Funciones reales de variable real. Cálculo I

Reglas de derivación (Conocimientos previos).
1. Si f (x) = k
entonces f 0 (x) = 0.
2. Si f (x) = x entonces f´(x) = 1.
3. Si g (x) = k · f (x) entonces g 0 (x) = k · f 0 (x).
4. Si f (x) = x n n ∈ R entonces f 0 (x) = n · x n−1 .
1
1
0
loga e =
.
5. Si f (x) = loga x entonces f (x) =
x
x ln a
1
6. Si f (x) = ln x entonces f 0 (x) = .
x
7. Si f (x) = ax , a ∈ R+ entonces f 0 (x) = ax ln a.
8. Si f (x) = e x
entonces f 0 (x) = e x .
9. Si f (x) = sen x
entonces f 0 (x) = cos x.
10. Si f (x) = cos x
entonces f 0 (x) = − sen x.
1
entonces f 0 (x) =
.
cos2 x
11. Si f (x) = tg x
1
.
1 − x2
−1
13. Si f (x) = arc cos x entonces f 0 (x) = √
.
1 − x2
1
14. Si f (x) = arc tg x entonces f 0 (x) =
.
1 + x2
15. Si y = f (x)g (x) , tomando logaritmos neperianos
12. Si f (x) = arc sen x
entonces f 0 (x) = √
ln y = g (x) · ln f (x),
derivando esta expresión con respecto a x
y0
f 0 (x)
= g 0 (x) · ln f (x) + g (x) ·
.
y
f (x)
Finalmente
h
i
f 0 (x)
0
y = g (x) · ln f (x) + g (x) ·
· f (x)g (x) .
f (x)
0
Cálculo de derivadas.
1. Halla
dy
cuando y viene dada por
dx
(a) 4x 6 + 8x 3 .
3
(b) −3x 4 + 2x 2 .
9
14
− 3x.
(c) 2 +
x
x
3 + 2x
(d)
.
4
(e) (2 + 3x)2 .
1
Solución: (a) 24x 5 + 24x 2 . (b) −12x 3 + 3x 2 . (c)−
(d)1/2.
(e) 12 + 18x.
18 14
− 2 − 3.
x3
x
2. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
(a) f (x) = (1 + x) · 2x+1 .
(b) f (x) = ln(x + e −x ).
3xe −x
(c) f (x) = √ x .
√ e
(d) f (x) = 22x+1 + 1.
Solución: (a) 2x+1 [1 + (1 + x) ln 2].
(c)
−9x + 6
√ .
2e x e x
22x+1 · ln 2
(d) √
.
22x+1 + 1
(b)
1 − e −x
.
x + e −x
3. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
(a)
(b)
(c)
(d)
f (x) = tg2 x 2 . √
f (x) = arc sen 1 − x 2 .
2
f (x) = arc tg x 2 .
f (x) = ln cos e x .
4x tg x 2
Solución: (a)
.
cos2 x 2
(d) −e x tg e x .
(b) √
−1
.
1 − x2
4. Deriva las siguientes funciones:
(a) f (x) = (sen
x)x .
√
x
(b) f (x) = x −√2.
(c) f (x) = (xe x ) x .
sen x
1
(d) f (x) =
−1
.
cos2 x
x
Solución: (a) (sen x) (ln sen x + x cotg x).
√
− ln(x − 2)
1
+ 2
.
(b) x x − 2
2
x
x
−
2x
√
x + ln x
1+x
√
(c) (xe x ) x
.
+ √
2 x
x
1
2 sen x
cos x
(d) 2(tg x)
ln(tg x)
+
.
cos x
(c)
4x arc tg x 2
.
1 + x4
5. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:
√
(a) f (x) = arc cos(√ x).
2
(b) f (x) = p
3arc sen 1−x .
(c) f (x) = 7 (e x + ln x)13 .
−1
− ln 3 arc sen √1−x 2
Solución: (a) √
. (b) √
3
, si x > 0
2 x − x 2
1 − x2
1
13
ex +
(e x + ln x)6/7 .
(c)
7
x