 , . . . , cn−2 ) ∈ C . Códigos cı́clicos Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos cı́clicos Sea Kq un cuerpo de q elementos y S un código lineal de longitud n. C es un código cı́clico si y solo si (c0 , . . . , cn − 1) ∈ C entonces (cn−1 , c0 , . . . , cn−2 ) ∈ C . Códigos cı́clicos Matriz Generatriz G = g0 g1 . . . gn−k 0 0 g0 . . . gn−k−1 gn−k .. .. . . .. .. . . . . . 0 0 ... g0 g1 Cruz Enrique Borges Hernández ... ... .. . 0 0 0 . . . gn−k Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos cı́clicos Sea Kq un cuerpo de q elementos y S un código lineal de longitud n. C es un código cı́clico si y solo si (c0 , . . . , cn − 1) ∈ C entonces (cn−1 , c0 , . . . , cn−2 ) ∈ C . Códigos cı́clicos Matriz Generatriz Codificación (a1 , . . . , ak ) G = (c0 , . . . , cn ) G = g0 g1 . . . gn−k 0 0 g0 . . . gn−k−1 gn−k .. .. . . .. .. . . . . . 0 0 ... g0 g1 Cruz Enrique Borges Hernández ... ... .. . 0 0 0 . . . gn−k Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Codificación Códigos cı́clicos Sea Kq un cuerpo de q elementos y S un código lineal de longitud n. C es un código cı́clico si y solo si (c0 , . . . , cn − 1) ∈ C entonces (cn−1 , c0 , . . . , cn−2 ) ∈ C . Códigos cı́clicos Matriz Generatriz Desconocemos la distancia mı́nima G = Codificación (a1 , . . . , ak ) G = (c0 , . . . , cn ) g0 g1 . . . gn−k 0 0 g0 . . . gn−k−1 gn−k .. .. . . .. .. . . . . . 0 0 ... g0 g1 Cruz Enrique Borges Hernández ... ... .. . 0 0 0 . . . gn−k Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Códigos en bloque Códigos en bloque Distancia mı́nima Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Códigos en bloque Códigos en bloque Distancia mı́nima Cruz Enrique Borges Hernández 0 1 2 3 Diccionario: 0000 4 1100 1001 5 0101 1010 6 0110 0011 7 1111 Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Códigos en bloque Códigos en bloque Distancia mı́nima 0 1 2 3 Diccionario: 0000 4 1100 1001 5 0101 1010 6 0110 0011 7 1111 Recibido 1011 0101 1101 1010 Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Códigos en bloque 0 1 2 3 Códigos en bloque Distancia mı́nima Diccionario: 0000 4 1100 1001 5 0101 1010 6 0110 0011 7 1111 Recibido 1011 0101 1101 1010 Corregimos → 0011 0101 1111 1010 Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Códigos en bloque 0 1 2 3 Códigos en bloque Distancia mı́nima Diccionario: 0000 4 1100 1001 5 0101 1010 6 0110 0011 7 1111 Recibido 1011 0101 1101 1010 Corregimos → 0011 0101 1111 1010 Decodificamos → 3572 Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del lı́der Idea Decodificamos por mı́nima distancia Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del lı́der Idea Decodificamos por mı́nima distancia Matriz de control H !!!! GH t = 0 !!!! Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del lı́der Idea Decodificamos por mı́nima distancia Matriz de control H !!!! GH t = 0 !!!! El sı́ndrome caracteriza el error (lı́der) cometido e !!!! s(y ) = s(e) = Hy !!!! Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del lı́der Idea Decodificamos por mı́nima distancia Matriz de control H !!!! GH t = 0 !!!! El sı́ndrome caracteriza el error (lı́der) cometido e !!!! s(y ) = s(e) = Hy !!!! Decodificamos haciendo la resta: y −e Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos lineales 000 100 010 001 Sı́ndrome 0000000 1000000 0100000 0010000 Cruz Enrique Borges Hernández / Lı́der 110 0001000 101 0000100 011 0000010 111 0000001 Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos lineales 000 100 010 001 Sı́ndrome 0000000 1000000 0100000 0010000 / Lı́der 110 0001000 101 0000100 011 0000010 111 0000001 Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000 Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos lineales 000 100 010 001 Sı́ndrome 0000000 1000000 0100000 0010000 / Lı́der 110 0001000 101 0000100 011 0000010 111 0000001 Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000 s(0011111) = 110 s(1111111) = 000 s(1101111) = 001 s(0000000) = 000 Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos lineales 000 100 010 001 Sı́ndrome 0000000 1000000 0100000 0010000 / Lı́der 110 0001000 101 0000100 011 0000010 111 0000001 Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000 s(0011111) = 110 → Lı́der 0001000 s(1111111) = 000 → Lı́der 0000000 s(1101111) = 001 → Lı́der 0010000 s(0000000) = 000 → Lı́der 0000000 Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos lineales 000 100 010 001 Sı́ndrome 0000000 1000000 0100000 0010000 / Lı́der 110 0001000 101 0000100 011 0000010 111 0000001 Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000 s(0011111) = 110 → Lı́der 0001000 → 0011111 − 0001000 = 0010111 s(1111111) = 000 → Lı́der 0000000 → 1111111 − 0000000 = 1111111 s(1101111) = 001 → Lı́der 0010000 → 1101111 − 0010000 = 1111111 s(0000000) = 000 → Lı́der 0000000 → 0000000 − 0000000 = 0000000 Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos cı́clicos Sı́ndrome 100 Cruz Enrique Borges Hernández Lı́der 0000001 Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos cı́clicos Sı́ndrome 100 Lı́der 0000001 Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000 Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos cı́clicos Sı́ndrome 100 Lı́der 0000001 Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000 0101011 1001011 Cruz Enrique Borges Hernández 1100011 0000000 Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos cı́clicos Sı́ndrome 100 Lı́der 0000001 Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000 0101011 1001011 1100011 0000000 s(0101011) = 101 X s(1001011) = 000 X s(1100011) = 011 X s(0000000) = 000 X Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos cı́clicos Sı́ndrome 100 Lı́der 0000001 Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000 0101011 1001011 1100011 0000000 s(0101011) = 101 X s(1001011) = 000 X s(1100011) = 011 X s(0000000) = 000 X s(1010101) = 001 X s(1100101) = 000 X s(1110001) = 110 X s(0000000) = 000 X Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos cı́clicos Sı́ndrome 100 Lı́der 0000001 Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000 0101011 1001011 1100011 0000000 s(0101011) = 101 X s(1001011) = 000 X s(1100011) = 011 X s(0000000) = 000 X s(1010101) = 001 X s(1100101) = 000 X s(1110001) = 110 X s(0000000) = 000 X s(1101010) = 010 X s(1110010) = 000 X s(1111000) = 111 X s(0000000) = 000 X Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos cı́clicos Sı́ndrome 100 Lı́der 0000001 Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000 0101011 1001011 1100011 0000000 s(0101011) = 101 X s(1001011) = 000 X s(1100011) = 011 X s(0000000) = 000 X s(1010101) = 001 X s(1100101) = 000 X s(1110001) = 110 X s(0000000) = 000 X s(1101010) = 010 X s(1110010) = 000 X s(1111000) = 111 X s(0000000) = 000 X s(0110101) = 100 ] s(0111001) = 000 X s(0111100) = 101 X s(0000000) = 000 X Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos cı́clicos Sı́ndrome 100 Lı́der 0000001 Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000 0101011 1001011 1100011 0000000 s(0101011) = 101 X s(1001011) = 000 X s(1100011) = 011 X s(0000000) = 000 X s(1010101) = 001 X s(1100101) = 000 X s(1110001) = 110 X s(0000000) = 000 X s(1101010) = 010 X s(1110010) = 000 X s(1111000) = 111 X s(0000000) = 000 X s(0110101) = 100 ] s(0111001) = 000 X s(0111100) = 101 X s(0000000) = 000 X s(0011010) = 000 X s(1011100) = 000 X s(0011110) = 001 X s(0000000) = 000 X Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos cı́clicos Sı́ndrome 100 Lı́der 0000001 Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000 0101011 1001011 1100011 0000000 s(0101011) = 101 X s(1001011) = 000 X s(1100011) = 011 X s(0000000) = 000 X s(1010101) = 001 X s(1100101) = 000 X s(1110001) = 110 X s(0000000) = 000 X s(1101010) = 010 X s(1110010) = 000 X s(1111000) = 111 X s(0000000) = 000 X s(0110101) = 100 ] s(0111001) = 000 X s(0111100) = 101 X s(0000000) = 000 X s(0011010) = 000 X s(1011100) = 000 X s(0011110) = 001 X s(0000000) = 000 X s(0001101) = 000 X s(0101110) = 000 X s(0001111) = 010 X s(0000000) = 000 X Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos cı́clicos Sı́ndrome 100 Lı́der 0000001 Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000 0101011 1001011 1100011 0000000 s(0101011) = 101 X s(1001011) = 000 X s(1100011) = 011 X s(0000000) = 000 X s(1010101) = 001 X s(1100101) = 000 X s(1110001) = 110 X s(0000000) = 000 X s(1101010) = 010 X s(1110010) = 000 X s(1111000) = 111 X s(0000000) = 000 X s(0110101) = 100 ] s(0111001) = 000 X s(0111100) = 101 X s(0000000) = 000 X s(0011010) = 000 X s(1011100) = 000 X s(0011110) = 001 X s(0000000) = 000 X s(0001101) = 000 X s(0101110) = 000 X s(0001111) = 010 X s(0000000) = 000 X s(1000110) = 000 X s(0010111) = 000 X s(1000111) = 100 ] Cruz Enrique Borges Hernández s(0000000) = 000 X Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos cı́clicos Sı́ndrome 100 Lı́der 0000001 Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000 0101011 1001011 1100011 0000000 s(0101011) = 101 X s(1001011) = 000 X s(1100011) = 011 X s(0000000) = 000 X s(1010101) = 001 X s(1100101) = 000 X s(1110001) = 110 X s(0000000) = 000 X s(1101010) = 010 X s(1110010) = 000 X s(1111000) = 111 X s(0000000) = 000 X s(0110101) = 100 ] s(0111001) = 000 X s(0111100) = 101 X s(0000000) = 000 X s(0011010) = 000 X s(1011100) = 000 X s(0011110) = 001 X s(0000000) = 000 X s(0001101) = 000 X s(0101110) = 000 X s(0001111) = 010 X s(0000000) = 000 X s(1000110) = 000 X s(0010111) = 000 X s(1000111) = 100 ] 0100011 1001011 Cruz Enrique Borges Hernández 0100011 s(0000000) = 000 X 0000000 Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Codificación Decodificación Decodificación Algoritmo del Lı́der en códigos cı́clicos Sı́ndrome 100 Lı́der 0000001 Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000 0101011 1001011 1100011 0000000 s(0101011) = 101 X s(1001011) = 000 X s(1100011) = 011 X s(0000000) = 000 X s(1010101) = 001 X s(1100101) = 000 X s(1110001) = 110 X s(0000000) = 000 X s(1101010) = 010 X s(1110010) = 000 X s(1111000) = 111 X s(0000000) = 000 X s(0110101) = 100 ] s(0111001) = 000 X s(0111100) = 101 X s(0000000) = 000 X s(0011010) = 000 X s(1011100) = 000 X s(0011110) = 001 X s(0000000) = 000 X s(0001101) = 000 X s(0101110) = 000 X s(0001111) = 010 X s(0000000) = 000 X s(1000110) = 000 X s(0010111) = 000 X s(1000111) = 100 ] 0100011 1001011 Cruz Enrique Borges Hernández 0100011 s(0000000) = 000 X 0000000 Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Conclusiones Número de operaciones aceptable Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Conclusiones Número de operaciones aceptable Espacio en memoria desproporcionado en caso lineal Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Conclusiones Número de operaciones aceptable Espacio en memoria desproporcionado en caso lineal Seguimos con el inconveniente de no conocer la distancia mı́nima a priori Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Conclusiones Número de operaciones aceptable Espacio en memoria desproporcionado en caso lineal Seguimos con el inconveniente de no conocer la distancia mı́nima a priori Calcular la distancia mı́nima de un código es muy costoso Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos Motivación Tipos de códigos Conclusiones Conclusiones Número de operaciones aceptable Espacio en memoria desproporcionado en caso lineal Seguimos con el inconveniente de no conocer la distancia mı́nima a priori Calcular la distancia mı́nima de un código es muy costoso Códigos BCH, Reed-Solomon, etc. Cruz Enrique Borges Hernández Codificación y decodificación de los códigos cı́clicos
