Propiedades de la probabilidad I

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Propiedades básicas de la probabilidad
I. Reglas para calcular probabilidades de sucesos expresados en términos de otros
I.1: P (∅) = 0.
I.2: Aditividad: A1 , . . . , AN ∈ A y Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j ⇒ P
N
[
i=1
!
Ai
=
N
X
P (Ai ).
i=1
I.3: A ∈ A ⇒ P (Ac ) = 1 − P (A).
I.4: A, B ∈ A ⇒ P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B).
I.5: A, B ∈ A y B ⊆ A ⇒ P (A − B) = P (A) − P (B).
I.6: Regla de adición: A, B ∈ A ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
I.7: Principio de inclusión-exclusión: A1 , . . . , AN ∈ A ⇒
!
N
N
N
N
[
X
X
X
P (Ai1 ∩ Ai2 ) +
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) + · · · + (−1)N +1 P
P
Ai =
P (Ai ) −
i=1
i=1
i1 ,i2 =1
i1 <i2
i1 ,i2 ,i3 =1
i1 <i2 <i3
N
\
i=1
!
Ai .
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P(∅) = 0
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P(∅) = 0
Consideremos la sucesión {Ai }i∈N tal que Ai = ∅, ∀i ∈ N.
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P(∅) = 0
Consideremos la sucesión {Ai }i∈N tal que Ai = ∅, ∀i ∈ N.
Los elementos de esta sucesión son mutuamente excluyentes y su unión es el conjunto ∅.
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P(∅) = 0
Consideremos la sucesión {Ai }i∈N tal que Ai = ∅, ∀i ∈ N.
Los elementos de esta sucesión son mutuamente excluyentes y su unión es el conjunto ∅.
Por tanto, aplicando el axioma de σ-aditividad (A3) se tiene
P (∅) = P
+∞
[
i=1
↑
+∞
S
i=1
Ai = ∅
!
Ai
A3
=
+∞
X
P (Ai ) =
i=1
+∞
X
P (∅).
i=1
↑
Ai = ∅, ∀i ∈ N
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P(∅) = 0
Consideremos la sucesión {Ai }i∈N tal que Ai = ∅, ∀i ∈ N.
Los elementos de esta sucesión son mutuamente excluyentes y su unión es el conjunto ∅.
Por tanto, aplicando el axioma de σ-aditividad (A3) se tiene
P (∅) = P
+∞
[
i=1
↑
+∞
S
Ai = ∅
!
Ai
A3
=
+∞
X
P (Ai ) =
i=1
+∞
X
P (∅).
i=1
↑
Ai = ∅, ∀i ∈ N
i=1
Esto implica que P (∅) = 0, ya que éste es el único número real que satisface la igualdad anterior.
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Aditividad: A1 , . . . , AN ∈ A y Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j ⇒ P
N
[
i=1
!
Ai
=
N
X
i=1
P(Ai )
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Aditividad: A1 , . . . , AN ∈ A y Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j ⇒ P
N
[
i=1
Construimos la sucesión {Ai }i∈N , con Ai = ∅, ∀i > N .
!
Ai
=
N
X
i=1
P(Ai )
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Aditividad: A1 , . . . , AN ∈ A y Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j ⇒ P
N
[
i=1
!
Ai
=
N
X
P(Ai )
i=1
Construimos la sucesión {Ai }i∈N , con Ai = ∅, ∀i > N . Estos sucesos son mutuamente excluyentes y
S
i∈N
Ai =
N
S
i=1
Ai .
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Aditividad: A1 , . . . , AN ∈ A y Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j ⇒ P
N
[
i=1
!
Ai
=
N
X
P(Ai )
i=1
Construimos la sucesión {Ai }i∈N , con Ai = ∅, ∀i > N . Estos sucesos son mutuamente excluyentes y
S
i∈N
Ai =
N
S
Ai .
i=1
Entonces, el resultado se obtiene a partir del axioma de σ-aditividad (A3) y teniendo en cuenta que, por la propiedad
I.1, P (Ai ) = P (∅) = 0, ∀i > N ,
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N
[
Aditividad: A1 , . . . , AN ∈ A y Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j ⇒ P
!
Ai
=
N
X
P(Ai )
i=1
i=1
Construimos la sucesión {Ai }i∈N , con Ai = ∅, ∀i > N . Estos sucesos son mutuamente excluyentes y
S
i∈N
Ai =
N
S
Ai .
i=1
Entonces, el resultado se obtiene a partir del axioma de σ-aditividad (A3) y teniendo en cuenta que, por la propiedad
I.1, P (Ai ) = P (∅) = 0, ∀i > N ,
P
N
[
!
Ai
=P
i=1
+∞
[
!
Ai
i=1
↑
Ai = ∅, ∀i > N
A3
=
+∞
X
i=1
P (Ai ) =
N
X
i=1
P (Ai ) +
+∞
X
P (Ai ) =
N
X
P (Ai ).
i=1
i=N +1
↑
P (Ai ) = 0, ∀i > N
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A ∈ A ⇒ P(Ac ) = 1 − P(A)
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A ∈ A ⇒ P(Ac ) = 1 − P(A)
Descomponemos el espacio muestral como unión de los sucesos incompatibles A y Ac :
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A ∈ A ⇒ P(Ac ) = 1 − P(A)
Descomponemos el espacio muestral como unión de los sucesos incompatibles A y Ac :
→ Ω = A ∪ Ac
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A ∈ A ⇒ P(Ac ) = 1 − P(A)
Descomponemos el espacio muestral como unión de los sucesos incompatibles A y Ac :
→ Ω = A ∪ Ac
Aplicamos la propiedad de aditividad (I.2) y el axioma del suceso seguro (A2),
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A ∈ A ⇒ P(Ac ) = 1 − P(A)
Descomponemos el espacio muestral como unión de los sucesos incompatibles A y Ac :
→ Ω = A ∪ Ac
Aplicamos la propiedad de aditividad (I.2) y el axioma del suceso seguro (A2),
A2
1 = P (Ω) = P (A ∪ Ac ) = P (A) + P (Ac ).
↑
aditividad
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A ∈ A ⇒ P(Ac ) = 1 − P(A)
Descomponemos el espacio muestral como unión de los sucesos incompatibles A y Ac :
→ Ω = A ∪ Ac
Aplicamos la propiedad de aditividad (I.2) y el axioma del suceso seguro (A2),
A2
1 = P (Ω) = P (A ∪ Ac ) = P (A) + P (Ac ).
↑
aditividad
Entonces, el resultado es inmediato sin más que despejar P (Ac ) de esta expresión.
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A, B ∈ A ⇒ P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B)
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A, B ∈ A ⇒ P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B)
Descomponemos el suceso A como unión de dos sucesos incompatibles:
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A, B ∈ A ⇒ P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B)
Descomponemos el suceso A como unión de dos sucesos incompatibles:
→ A = (A − B) ∪ (A ∩ B)
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A, B ∈ A ⇒ P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B)
Descomponemos el suceso A como unión de dos sucesos incompatibles:
→ A = (A − B) ∪ (A ∩ B)
Entonces, aplicando la propiedad de aditividad (I.2),
P (A) = P (A − B) + P (A ∩ B),
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A, B ∈ A ⇒ P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B)
Descomponemos el suceso A como unión de dos sucesos incompatibles:
→ A = (A − B) ∪ (A ∩ B)
Entonces, aplicando la propiedad de aditividad (I.2),
P (A) = P (A − B) + P (A ∩ B),
y el resultado es inmediato despejando P (A − B) de esta expresión.
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A, B ∈ A y B ⊆ A ⇒ P(A − B) = P(A) − P(B)
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A, B ∈ A y B ⊆ A ⇒ P(A − B) = P(A) − P(B)
Se deduce de la propiedad I.4, teniendo en cuenta que si B ⊆ A, entonces A ∩ B = B:
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A, B ∈ A y B ⊆ A ⇒ P(A − B) = P(A) − P(B)
Se deduce de la propiedad I.4, teniendo en cuenta que si B ⊆ A, entonces A ∩ B = B:
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A, B ∈ A y B ⊆ A ⇒ P(A − B) = P(A) − P(B)
Se deduce de la propiedad I.4, teniendo en cuenta que si B ⊆ A, entonces A ∩ B = B:
Ası́ pues,
I .4
P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B) = P (A) − P (B).
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Regla de adición: A, B ∈ A ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
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Regla de adición: A, B ∈ A ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Se expresa A ∪ B como unión de tres sucesos sucesos mutuamente excluyentes:
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Regla de adición: A, B ∈ A ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Se expresa A ∪ B como unión de tres sucesos sucesos mutuamente excluyentes:
→ A ∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A).
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Regla de adición: A, B ∈ A ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Se expresa A ∪ B como unión de tres sucesos sucesos mutuamente excluyentes:
→ A ∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A).
Entonces, aplicando la propiedad de aditividad (I.2), se obtiene
P (A ∪ B) = P (A − B) + P (A ∩ B) + P (B − A).
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Regla de adición: A, B ∈ A ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Se expresa A ∪ B como unión de tres sucesos sucesos mutuamente excluyentes:
→ A ∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A).
Entonces, aplicando la propiedad de aditividad (I.2), se obtiene
P (A ∪ B) = P (A − B) + P (A ∩ B) + P (B − A).
A continuación, por la propiedad I.4,
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Regla de adición: A, B ∈ A ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Se expresa A ∪ B como unión de tres sucesos sucesos mutuamente excluyentes:
→ A ∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A).
Entonces, aplicando la propiedad de aditividad (I.2), se obtiene
P (A ∪ B) = P (A − B) + P (A ∩ B) + P (B − A).
A continuación, por la propiedad I.4,
P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B) y P (B − A) = P (B) − P (A ∩ B),
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Regla de adición: A, B ∈ A ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Se expresa A ∪ B como unión de tres sucesos sucesos mutuamente excluyentes:
→ A ∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A).
Entonces, aplicando la propiedad de aditividad (I.2), se obtiene
P (A ∪ B) = P (A − B) + P (A ∩ B) + P (B − A).
A continuación, por la propiedad I.4,
P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B) y P (B − A) = P (B) − P (A ∩ B),
y el resultado se deduce sustituyendo estas expresiones en P (A ∪ B).
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Principio de inclusión-exclusión: A1 , . . . , AN ∈ A ⇒
P
N
[
i=1
!
Ai
=
N
X
i=1
P(Ai ) −
N
X
i1 ,i2 =1
i1 <i2
P(Ai1 ∩ Ai2 ) +
N
X
i1 ,i2 ,i3 =1
i1 <i2 <i3
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) + · · · + (−1)N+1 P
N
\
i=1
!
Ai
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Principio de inclusión-exclusión: A1 , . . . , AN ∈ A ⇒
P
N
[
i=1
!
Ai
=
N
X
i=1
P(Ai ) −
N
X
i1 ,i2 =1
i1 <i2
P(Ai1 ∩ Ai2 ) +
N
X
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) + · · · + (−1)N+1 P
i1 ,i2 ,i3 =1
i1 <i2 <i3
Esta propiedad extiende la regla de adición (I.6) para la probabilidad de la unión de dos sucesos,
P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ).
N
\
i=1
!
Ai
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Principio de inclusión-exclusión: A1 , . . . , AN ∈ A ⇒
P
N
[
i=1
!
Ai
=
N
X
i=1
P(Ai ) −
N
X
i1 ,i2 =1
i1 <i2
P(Ai1 ∩ Ai2 ) +
N
X
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) + · · · + (−1)N+1 P
i1 ,i2 ,i3 =1
i1 <i2 <i3
N
\
!
Ai
i=1
Esta propiedad extiende la regla de adición (I.6) para la probabilidad de la unión de dos sucesos,
P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ).
Por tanto, puede aplicarse el método de inducción y, suponiendo que es cierta para la unión de N sucesos, basta
probar que lo es para la unión de N + 1, como se demuestra a continuación.
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Principio de inclusión-exclusión: A1 , . . . , AN ∈ A ⇒
P
N
[
!
Ai
=
i=1
N
X
P(Ai ) −
N
X
P(Ai1 ∩ Ai2 ) +
i1 ,i2 =1
i1 <i2
i=1
N
X
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) + · · · + (−1)N+1 P
i1 ,i2 ,i3 =1
i1 <i2 <i3
N
\
!
Ai
i=1
Esta propiedad extiende la regla de adición (I.6) para la probabilidad de la unión de dos sucesos,
P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ).
Por tanto, puede aplicarse el método de inducción y, suponiendo que es cierta para la unión de N sucesos, basta
probar que lo es para la unión de N + 1, como se demuestra a continuación.
P
N
+1
[
i=1
!
Ai
=P
N
[
!
Ai
!
∪ AN +1
=P
i=1
N
[
i=1
↑
regla de adición
!
Ai
+ P (AN +1 ) − P
N
[
i=1
!
Ai
!
∩ AN +1
.
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Principio de inclusión-exclusión: A1 , . . . , AN ∈ A ⇒
P
N
[
!
Ai
=
i=1
N
X
N
X
P(Ai ) −
P(Ai1 ∩ Ai2 ) +
i1 ,i2 =1
i1 <i2
i=1
N
X
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) + · · · + (−1)N+1 P
i1 ,i2 ,i3 =1
i1 <i2 <i3
N
\
!
Ai
i=1
Esta propiedad extiende la regla de adición (I.6) para la probabilidad de la unión de dos sucesos,
P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ).
Por tanto, puede aplicarse el método de inducción y, suponiendo que es cierta para la unión de N sucesos, basta
probar que lo es para la unión de N + 1, como se demuestra a continuación.
P
N
+1
[
i=1
!
Ai
=P
N
[
!
Ai
!
∪ AN +1
=P
i=1
N
[
!
Ai
+ P (AN +1 ) − P
i=1
N
[
!
Ai
!
∩ AN +1
.
i=1
↑
regla de adición
Ahora, aplicando la propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección en el último sumando se tiene
!
!
!
N
+1
N
N
[
[
[
P
Ai = P
Ai + P (AN +1 ) − P
(Ai ∩ AN +1 ) .
i=1
i=1
i=1
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Principio de inclusión-exclusión: A1 , . . . , AN ∈ A ⇒
P
N
[
!
Ai
=
i=1
N
X
N
X
P(Ai ) −
P(Ai1 ∩ Ai2 ) +
i1 ,i2 =1
i1 <i2
i=1
N
X
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) + · · · + (−1)N+1 P
i1 ,i2 ,i3 =1
i1 <i2 <i3
N
\
!
Ai
i=1
Esta propiedad extiende la regla de adición (I.6) para la probabilidad de la unión de dos sucesos,
P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ).
Por tanto, puede aplicarse el método de inducción y, suponiendo que es cierta para la unión de N sucesos, basta
probar que lo es para la unión de N + 1, como se demuestra a continuación.
P
N
+1
[
i=1
!
Ai
=P
N
[
!
Ai
!
∪ AN +1
=P
i=1
N
[
!
Ai
+ P (AN +1 ) − P
i=1
N
[
!
Ai
!
∩ AN +1
.
i=1
↑
regla de adición
Ahora, aplicando la propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección en el último sumando se tiene
!
!
!
N
+1
N
N
[
[
[
P
Ai = P
Ai + P (AN +1 ) − P
(Ai ∩ AN +1 ) .
i=1
i=1
i=1
A continuación, ya que la propiedad se está suponiendo cierta para la unión de N sucesos, se aplica al primer y
tercer sumando de la expresión anterior y se tiene
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P
N
+1
[
i=1
!
Ai

N
N
X
X
= 
P (Ai ) −
P (Ai1 ∩ Ai2 ) +
i=1
i1 ,i2 =1
i1 <i2


+P (AN +1 ) − 
N
X
i1 =1
P (Ai1 ∩ AN +1 ) −
N
X
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) + · · · + (−1)N +1 P
i1 ,i2 ,i3 =1
i1 <i2 <i3
N
X
i1 ,i2 =1
i1 <i2
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ AN +1 ) + · · · + (−1)N +1 P

!
N
\

Ai  +
i=1
N
+1
\
i=1

!

Ai  .
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P
N
+1
[
i=1
!
Ai

N
N
X
X
= 
P (Ai ) −
P (Ai1 ∩ Ai2 ) +
i=1
i1 ,i2 =1
i1 <i2


+P (AN +1 ) − 
N
X
i1 =1
P (Ai1 ∩ AN +1 ) −
N
X
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) + · · · + (−1)N +1 P
i1 ,i2 ,i3 =1
i1 <i2 <i3
N
X
i1 ,i2 =1
i1 <i2
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ AN +1 ) + · · · + (−1)N +1 P

!
N
\

Ai  +
i=1
N
+1
\

!

Ai  .
i=1
Obsérvese que en el segundo corchete aparecen las sumas de las probabilidades de intersecciones dos a dos, tres a
tres, etc., que no aparecen en el primer corchete; esto es, las probabilidades de las intersecciones de AN +1 con el resto
de sucesos;
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P
N
+1
[
!
Ai

N
N
X
X
= 
P (Ai ) −
P (Ai1 ∩ Ai2 ) +
i=1
i=1
i1 ,i2 =1
i1 <i2


+P (AN +1 ) − 
N
X
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) + · · · + (−1)N +1 P
i1 ,i2 ,i3 =1
i1 <i2 <i3
P (Ai1 ∩ AN +1 ) −
i1 =1
N
X
N
X
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ AN +1 ) + · · · + (−1)N +1 P

!
N
\

Ai  +
i=1
N
+1
\

!

Ai  .
i=1
i1 ,i2 =1
i1 <i2
Obsérvese que en el segundo corchete aparecen las sumas de las probabilidades de intersecciones dos a dos, tres a
tres, etc., que no aparecen en el primer corchete; esto es, las probabilidades de las intersecciones de AN +1 con el resto
de sucesos; por tanto, reordenando las sumas, se tiene probada la propiedad para la unión de N + 1 sucesos,
P
N
+1
[
i=1
!
Ai
=
N
+1
X
i=1
P (Ai ) −
N
+1
X
i1 ,i2 =1
i1 <i2
P (Ai1 ∩ Ai2 ) +
N
+1
X
i1 ,i2 ,i3 =1
i1 <i2 <i3
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) + · · · + (−1)N +2 P
N
+1
\
i=1
!
Ai .