ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. En la mayoría de las aplicaciones

INVESTIGACION DE OPERACIONES I (Analisis de Sensibilidad )
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
En la mayoría de las aplicaciones practicas, algunos datos del problema no son
conocidos con exactitud y por esto son estimados tan bien como sea posible. Es
importante poder encontrar la nueva solución optima del problema, cuando nuevas
estimaciones de los datos se encuentran disponibles; sin que sea una tarea cara y
tediosa.
En muchas situaciones las restricciones no son rígidas; por ejemplo, una restricción
puede reflejar la disponibilidad de algún recurso. Esta disponibilidad puede
incrementarse comprando cantidades extras, incrementando tiempo extra, comprando
equipo nuevo. Es deseable saber el efecto de relajar algunas de las restricciones en el
valor de la función objetivo sin tener que resolver el problema nuevamente.
Min Cx
sujeto a :
Ax = b
x≥0
Variaciones :
a).- Cambios en el vector costo C.
b).- Cambios en el vector b (Limitación).
c).- Cambios en la matriz A (ecuaciones, coeficientes)
d).- Adición de una variable.
e).- Adición de una ecuación.
a).- Cambio en el vector C
1).-
xj es una variable no-básica
zj = cB B-1aj no cambia para toda j
zK -cK es remplazada por zK -c’K
zK -c’K = (zK -cK ) + (cK -c’K)
si zK -c’K ≥ 0, xK debe entrar en solución
si zK -cK ≤ 0, la solución es la misma
2).-
xj es una variable básica
cBi es remplazada por c’Bi
z’j -cj = c’B B-1 aj -cj = (zj -cj) + (c’Bi -cBi) yij, para toda j≠k
z’K -cK = (zK -cK) + (z’K -cK)
Ejemplo :
ING. HECTOR MARTINEZ RUBINCELIS
INVESTIGACION DE OPERACIONES I (Analisis de Sensibilidad )
minimizar Z = - 2x1 + x2 - x3
sujeto a :
x1 + x2 + x3
≤6
≤4
-x1 +2x2
x´s ≥ 0
Tabla 1
Cj
CB
-2
0
XB
X1
S2
b
6
10
Z=
-12
-2
X1
1
0
-2
0
1
X2
1
3
-2
-3
-1
X3
1
1
-2
-1
0
S1
1
1
-2
-2
0
S2
0
1
0
0
Supongamos que c2 = 1 es reemplazada por -3; como x2 es no básica, entonces z2 - c’2
= (z2 - c2) + (c2 - c’2) = -3 +4 = 1, y el resto zj - cj no son afectadas.
Tabla 2
Cj
CB
-2
0
XB
X1
S2
b
6
10
Z=
-12
-2
X1
1
0
-2
0
-3
X2
1
3
-2
1
-1
X3
1
1
-2
-1
0
S1
1
1
-2
-2
0
S2
0
1
0
0
Sale S2 de
solución
Entra X2 en solución
Ahora supongamos que c1 = -2 es reemplazada por c’1 = 0. Como x1 es básica, la
nueva fila de costos excepto z1 - c1, y sumando a la antigua fila de costos ;
(z1 - c1) + (c’1 - c1)
Tabla 3
Cj
CB
0
0
XB
X1
S2
b
6
10
Z=
0
-2
X1
1
0
0
0
1
X2
1
3
0
-1
-1
X3
1
1
0
1
0
S1
1
1
0
0
0
S2
0
1
0
0
Sale X1 de
solución
Entra X3 en solución
b).- Cambios en el vector b (limitación).
ING. HECTOR MARTINEZ RUBINCELIS
INVESTIGACION DE OPERACIONES I (Analisis de Sensibilidad )
Si el vector b es reemplazado por b’, entonces B-1 b será reemplazada por B-1 b’.
B-1 b’ = B-1 b+ (b’ - b)B-1
Si B-1 b ≥ 0, entonces la misma base permanece y los valores de las variables básicas
son B-1 b’ y la función objetivo es cB B-1 b’. Si B-1 b < 0, entonces aplicando el
método simplex
Vector entrante ( Xj )= Min
{
}
zj - cj , yij < 0
yrj
donde i corresponde a la fila en que b es negativo.
Vector saliente bi = Min ( bi ) ; reemplazar
B-1 =
[
1
1
0
1
]
por lo que B-1 b =
[
[ ]
6
4
1
1
0
1
por
][ ]
3
7
3
7
[ ]
por
[ ]
3
7
B-1b´ ≥ 0 , entonces la solución es optima.
c).- Cambios en la matriz A (vector fila o columna)
Caso I) vectores activos para las columnas básicas.
Aj es modificada por A’j
En este caso es posible que el conjunto corriente de vectores básicos dejen de formar
la base después del cambio. Aun si esto no ocurre al menos un cambio en una
columna de la matriz básica modificará a B-1 y así a las entradas de cada columna;
obtenemos Y’j = B-1 a’j, donde B-1 es la corriente base inversa; obtenga cB B-1 a’j - cj y
añada una nueva columna que contenga el vector de la variable básica reemplazada,
asignándole un costo + M según corresponda considerándola como una variable
artificial.
Ejemplo :
ING. HECTOR MARTINEZ RUBINCELIS
INVESTIGACION DE OPERACIONES I (Analisis de Sensibilidad )
[ ]
1
2
a2 es cambiada por a´2 ; donde a2 =
y’2 = B-1a’2 =
[
1
1
0
1
y a´2 =
][ ] [ ]
2
5
=
2
7
[ ]
2
5
, asi
y CBB-1a’2 - C2 = (-2, 0)
[ ]
2
7
-1= -5
a esto la columna corriente de x2 debe ser reemplazada por (2, 7) y z2 - c2 por -5.
Ahora a1 =
[ ]
1
-
es cambiada por a’1 =
obtenemos y’1 B-1a’1 =
[
1
1
0
1
[ ]
0
-
][ ] [ ]
0
-
=
0
-
Entra en solución considerándola como una nueva columna xi y se analiza quien sale
de solución.
y CBB-1 - C1 = ( -2, 0 )
[ ]
0
- ( -2 ) = 2
-
Reemplace la columna x1 por (0, -1)t y en z1 - c1 por 2 y añada la variable artificial A1
para reemplazar a x1 en la base obteniendo :
Cj
CB
+M
0
XB
A1
S2
b
6
10
Z=
0
-2
X1
0
-1
0
2
1
X2
1
3
M
M-1
-1
X3
1
1
M
M+1
0
S1
1
1
M
M
0
S2
0
1
0
0
M
A1
1
0
M
0
Sale A1 de
solución
zj
zj - cj
Entra X3 en solución
Finalmente suponga que a1 es cambiada por a’1, donde ;
a1 =
[ ]
1
- y a´1 =
[ ]
3
6
,obteniendo y’1 = B-1a’1 =
[
1
1
0
1
][ ] [ ]
3
6
=
3
9
ING. HECTOR MARTINEZ RUBINCELIS
INVESTIGACION DE OPERACIONES I (Analisis de Sensibilidad )
[ ]
3
Encontramos que CBB-1a’1 - C1 = ( -2, 0 ) 9
- ( -2 ) = 4. En este caso y’1 no es
cero y reemplazamos la columna x1 por (3, 9 ) y z1 - c1 por - 4.
Cj
CB
-2
0
XB
X1
S2
b
6
10
Z=
-12
-2
X1
3
9
-6
-4
1
X2
1
3
-2
-3
-1
X3
1
1
-2
-1
0
S1
1
1
-2
-2
0
S2
0
1
0
0
Genere en la columna de x1 la columna faltante para formar la matriz
identidad.
d)- adición de una variable
calcule Zn+1 - Cn+1, si esta es ≤ 0, la actual solución es optima. Si es > 0,
entonces Xn+1 es introducida a la solución.
Ejemplo :
x6 ≥ 0 es incluida en el problema, donde c6 = 1 y a6 =
[
encontramos Z6 - C6 = CB B-1a6 = ( -2, 0 )
y Z6 - C6 > 0
1
1
por lo que x6 es introducida en la solución : y6 =
[ ]
-1
2
][ ]
0
1
-1
2 -1 =1
[ ]
-1
2
e).- Adición de una ecuación ( Restricción )
Si la solución optima a el problema original satisface la ecuación añadida, es
entonces obvio que este punto es también optimo para este nuevo problema.
Por otro lado si este punto no satisface la nueva ecuación (encontramos que la nueva
restricción es menor que cero ), entonces aplicamos el método dual-simplex para
encontrar la nueva solución optima.
ING. HECTOR MARTINEZ RUBINCELIS
INVESTIGACION DE OPERACIONES I (Analisis de Sensibilidad )
Si bm+1 - aBm+1B-1b < 0, use el dual simplex
Ejemplo :
Añada -x1 + 2x3 ≥ 2
-6 + 0 ≥ 2 y esta restricción no satisface a la nueva ecuación por lo que se le añade la
variable de holgura s3, teniendo;
x1 -2x3 + s3 = -2
añada esta fila a la tabla y calcule la solución optima.
Cj
CB
-2
0
0
XB
X1
S2
S3
b
6
10
-2
Z=
-12
-2
X1
1
0
1
-2
-2
1
X2
1
3
0
-2
-3
-1
X3
1
1
-2
-2
-1
0
S1
1
1
0
-2
-2
0
S2
0
1
0
0
0
0
S3
0
0
1
0
0
zj
zj - cj
-1
X3
1
1
-3
-2
-1
0
S1
1
1
-1
-2
-2
0
S2
0
1
0
0
0
0
S3
0
0
1
0
0
zj
zj - cj
formando la matriz identidad, tenemos ;
Cj
CB
-2
0
0
XB
X1
S2
S3
Z=
b
6
10
-8
-12
-2
X1
1
0
0
-2
0
1
X2
1
3
-1
-2
-3
//////////////////////////////////////////
Aplicando el Dual-Simplex , encontramos que sale de solución S3 y x3 entra.
Min
{
zj - cj , yij < 0
yij
Que corresponde a
} {
= Min
-3 , -1 , -2
-1 -3 -1
}
Z3 - C 2
y 33
ING. HECTOR MARTINEZ RUBINCELIS
INVESTIGACION DE OPERACIONES I (Analisis de Sensibilidad )
cambio en la función objetivo en el coeficiente de una variable básica
cambio en el coeficiente de la variable básica x1
XB
X1
X2
X6
CB
18.5+∆1
20
0
Cj 18.5+∆j
b
X1
8000
1
14000
0
500
0
0
20
X2
0
1
0
14.5
X3
1
0
-0.05
0
X4
40
-20
-3
0
X5
-20
20
1
0
X6
0
0
1
0
4+∆J
340+40∆J
30-20∆J
0
zj - cj
Se mantiene la optimalidad si Zj - Cj ≥ 0.
∆1 ≥ -4
∆1 ≥ -8.5
∆1 ≥ 1.5
Rango de ∆1
Rango de C1
-4 ≤ ∆1 ≤ 1.5
14.5 ≤ Cj ≤ 20
Cambios en la limitacion (Disponibilidad de recursos)
Tabla inicial
Cj
CB
0
0
0
XB
X4
X5
X6
b
1100+∆bi
1800
2000
18.5
X1
.05
.05
.10
20
X2
.05
.10
.05
14.5
X3
.05
.05
.05
0
X4
1
0
0
0
X5
0
1
0
0
X6
0
0
1
18.5
20
14.5
0
0
0
zj - cj
x1
C2
C
-∆bi
C1
+∆bi
x2
ING. HECTOR MARTINEZ RUBINCELIS
INVESTIGACION DE OPERACIONES I (Analisis de Sensibilidad )
Tabla final
Cj
CB
18.5
20
0
XB
X1
X2
X6
b
8000+40∆bi
14000-20∆bi
2000
18.5
X1
1
0
0
20
X2
0
1
0
14.5
X3
1
0
-0.05
0
X4
40
-20
-3
0
X5
-20
20
1
0
X6
0
0
1
z=
428000+340∆bi
0
0
4
340
30
0
800 + 40 ∆bi
14000 - 20∆bi
500 - 3∆bi
zj - cj
≥0
≥0
≥0
∆bi ≥ -200
∆bi ≤ 700
∆bi ≤ 166.67
Rango de ∆bi
Rango de bi
-200 ≤ ∆bi ≤ 166.67
900 ≤ bi ≤ 1266.67
ING. HECTOR MARTINEZ RUBINCELIS
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Analisis de sensibilidad
Max Z = 18.5 X1 + 20 X2 +14.5 X3
sujeto a :
.05X1 + .05 X2
.05X1 + .10 X2
.10X1 + .05 X2
X’S ≥ 0
+ .05 X3
+ .05 X3
+ .05 X3
contribucion
≤ 1100
≤ 1800
≤ 2000
X1 = Ton. Producidas de tipo A
X1 = Ton. Producidas de tipo B
X1 = Ton. Producidas de tipo C
solucion optima
Cj
CB
18.5
20
0
XB
X1
X2
X6
b
8000
14000
500
z=
18.5
X1
1
0
0
20
X2
0
1
0
14.5
X3
1
0
-0.05
0
X4
40
-20
-3
0
X5
-20
20
1
0
X6
0
0
1
0
0
4
340
30
0
zj - cj
cambio en la funcion objetivo de una varaible no basica.
C’j = Cj + ∆j
∆j indica el rango de costos sobre el cual la solucion optima actual
sigue siendo optima.
¿ Que tanto debe incrementarse el precio del 3, tal que sea conveniente producirlo ?
convendria producirlo si Z3 - C3 ≤ 0
∆3 + 4 ≤ 0
resolviendo para ∆3 encontramos que :
∆3 ≥ 4
y ya que C’3 = C3 + ∆3
entonces C’’3 = 14.5 + 4 = 18.5
ING. HECTOR MARTINEZ RUBINCELIS
INVESTIGACION DE OPERACIONES I (Analisis de Sensibilidad )
C´3 ≥ 18.5.
Cj
CB
18.5
20
0
XB
X1
X2
X6
z=
b
8000
14000
500
18.5
X1
1
0
0
20
X2
0
1
0
14.5
X3
1
0
-0.05
0
X4
40
-20
-3
0
X5
-20
20
1
0
X6
0
0
1
0
0
-∆3+4
340
30
0
zj - cj
2
1
ING. HECTOR MARTINEZ RUBINCELIS