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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 Valor numérico Valor numérico de expresiones compuestas Procedimiento 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 14 14 Ejercicios sobre notación algebraica Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 15 15 Sum a Suma de monomios Procedimiento 1. Se escriben las expresiones una a continuación de otra y con sus respectivos signos 2. Se reducen los términos semejantes. Para reducir términos semejantes se procede de la siguiente forma: a. Si los términos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe el signo común b. Si los términos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe el signo del número mayor en valor absoluto c. A continuación del signo y del coeficiente se escribe la parte literal Nota: recuerdese que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes. Sumar: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 16 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 16 Suma Suma de polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: a. Se suman los términos positivos b. Se suman los términos negativos c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos Hallar la suma de: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 17 17 Suma Suma de polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: a. Se suman los términos positivos b. Se suman los términos negativos c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos Hallar la suma de: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 18 18 Suma Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: se suman los coeficientes fraccionarios, cada uno con su respectivo signo 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos Nota: las fracciones las vamos a sumar por el método de hallar el mínimo común denominador (m.c.d.) Hallar la suma de: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 19 19 Suma Suma de polinomios y valor numérico Procedimiento 1. 2. 3. 4. Se ordenan los polinomios Se suman los polinomios En el total, se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico Se efectúan las operaciones indicadas y se reduce el resultado Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 2, b = 3, c = 10, x = 5, y = 4, m = 2/3, n = 1/5. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 20 20 Resta Resta de monomios Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes. De: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Restar: Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 21 21 Resta Resta de polinomios Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. De: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 22 22 Resta Resta de polinomios Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Restar: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 23 23 Resta Resta de polinomios Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. De: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 24 24 Resta Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.) De: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 25 25 Resta Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.) Restar: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 26 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 26 Resta Resta de polinomios y valor numérico Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante 4. En el resultado cada letra se sustituye por su respectivo valor numérico 5. Se simplifica aritméticamente el resultado Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.) Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 1, b = 2, c = 3, x = 4, y = 5, m = 3/2, n = 2/5: De: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 27 27 Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, según el caso 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna 5. Se efectúa la suma indicada Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 28 28 Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, según el caso 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna 5. Se efectúa la suma indicada Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 29 29 Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes fraccionarios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo y los del sustraendo 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, a la derecha del minuendo 5. Se efectúa la suma indicada Nota: las sumas las realizamos por el método de agrupar los términos semejantes. Las fracciones las sumamos hallando el m.c.d. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 30 30 Suma y resta combinadas Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 31 31 Signos de agrupación Supresión de signos de agrupación Procedimiento Para suprimir signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los términos que estaban agrupados por él no cambian de signo 2. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términos que estaban agrupados por él cambian de signo 3. Cada vez que se suprime un signo de agrupación, se procede a reducir los términos semejantes Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 32 32 Signos de agrupación Supresión de signos de agrupación Procedimiento 1. El secreto radica en ir suprimiendo, sucesivamente, los signos de agrupación más interiores 2. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo +, no se cambian los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes" 3. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo menos, se cambian los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes" 4. Se reducen los términos semejantes Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 33 33 Signos de agrupación Introducción de signos de agrupación Procedimiento Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original 2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo +: Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo -: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 34 34 Signos de agrupación Introducción de signos de agrupación Procedimiento Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original 2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 35 35 Multiplicación Multiplicación de monomios Procedimiento 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores" Multiplicar: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 36 36 Multiplicación Multiplicación de monomios Procedimiento 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores" Multiplicar: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 37 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 37 Multiplicación Multiplicación de monomios Procedimiento 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos, en este caso, fraccionarios: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto" 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores" Efectuar: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 38 38 Multiplicación Multiplicación de monomios Producto continuado de monomios Procedimiento 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos"). Si el número de signos menos es impar el producto es negativo; en cambio, si el número de signos menos es par el producto es positivo 2. Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí. En el caso de fraccionarios se efectúa así: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto" 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores" Multilplicar: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 39 39 Multiplicación Multiplicación de polinomios por monomios Procedimiento 1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden: a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los numeros entre si. c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base común y, sumando los exponentes respectivos ... 2. Se ordena el polinomio resultante Multilplicar: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 40 40 Multiplicación Multiplicación de polinomios por monomios Procedimiento 1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden: a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los numeros entre si. Recuerdese que el producto de dos fracciones se obtiene del siguiente modo: numerador, producto de los numeradores; denominador, producto de los denominadores c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base comun y, sumando los exponentes respectivos ... 2. Se ordena el polinomio resultante Multilplicar: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 41 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 41 Multiplicación Multiplicación de polinomios por polinonomios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Ley de los signos + por + da + + por - da - por + da - por - da + Multilplicar: Propiedad en el producto de potencias Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 42 42 Multiplicación Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Multiplicación de polinomios por polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Ley de los signos + por + da + + por - da - por + da - por - da + Multiplicar: Propiedad en el producto de potencias Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 43 43 Multiplicación Multiplicación de polinomios por polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Ley de los signos + por + da + + por - da - por + da - por - da + Multiplicar: Propiedad en el producto de potencias Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 44 44 Multiplicación Multiplicación de polinomios con coeficientes separados Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Nota1: recuerda que el producto de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual al producto de los denominadores Nota2: para sumar los denominadores vamos a utilizar el método de hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.d.) Ley de los signos + por + da + + por - da - por + da - por - da + Multiplicar: Propiedad en el producto de potencias Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 45 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 45 Multiplicación Multiplicación por coeficientes separados Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben solo los coeficientes, escribiendo 0 en el lugar donde falte un término 3. La parte literal del primer término del producto será igual al producto de las letras de los primeros términos, el del multiplicando y el del multiplicador Multiplicar por coeficientes separados: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 46 46 Multiplicación Producto continuado de polinomios Procedimiento 1. Se multiplica el primer factor por el segundo; luego, el producto obtenido se multiplica por el tercer factor y así sucesivamente hasta que no quede ningún factor 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Nota1: cuando uno de los factores es un monomio, multiplicamos primeramente dicho monomio por uno de los paréntesis Nota2: para multiplicar un monomio por un paréntesis, se multiplica el monomio por cada uno de los términos dentro del paréntesis, y teniendo en cuenta la "ley de los signos" Ley de los signos + por + da + + por - da - por + da - por - da + Simplificar: Propiedad en el producto de potencias Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 47 47 Multiplicación Multiplicación combinada con suma y resta Procedimiento 1. Se efectúan los productos indicados: multiplicando cada término del multiplicador por cada uno de los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos) 2. Se reducen los términos semejantes Nota1: Deducción de la fórmula general para el "cuadrado de un binomio": Nota2: Deducción de la fórmula general para el "producto de la suma por la diferencia de dos cantidades": Ley de los signos + por + da + + por - da - por + da - por - da + Simplificar: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 48 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 48 Supresión de signos de agrupación con productos indicados Procedi miento 1. Se suprimen los signos de agrupación más internos 2. Se reduce 3. Se suprimen los signos de agrupación que quedaron como más internos, se reduce; y así sucecivamente hasta suprimir todos los signos de agrupación Simplificar: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 49 49 División División de monomios Procedimiento 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos Dividir: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 50 50 División División de monomios Procedimiento 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos Dividir: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 51 51 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos División División de monomios Procedimiento 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios": 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos Dividir: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 52 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 52 División División de polinomios por monomios Procedimiento 1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera: 3. Se aplica la ley de los signos 4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. 5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos Dividir: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 53 53 División División de polinomios por monomios Procedimiento 1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera: 3. Se aplica la ley de los signos 4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios": 5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos Dividir: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 54 54 División División de dos polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Dividir: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 55 55 División División de dos polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece Dividir: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 56 56 División División de dos polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece Dividir: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 57 57 División de polinomios con coeficientes fraccionarios Dividir: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 58 58 División División de polinomios por el método de coeficientes separados Procedimiento 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se escriben solamente los coeficientes con sus respectivos signos, escribiendo 0 donde falte algún término 3. Se efectúa la división con los coeficientes 4. El exponente del primer término del cociente se calcula restando el exponente del primer término del divisor del exponente del primer término del dividendo. Los exponentes de los demás términos irán disminuyendo de 1 en 1. Donde aparece 0 en el cociente no se escribe el término correspondiente Dividir por coeficientes separados: EJERCICIO 59 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 59 Cociente mixto Hallar el cociente mixto de: EJERCICIO 60 60 Valor numérico de expresiones algebraicas con exponentes enteros para valores positivos y negativos Procedimiento 1. Se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico 2. Se efectúan las operciones indicadas 3. Se simplifica Nota1: Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva Nota2: Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 61 61 Miscelánea Suma, resta, multiplicación y división 1. A las 7 a.m. el termómetro marca +5° y de las 7 a.m. a las 10 a.m. baja a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m., 9 a.m. y 10 a.m. Solución: 5 - 3 = 2: a las 8 a.m. la temperatura es de +2° 2 - 3 = -1: a las 9 a.m. la temperatura es de -1° -1 - 3 = -4: a las 10 a.m. la temperatura es de -4°. 2. Tomando como escala 1 cm: 10 m, representar gráficamente que un punto B está situado a + 40 m de A y otro punto C está situado a -35 m de B. Solución: Tomamos el sentido positivo el hecho de que un punto esté a la derecha de otro punto y como negativo que esté a la izquierda: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 62 62 Productos y cocientes notables Productos notables Cuadrado de la suma de dos cantidades Procedimiento 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2 Escribir por simple inspección, el resultado de: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 63 63 Productos y cocientes notables Productos notables Cuadrado de la diferencia de dos cantidades Procedimiento 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2 Escribir por simple inspección, el resultado de: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 64 64 Productos y cocientes notables Productos notables Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Procedimiento 1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Escribir por simple inspección, el resultado de: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 65 65 Productos y cocientes notables Productos notables Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Procedimiento 1. Se agrupa convenientemente (si es necesario, se factoriza por -1) 2. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Escribir por simple inspección, el resultado de: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 66 66 Productos y cocientes notables Productos notables Cubo de un binomio Procedimiento 1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3: 2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda" 3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda" 4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Escribir por simple inspección, el resultado de: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 67 67 Productos y cocientes notables Productos notables Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b) Procedimiento 1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos) 3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis 4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes Escribir por simple inspección, el resultado de: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 68 68 Productos y cocientes notables Productos notables Miscelánea Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 69 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 69 Productos y cocientes notables Cocientes notables Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades Procedimiento 1. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador 2. Simplificamos. Hallar, por simple inspección, el cociente de: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 70 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 70 Productos y cocientes notables Cocientes notables Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades Procedimiento 1. Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador 2. Simplificamos. Hallar, por simple inspección, el cociente de: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 71 71 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Productos y cocientes notables Cocientes notables Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades Procedimiento Criterios de divisibilidad Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por : Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por: Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por : Criterio 4 : A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma : B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma : Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero. Hallar, por simple inspección, el cociente de: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 72 72 Productos y cocientes notables Cocientes notables Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades (los exponentes del divisor son diferentes de 1) Procedimiento Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Criterios de divisibilidad Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por : Cuando los exponentes del divisor son diferentes de 1, esto es, si son 2, 3, 4, 5, etc., sucede que el exponente de a disminuye, sucesivamente, en cada término 2, 3, 4, 5, etc.; la b aparece en el segundo término del cociente elevada a un exponente igual al que tiene en el divisor, y aumentará este exponente en 2, 3, 4, 5, etc. en los siguientes términos. Las soluciones de estos cocientes tendrán las tres formas siguientes (dependiendo del criterio de divisibilidad que se aplique) : Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por: Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por : Criterio 4 : A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma : B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de Nota : El número de términos en el cociente es igual al resultado de dividir m entre la forma : n. Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero. Biblioteca Virtual Hallar, por simple inspección, el cociente de: Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 73 73 Productos y cocientes notables Cocientes notables Miscelánea Escribir el cociente sin efectuar la división: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 74 74 Teorema del residuo Procedimiento 1. Se aplica el Teorema del Residuo: "El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo, en el polinomio dado, la x por a/b". Nota1: un polinomio entero y racional es de la forma: Nota2: Si en el divisor, el coeficiente de x es 1, esto es, si b = 1, el residuo se obtiene, simplemente, sustituyendo, en el polinomio, la x por a. Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 75 75 División sintética Procedimiento Para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma x - a, se procede de la siguiente manera: 1. Se ubican en una misma fila los coeficientes de los términos del dividendo (si el polinomio carece de alguna de las potencias se escribe allí 0) y, separada por una línea vertical, la a. 2. HALLAR EL COCIENTE : Grado del cociente : El cociente será de un grado menor que el dividendo. Coeficiente del primer término: El primer término del cociente tendrá el mismo coeficiente que el primer término del dividendo. Demás coeficientes : Los coeficientes de los otros términos del cociente se obtienen multiplicando el coeficiente del término anterior (previamente hallado) por la a y, seguidamente, sumando este producto con el coeficiente que sigue en el dividendo. 2. OBTENCIÓN DEL RESIDUO : El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del cociente (previamente hallado) por a y, sumando este producto con el término independiente del dividendo. NOTA: Si el binomio (el divisor) es de la forma bx - a, en vez de la a se pone a/b y, consecuentemente, se multiplican los coeficientes por a/b. Además, cada número debe dividirse por b antes de pasar a ser un coeficiente de un término del cociente. Explicación: Para aplicar apropiadamente el método de la división sintética, en los casos en los que el divisor es de la forma bx - a, debemos hacer que el divisor tome la forma x - a; y, para ello hay que dividir al divisor por b, con lo que el dividendo queda multiplicado por b. Para deshacer esta operación es por lo que se divide cada número, que está destinado a convertirse en coeficiente de un término del cociente, por b. Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 76 76 Corolario del Teorema del residuo Procedimiento Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a. Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos anteriores se deduce la veracidad del Corolario. Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a) y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a. Hallar, sin efectuar la división, si son exactas o no las divisiones siguientes: Biblioteca Virtual Sin efectuar la división, probar que: Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Sin efectuar la división, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas, y determinar el cociente en cada caso y el residuo, si lo hay: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 77 77 Teorema del residuo Procedimiento Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a. Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos anteriores se deduce la veracidad del Corolario. Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a) y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a. Diga, por simple inspección, si son exactas las divisiones siguientes y en caso negativo, diga cuál es el residuo: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 78 78 Ecuaciones enteras de primer grado Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Procedimiento 1. Se reducen términos semejantes 2. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 3. Se reducen téminos semejantes 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica. Resolver las ecuaciones: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 79 79 Ecuaciones enteras de primer grado Resolución de ecuaciones de primer grado con signos de agrupación Procedimiento 1. Se suprimen ("destruyen") los signos de agrupación, comenzando por los más internos 2. Se reducen términos semejantes 3. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 4. Se reducen téminos semejantes 5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica. Resolver las siguientes ecuaciones: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 80 80 Ecuaciones enteras de primer grado Resolución de ecuaciones de primer grado con productos indicados Procedimiento 1. Se efectúan los productos indicados 2. Se reducen términos semejantes 3. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 4. Se reducen téminos semejantes 5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica. Resolver las siguientes ecuaciones: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 81 Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 81 Ecuaciones enteras de Miscelánea Resolver las siguientes ecuaciones: primer grado Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 82 82 Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 83 83 Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 84 84 Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 85 85 Problemas sobre ecuaciones enteras Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 86 86 Problemas sobre ecuaciones enteras Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 87 87 Problemas sobre ecuaciones enteras 1. Compré doble número de sombreros que de trajes por 702 balboas. Cada sombrero costó 2 y cada traje 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajes compré? Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 88 88 M i s ce l á n e a d e p r o b l e m a s s o b r e e c u a c i o n e s e n t e r a s Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 89 89 Descomposición factorial Factor común Procedimiento 1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo) Factorar o descomponer en dos factores: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 90 90 Descomposición factorial Factor común Procedimiento 1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se abren dos paréntesis, en el primero se escribe el factor común y en el segundo los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo) Factorar o descomponer en dos factores: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 91 91 Descomposición factorial Factor común por agrupación de términos Procedimiento 1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis 2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis 3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis Factorar o descomponer en dos factores: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 92 92 Descomposición factorial Trinomio cuadrado perfecto Definición : Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos factores iguales. Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior 4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo téermino del trinomio y si el primero y tercer términos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal. 5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primer y tercer términos, separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis elevado al cuadrado. Factorar o descomponer en dos factores: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 93 93 Descomposición factorial Diferencia de cuadrados perfectos Procedimiento 1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis 3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1. Factorar o descomponer en dos factores: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 94 94 Descomposición factorial Diferencia de cuadrados perfectos (caso especial) Procedimiento 1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis 3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1. 4. Se reduce, si es el caso Descomponer en dos factores y simplificar, si es posible: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 95 95 Descomposición factorial Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos (combinación de estos dos casos) Procedimiento 1. 2. 3. 4. Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los ...) Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto (como en el Ejercicio 92) Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante (como en el Ejercicio 94). Se reduce, si es el caso Factorar o descomponer en dos factores: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 96 96 Descomposición factorial Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior 4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo término del trinomio 5. Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crear el segundo término del trinomio cuadrado perfecto 6. Se resta o se suma la misma cantidad que se sumo o resto en el paso anterior, para que el valor de la expresión no se altere Factorar o descomponer en dos factores: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 97 97 Descomposición factorial Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Factorar una suma de dos cuadrados Procedimiento 1. 2. 3. 4. 5. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior Se suma y se resta el producto hallado en el paso anterior Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto así formado Se factoriza la diferencia de cuadrados Factorar o descomponer en dos factores: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 98 98 Descomposición factorial Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis 6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8 Factorar o descomponer en dos factores: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 99 99 Descomposición factorial Casos especiales Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis 6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8. Nota: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo término sea la raíz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término. Factorar o descomponer en dos factores: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 100 100 Descomposición factorial Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Procedimiento Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma y se factoriza como en el Ejercicio 98: 1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a 2. Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis 7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8 11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común 12. Se simplifica Nota: siempre es posible eliminar el denominador . Factorar o descomponer en dos factores: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 101 101 Descomposición factorial Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Casos especiales Procedimiento Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma y se factoriza como en el Ejercicio 99: 1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a 2. Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis 7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8 11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común 12. Se simplifica Nota1: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo término sea la raíz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término. Nota2: siempre es posible eliminar el denominador . Factorar o descomponer en dos factores: Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 102 102 Descomposición factorial Factorar una expresión que es el cubo de un binomio Procedimiento El desarrollo del cubo de un binomio es: En esta clase de ejercicios se nos da una expresión como el miembro derecho de las identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones anteriores); para lo cual debemos proceder de la siguiente manera: 1. Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra 2. Se extrae la raíz cúbica del primero y cuarto términos del cuadrinomio 3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativopositivo-negativo 4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado 5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado 6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se escriben las raíces cúbicas del primero y cuarto términos del cuadrinomio y separadas por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis 7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal Biblioteca Virtual Factorar: Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
