técnicas experimentales ii. módulo de óptica práctica i: banco óptico.

TÉCNICAS EXPERIMENTALES II. MÓDULO DE ÓPTICA
PRÁCTICA I: BANCO ÓPTICO.
OBJETIVO DE LA PRÁCTICA
Medida de los radios de curvatura de un espejo cóncavo y otro convexo.
Medida de la focal de una lente convergente y otra divergente.
FUNDAMENTO TEÓRICO
La medida de parámetros ópticos de dióptrios caracterizan los elementos
cardinales de instrumentación óptica: microscopios, telescopios, cámaras
fotográficas,...Su conocimiento, nos indicará magnitudes importantes como la
resolución, potencia , etc., de dichos sistemas.
En esta práctica, se pretende determinar el radio de curvatura C, de dos
espejos esféricos, sabiendo que en el caso de que éste sea cóncavo, fig.1(a), un
haz de luz que pase por el centro de curvatura se reflejará en el espejo en
incidencia normal y volverá al punto de partida (centro de curvatura). Cuando se
tiene un espejo esférico convexo, fig. 1(b), el centro de curvatura queda detrás
del haz de luz que incide sobre la superficie reflectante, con lo que nos
ayudaremos de una lente convergente para conseguir una haz que focalice sobre
el centro de curvatura C.
1
C
C
Fig.1.(b)
Fig.1.(a)
A continuación se disponen de lentes convergentes y divergentes. Las
primeras son plano esféricas convexas, fig. 2 (a) y las segundas plano esféricas
cóncavas, fig. 2 (b).
Fig.2.(a)
Fig.2.(b)
Se trata de medir sus longitudes focales imagen f ′ = H ′ F′ y/o obeto
f = HF , para lo cual hay que determinar los planos principales imagen/objeto
H´, H y los focos imagen/objeto F´, F.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
En este apartado explicaremos brevemente los métodos que se emplearán
en la determinación de radios de curvatura y focales.
I. Medida del radio de curvatura de un espejo esférico convexo:
1. Enfocamos el objeto a través de una lente convergente sobre una
pantalla. De esta manera quedarán fijadas lente y pantalla.
2
2. Si ahora intercalamos el espejo convexo entre la lente y la pantalla,
observaremos que los rayos se reflejan en él y dependiendo de su posición, se
enfocarán mejor o peor.
3. El radio de curvatura del espejo, será la distancia espejo-pantalla, para
la cual los rayos se enfocan nítidamente en el objeto. Ver figura 3.
Eje óptico
Carril
milimetrado
Fuente Objeto
Lente convergente
Pantalla
Eje óptico
Fuente Objeto
Lente convergente Espejo convexo
Carril
milimetrado
Fig.3.
II. Medida del radio de curvatura de un espejo esférico cóncavo:
Se utiliza un objeto y el espejo donde los rayos se reflejan y se enfocan en
el propio objeto. Ver figura 4.
3
Fuente
Objeto
Espejo cóncavo
Fig.4.
III. Medida de la focal de una lente convergente: (método de
AUTOCOLIMACION).
En este método se emplea un espejo plano. Ver figura 5. Se sabe que
todos los rayos que pasan por el foco objeto de la lente, saldrán paralelos. Si a
continuación de la lente ponemos el espejo plano, dichos rayos se reflejan y se
enfocan en el objeto nítidamente si éste se encuentra efectivamente en el foco de
la lente.
F
Fuente Objeto
H
Lente convergente
Espejo plano
Fig.5.
En este caso la focal de dicha lente será la distancia objeto-lente, para la
cual se cumple lo indicado arriba.
¿Podrías demostrar que ésto es así?. Bastará con saber que el plano
principal objeto coincide con el vértice de la cara curva de la lente, es decir, V1H
= 0.
4
IV. Medida de la focal de una lente divergente: (método de
AUTOCOLIMACION).
Eje óptico
Carril
milimetrado
Fuente Objeto
Lente convergente
Pantalla
H´
F´
Eje óptico
Espejo plano
Fuente Objeto
Lente convergenteLente divergente
Carril
milimetrado
Fig.6.
Una vez que se enfoca el objeto a través de una lente convergente sobre
una pantalla, la distancia lente divergente - pantalla, para la cual la imagen
reflejada por un espejo plano vuelve a verse nítidamente sobre el propio objeto,
será la focal de la lente divergente. Ver figura 6.
V. Medida de la focal de la lente convergente(Lente plano-convexa):
(método de CORNU).
Este método consiste en centrar el sistema formado por una lente
colimadora, que proporciona haces paralelos, observables por un objetivo
telescópico (previamente enfocado hacia el infinito). De esta manera,
conseguimos que todos los rayos sean paralelos, condición indispensable si
queremos obtener buenos resultados.
5
Se utilizará un microscopio, el cual tiene un intervalo de enfoque que
depende de la amplitud de acomodación del observador y del objetivo. Para
reducir esta indeterminación al máximo, lo que se hace es alejar el visor del
objeto lentamente, hasta que se percibe la más mínima pérdida de foco y
recuperándolo.
Con el microscopio, podemos determinar donde se encuentra el plano
principal imagen de nuestra lente. El plano principal objeto se encontrará en el
vértice de la cara curva (lente plano-curva). Si enfocamos sobre un punto de
dicho vértice con el microscopio, estaremos observando el plano rincipal imagen
H2´. Si retrocedemos con dicho visor, observaremos otro punto de la cara plana
(que debemos poner) V´ y si seguimos retrocediendo observaremos la imagen del
objeto a través de la lente, A´. Ver figura 7.
A´V´
A
V´
F´
f´2
Poner un punto visible H2 A´= H´2
Fig.7.
La diferencia entre la primera y última lectura del visor es la focal de la
lente convergente H2´F2´.
Este método se aprovechará para la medida de focales de lentes
divergentes. Para ello, es necesario que la posición de la lente convergente, esté
situada a unos 40 cm. de la lente colimadora.
6
VI. Medida de la focal de una lente divergente: (método de CORNU).
Este método es continuación del método anterior, una vez se sabe la focal
de la lente convergente, sus planos principales y grosor.
Como la imagen del objeto no converge, tendremos que tener después de
la lente divergente otra convergente, para que los rayos converjan y así observar
la imagen.
Una vez se han hecho todas las medidas de la experiencia anterior, se
quita del banco la lente convergente, después de anotar su posición. Se adelanta
el visor, una distancia igual a
2f2´ + H2A´
(5)
donde,
H2A´= grosor de la lente - A´V´
(6)
y se coloca la lente divergente con su cara cóncava hacia la luz, ver figura 8, en
la posición en que queda enfocado el vértice de su cara curva, visto a través de la
cara plana (lente plano-cóncava) por el microscopio.
grosor de la lente = 9 mm.
7
A´V´
A
V´
F´
2
f´2
H2 A´= H´2
2f´ + H A´
2
2
F´
d
e
H1 H´1
H2
Fig.8.
Con esta operación, se ha conseguido que H1´ = F2.
Se retrasa el visor y se coloca la lente convergente en la posición que
ocupaba, por tanto se cumple que e = f2´.
Por último, se enfoca sobre la imagen situada en F´, foco del sistema lente
divergente-lente convergente. El desplazamiento del visor de la posición que
enfocaba sobre F2´ a la posición última es la distancia d, que nos permite obtener
en la siguiente fórmula conocida la focal f1´ de la lente divergente.
d= F2´F = -f2´2/(f1´+f2´-e)
(7)
Si e = f2´ entonces,
f1´ = -f2´2/d
(8)
8
Todas las medidas deben hacerlas cada uno de los miembros del grupo.
ANEXO: (Esta parte de la práctica no se realizará). Método para determinar
la focal y planos principales de una lente convergente cuando los vértices no
coinciden con alguno de los planos principales.
OBJETIVO
Medida de los planos principales y la focal de una lente convergente
general.
FUNDAMENTO TEÓRICO
a) Medida de la focal de una lente convergente general.
Para ello se emplea la ecuación de correspondencia de Newton.
ZA´ x ZA = -f´2
(1)
A´V´
A´
A
V´
Z´A
Colimador
H H´
H´v f´
F´v
Lente convergente
visor de microscopi
Fig.1.
Girando la lente 180 grados sobre el eje perpendicular al eje óptico,
hallamos ZA, que será la distancia desde el vértice A hasta el nuevo foco.
9
b) Medida de los planos principales de una lente convergente general.
Utilizando la lente colimadora y el microscopio podremos determinar sus
planos principales.
Conocida f´ (calculada por el método anterior: no se necesita saber la posición
de los planos principales), ZA´ es medible con el microscopio, ver figura 1, así
como V´A´.
-V´H´ = -V´A´ -(- H´A´)
(2)
-H´A´ = -ZA´ - f´
(3)
V´H´ = V´A´+f´+ZA´
(4)
Si le damos la vuelta a la lente hallamos el plano principal objeto.
10
TÉCNICAS EXPERIMENTALES II. MÓDULO DE ÓPTICA.
Comentario:
PRÁCTICA II-1: REFRACTOMETRÍA DE PRISMA.
OBJETIVO DE LA PRÁCTICA
Determinación de la dispersión de un vidrio (variación de su índice de
refracción con la longitud de onda) midiendo, con un refractómetro de prisma, la
mínima desviación que sufren los haces monocromáticos de diferentes longitudes
de onda. Caracterización óptica del material mediante la curva de dispersión
(ecuación de Cauchy), su número de Abbe ν d , y el poder dispersivo.
FUNDAMENTO TEÓRICO
El índice de refracción n de un material es la magnitud macroscópica que
lo caracteriza desde el punto de vista óptico. Éste está relacionado tanto con la
velocidad v con que las ondas luminosas pueden viajar en su interior, cómo con
la atenuación que sufren cuando se propagan en el medio. Por consiguiente, la
calidad de las imágenes finales dadas por los instrumentos ópticos dependerá en
gran medida, y entre otras cosas, de las condiciones de propagación de los haces
luminosos a través de los elementos que constituyen el sistema y, por tanto, de
los índices de refracción de los materiales utilizados en la construcción de dichos
elementos.
Comentario:
Así, cuando se diseña un instrumento óptico; tal cómo un telescopio, un
objetivo de cámara fotográfica o de microscopio, etc., uno de los parámetros con
1
los que se “juega” a la hora de corregir los defectos en la imagen (aberraciones)
es el índice de refracción de los vidrios de las lentes, láminas, etc., que lo
componen. Por ello, en el campo del diseño de dispositivos ópticos, es muy
importante el conocimiento exacto de los índices de refracción de los materiales
disponibles, así cómo sus curvas de dispersión.
De entre los métodos utilizados para la determinación experimentalde
índices de refracción de materiales transparentes homogéneos quizás el más
exacto sea el de la desviación mínima, siempre que sea posible tallar un prisma
de calidad de ese material.
Es conocido que cuando un haz colimado de luz monocromática, que
previamente ha pasado a través de una rendija estrecha, incide sobre un prisma
de ángulo α e índice de refracción n(λ), el haz sufre dos refracciones: una en
cada cara del prisma. Dichas refracciones hacen que la dirección del haz
emergente se desvie respecto de la dirección de incidencia. Así, la desviación δ
que experimenta el haz de salida respecto de la dirección de entrada (figura 1),
varía con el ángulo de incidencia ε 1 sobre la primera cara. Tal desviación se
demuestra
α
ε
1
ε
r
δ
ε
1
2
ε
2
r´
n
Fig. 1
2
que es mínima, para un cierto ángulo de incidencia, cuando ε 1 = ε 2' y ε 1' = ε 2 .
Aquí, ε 1' es el ángulo de refracción en la primera cara, y ε 2 y ε 2' son los ángulos
de incidencia y refracción en la segunda cara, respectivamente. Esta
configuración corresponde físicamente a la de propagación del haz colimado en
una dirección paralela a la base del prisma.
En las condiciones anteriores, el índice de refracción está relacionado con
el ángulo del prisma α y con el ángulo de desviación mínima δ m mediante la
ecuación
⎛ δ (λ ) + α ⎞
sen⎜ m
⎟
2
⎝
⎠
n (λ ) =
⎛α⎞
sen⎜ ⎟
⎝ 2⎠
(1)
donde la desviación mínima δ m depende de la longitud de onda λ de la luz
[ δ m = δ m ( λ ) ].
MONTAJE EXPERIMENTAL Y PROCEDIMIENTO DE MEDIDA
La ecuación (1) sugieren que si queremos determinar experimentalmente
el índice de refracción n(λ) de un material en diferentes longitudes de onda λ,
debemos conocer previamente el ángulo del prisma α y medir las desviaciones
mínimas δ m que sufren haces colimados de luz monocromática de diferentes
longitudes de onda a su paso por un prisma.
Para medir tanto el ángulo del prisma α cómo de la desviación minima
δ m , se le coloca sobre la plataforma giratoria de un goniómetro previamente
ajustado, y se hace incidir sobre él un haz colimado de la luz procedente de una
3
lámpara espectral cuyas líneas tengan longitud de onda λ conocidas. El goniómetro se describe en el Apéndice I.
Antes de comenzar la medida de ángulos ha de hacerse la “puesta a punto”
del instrumento según se indica en el Apéndice II. Realizados los ajustes y
determinado el ángulo de referencia θ 0 , el goniómetro estará listo para comenzar las medidas.
Medida del ángulo del prisma:
La primera medida a realizar será la determinación del ángulo del prisma
o ángulo de refringencia α. Para ello, se rota la plataforma hasta que el vértice
del prisma cuyo ángulo queremos conocer quede enfrentado al haz incidente
procedente del colimador (figura 2). Como resultado de la reflexión del haz en
las dos caras del prisma, éste se desdobla en dos haces cada uno de los cuales
dará lugar a una imagen de la rendija cuando se observe con el anteojo. Así,
moviendo el anteojo, se consiguirá observar una de las imágenes y se medirá su
posición angular θ 1 con el nonius. Se rota nuevamente el anteojo hasta que se
α
θ
Fig.2.
4
observe la otra imagen y se mide también su posición angular θ 2 . El ángulo del
prisma α puede determinarse sabiendo que está relacionado con el ángulo entre
las dos imágenes a través de la ecuación
θ 1 − θ 2 = β = 2α
(2)
Medida de la desviación mínima:
Para medir el ángulo de desviación mínima se sitúa el prisma de forma
que su cara de entrada forme un ángulo no muy grande con la dirección del haz
incidente. Mirando a ojo a través de la otra cara (cara de salida), veremos
emerger las luces correspondientes a las distintas líneas espectrales de la lámpara
iluminadora separadas angularmente. Sin embargo, para observarlas mejor y
hacer las medidas utilizaremos el anteojo ajustado al infinito.
El ángulo de desviación mínima se busca girando levemente la plataforma
de modo que aumente el ángulo de incidencia ε 1 . Veremos que para mantener
centrada en el campo de visión una determinada línea espectral (luz cuasimonocromática) es necesario girar también el anteojo en el sentido apropiado. Si
se continúa girando la plataforma siempre en el mismo sentido, se observará que
llega un momento en que la línea espectral ‘se detiene’ e invierte su sentido de
desplazamiento. Cuando esto ocurre estaremos en la posición de desviación
mínima para ese ‘color’.
Una vez localizada más o menos exactamente la posición de la
plataforma correspondiente a la desviación mínima, y por tanto el ángulo de
incidencia, se puede proceder de dos formas diferentes para medir con exactidud
el ángulo de desviación mínima:
5
a) La primera forma será girar la plataforma, en un ángulo fijo de 3°, en sentido
contrario al que lo estábamos haciendo hasta que la línea espectral comenzó a
cambiar de sentido de desplazamiento. En ese punto se determina el ángulo de
incidencia inicial y al mismo tiempo se determina la posición de la línea espectral
rotando el anteojo hasta que el centro de aquella coincida con la línea vertical del
retículo. Se gira ahora la plataforma un ángulo de 30’ (es decir, se cambia el
ángulo de incidencia en esa cantidad), y se vuelve a determinar la nueva posición
de la línea espectral. Así sucesivamente, se rota el prisma de 30’ en 30’ y se van
determinando con la mayor exactitud posible las correspondientes posiciones de
la línea espectral. Esta operación se repite hasta que hayamos rotado la
plataforma un ángulo total de 6° a partir de la primera posición. Esto significa
que se habrán tomado 13 medidas de ángulos de incidencia ε 1(i) y 13 de
posiciones θ i de la línea espectral. Las desviaciones de la línea δ i vendrán dadas
por la expresión
θ0 −θi = δi
(3)
Ahora se representan δ i frente ε 1(i) , y se determina una relación analítica entre
éstas magnitudes ajustando por de mínimos cuadrados la ecuación
δ i = a + bε 1(i) + cε 1(i)
(4)
Conocidos los parámetros del ajuste a, b y c, la desviación mínima δ m se
obtiene derivando la ecuación (4) e igualándola a cero. Este método se utilizará
para determinar la desviación mínima de la línea naranja del sodio, cuya longitud
de onda se da en la tabla I.
b) Otro método de medida menos engorroso, pero también menos exacto,
consiste en determinar, de la forma más precisa posible, la posición en que la
línea espectral cambia su sentido de desplazamiento. En ese punto se mide
6
únicamente la posición angular θ m de la línea. Después, se rota el prisma hasta
que su orientación sea la que se indica en la figura 3. En este punto volvemos a
realizar la búsqueda del ángulo de desviación mínima δ m rotando la plataforma y
siguiendo la línea espectral con el anteojo.
Tabla I. Longitudes de onda de las líneas utilizadas para la determinación
del índices de refracción y su dispersión.
Lámpara
Long. de Onda (Å) Núm. de Onda (cm-1)
Color de la línea
Helio (He)
6678.15
14974.2
Rojo
Hidrógeno (H)
6562.79
15237.4
Rojo
Sodio (Na)
5892.94
16969.4
Naranja
Helio (He)
5875.79
17018.9
Amarillo-Naranja
Helio (He)
5015.68
19937.4
Verde
Hidrógeno (H)
4861.33
20570.5
Azul celeste
Helio (He)
4713.26
21216.7
Azul
Helio (He)
4471.58
22363.4
Azul
Una vez encontrada la posición de retorno de la línea espectral, se procede
a medir su posición angular θ 'm . De esta forma, el ángulo de mínima desviación
se determina a partir de la ecuación
θ m − θ m' = 2δ m
(5)
Este será el procedimiento a utilizar para la determinación de las
desviaciones mínimas de todas las líneas espectrales listadas en la tabla I,
excepto para la línea naranja del sodio para la que se usará el método descrito en
el apartado a).
7
Determinadas las desviaciones mínimas para diferentes colores y conocido
el ángulo del prisma, los índices de refracción del material puede calcularse
aplicando la ecuación (1).
Caracterización óptica del material:
Conocidos los índices de refracción del vidrio en diferentes longitudes de
onda, se caracterizará el material mediante:
i) Representación de su curva de dispersión [representación del índice frente al
número de onda ν (= 1 / λ ) dado en cm-1 ], y obtención a la ecuación de Cauchy:
n (ν ) = A + Bν 2
(6)
mediante ajuste de mínimos cuadrados. Comprobar si la curva teórica se ajusta
bien a los datos experimentales.
ii) Determinación del número de Abbe del material ν D =
nD −1
, donde nD, nF y
nF − nc
nC son los índices de refración para las longitudes de onda del amarillo del Sodio,
azul y rojo del Hidrógeno respectivamente, comentando si se trata de un vidrio
Crown (ν D > 50) o un vidrio Flint (ν D < 50) , y cálculo de su poder dispersivo
1
νD
.
Tanto las medidas cómo la reducción de datos se harán independiente-
mente por cada miembro del grupo. La excepción será la puesta a punto del
instrumento que se hará conjuntamente. En el informe final los resultados se
darán en una tabla, bien explicada en el texto, en la que se pondrán los valores
obtenidos por cada participante, junto a los valores medios calculados a partir de
todas las determinaciones individuales.
8
TÉCNICAS EXPERIMENTALES II. MÓDULO DE ÓPTICA.
Comentario: Página: 1
PRÁCTICA II-2: ESPECTROSCOPÍA DE PRISMA.
OBJETIVO DE LA PRÁCTICA
Determinación de la curva de calibración espectral de un prisma y su uso
en la determinación de las longitudes de onda de líneas espectrales de una
lámpara problema.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Cuando sobre un prisma de vidrio se hace incidir un haz colimado que
contenga al menos dos luces monocromáticas de longitudes de onda λ y λ + dλ,
se produce dispersión, de forma que los haces monocromáticos que salen de la
segunda cara del prisma formarán su imagen en diferentes posiciones angulares
(fig. 1). Ello es debido a la dependencia del índice de refracción n del material
con longitudes de onda λ de la luz.
Comentario: Página: 1
α
ε1
ε´
1
Haz colimado
ε2
ε ´2
n
δ
δ + dδ
λ
λ + dλ
Fig. 1
1
Se puede demostrar que si se opera en condiciones de desviación mínima
para una cierta longitud de onda λ, y el haz colimado llena la cara de entrada del
prisma, la variación que experimenta la desviación mínima respecto a la longitud
de onda (dispersión angular, (dδ m / dλ ) ) está relacionada con la dispersión
espectral del medio (dn/dλ) mediante la ecuación
dδ m b ⎛ dn ⎞ δ F − δ C
= ⎜ ⎟=
a ⎝ dλ ⎠ λ F − λ C
dλ
(1)
donde F y C son las líneas correspondientes a las longitudes de onda del azul y
rojo del Hidrógeno.
En general, debido a la dependencia del índice de refracción del medio n
con la longitud de onda λ, las líneas espectrales se desvian en ángulos que
dependen de su ‘color’. Es posible, por consiguiente, aprovechar este fenómeno
para medir las longitudes de onda de líneas desconocidas, a partir de la
calibración del prisma (espectroscopía de prisma).
MONTAJE EXPERIMENTAL Y PROCEDIMIENTO DE MEDIDA
Para medir las longitudes de onda λ de las líneas de una lámpara espectral,
se monta un prisma, de un material de alto poder dispersivo, sobre la plataforma
de un goniómetro previamente ajustado siguiendo el Apéndice II. Sobre éste se
hace incidir un haz colimado de la luz procedente de una lámpara con líneas
espectrales de longitudes de onda conocidas y, ajustando el prisma en un ángulo
de incidencia que coincida más o menos con el de desviación mínima de la línea
amarilla-naranja del Helio, se fija la plataforma con el tornillo correspondiente.
2
En estas condiciones, se miden las posiciones angulares de las líneas
conocidas (líneas de calibración) de se dan en la tabla I y se determinan sus
desviaciones por medio de la ecuación
θ0 −θi = δi
(2)
donde θ 0 es el ángulo de referencia determinado en el ajuste del instrumento y
θ i son las posiciones angulares de las líneas.
Representando gráficamente en ordenadas los números de onda
ν i (= 1 / λ i ) de las líneas dados en cm-1 , y en abcisas las desviaciones δ i sufridas
por éstas (que no serán mínimas salvo quizás para la línea amarilla-naranja del
Helio), se obtiene
Tabla I. Longitudes de onda de las líneas de calibración.
Lámpara
Long. de Onda (Å) Núm. de Onda (cm-1)
Color de la línea
Helio (He)
Hidrógeno (H)
Sodio (Na)
Helio (He)
Helio (He)
Hidrógeno (H)
Helio (He)
Helio (He)
Rojo
Rojo
Naranja
Amarillo-Naranja
Verde
Azul celeste
Azul
Azul
6678.15
6562.79
5892.94
5875.79
5015.68
4861.33
4713.26
4471.58
14974.2
15237.4
16969.4
17018.9
19937.4
20570.5
21216.7
22363.4
una curva de calibración que se tratará de ajustar por métodos numéricos a un
polinomio de segundo o tercer grado de la forma
3
ν i = a + bδ i + cδ i2 + dδ i3 +...
(3)
Conocidos los coeficientes a, b, c, ... del ajuste, es posible determinar las
longitudes de onda de líneas desconocidas midiendo únicamente su posiciones
angulares.
Una vez medidas las posiciones angulares θ i de las líneas de calibración
se procederá a montar la lámpara espectral de cadmio (dejando previamente que
se enfrie en el casquillo la lámpara de calibración) y se medirán las posiciones
angulares de las líneas que se indicarán en el laboratorio.
Aplicando la ecuación (3) se determinan los número de ondas de las líneas
del Cd y posteriormente sus longitudes de onda.
Tanto
las
medidas
cómo
la
reducción
de
datos
se
harán
independientemente por cada miembro del grupo. La excepción será la puesta a
punto del instrumento que se hará conjuntamente. En el informe final los
resultados se darán en una tabla, bien explicada en el texto, en la que se pondrán
los valores obtenidos por cada participante, junto a los valores medios calculados
a partir de todas las determinaciones individuales.
4
TÉCNICAS EXPERIMENTALES II. MÓDULO DE ÓPTICA.
PRÁCTICA III: LEYES DE REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN. RELACIONES DE FRESNEL.
OBJETIVO DE LA PRÁCTICA
Comprobación de las leyes de la reflexión y refracción en la superficie de
separación de dos medios dieléctricos homogéneos e isótropos, y determinación
del ángulo de Brewester y del índice de refracción del material. Asimismo se
estudiarán las variaciones que sufre por reflexión el azimut de la luz linealmente
polarizada incidente.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Cuando un haz colimado de luz incide sobre la superficie que separa dos
medios dieléctricos, homogéneos e isótropos, de índices de refracción n1 y n2 , en
general, parte del haz se refleja y parte se transmita al segundo medio. Si el
grosor de la superficie de separación es mucho menor que la longitud de onda de
la luz y sus dimensiones son muy grandes en relación a las dimensiones del haz
incidente, entonces las condiciones de frontera para las componentes
tangenciales de los campos eléctrico y magnético, deducidas a partir de las
ecuaciones de Maxwell, conducen a unas relaciones entre las direcciones de
propagación de los haces reflejado y transmitido con la dirección del haz
incidente. Así,
1
Comentario:
a) el haz incidente, los haces reflejado y refractado, y la normal a la superficie de
separación están en un mismo plano. A dicho plano se denomina plano de
incidencia.
b) los ángulos de incidencia θ i y de reflexión θ r cumplen con la relación
θi = θr
(1)
c) asimismo, los ángulos de incidencia θ i y transmisión θ t viene relacionados
por la expresión
n1 senθ i = n2 senθ t
(2)
Estos enunciados constituye las denominas leyes de Snell de la refracción y
reflexión, que pueden obtenerse también por otros métodos al margen de la teoría
electromagnética.
Por otra parte, las condiciones de frontera permiten obtener también a
unas relaciones entre las amplitudes de las ondas luminosas incidente, reflejada y
transmitida. Dichas relaciones, obtenidas primeramente por Fresnel basándose en
un modelo ‘mecánico’ de la luz, indican que si tanto el campo eléctrico cómo el
magnético lo separamos en dos componentes; una paralela al plano de incidencia
(E||) y otra perpendicular a éste ( E⊥ ) (figura 1); cada componente reflejada o
transmitida viene relacionada con su correspondiente incidente por:
rΙΙ =
tan(θ t − θ i )
E ΙΙr
;
=
i
E ΙΙ tan(θ t + θ i )
t ΙΙ =
2 sen θ t cos θ i
E ΙΙt
=
i
E ΙΙ sen(θ t + θ i ) cos( t θ − θ i )
2
(3)
r⊥ =
E r⊥ sen(θ t − θ i )
;
=
E i⊥ sen(θ t + θ i )
t⊥ =
2 sen θ t cos θ i
E ⊥t
=
i
sen(θ t + θ i )
E⊥
(4)
Esta son las denominadas relaciones de Fresnel. Dichas relaciones son de
carácter general para medios homogeneos e isótropos, independientemente de
sus propiedades de absorción.
Er||
Ei||
y
α
r
Ei
θi
i
E⊥
θr
x
Et||
Et
z
Er
r
E⊥
θt
PLANO
t
E⊥
INCIDENCIA
Fig. 1
De las ecuaciones (3) y (4) para la reflexión se desprende que si el campo
eléctrico asociado a la luz incidente está linealmente polarizado en un plano que
forma un ángulo α i con el plano de incidencia (azimut de la luz), y el vector
campo eléctrico reflejado tiene un azimut α r (figura 2), entonces se cumple que
tanα r =
cos(θ t − θ i )
r⊥
=−
tanα i
cos(θ t + θ i )
r∏
(5)
Por consiguiente, el azimut de la luz reflejada variará en general
dependiendo del ángulo de incidencia y del índice de refracción de los medios.
3
α
Er
Polarizador
⎜⎜
r
Er
⊥
Analizador
Fig. 2
MONTAJE EXPERIMENTAL Y PROCEDIMIENTO DE MEDIDA
En esta práctica se tratará de comprobar las leyes de la refracción y la
reflexión en la interfase entre el aire y un material dieléctrico (un plástico). Al
mismo tiempo se determinará el índice de refracción del plástico y el ángulo de
incidencia θ iB para el que desaparece la componente paralela del campo eléctrico
reflejado E∏r (ángulo de Brewster).
Asimismo, se estudiarán las variaciones que experimenta el azimut de la
luz reflejada (linealmente polarizada) cuando se cambia el ángulo de incidencia.
El dispositivo experimental necesario para las medidas está formado por
un goniómetro (Apéndice I), que nos permitirá variar el ángulo de incidencia y
medir tanto este ángulo cómo los de reflexión y transmisión, y una fuente de luz
que en este caso será un láser. Al goniómetro se le quitan las lentes del colimador
y del telescopio, y se las sustituye por pequeños orificios que permiten alinear el
haz incidente. Para ello, se hace pasar el haz láser simultáneamente por todos los
orificios. Cuando esto se consiga, el haz estará contenido en un plano horizontal
(plano de incidencia).
4
Como hemos indicado anteriormente, como haz incidente se usará el haz
no polarizado procedente de una fuente láser (!! es muy importante no mirar
nunca directamente hacia el haz láser, puesto que éste, aunque de baja
potencia, puede quemar la retina del ojo!!). Dicho haz se hace pasar através de
todos los orificios situados en los extremos de los tubos del colimador y del
anteojo. Una vez conseguido un buen alineamiento, se fija de la mejor forma
posible el carro de la fuente láser y se procede a tomar el ángulo de referencia
δ 0 . Tomada la referencia, se coloca la plataforma central del goniómetro y sobre
ella un semicírculo de un material dieléctrico. El haz incidente debe tocar a la
superficie plana del semicírculo exactamente sobre un punto situado a la mitad
de su diámetro. Esto es de gran importancia, dado que si esto no se cumple los
ángulos de transmisión medidos posteriormente irán afectados de un cierto error
debido a la aparición de una segunda refracción en la superficie circular del
dispositivo.
Una vez colocado el semicírculo sobre la plataforma hemos de observar si
el haz refractado sigue pasando por el orificio del tubo del anteojo. Al mismo
tiempo comprobaremos que el reflejado vuelve a pasar por el del colimador. Si
ésto no fuese así, hay que actuar sobre la plataforma central girándola para
conseguir que el haz pase por los oroficios y/o moviendo los tornillos situados en
su parte inferior para conseguir su nivelado respecto de la horizontal. Conseguido
el mejor alineamiento, se tomará también referencia para ángulo de incidencia
cero. Realizado este ajuste, el instrumento está listo para las medidas.
Comprobación de las leyes de la reflexión y la refracción:
Para comprobar las leyes de Snell, se variará el ángulo de incidencia en
una cantidad predeterminada (de 5 en 5 grados), y se tomarán las posiciones
5
angulares de los haces reflejado δ r y transmitido δ t cuando éstos los hacemos
entrar a través del orificio del anteojo, lo más centrados posible. [Si se utiliza un
detector, el mejor centrado se obtiene cuando el polímetro que mide la señal del
detector da voltaje máximo sin que se llegue a la saturación (V < 8 vol.)]. En
estas condiciones, los ángulos de reflexión θ r y transmisión θ t pueden
expresarse en función de los anteriores en la forma (figura 3):
θ r = π − θi − α
(6)
y
θt = θi − β
(7)
donde α = δ 0 − δ r y β = δ 0 − δ t .
N
θi
θr
ui
ur
α
ut
θt
Sólido dieléctrico
semicircular
β
Fig. 3
Conocidos los ángulos de reflexión y transmisión se representa el primero
frente al ángulo de incidencia. Si se cumple realmente la ley de la reflexión, los
datos obtenidos deben caer sobre a una línea recta que pase por el origen y cuya
pendiente ha de ser de 45o. Dicha línea recta puede obetnerse mediante un ajuste
6
de mínimos cuadrados. Del mismo modo, representando senθ t frente a senθ i , se
deberá obtener también una línea recta que pasa por el origen (que ajustaremos
mediante mínimos cuadrados), y cuya pendiente es el índice de refracción del
medio.
El ángulo de Brewster se determina sabiendo que cuando la luz incida
sobre la superficie del dieléctrico bajo ese ángulo, no aparece la componente
reflejada del campo eléctrico en el plano de incidencia E∏r . Para determinar el
ángulo incidencia para el que ésto ocurre, hemos de colocar un polarizador lineal
en el camino del haz incidente antes de que éste entre en el tubo colimador.
Entonces se irá rotando simultánemente el polarizador y la plataforma
del
goniómetro hasta conseguir que, para unas ciertas posiciones del polarizador y la
plataforma (ángulo de incidencia), desaparezca el haz reflejado. En ese momento,
el ángulo de incidencia en que estemos será el ángulo de Brewster y, al mismo
tiempo, el eje de transmisión del polarizador estará en el plano de incidencia.
Determinado el ángulo de Brewster, compararlo con el que se obtiene de la
ecuación
θ iB = arctan (
n2
)
n1
(7)
donde n2 es el ángulo de transmisión determinado anteriormente.
Estudio de las variaciones del azimut de la luz linealmente polarizada
cuando ésta se refleja en la superficie de un material dieléctrico:
La ecuación (5) sugiere que el plano de polarización de la luz linealmente
polarizada cambiar su azimut al variar el ángulo del haz incidente.
7
Para comprobar la bondad de la relación (5) colocaremos un polarizador
lineal en el camino del haz, con su eje de transmisión en el plano de incidencia.
Esta operación se realizará, como se indicaba más arriba, buscando el ángulo de
Brewster. Una vez con el polarizador en esta posición, se rota 45° en el sentido
contrario a las agujas del reloj (mirando desde la salida del polarizador del haz
laser ) y se fija en esa posición. En este momento el azimut de la luz incidente
será de 45°. Ahora se coloca otro polarizador lineal sobre el extremo anterior del
tubo del anteojo (analizador) y, una vez bien fijado, se rota hasta que se consiga
que se extinga la luz: los dos polarizadores estarán cruzados en este momento
(figura 4).
Eje de Transmisión
del Analizador
E
45
o
.
Eje de Transmisión
del Polarizador
Fig. 4
Una vez hecho el ajuste anterior, se coloca el dieléctrico en la plataforma y
se procede a ajustar el ángulo de referencia cero como en el apartado anterior.
Conseguido el ajuste, se procede a colocar diferentes ángulos de incidencia ( de 5
en 5 grados hasta unos 70 grados) y a medir la rotación que experimeta el azimut
de la luz reflejada. Para ello hemos de rotar el analizador en el sentido contrario a
las agujas del reloj (mirando ahora a la entrada del haz laser al analizador) hasta
que la luz vuelva a extinguirse trás una nueva variación del ángulo de incidencia.
8
Por tanto αr = 45º - Θ, donde Θ = Azimut inicial del analizador – Azimut
medido en cada extuinción, representando
⎡ cos(θ t − θ i ) ⎤
⎥
⎣ cos(θ t + θ i ) ⎦
α r = arctan ⎢ −
Los ángulos azimutales se representarán en función de los ángulos de
incidencia correspondientes, y se comprobará si los datos experimentales caer
sobre la curva teórica determinada a partir de la ecuación (5). Para calcular dicha
curva se tomará el índice de refracción del plástico, determinado en el primer
apartado.
9
TÉCNICAS EXPERIMENTALES II. MÓDULO DE ÓPTICA
PRÁCTICA IV: DIFUSOR DE LAMBERT.
OBJETIVO DE LA PRÁCTICA
Comprobación de la Ley de Lambert y la Ley de la inversa del cuadrado de la
distancia.
FUNDAMENTO TEÓRICO
El difusor de Lambert también se llama emisor perfecto, puesto que la claridad
que presenta es independiente del ángulo de observación. Algunos de estos difusores son:
el papel mate, la escayola, los vidrios esmerilados, las porcelanas blancas eseriladas, el
yeso. Los metales fundidos cumplen la ley de Lambert con buena aproximación,
utilizándose como difusor patrón el óxido de magnesio.
El estudio de la Radiometría tradicional trata de cuantificar la energía contenida en
los campos de radiación incoherente, donde las amplitudes y fases de las ondas
electromagnéticas fluctúan al azar, siguiendo las leyes de propagación de la Óptica
Geométrica. Las magnitudes definidas en este campo son: el flujo radiante (φ), [w]; la
excitancia radiante (M = dφ/dΑf), [w.m-2]; la irradiancia (E = dφ/dAd), [w.m-2]; la
intensidad radiante (I = dφ/dΩ), [w.strad-1]; la radiancia (L = dI/dAproy = d2φ/dAproy.dΩ
),[w.m-2.strad-1], donde Af es el area de la fuente emisora, Ad es el area del detector,
Aproy es el área proyectada por la fuente, Ω es el ángulo sólido subtendido por la fuente o
detector.
Para fuentes lambertianas, donde L = cte y r = cte, ver figura 1,
dAd
dΩ = dAd cosα /r2
dAproy
α
dA f
r
dAd
L
Fig. 1
dI = L dAproy = L dAfcosα,
I = LAfcosα = Iocosα,
que se conoce como la ley de Lambert.
Cuando r es variable,
d2φ = L dAproy. dΩ = L dAfdAdcosα/r2,
E = dφ/dAd = LAfcosα/r2 = Iocosα/r2,
que se conoce como ley de la inversa del cuadrado de la distancia.
Desde el punto de vista de la Fotometría que cuantifica aquella parte del campo de
radiación que puede inducir una respuesta en el detector utilizado, las magnitudes a
medir tendrán otras unidades basadas en el lumen como unidad de flujo luminoso (por
ejemplo, la iluminancia [lux], Intensidad luminosa [Candela] ). En nuestro caso nos
interesa el comportamiento que sigue el difusor empleado.
Para medir Intensidad luminosa o Iluminancia nos haría falta un luxómetro como
detector.
2
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
En este apartado indicar los dos montajes a seguir para comprobar la Ley de
Lambert y la Ley de la inversa del cuadrado de la distancia respectivamente.
El montaje inicial en el primer caso se indica en la figura 2.
r
Difusor
dΩ
Fuente
Detector
Rotor
Fig. 2
El detector en la comprobación de la Ley de Lambert debe situarse en un soporte
giratorio manteniendo r constante, y en la comprobación de la ley de la inversa del
cuadrado de la distancia, debe situarse como indica en la figura 3, es decir, variando r.
r
Difusor
dΩ
Detector
Fuente
Fig. 3
El detector empleado es un diodo de silicio, y sus características nos indican que
sólo podemos medir voltajes no superiores a 8.5 voltios. Por encima, el diodo se satura y
no es capaz de detectar variaciones de intensidad.
3
i) Se comprobará la Ley de Lambert o también denominada Ley del coseno,
I(α) = Io cosα.
(1)
Con el montaje indicado en la figura 2, se mantiene r constante y se hace variar el
ángulo α entre 0o y 90o, en intervalos de cinco grados.
Las medidas de la intensidad I(α) se tomará para cada valor de α, comprobando la
relación de la Ley de Lambert. Represéntese en papel radial (papel preparado en
coordenadas polares y que por tanto nos da el módulo y el ángulo), discutiendo el
resultado.
ii) A continuación se comprobará la Ley del cuadrado de la distancia.
Sea un cono de ángulo sólido dω, tal y como aparece en la siguiente figura,
r
D
α
dΩ
dS
N
Fig.3.
con un vértice en la fuente puntual D. Si se propaga a través del cono un flujo dφ
procedente de D, la intensidad correspondiente será I = dφ/dΩ. Si este flujo incide sobre
una superficie dS, a una distancia r de la fuente, cuya normal forma con el eje del cono
un ángulo α, la iluminancia E que recibe dicha superficie será,
E =I cosα/r2.
(2)
4
Es decir, la iluminancia que sobre un elemento de superficie produce el flujo
procedente de una fuente puntual es inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia.
Como la superficie del detector es perpendicular al banco óptico, α = 0o , E es
proporcional a 1/r2.
Se medirá E (que suponemos está relacionada linealmente con el voltaje del
detector) colocando el detector a distintas distancias de la fuente.
5
APÉNDICE I. DESCRIPCIÓN DEL GONIÓMETRO.
El goniómetro es un instrumento que permite medir ángulos por métodos
ópticos. Está constituido (figura 1) por dos brazos, uno fijo y otro móvil, y una
plataforma central sobre la que se puede montar un prisma, un espejo o cualquier
otro dispositivo.
Tanto el brazo móvil como la plataforma central pueden rotar unidos a
sendos círculos graduados en cuyos nonuis se pueden leer los ángulos girados.
En nuestro caso, la resolución máxima de lectura en el nonius es de 20 segundos
de arco.
δ
Prisma
Plataforma
Colimador
Telescopio
Fig. 1
Sobre el brazo fijo del goniómetro se coloca un tubo colimador, uno de
cuyos extremos lleva una rendija vertical, de anchura variable, por donde entra la
luz procedente de la lámpara espectral. En el otro extremo se sitúa una lente
acromática convergente. El tubo dispone de un tornillo que permite variar la
distancia rendija-lente. De esta forma, si se hace coincidir la rendija con el plano
focal de la lente, todos los rayos procedentes de distintos puntos de aquella
saldrán de la lente paralelos entre sí formando un haz colimado cilíndrico.
i
Sobre el brazo móvil se coloca un pequeño anteojo que, en las
condiciones apropiadas de enfoque al infinito, permite la observación de objetos
lejanos. El anteojo está formado por una lente convergente acromática,
denominada objetivo, y un sistema de dos lentes (lente de campo y lente de ojo)
que forman el denominado ocular. El ocular lleva en su plano focal una delgada
lámina de vidrio en cuyo centro se han rayado dos líneas finas y oscuras en forma
de cruz (retículo) que nos sirve de referencia. El ajuste del ocular se consigue
moviendolo manualmente respecto del retículo, hasta que se observe nítidamente
la cruz. En este momento el retículo estará situado en el plano focal del ocular.
En las condiciones de enfoque al infinito del anteojo, la imagen que el
objetivo da de un objeto lejano se forma sobre el plano focal de éste. A su vez,
este plano ha de coincidir con el plano focal del ocular en el que se encuentra la
cruz del retículo. Así, el observador, mirando a través del ocular, verá
simultáneamente enfocadas las imágenes del objeto lejano y de la cruz. El
centrado de la imagen se consigue moviendo el brazo del anteojo hasta que ésta
coincida con la línea vertical del retículo. En este momento se puede determinar
la posición angular de la imagen, leyendo el ángulo en el nonius del círculo
graduado.
ii
APÉNDICE II. PUESTA A PUNTO DEL GONIÓMETRO.
Para consiguir el ajuste del goniómetro se realizan las siguientes operaciones:
a) Ajuste del anteojo al infinito, mediante el enfoque de un objeto lejano. Para
ello se mueve el tornillo del tubo del anteojo que ajusta la distancia entre el
objetivo y el ocular, hasta que la imagen del objeto lejano aparezca nítida.
b) Ajuste del colimador para que la rendija, que actúa de objeto en nuestro caso,
esté en el plano focal de la lente colimadora. Para ello, mirando a través del
anteojo previamente enfocado al infinito, se mueve el tornillo del tubo colimador
que varía la distancia entre la rendija y la lente, hasta que se consiga ver
nítidamente la imagen de la rendija a través del anteojo.
c) Ajuste de la anchura de la rendija rotando el correspondiente tornillo. Este
ajuste se realiza atendiendo al compromiso de que la rendija sea suficientemente
estrecha para aprovechar en lo posible la resolución espectral del instrumento, y
suficientemente ancha para que su imagen puede observarse bien iluminada.
d) Ajuste del paralelismo vertical de rendija y retículo. La verticalidad tanto
de la rendija cómo del retículo se ajusta rotando la rendija y/o el ocular hasta que
la imagen de la primera sea paralela a la línea vertical del retículo. (Para hacer
esta operación será conveniente llamar al Profesor encargado).
d) Toma del ángulo de referencia. Se mueve el brazo del anteojo hasta que la
línea vertical del retículo esté colocada, lo mejor posible, en el centro de la
imagen de la rendija. En este momento se lee la posición angular del brazo en el
nonius. La posición leida será el ángulo θ 0 al que habrá que referir cualquier otro
i
ángulo medido.
c) Centrado de la rendija. Realizados los pasos anteriores, se coloca el prisma
sobre la plataforma central y se fija con la pinza. Ahora, se gira la plataforma
hasta que la incidencia del haz sobre la primera cara del prisma sea tal que,
mirando con del anteojo a través de la cara de salida, se observen nítidamente las
líneas espectrales de la luz de la lámpara dispersadas en diferentes ángulos. Si las
líneas espectrales (imágenes de la rendija en diferentes colores) no están
centradas en altura sobre el retículo; es decir, si la línea horizontal del retículo no
corta a la imagen de una línea a la mitad de su altura, se actúa sobre los tornillos
situados en la parte inferior de la plataforma hasta conseguir que la imagen de la
rendija esté lo mejor centrada posible en respecto a la horizontal del retículo.
ii