VEC

GRUPO DE REFUERZO
08/02/2010
Ejercicios de vectores
1.- Tres astronautas salen de Cabo Cañaveral, fueron a la Luna y regresaron cayendo en
el océano Pacífico. Un almirante los despidió en el Cabo y después zarpó al océano
Pacífico en un portaaviones, en el que los recogió. Por sus respectivos viajes, ¿quién
tuvo el desplazamiento más grande, los astronautas o el almirante?
2.- ¿Pueden sumarse o restarse dos vectores de módulos diferentes para dar una
resultante nula?. ¿Pueden hacerlo tres vectores?
3.- ¿Puede un vector tener módulo cero, si una de sus componentes no es cero?
4.- Si tres vectores se suman dando una resultante cero, deben encontrarse en el mismo
plano. Demuéstrelo.
5.- ¿Tiene unidades un vector unitario?
6.- Mencione varías cantidades escalares. ¿Depende el valor de un escalar del sistema
de coordenadas utilizado?
7.- ¿Puede ser negativo un producto escalar?
G G
G G
8.- Si a ⋅b = 0 , ¿se deduce de ello que a y b son perpendiculares entre sí?
G G
G G G G
9.- Si a ⋅ b = a ⋅ c , ¿se deduce necesariamente que b = c ?
G G
G G
10.- Si a ×b = 0 , ¿deben ser a y b paralelos entre sí? ¿Es cierto la propuesta inversa?
G
G
G
G
11.- Dado el vector a = 3 u x + u y + 2 u z determine:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Su longitud
La longitud de su proyección sobre los planos XY, XZ y YZ
G
Un vector b del plano XY perpendicular al dado
G
El vector unitario según b
G
G
El producto escalar del vector dado con el vector c = 2 u x
G G
El producto vectorial a × c
G G
G G G G
G
12.- Dados los vectores a y b demuestre que si se verifica a − b = a + b entonces a es
G
perpendicular a b .
13.- Determine si los puntos A (1, 3, 4), B (-1, -1, 1) y C (0, -3, 2) son los vértices de un
triángulo, y en caso afirmativo, calcule a partir del producto vectorial de dos vectores el
área del triángulo.
GRUPO DE REFUERZO
08/02/2010
G
G
G
G
G
G
G
G
14.- Dados los vectores a = 3 u x + 4u y − 5 u z y b = − u x + 2u y + 6 u z calcule:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
La longitud de cada uno
G G
El producto escalar a • b
El ángulo que forman
Los cosenos directores de cada uno
Los módulos de los vectores suma y resta
G G
El producto vectorial a × b
G
G
G
G
G
G
G
G
15.- Dados los vectores a = 3 u x − 5u y − 8 u z y b = − u x + u y − 2 u z , calcule el vector
G G
unitario según la dirección del vector suma a + b
G G
16.- Si dibujamos dos vectores a y b desde un punto común, el ángulo entre ellos es φ;
G G
a) con técnicas vectoriales, demuestre que la magnitud de su vector suma, a + b es
a 2 + b 2 + 2 a b cos φ
G G
b) si a y b tienen la misma magnitud, ¿en qué circunstancias su vector suma tendrá
G
G
la misma magnitud que a o que b ?
c) deduzca un resultado análogo al del apartado (a) para la magnitud del vector
G G
diferencia a − b
G G
G G
d) si a y b tienen la misma magnitud, ¿en qué circunstancias a − b tendrá la misma
G
G
magnitud que a o que b ?
17.- La nave Galileo se lanzó el 18 de octubre de 1989. El 7 de diciembre de 1995, justo
antes de la llegada programada a Júpiter, las posiciones de la Tierra y Júpiter estaban
dadas por las siguientes coordenadas:
x (UA)
y (UA)
z (UA)
Tierra
0,2650
0,9489
0,0000
Júpiter
- 0,4113
- 5,2618
0,0313
En estas coordenadas, el Sol está en el origen y el plano de la órbita de la Tierra es el
plano xy. La Tierra pasa por el eje +x una vez al año en el equinoccio de otoño, el
primer día de otoño en el hemisferio norte (cerca del 22 de septiembre). Una UA
(unidad astronómica) es igual a 1,496 × 108 km, la distancia media de la Tierra al Sol.
a) Dibuje un diagrama que muestre las posiciones del Sol, la Tierra y Júpiter el 7
de diciembre de 1995.
b) Calcule las siguientes distancias en UA el 7 de diciembre de 1995: b1) desde el
Sol a la Tierra; b2) desde el Sol a Júpiter; b3) desde la Tierra a Júpiter.
c) Visto desde la Tierra, ¿qué ángulo formaba la dirección al Sol con la dirección a
Júpiter el 7 de diciembre de 1995?
d) Indique si Júpiter se veía desde la posición del lector el 7 de diciembre de 1995 a
medianoche (cuando es medianoche en su posición, el Sol está en el lado
opuesto de la Tierra respecto de usted).