Reglas de derivación (Conocimientos previos). 1. Si f (x) = k entonces f 0 (x) = 0. 2. Si f (x) = x entonces f´(x) = 1. 3. Si g (x) = k · f (x) entonces g 0 (x) = k · f 0 (x). 4. Si f (x) = x n n ∈ R entonces f 0 (x) = n · x n−1 . 1 1 0 loga e = . 5. Si f (x) = loga x entonces f (x) = x x ln a 1 6. Si f (x) = ln x entonces f 0 (x) = . x 7. Si f (x) = ax , a ∈ R+ entonces f 0 (x) = ax ln a. 8. Si f (x) = e x entonces f 0 (x) = e x . 9. Si f (x) = sen x entonces f 0 (x) = cos x. 10. Si f (x) = cos x entonces f 0 (x) = − sen x. 1 entonces f 0 (x) = . cos2 x 11. Si f (x) = tg x 1 . 1 − x2 −1 13. Si f (x) = arc cos x entonces f 0 (x) = √ . 1 − x2 1 14. Si f (x) = arc tg x entonces f 0 (x) = . 1 + x2 15. Si y = f (x)g (x) , tomando logaritmos neperianos 12. Si f (x) = arc sen x entonces f 0 (x) = √ ln y = g (x) · ln f (x), derivando esta expresión con respecto a x y0 f 0 (x) = g 0 (x) · ln f (x) + g (x) · . y f (x) Finalmente h i f 0 (x) 0 y = g (x) · ln f (x) + g (x) · · f (x)g (x) . f (x) 0 Cálculo de derivadas. 1. Halla dy cuando y viene dada por dx (a) 4x 6 + 8x 3 . 3 (b) −3x 4 + 2x 2 . 9 14 − 3x. (c) 2 + x x 3 + 2x (d) . 4 (e) (2 + 3x)2 . 1 Solución: (a) 24x 5 + 24x 2 . (b) −12x 3 + 3x 2 . (c)− (d)1/2. (e) 12 + 18x. 18 14 − 2 − 3. x3 x 2. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: (a) f (x) = (1 + x) · 2x+1 . (b) f (x) = ln(x + e −x ). 3xe −x (c) f (x) = √ x . √ e (d) f (x) = 22x+1 + 1. Solución: (a) 2x+1 [1 + (1 + x) ln 2]. (c) −9x + 6 √ . 2e x e x 22x+1 · ln 2 (d) √ . 22x+1 + 1 (b) 1 − e −x . x + e −x 3. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: (a) (b) (c) (d) f (x) = tg2 x 2 . √ f (x) = arc sen 1 − x 2 . 2 f (x) = arc tg x 2 . f (x) = ln cos e x . 4x tg x 2 Solución: (a) . cos2 x 2 (d) −e x tg e x . (b) √ −1 . 1 − x2 4. Deriva las siguientes funciones: (a) f (x) = (sen x)x . √ x (b) f (x) = x −√2. (c) f (x) = (xe x ) x . sen x 1 (d) f (x) = −1 . cos2 x x Solución: (a) (sen x) (ln sen x + x cotg x). √ − ln(x − 2) 1 + 2 . (b) x x − 2 2 x x − 2x √ x + ln x 1+x √ (c) (xe x ) x . + √ 2 x x 1 2 sen x cos x (d) 2(tg x) ln(tg x) + . cos x (c) 4x arc tg x 2 . 1 + x4 5. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: √ (a) f (x) = arc cos(√ x). 2 (b) f (x) = p 3arc sen 1−x . (c) f (x) = 7 (e x + ln x)13 . −1 − ln 3 arc sen √1−x 2 Solución: (a) √ . (b) √ 3 , si x > 0 2 x − x 2 1 − x2 1 13 ex + (e x + ln x)6/7 . (c) 7 x