Potencia compleja de un complejo.

Potencia compleja de un complejo.
Dados z1 , z2 ∈ C, se llama potencia de base z1 y exponente z2 al conjunto de números
complejos dados por exp(z2 ln z1 ). Escribiendo z1 en forma exponencial (z1 = ρ1 e θ1 i ) y z2 en
forma binómica (z2 = a2 + b2 i) la expresión general resulta:
a2 ln ρ1 − b2 (θ1 + 2kπ) e[a2 (θ1 + 2kπ) + b2 ln ρ1 ] i
z1z2 = e(a2 + b2 i) [ln ρ1 + (θ1 + 2kπ)i] = e
|
{z
}|
{z
}
∞ argumentos
∞ módulos
Esta expresión se simplifica en algunos casos particulares:
1. z2 ∈ R (b2 = 0). El exponente es un número real, por lo que hay un único valor para
2
el módulo ρa
1 . El exponente puede ser
p
a) Racional: z2 ∈ Q (a2 = q ; p ∈ Z, q ∈ N).
µ
¶
p
a2 θ1 + 2kπ i
z
(a
ln
ρ
)
q
2
2 ϕi
2
1
z1 = e
e
= ρa
1 e

k = 0 =⇒ ϕ = a2 θ1



 k = 1 =⇒ ϕ = a2 θ1 +
..

.



k = q =⇒ ϕ = a2 θ1 +
p
q 2π
p
q¢ 2π q¢
El argumento para k = q es el de k = 0, incrementado en un número entero
de veces 2π, por lo que determina el mismo número complejo. El de k = q + 1
determina el mismo complejo que el de k = 1, etc. Ası́ pues, la potencia racional
(p/q) de un complejo da como resultado q complejos de igual módulo1 .
µ
¶
9π i
πi
√ π i 1/2
1/2
Ejemplo. (1 + i) =
2e 4
=⇒ z1 = 21/4 e 8 ; z2 = 21/4 e 8 .
b) Irracional: z2 ∈ R \ Q (a2 ∈
/ Q). Al ir dando valores a k, no se repiten los complejos a partir de uno dado, por lo que √
se obtienen infinitas soluciones de igual
µ
¶ 3
√
π
√
√ √3 √3 π +√3 2πk i
i
3
4
módulo. Ejemplo. (1 + i) =
2e 4
= 2 e
, k ∈ Z.
2. z2 ∈ C \ R (b2 6= 0). El exponente es un número complejo no real.
En este caso el módulo vale e a2 ln ρ1 − b2 (θ1 + 2kπ) , k ∈ Z, expresión que toma infinitos valores. Además, según el valor de a2 , tendremos –como en el apartado 1– distintos
casos para el argumento:
a) a2 = 0 (exponente imaginario puro). Hay un sólo argumento de valor b2 ln ρ1 ,
por lo que los afijos de las infinitas soluciones están situados en la misma recta.
b) a2 = p/q . Hay q argumentos que no difieren en un número entero de veces 2π.
En este caso, los afijos de las infinitas soluciones están distribuidos en q rectas.
c) a2 ∈
/ Q . Hay ∞ argumentos, cada uno correspondiente a un valor del módulo.
1
1
1
2kπ
Ejemplo. 1( 3 +i) = e[ 3 0−1(0+2kπ)] e[ 3 (0+2kπ)+1·0]i = e−2kπ e 3 i , k ∈ Z.
4π
Resultan infinitos módulos y tres argumentos (θ1 = 0, θ2 = 2π
3 , θ3 = 3 ). Los afijos
4π
están situados en tres rectas, que forman ángulos de 0, 2π
3 y 3 radianes con OX.
1
¡
¢a
La potencia entera da un único resultado: z a = ρeθi = ρa eaθi . Ejemplo: z −2 = 12 = 12 e−2θi .
z
ρ