Soluciones de la ecuación de onda ( ) ( ) ( )

ONDAS PLANAS
Soluciones de la ecuación de onda
Ecuación de onda en coordenadas cartesianas
∇ 2Ω + k 2Ω = 0
∂ 2Ω ∂ 2Ω ∂ 2Ω
+ 2 + 2 + k 2Ω = 0
2
∂x
∂y
∂z
Separación de variables
Ω = X ( x)Y ( y ) Z ( z)
1 d 2 X 1 d 2Y 1 d 2 Z
+
+
+ k2 = 0
2
2
2
X dz
Y dy
Z dz
1 d2X
= − k x2
X dz 2
1 d 2Y
= − k y2
2
Y dy
k 2 = k x2 + k y2 + k z2
1 d 2Z
= − k z2
2
Z dz
Ecuaciones de onda
d2X
+ k x2 X = 0
2
dz
d 2Y
+ k y2Y = 0
dy 2
d 2Z
+ k z2 Z = 0
dz 2
Soluciones modales para el problema escalar
Ωkx , ky ,kz = h ( k x x ) h ( k y y ) h ( k z z )
Ω=
∞ ∞
∫ ∫ f (k ,k ,k )Ω
x
y
z
k x , ky , kz
dx ' dy '
−∞ −∞
k = k 2 − k x2 − k y2
2
z
Las funciones armónicas h, que son solución de la ecuación de onda
son
h ( k x x ) = sin k x x
h ( k x x ) = cos k x x
h ( k x x ) = e jk x x
h ( k x x ) = e − jkx x
Las ondas planas se pueden propagar en distintas direcciones, para
un caso sin variación según z, particularizando en kz=0 las ondas
que se propagan son proporcionales a
Ω = e − jk x x e
−ky y
k x2 + k y2 = k
Si se representan las ondas para diversos valores de kx, se obtiene,
(
Representación gráfica de Re e− jk x x e
−ky y
)
Representación gráfica de las soluciones
Las ondas planas se propagan manteniendo constante su amplitud, y
con una variación lineal de fase.
La representación gráfica del módulo, fase, parte real e imaginaria
puede ilustrar el comportamiento de dichas ondas
Representación gráfica de una onda plana
1.1
− 1j ⋅k x⋅x
π
1
(
0
e
−1
1
0
2
4
0
x
4
e
1
(
0
−1
1
)
(
0
2
4
0
x
4
(
2
4
x
4
0
2
4
0
x
4
(
arg e
) = cos ( k x )
x
− jk x x
)
1
)
0
−1
1
− 1j ⋅k x⋅x
Im e
Re e
0
0
− jk x x
1
− jk x x
0
−π
1
)
1j ⋅k x⋅x
Re e
− 1j ⋅k x⋅x
arg e
(
Im e
− jk x x
) = − sin ( k x )
x
Espectro angular de ondas planas
La solución de la ecuación de onda en coordenadas cartesianas se
puede expresar en función de las soluciones elementales como una
superposición de las mismas.
Ω=
∞ ∞
∫ ∫ f (k ,k ,k )Ω
x
y
z
k x , ky , kz
dx ' dy '
−∞ −∞
Ωkx , ky ,kz = h ( k x x ) h ( k y y ) h ( k z z )
Las soluciones individuales en el caso del espacio libre se pueden
escoger como ondas progresivas en la dirección radial
Ω k x , ky , kz = e − jk x x e
− jk y y − jk z z
e
= e − jk ⋅r
La solución de la ecuación se puede interpretar como un conjunto de
ondas planas que se propagan en todas las direcciones del espacio,
cada una de ellas con su amplitud, y con la misma constante de
propagación.
Las constantes de separación de la ecuación diferencial están
relacionadas entre sí y tan sólo es necesario considerar dos de ellas
como variables independientes.
k z = k x2 + k y2 − k 2
La solución para cada una de las ondas elementales es
− jk y y − j
Ω k x ,k y = e − jk x x e
e
(
)
k x2 + k y2 − k 2 z
Una interpretación alternativa es que la solución es un conjunto de
ondas que se propagan todas ellas en la dirección del eje z, con
constantes de propagación diferentes kz. La fase en planos z=cte no
sería plana.
La solución completa es
Ω=
∞ ∞
∫∫
−∞ −∞
Ω=
f ( kx , k y ) e − jk x x e
− jk y y − j
∞ ∞
∫ ∫ a (k k )e
− jk x x − jk y y
x, y
e
e
(
) dx ' dy '
k x2 + k y2 − k 2 z
dx ' dy '
−∞ −∞
La solución se puede interpretar como una transformada de Fourier
de la función a ( k x , k y ) , que se denominará espectro angular de ondas
planas.
La relación que existe entre los ángulos del espacio y las constantes
de propagación es
k x = k sin θ cos φ
k y = k sin θ sin φ
k z = k cosθ
Los valores máximos y mínimos de las variables kx,ky,kz son –k y +k.
La ecuación que liga k con las tres variables kx,ky,kz es la ecuación de
una esfera.
En el plano kx,ky los valores que hacen que kz sea real son los
contenidos en un círculo de radio k.
k x2 = k 2 sin 2 θ cos 2 φ
k y2 = k 2 sin 2 θ sin 2 φ
k x2 + k y2 = k 2 sin 2 θ ≤ k 2
En los otros casos kz es imaginario, y la función a ( k x , k y ) se atenúa
rápidamente, de forma proporcional a
e
−j
(
)
k x2 + k y2 − k 2 z
Si se representa gráficamente el espectro en curvas de nivel, el
margen visible (ondas que se propagan) está en el interior de un
círculo de radio k, los ángulos correspondientes a dicha radiación se
pueden obtener a partir de una simple transformación geométrica,
tal y como se indica en la figuras.
La zona que se encuentra fuera del margen visible no contribuye a la
radiación, pero supone una energía reactiva almacenada.
Representación gráfica del espectro de ondas planas radiadas por
una apertura, y su correspondiente diagrama de radiación.
Interpretación gráfica de la relación entre el espectro y el diagrama.
Efecto de filtrado espacial
Se ha demostrado que las ondas en el espacio se pueden analizar a
partir de la transformada de Fourier de una función
Ω=
∞ ∞
f ( kx , k y ) e − jk x x e
− jk y y − j
∫∫
−∞ −∞
e
(
) dx ' dy '
k x2 + k y2 − k 2 z
El efecto de propagación según z se puede interpretar como un
filtrado, teniendo como función de peso
A ( kx , k y , z ) = e
−j
(
)
k x2 + k y2 − k 2 z
El módulo de dicha función es constante en el círculo de radio k, y
decae exponencialmente en los otros casos. En la figura siguiente se
representa la atenuación en función de kz/k .
1
(
)
A( 0.5 , k z)
A( 1 , k z)
1
A 0.2 , k z
0
0.5
0
0
0
0.5
1
1.5
kz
2
2.5
3
3
k
Fig. Representación gráfica de la función filtro de propagación, para
un espectro que se ha propagado las distancias de 0.2,0.5 y 1
longitudes de onda.
Representación tridimensional de la función filtro del espectro de
ondas planas para distancias de 0.2 y 0.5 longitudes de onda.
Soluciones vectoriales de la ecuación de onda
Hasta ahora se han encontrado las soluciones de la ecuación de onda
en coordenadas cartesianas para una función escalar. Para obtener
las soluciones completas de los campos en todo el espacio hay que
tener en cuenta que de las seis componentes de los campos en un
punto, Ex,Ey, Ez, Hx, Hy, Hz, tan sólo hay dos independientes, las
demás se pueden obtener a partir de las ecuaciones de Maxwell.
Por lo tanto se podrá obtener la solución completa de los campos en
el espacio si se definen dos funciones independientes, que
denominaremos potenciales escalares.
La elección de las funciones potenciales es arbitraria, pero se suele
emplear la componente z de los potenciales vector eléctrico y
magnético.
No se debe confundir la solución modal en el espacio libre con la
relación que existe entre las fuentes y los potenciales.
Modos TMz
Se definen como aquellos cuyas componente z de campo magnético
es 0. Se obtienen a partir de la función potencial Az(x,y,z)
F=0
E = − jω A +
H=
1
∇ (∇ ⋅ A )
jωµε
1
∇× A
µ
Expresando los campos a partir de la función potencial, se obtiene
A = ΩE z
E = − jωΩ E z +
H=
1
∇ ( ∇ ⋅ ΩE z )
jωµε
1
∇ × ΩE z
µ
Las expresiones en coordenadas cartesianas son
E = − jωΩ E z +
H=
1  ∂
∂
∂   ∂Ω E 
 x + y + z 

jωµε  ∂x
∂y
∂ z   ∂z 
∂Ω E 
1  ∂Ω E
−y
x

µ  ∂y
∂x 
1 ∂ 2Ω E
Ex =
jωµε ∂x∂z
1 ∂ 2Ω E
Ey =
jωµε ∂y∂z
1 ∂ 2Ω E
Ez = − jωΩ E +
jωµε ∂z 2
1 ∂Ω E
µ ∂y
1 ∂Ω E
Hy = −
µ ∂x
Hz = 0
Hx =
Modos TEz
Se definen como aquellos cuyas componente z de campo magnético
es 0. Se obtienen a partir de la función potencial Fz(x,y,z)
A=0
1
E = ∇×F
ε
H = − jω F +
1
∇ (∇ ⋅ F )
jωµε
Expresando los campos a partir de la función potencial, se obtiene
F = ΩH z
E=
1
∇ × ΩH z
ε
H = − jω ΩH z +
1
∇ (∇ ⋅ ΩH z )
jωµε
Las expresiones finales de los campos en coordenadas cartesianas
son
1  ∂Ω H
∂Ω H 
E = x
−y

ε  ∂y
∂x 
1  ∂
∂
∂   ∂Ω H 
H = − jω ΩH z +
x + y + z 

jωµε  ∂x
∂y
∂z   ∂z 
1 ∂Ω H
ε ∂y
1 ∂Ω H
Ey = −
ε ∂x
Ez = 0
Ex =
Hx =
1 ∂ 2Ω H
jωµε ∂x∂z
Hy =
1 ∂ 2Ω H
jωµε ∂y∂z
H z = − jωΩ H +
1 ∂ 2Ω H
jωµε ∂z 2
Modos en guías rectangulares
Modos TMz
En una guía rectangular, la solución de los campos se puede obtener
aplicando las condiciones de contorno para el campo eléctrico y
campo magnético en las paredes de la guía
Las soluciones elementales del potencial para modos TMz que se
propagan en la dirección z son de la forma
Ω E = h ( k x x ) h ( k y y ) e − jk z z
El campo eléctrico en la dirección z, paralelo a las paredes es de la
forma
Ez = − jωΩ E +
Ez =
1 ∂ 2Ω E 
k z2 
− jk z z
j
ω
=
−
−

 h ( kx x ) h ( k y y ) e
2
jωµε ∂z
jωµε 

1
k 2 − k z2 ) h ( k x x ) h ( k y y ) e − jk z z
(
jωµε
Imponiendo las condiciones de contorno de campo cero en x=0,a,
y=0,b se obtienen
 mπ
h ( k x x ) h ( k y y ) = sin 
 a
  nπ
x  sin 
  b
Campo Ex,Ey Modo TM11

x

Campo Ex,Ey Modo TM21
Modos TEz
En este caso las soluciones para el campo magnético axial son
H z = − jωΩ H +
Hz =
1 ∂ 2Ω H 
k z2 
− jk z z
=
−
j
ω
−

 h ( kx x ) h ( k y y ) e
jωµε ∂z 2
j
ωµε


1
( k 2 − kz2 ) h ( kx x ) h ( k y y ) e− jkz z
jωµε
Imponiendo condiciones de contorno para las componentes de
campo eléctrico paralelas a las paredes
1 ∂Ω H
ε ∂y
1 ∂Ω H
Ey = −
ε ∂x
Ex =
Se obtienen las soluciones elementales de la ecuación de onda
 mπ 
 nπ 
h ( k x x ) h ( k y y ) = cos 
x  cos 
x
 a 
 b 
La representación gráfica de los campo en z=cte es
Campo Ex,Ey Modo TE10
Campo Ex,Ey Modo TE11
Campo Ex,Ey Modo TE20
Campo Ex,Ey Modo TE21
Radiación de aperturas
Campos radiados
La formulación habitual para obtener los campos radiados en
antenas de apertura se basa en el teorema de equivalencia y las
corrientes superficiales equivalentes.
J s = nˆ × H
M s = −nˆ × E
Los vectores de radiación eléctrico y magnético se calculan a partir
de las corrientes equivalentes
r
r
N = ∫∫∫ Je jkrˆ⋅r ' ds ' = ∫∫ J s e jkrˆ⋅r ' ds '
v'
L = ∫∫∫ Me
v'
r
jkrˆ⋅r '
s'
r
ds ' = ∫∫ M s e jkrˆ⋅r ' ds '
s'
Los campos radiados se calculan a partir de las componentes
tangenciales de los vectores de radiación
e − jkr
Eθ = − j
(η Nθ + Lφ )
2λ r
e − jkr
Eφ = − j
(η Nφ + Lθ )
2λ r
Eφ
Hθ = −
η
E
Hφ = θ
η
Finalmente se obtienen unas expresiones para los campos radiados
en la forma
η

jk x x ' jk y y '
 cos θ + 1 ∫∫ ( Ex cos φ + E y sin φ ) e e dx ' dy '
 Z0
 s'

e − jkr  η
jk x x ' jk y y '
Eφ = j
 + cos θ  ∫∫ ( − Ex sin φ + E y cos φ ) e e dx ' dy '
2λ r  Z 0
 s'
Eθ = j
e − jkr
2λ r
Campos próximos
Los campos próximos de una antena se pueden obtener a partir de la
formulación vectorial.
Modos TE
Los campos de los modos TE son
1 ∂Ω H
ε ∂y
1 ∂Ω H
Ey = −
ε ∂x
Ez = 0
Ex =
Hx =
1 ∂ 2Ω H
jωµε ∂x∂z
Hy =
1 ∂ 2Ω H
jωµε ∂y∂z
1 ∂ 2Ω H
jωµε ∂z 2
H z = − jωΩ H +
Utilizando la solución espectral para el potencial, las derivadas se
sustituyen por productos
∞ ∞
ΩH =
∫∫
−∞ −∞
Ex = − jk y
E y = jk x
Ez = 0
f ( k x , k y ) e − jkx x e
1
ΩH
ε
1
ΩH
ε
− jk y y − j
e
(
) dx ' dy '
k x2 + k y2 − k 2 z
1
kx kzΩ H
jωµε
1
Hy = −
k y kzΩH
jωµε
1
Hz =
k 2 − k z2 ) Ω H
(
jωµε
Hx = −
Modos TM
Los modos TM se pueden obtener de forma similar, a partir de la
solución espectral del potencial
1 ∂ 2Ω E
Ex =
jωµε ∂x∂z
1 ∂ 2Ω E
Ey =
jωµε ∂y∂z
1 ∂ 2Ω E
Ez = − jωΩ E +
jωµε ∂z 2
1
kxkzΩE
jωµε
1
Ey = −
k y kz ΩE
jωµε
1
Ez =
k 2 − k z2 ) Ω E
(
jωµε
Ex = −
1 ∂Ω E
µ ∂y
1 ∂Ω E
Hy = −
µ ∂x
Hz = 0
Hx =
1
jk y Ω E
µ
1
H y = − jk x Ω E
µ
Hz = 0
Hx = −
El campo total se obtiene a partir de la superposición de los modos
TE y TM respecto a z
La solución es
 Ex 
 kk y − k x k z 
 E  = 1  − kk − k k  ηΩ H 
x
y z 

 y  jωµε 
E 
 0 k 2 − k 2   ΩE 
z 
 z

 Hx 
 k x k z kk y 
 H  = 1  k k − kk  ηΩ H 
x 

 y  jωµεη  y z
H 
 k 2 − k 2 0   ΩE 
z
 z

