Solución

Sistemas de comunicación
Práctico
Modelado de canales
Cada ejercicio comienza con un sı́mbolo el cuál indica su dificultad de acuerdo a la siguiente
escala: F básica, H media, W avanzada, y Y difı́cil. Además puede tener un número, como 3.1-4
que indica el número de ejercicio del libro del curso, Communication Systems, 4th. edition.
Bruce A. Carlson.
H Ejercicio
1
(3.3-3)
Un sistema de comunicación de longitud total 400 km utiliza (m−1) repetidores
para m secciones de cable con una atenuación de 0.4 dB/km. Los repetidores y
el receptor tienen amplificadores idénticos con una ganancia máxima de 30 dB.
Encontrar la cantidad mı́nima de repetidores m, con la mı́nima ganancia posible, para que la potencia de salida del sistema sea 50 mW cuando la potencia
transmitida es 2W .
H Ejercicio
2
Dado un sistema en el cual tenemos fijos ST , η y BN , puede que la SN RD no
sea la requerida. Una posible solución es intercalar repetidores (según esquema
de la figura).
Cada repetidor es un filtro y un amplificador no ideal que introduce ruido independiente de densidad espectral de potencia ηA . Suponer que se hace un diseño
i
tal que los ηi son todos iguales. Suponer además que G
Li = 1 ∀i.
(a) En dicho caso calcular SN RD en función de SN R1 .
(b) Para el caso en que el ruido introducido por el canal es mucho mayor que
el ruido introducido por los amplificadores, comparar con el sistema sin
repetidores.
(c) De ahora en más se supondrá que el ruido introducido por los repetidores
es mucho mayor que el ruido introducido por el canal. Se va a transmitir
una señal a 40 km, empleando una lı́nea de transmisión cuya pérdida es
de 3 dB/km; el receptor tiene temperatura absoluta TN = 10T0 , donde la
densidad espectral de potencia es ηA = 4 × 10−21 TTN0 y BN = 5kHz.
1
Calcular ηA BN en dBw y encontrar el valor de ST (en Watts) que se
requiere para obtener SN RD = 50dB. Repetir el segundo cálculo cuando
existe un repetidor a la mitad de la trayectoria.
(d) Estando fijos todos los demás parámetros demostrar que el número de
repetidores igualmente espaciados que maximiza SN RD es
m = [ln(L)] ó m = [ln(L)] + 1.
Nota: [x] denota la Parte Entera del real x, y se define como el mayor entero
menor o igual que x
Nota: El dBw (decibel Watt) se define como:
P dBw = 10 log10
W Ejercicio
P
1 W att
3
Se dispone de dos transmisores ubicados a una distancia D entre si. Estos se
utilizarán para transmitir una misma señal de ancho de banda W con potencias
de transmisión S1 y S2 respectivamente.
Se quiere asegurar la mayor área de cobertura para dicha transmisión. Como
simplificación del problema, trabajaremos considerando únicamente los puntos
pertenecientes al segmento de recta comprendido entre los transmisores. A los
efectos de poder realizar las cuentas se adoptará como válido el modelo de atenuación para cables duros, a pesar de estar trabajando con aire como medio de
transmisión. Se cumple que L(D) = L y por tratarse de aire, en todo punto del
segmento el ruido que introduce el canal tiene densidad η independiente de la
distancia a la que se encuentra de los transmisores.
(a) Plantear la relación señal a ruido cuando el receptor puede sumar las
señales de ambos transmisores; y en el caso en que cada receptor sólo
toma como señal la del transmisor que recibe con mayor potencia.
(b) Discutir los problemas que pueden aparecer en el caso en que las señales
son sumadas.
Por razones económicas se quiere que el gasto de potencia combinada de ambos
transmisores sea lo menor posible.
(c) Determinar la mı́nima potencia total, M P T , que se debe gastar entre
ambos transmisores para que en cualquier punto intermedio sobre la linea
min
que los une, la recepción satisfaga que SN RR ≥ SN RR
. Se asume que
el mensaje tiene ancho de banda W . ¿Cómo hay que repartir la potencia
entre los transmisores?
Nota: Puede resultar útil √
utilizar la desigualdad entre la media aritmética y la
media geométrica: a+b
≥
ab
2
2
W Ejercicio
4
¿Existe un valor máximo del número de repetidores analógicos reales, después
del cual la performance no es mejor que la que se tiene en el caso de no usar
ningún tipo de repetidor? ¿Cómo lo estimarı́a?
H Ejercicio
5
Se desea transmitir una señal analógica de ancho de banda B = 700 kHz a
través de un canal y obtener una SN RR = 60 dB. Para ello se utiliza un
transmisor de potencia ST = 1 W att y un receptor de ancho de banda B. El
receptor introduce ruido térmico de densidad espectral de potencia ηA = kT
W att
con k = 7 × 10−16 Hz
◦ K y tiene una ganancia tal que compensa las pérdidas en
el canal. El canal es un cable cuya atenuación es α = 0.4 dB/km.
Nota: A lo largo del ejercicio se supondrá que el ruido introducido por el receptor es
mucho mayor que el ruido introducido en el canal.
(a) Hallar la SN RR en función de la temperatura del receptor TRx y el largo
l del cable. Bosquejar la máxima distancia lmax a la que se puede obtener
la SN RR deseada en función de la temperatura del receptor.
(b) Calcular la distancia máxima a la que se puede transmitir la señal si el
receptor se encuentra a temperatura TRx = 20◦ C (293◦ K).
Con el objetivo de aumentar la distancia máxima a la que se puede transmitir
la señal, se introduce un repetidor en la mitad del canal. Se supodrá que el
repetidor está contruido igual al receptor y se encuentra operando a temperatura
TRp .
(c) Hallar la nueva expresión de la SN RR en función de la temperatura del
receptor TRx , del repetidor TRp y el largo de canal l.
(d) Calcular la máxima distancia a la que se puede transmitir, si tanto el
repetidor como el transmisor se encuentran operando a temperatura T =
20◦ C.
H Ejercicio
6
(3.3-8)
El enlace inalámbrico de la figura opera a frecuencia 1 GHz y se utiliza para
transmitir una señal de TV hacia una empresa de cable rural situada a 50 km.
Suponer que se agrega un repetidor en la mitad del camino con ganancia grpt
(incluyendo antenas y amplificador). Obtener la ganancia del repetidor grpt que
genera un incremento en la potencia Pout del 20 %.
3
H Ejercicio
7
(3.3-9)
Un sistema DBS (direct broadcast satellite) utiliza la frecuencia 17 GHz para
el uplink y 12 GHz para el downlink. Usando los valores de las ganancias de los
amplificadores del ejemplo 3.3-1 del libro (ver figura, gamp = 162 dB), encontrar
Pout asumiendo Pin = 30 dBW.
H Ejercicio
8
Se desea comparar el modelo de pérdida en espacio libre con el modelo de
atenuación de un cable coaxial de 1 cm de diámetro.
La atenuación del cable es:
Frec. (MHz)
L máx. (dB/100m)
1
3
10
100
200
500
700
900
1000
1.5
2
2.5
4.5
9
12
17
20
24
(a) Comparar con los valores correspondientes al modelo de espacio libre.
(b) Comparar la relación entre ambos a frecuencia 500 MHz cuando la distancia es de 200 m. ¿Aumenta o disminuye la relación entre ambos al
aumentar la frecuencia?
H Ejercicio
9
Usando el modelo de atenuación para oficinas (γ = 3, L(1) = 0 dB), determinar
la potencia de transmisión necesaria para obtener una potencia de recepción
Pr = −110 dBm para una transmisión de 100m que atraviesa tres pisos, con
atenuaciones 15 dB, 10 dB y 6 dB, respectivamente, ası́ como dos paredes de
yeso (3.4 dB c/u).
4
Solución
Ejercicio 1
Llamemos ST y SR a las potencias transmitida y recibida respectivamente, con
lo que se tiene la relación,
ST g m
L
donde g es la ganancia que tienen los m − 1 repetidores y el receptor y L es la
atenuación total del canal. Esta última se calcula simplemente,
SR =
LdB = 400 km × 0.4 dB/km = 160 dB.
Despejando de la ecuación anterior, se tiene la igualdad
gm = L
SR
,
ST
que expresada en decibeles resulta,
ST
mgdB = LdB −
= 160 dB − 16 dB = 144 dB.
SR dB
Ahora queremos hallar los mı́nimos valores de g y m que cumplan,
mgdB ≤ 144 dB.
Supongamos que gdB toma su valor máximo, 30 dB. En ese caso, despejando de
la ecuación anterior, se tiene que la igualdad se da para m = 4.8. Por lo tanto el
número mı́nimo de repetidores que verifica la desigualdad es m = 5. Habiendo
determinado el valor de m la ganancia por amplificador puede bajarse hasta que
se verifique la igualdad siendo entonces gdB = 28, 8 dB.
Ejercicio 2
(a) Para el calculo de la SN R1 planteamos: SN R1 =
La potencia del ruido en un tramo es:
Z
BN
NR1 = g1
−BN
SR1
NR1
η1 + ηA
df = g1 (η1 + ηA )BN = L1/m (η1 + ηA )BN
2
−1/m
−1
Donde η1 = η(x = 1/m) = η LL−1 −1
ya que los repetidores se encuentran
equiespaciados (observar que por letra todos los tramos de canal tienen la misma densidad espectral de potencia de ruidoo ηi , con lo cual xi = 1/m para todo
i).
Por otro lado, SD = ST porque cada repetidor amplifica lo mismo que se atenua
en el tramo inmediatemente anterior de canal. Con lo que SN R1 queda:
SN R1 = ST
ηA + η1 BN L1/m
5
Ası́, la potencia del ruido en recepción, la podemos plantear como:
ND = N1
1
1
1
1
1
G2 G3 ...
Gm + N2 G3 ...
Gm + ... + Nm
L2
L3
Lm
L3
Lm
y como Ni = N1 y Gi = Li
ND = N1 m
con lo cual,
SN R1
S
T
SN RD = =
m
ηA + η1 BN L1/m m
(b)
Por letra ηi es mucho mayor que ηA , entonces:
SN RR =
ST
η1 BN L1/m m
Si realizamos un razonamiento análogo al de la parte 1, pero si no existen
repetidores tenemos:
SN RRsinrep =
ST
ηBN L
Planteando el cociente entre las SN R y sustituyendo η1 se obtiene:
SN RR /SN RRsinrep =
m−1
1 1−L
1 X 1/m i
(L
) ≥1
=
m 1 − L1/m
m i=0
ya que en un sistema real L ≥ 1 (observar que dado como se considero el modelo
L representa la atenuación y no la ganancia del canal), por lo tanto Li/m ≥ 1
para todo i, y como consecuencia la suma de m términos mayores o iguales a 1
resulta mayor o igual a m, concluyendo la última desigualdad.
(c) Sustituyendo en las expresiones calculadas en las partes anteriores, obtenemos STsinrep = 20 W y STcon1rep = 4 × 10−5 W
(d)
Ver apuntes de teórico.
Ejercicio 3
(a)
Para el caso en que se suman las señales, la relación señal a ruido es:
SN R =
S1
Lx
2
+ LS1−x
ηW
Para el caso en que se toma la señal de mayor potencia:
S1 S2
1
SN R = máx
,
Lx L1−x ηW
6
(c) Para el caso en que se toma la señal de mayor potencia: Las relaciones
señal ruido respecto a cada fuente son:
SN R1 =
SN R2 =
S1
ηW Lx
S2
ηW L1−x
La mı́nima relación señal a ruido se dará en el punto en que SN R1 = SN R2 .
2
En este punto xm se cumple que ηWSL1xm = ηW LS1−x
m entonces
L2xm = L
S1
S2
Multiplicando y dividiendo por S1 obtenemos:
L2xm = L
de donde:
S12
S1 S2
√
S
S S
√1 2 = x1
L m
L
y por lo visto más arriba, tenemos:
SN R1 (xm ) = SN R2 (xm ) =
p
S1 S2
1
√
ηW L
Aplicando la desigualdad entre la media geométrica y la media aritmética, tenemos que:
p
√
√
min
S1 + S2 ≥ 2 S1 S2 = 2SN R(xm )ηW L ≥ 2SN RR
ηW L
√
min
ηW L
La mı́nima potencia total es entonces M P T = 2SN RR
En la primera desigualdad se cumple el igual sólo en el caso en que S1 = S2 por
lo que la forma en que se logra ese mı́nimo es tomando igual valor de potencia
para los dos transmisores.
Para el caso en que se suman las señales:
Sabemos que la SN R en este caso es:
SN R =
S1
Lx
2
+ LS1−x
ηW
Para hallar el punto donde se hace mı́nimo derivamos respecto a x obteniendo:
ln L
S2 Lx − S1 L1−x = 0
L
por lo que
S2 Lx = S1 L1−x
obteniendo:
L2xm = L
7
S1
S2
de donde:
√
S S
S
√1 2 = x1
m
L
L
y calculando el valor de la SN R en x = xm , obtenemos:
p
1
√
SN R(xm ) = 2 S1 S2
ηW L
Aplicando la desigualdad entre la media geométrica y la media aritmética, tenemos que:
p
√
√
min
S1 + S2 ≥ 2 S1 S2 = SN R(xm )ηW L ≥ SN RR
ηW L
√
min
La mı́nima potencia total es entonces M P T = SN RR
ηW L En la primera
desigualdad se cumple el igual sólo en el caso en que S1 = S2 por lo que la
forma en que se logra ese mı́nimo es tomando igual valor de potencia para los
dos transmisores.
Ejercicio 4
Sı́ existe un número de repetidores (que llamaremos k0 ), a partir del cual la
SN RR no mejora respecto al caso de no tener ningún repetidor. Podemos estimáx
marlo observando cuándo se cortan la SN RR
que corresponde a k repetidores
equiespaciados (es decir, la máxima SN RR que se puede obtener transmitiendo
una potencia dada y un cierto ancho de banda, en presencia de dichos repetidores), y la SN RR sin repetidores.
máx
Planteamos entonces el valor de SN RR
con k repetidores equiespaciados:
S
T
= ηW
máx
SN RR
=
CR
z}|{
ST (1 − L−1 )
γL (1 − L−1 )
=
k[(1 + ν)L1/k − 1]
kηW [(1 + ν)L1/k − 1]
Por otro lado, la SN RR de un sistema sin repetidores es:
SN RRSR =
ST
LW (η + ηa )
Recordando el valor de ν (ν = ηa (1 − L−1 )/η), podemos plantear:
SN RRSR =
ST
LηW 1 +
ν
1−L−1
=
ST (1 − L−1 )
ηW [L(1 + ν) − 1]
Igualando ambas expresiones:
ST (1 − L−1 )
ST (1 − L−1 )
=
ηW [L(1 + ν) − 1]
kηW [(1 + ν)L1/k − 1]
h
i
⇒ k (1 + ν)L1/k − 1 = L(1 + ν) − 1
Puedo probar con distintos valores de k (con k ∈ N) y encontrar aquel para
el que se está más cerca de la igualdad, o bien, asumiendo k grande, se puede
hacer la aproximación k (1 + ν)L1/k − 1 ≈ k[(1 + ν).1 − 1] = kν, con lo cual:
k0 ν = L(1 + ν) − 1 ⇒ k0 =
8
L(1 + ν) − 1
ν
Ejercicio 5
(a) Para calcular la SN RR debemos calcular la potencia de recepción SR y
el ruido en recepción NR . Además sabemos que el canal cumple las hipótesis de
αl
canal rı́gido de sección constante y fı́sica uniforme, por lo que L = 10 10 siendo
α la atenuación en dB/km.
1
g = ST
L
Ya que se supuso que la ganancia del receptor g es igual a la atenuación L introducida en el canal.
SR = ST
El ruido NR ,
Z
∞
NR = g
Z
B/2
Gn (f )df = g
−∞
−B/2
αl
ηA (TRx )
df = gBηA (TRx ) = gBkTRx = 10 10 BkTRx
2
con lo cual,
SN RR =
ST
αl
10 10 BkTRx
El objetivo es obtener una SN R ≥ SN Rmin por lo que, despejando l:
l≤
ST
10
log10
α
kTRx BSN Rmin
40
Rx
T=20 C
lmax (km)
30
20
17.2
10
0
−400
−200
0 20
200
Temperatura (C)
400
600
800
(b)
Despejando de la ecuación encontrada en la parte anterior: lmax =
17.2 km si el receptor está a TRx = 293◦ K.
(c) Siguiendo el mismo razonamiento que para el caso anterior, pero observando que en este caso tenemos dos tramos de canal con atenuaciones L1 y L2
respectivamente y ganancias de repetidor y receptor g1 y g2 respectivamente, se
obtiene:
1
1
g1 g2 = ST
SR = ST
L1 L2
9
El ruido total en recepción es la suma de los ruidos introducidos en cada etapa
de amplificación (ya que los mismos son no correlacionados) con lo cual,
Z B/2
Z B/2
1
ηA (TRp )
ηA (TRp )
NR = g1 g2
df + g2
df
L1
2
2
−B/2
−B/2
αl
= g2 B(ηA (TRp ) + ηA (TRx )) = g2 Bk(TRx + TRp ) = 10 2×10 Bk(TRx + TRp )
Siendo la SN RR en este caso:
SN RR =
ST
αl
20
10 Bk(TRp + TRx )
Si consideramos que tanto el receptor como el repetidor se encuentran operando
a una temperatura T se obtiene que el largo del cable l2 para poder cubrir la
SN RR deseada debe cumplir:
l2 ≤
ST
20
log10
α
2kT BSN Rmin
En el gráfico a continuación se observa una comparación con el caso sin repetidor. Se aprecia que existe una máxima temperatura, para la cual introducir un
repetidor perjudica al sistema con respecto al caso sin repetidor.
60
Rx
Rx y Repetidor
Rx y Repetidor T = 20 C
50
lmax (km)
40
30
20
10
0
−10
−400
−200
020
200
Temperatura (C)
400
600
800
(d) Despejando de la ecuación encontrada en la parte anterior: l = 19.4 km
si el receptor está a TRp = TRx = 293◦ K. Se observa que dado que el ruido
introducido por el repetidor es bastante importante (repetidor y receptor de
mala calidad) no se logra una mejora tan significativa.
Ejercicio 6
Con repetidor:
Pout = Pin
gT gR grpt
L1 L2
Sin repetidor:
Pout = Pin
gT gR
L
Aumentar el 20 % implica:
gT gR
L1 L2
gT gR grpt
= 1.2
→ grpt = 1.2
L1 L2
L
L
LdB
1 = 92.4 − 20 · log10 fGHz + 20 · log10 25 km = 120 + 20 · log10 fGHz
10
L2 = L1
L = 92.4 − 20 · log10 fGHz + 20 · log10 50 km = 126 + 2 − log10 fGHz
Siendo f = 1 GHz queda:
L1 = L2 = 120dB → 1012
L = 126 dB → 3.98 · 1012
grpt = 1.2
1012 · 1012
= 0.3 · 1012 = 115 dB
3.98 · 1012
Ejercicio 7
Lu = 92.4 + 20 · log10 17 + 20 · log10 3.6 × 104 = 208
Ld = 92.4 + 20 · log10 12 + 20 · log10 3.6 × 104 = 205
Psatin = 30 dBW → Psatin = 30 + 55 − 208 + 20 = −103 dBW
Tomando los datos del ejemplo 3.3-1: gamp = 18 + 144 = 162 dB
P satout = −103 + 162 = 59 dBW
Pout = 59 + 16 − 205 + 51 = −79 dBW → 1.26 × 10−8 W
Ejercicio 8
(a)
80
70
60
L (dB)
50
40
30
20
10
Espacio libre @ 100m
Cable coaxial @ 100m
0
0
100
200
300
400
500
f (MHz)
11
600
700
800
900
1000
(b) A 100m y frecuencia 500 MHz: LEL = 66.4 y Lcoax = 12.
A 200m y frecuencia 500 MHz: LEL = 72.4 y Lcoax = 24.
Mientras la pérdida de camino aumenta un factor de 4 (22 ), la atenuación del
cable aumenta casi ×16.
Ejercicio 9
γ
Pt = Pr + L(1) xx0
+ L1 + L2 + L3 + 2Lp .
Pt = −110 dBm + 10 · γ · log10 x + 15 + 10 + 6 + 2 · 3.4 = −12.2 dBm.
12