Determinación de la Incertidumbre de Medición por el

Evaluation of Measurement Data
Supplement 1 to the
“Guide to the Expression of Uncertainty
in Measurement” – GUM
Propagation of Distributions using
a Monte Carlo Method
ALGUNOS DATOS
• 1977-79 Cuestionario del BIPM sobre incertidumbres
• 1980 Recomendación INC-1
• 1981 Establecimiento del WG3 sobre incertidumbres
bajo el ISO TAG4: BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP,
OIML
• 1993 Guide to the expression of uncertainty in
measurement - GUM
• 1995 Reimpresión de la GUM con correcciones mínimas
•1997 Establecimiento del Joint Committee for Guides
in Metrology JCGM – Reunión de ILAC en 1998
Documentos en preparación
— Una introducción a la “Guide to the
expression of uncertainty in measurement”
y documentos relacionados
Conceptos y principios básicos.
— Suplemento 1 a la GUM “Propagation of
distributions using a Monte Carlo Method” .
— Suplemento 2 a la GUM “Models with any
number of output quantities”
Documentos en preparación
— Suplemento 3 a la GUM
“Modelling”.
— The role of measurement
uncertainty in deciding conformance
to specified requirements.
— Applications of the least-squares
method.
Supplement 1 to the GUM
Propagation of distributions using
a Monte Carlo Method
OBJETIVO : Superar algunas limitaciones de
la GUM , por ejemplo cuando :
*La linearidad no es aplicable
• El Teorema del Límite Central no es
aplicable .
• La fórmula de Welch-Satterthwaite no es
aplicable
•El modelo matemático es complejo
•Cuando se necesita un intervalo de confianza
con probabilidad estipulada
CAPITULO 3 : Términos y Definiciones
3.1 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
Funcion que da la probabilidad de que una
variable aleatoria tome algun valor dado o
pertenezca a un conunto dado de valores.
Nota.- La probabilidad sobre todo el conjunto
de valores es igual a 1 .
Pueden tomar la forma de una Funcion de
Distribución (DF) o de una Función de
Densidad de Probabilidad (PDF)
3.2 Función de Distribución
Función que da para cada valor ε la
probabilidad de que la variable aleatoria X sea
menor o igual que ε .
3.3 Función de Densidad de Probabilidad PDF
Derivada, cuando existe, de la Función de
Distribución.
3.4 Distribución Normal
Distribución de probabilidad de una variable
aleatoria continua X que tiene la función de
densidad de probabilidad:
3.5 Distribución t
Distribución de probabilidad de una variable
aleatoria continua X que tiene la función de
densidad de probabilidad:
3.6 Expectación
Propiedad de una variable aleatoria que para
una variable aleatoria continua X
caracterizada por una PDF
es dada por :
3.7 Varianza
Propiedad de una variable aleatoria que
para una variable aleatoria continua X
caracterizada por una PDF
es dada por :
3.8 Desviación Estándar
Raiz cuadrada positiva de la varianza :
3.10 Covarianza
Propiedad de un par de variables aleatorias,
que para dos variables aleatorias continuas X1
y X2 caracterizadas por una PDF conjunta
Donde
Es dada por
3.11Matriz de Incertidumbre
Matriz de dimension N x N conteniendo en su
diagonal los cuadrados de las incertidumbres
estándar asociados con los estiamdos de las
componentes de una magnitud vectorial Ndimensional , y en las posiciones fuera de la
diagonal van las covarianzas asociadas con
los pares de estimados.
3.11Matriz de Incertidumbre
3.12 Intervalo de Cobertura
Intervalo conteniendo el valor de una
magnitud con una probabildad establecida,
basada en la información disponible.
3.13 Probabilidad de Cobertura
Probabilidad de que el valor de una magnitud
esté contenida dentro de un intervalo de
cobertura especificado.
3.14 Longitud de un intervalo de cobertura
El mayor valor menos el menor valor de un
intervalo de cobertura.
3.15 Intervalo de Cobertura
probabilisticamente simetrico
Intervalo de cobertura para una magnitud tal
que la probabilidad de que la magnitud sea
menor que el mas pequeño valor del intervalo
es igual a la probabilidad de que la magnitud
sea mayor que el mas grande valor del
intervalo
3.16 Intervalo de Cobertura más pequeño
Intervalo de Cobertura para una magnitud con
la mas pequeña longitud de todos los
intervalos de Cobertura para dicha magnitud
teniendo la misma probabilidad de Cobertura .
3.17 Propagación de Distribuciones
Metodo usado para determinar la distribución
de probabilidad para una magnitud de salida a
partir de las distribuciones de probabilidad
asignadas a las magnitudes de entrada de las
cuales depende la magnitud de salida .
3.18 Marco de Incertidumbre de la GUM=GUMF
Aplicación de la ley de propagación de la
incertidumbre y la caracterización de la
magnitud de salida por una distribución
gauseana o por una distribucion t desplazada
y a escala a fin de obtener un intervalo de
cobertura.
3.19 Método de Monte Carlo
Método para la propagación de distribuciones
efectuando un muestreo aleatorio en las
distribuciones de probabilidad.
3.20 Tolerancia Numerica
Semiancho del intervalo mas corto
conteniendo todos los numeros que pueden
expresarse correctamente con un numero
especificado de digitos decimales
significativos.
4. CONVENCIONES Y NOTACIONES
4.1 Un modelo matemático de medicion de
una magnitud escalar puede expresarse como
una relacion funcional f :
Donde Y es una magnitud de salida y X
representa las N magnitudes de entrada
Cada Xi se considera como una variable
aleatoria con posibles valores ε y expectacion
xi .
Y es una variable aleatoria con posibles
valores
y expectacion y .
4.2 En lugar de los simbolos f ; F para denotar
una PDF y una DF respectivamente, se usan
los simbolos g ; G . Se los indizara
apropiadamnente para denotar la magnitud
involucrada.
El simbolo f es reservado para el modelo
matemático.
4.4 La PDF para X se denota como
Donde ε es una variable que describe los
posibles valores de X .
X es considerada como una variable aleatoria
con expectación E(X) y varianza V(X)
4.4 En el caso vectorial la PDF para X se
denota como
Donde
es un vector variable que
describe los posibles valores de la magnitud
vectorial X .
X es considerada como un vector variable con
expectación vectorial
y matriz de
covarianza
4.9 El término “Ley de propagacion de
la Incertidumbre”
Se aplica al uso de una serie de Taylor con
aproximación de primer orden al modelo. Si se
usa ordenes mayores se cualifica
apropiadamemte el término.
4.13 Los números se expresan de modo que
indican la cantidad de digitos significativos .
4.15 Abreviaturas usadas
.
5. PRINCIPIOS BASICOS
5.1 ETAPAS PRINCIPALES DE LA
EVALUACION DE INCERTIDUMBRE
A) FORMULACION
1) Definir la magnitud de salida Y (el
mensurando)
2) Determinar las magnitudes de entrada
de las cuales depende Y .
3) Desarrollar un modelo que relacione Y con X .
4) Sobre la base del conocimiento disponible
asignar PDFs a las Xi . Si es necesario
asignar PDFs conjuntas a aquellas Xi que no
son independientes
b) PROPAGACION
Propagar las PDF de las Xi a traves del modelo
para obtener la PDF para Y .
c) RESUMEN
Usando la PDF obtener:
1)La expectación de Y, tomada como un
estimado y del mensurando .
2)La desviación estándar de Y, tomada como la
incertidumbre estándar u(y) asociada a y
3)Un intervalo de cobertura que contenga a Y
con una especificada probabilidad (probabilidad
de cobertura) .
5.1.3 Los pasos en la etapa de Formulacion
son hechas por el metrologo posiblemente
con el soporte tecnico necesario.
En este Suplemento se dan las orientaciones
detalladas para las etapas de Propagacion y
Resumen .
5.2 PROPAGACION DE DISTRIBUCIONES
En este Suplemento se presenta una
aproximación considerada generalmente
eficiente para determinar numericamente
(aproximacion numérica) la función de
distribución G para Y:
Se basa en la aplicación del método de Monte
Carlo (MCM) como una implementacion de la
propagación de distribuciones.
5.2 OBTENIENDO LA INFORMACION DEL
RESUMEN
5.3.2 El intervalo de cobertura para Y puede
determinarse a partir de
Sea α cualquier valor numerico entre 0 y (1-p)
Donde p es la probabilidad de cobertura
requerida. Los puntos extremos del intervalo
de cobertura 100p% para Y son
5.3.3 Al elegir
se logra que el
intervalo de cobertura definido por los
quantiles
sea un intervalo de cobertura al 100p%
probabilisticamente simetrico .
5.3.4 Un valor numerico de α diferente de
puede ser mas apropiado si la PDF es
asimetrica.
El intervalo de cobertura al 100p% mas corto
podria usarse en este caso. Este tiene la
propiedad de que para una PDF unimodal (de
un solo pico) este intervalo contiene a la
moda, el valor mas probable de Y.
Se obtiene por el valor numerico de α que
satisface
,si
es unimodal y en general por el valor numerico
de α tal que
5.3.5 El intervalo de cobertura al 100p%
probabilisticamente simetrico y el mas corto
intervalo de cobertura al 100p% son identicos
si la PDF es simetrica , tal como lo es para las
PDFs gauseanas y tipo t corridas y a escala
usadas en el GUMF . Asi cualquiera de estos
intervalos puede usarse.
5.3. 6 La figura 1 muestra la funcion de
Distribucion
correspondiente a una PDF
asimetrica. Las lineas verticales punteadas
marcan los puntos extremos del intervalo de
cobertura probabilisticamente simetrico al
100p% y las lineas horizontales punteadas
marcan los correspondientes puntos de
probabilidad 0,025 y 0,0975 .
Las lineas continuas marcan los puntos
extremos del intervalo de cobertura mas corto
al 95% y los correspondientes puntos de
probabilidad, que son 0,006 y 0,956.
Ls longitudes de estos intervalos son 1,76
unidades y 1,69 unidades respectivamente.
.
5.4 IMPLEMENTACION DE LA PROPAGACION
DE LAS DISTRIBUCIONES
Puede hacerse de varias maneras:
MCM tal como se presenta aquí se considera
una herramienta poderosa para obtener
representaciones numericas de la distribucion
de la magnitud de salida (mensurando) mas
que una simulación en sí misma. En el
contexto de la etapa de propagación de la
incertidumbre , el probelma a resolver es
deterministico, no habiendo proceso fisicos
aleatorios a ser simulados.
5.4.2 y 5.4.3
Para modelos lineales o linearizados y
magnitudes de entrada con PDFs gauseanas
esta aproxiamcion produce resultados
consistentes con el GUMF.
Sin embargo en casos donde la condiciones
del GUMF no son aplicables o se duda de su
aplicabilidad , la aproximación de este
Suplemento puede generalmente esperarse
que produzca un valido enunciado de
incertidumbre .
Una de sus bondades es que no hace
suposiciones para lograr cada vez mejores
aproximaciones.
5.4.4 En la figura 2 se ilustra el caso de la
propagacion de PDFs para las tres magnitudes
independientes de entrada Xi a traves del
modelo para producir la PDF de la magnitud
de salida
Esta figura puede compararse con la figura 3
para la Ley de propagacion de la
Incertidumbre.
Las entradas son gauseana, triangular y
gauseana respectivamente .
La salida es asimetrica como generalmente
surge para modelo no lineales o asimetricos.
.
5.4.5 En la práctica solo para los casos
simples puede implementarse la propagación
de las distribuciones sin hacer
aproximaciones .
El GUMF implementa un metodo aproximado y
el MCM otro.
Para un pequeño pero importante grupo de
problemas el GUMF es exacto.
El MCM nunca es exacto pero es mas valido
que el GUMF para una gran cantidad de
problemas
5.5 REPORTANDO LOS RESULTADOS
5.5.1 Tipicamente los siguientes resultados
deberian reportarse al usar la propagacion de
distribuciones:
5.5.2 y ; u(y) y los puntos extremos del
intervalo de coberura al 100p% para Y
deberian ser reportados con una cantidad de
digitos deciamles tal que el digito decimal
menos significativo este en la mismo posicion
con respecto al decimal de u(y) (igual que en
la GUM)- Usualmente uno o dos digitos son
adecuados para representar u(y) .
Si los resultados van a usarse en calculos
adicionales debe considerarse si es que hay
que retener digitos adicionales.
5.7 CONDICIONES PARA LA APLICACION
VALIDA DEL GUMF PARA MODELOS LINEALES
El número total de grados de libertad asociado a
uc(y) se calcula con la ecuación de WelchSatterthwaite G.2b de la pág. 127 de la GUM :
ν
eff
=
u
N
∑
i=1
4
(y)
4
ui (y)
c
ν
i
5.7.2 Se puede determinar un intervalo de
cobertura en terminos de la informacion del
GUMF bajo las sgtes condiciones:
5.7.3 Cuando las condiciones de 5.7.2 son
validas los resultados de la aplicación del
GUMF se espera que sean validos para los
modelos lineales .
Estas condiciones se aplican en muchas
circunstancias.
5.9 APROXIMACION DE MONTE CARLO A LA
PROPAGACION Y RESUMEN DE SUS ETAPAS
5.9.1 El MCM es una herramienta poderosa
para aproximar numericamente la
representacion de G, la funcion de
distribucion de Y .
La idea central consiste en muestrear
repetidamente en las PDFs de las X i
y evaluar el modelo matematico f en cada
caso.
5.9.2 Puesto que G tiene toda la informacion
conocida de Y , cualquier propiedad de Y tal
como la expectacion, la varianza, y los
intervalos de cobertura pueden obtenerse
usando G .
La calidad de estos calculos puede mejorarse
aumentando el numero de veces que se
muestrea las PDFs .
5.9.4 Si los diversos yr con r= 1,2,..... M
representan M valores obtenidos al muestrear
independientemente las PDF para Y, entonces
la expectacion E(Y) y la varianza V(Y) pueden
aproximarse usando los valores yr
Sea MyD el numero de yr que son no mayores
que yD el cual es un número prescrito
cualquiera.
La probabilidad Pr(Y<= yD) se aproxima por
MyD / M.
Asi los yr proveen una funcion de
aproximacion paso a paso (como un
histograma) a la funcion de distribucion
5.9.5 Cada yr se obtiene muestreando
aleatoriamente en cada PDF para los Xi y
evaluando el modelo en los valores
muestreados para obtener G.
La salida primaria del MCM son los yr
arreglados en orden esctrictamente
creciente.
5.9.6 Pasos del Metodo de Monte Carlo
Si M=10 4 la aproximacion para E(Y) seria del
orden del 1% y si M= 10 6 seria del orden del
0,1 % para E(Y) .
5.9. 7 La efectividad del MCM depende de que
se use un valor suficientemente grande para
M.
5.10 Condiciones para la aplicacion valida del
MCM
6. FUNCIONES DE DENSIDAD DE
PROBABILIDAD PARA LAS MAGNITUDES DE
ENTRADA
6.1.5 Informacion relevante para la asignacion
de PDFs a los Xi se encuentra en la GUM.
6.1.6 Una guia detallada para la asignacion de
los PDFs individuales o conjuntos esta mas
alla del alcance de este Suplemento.
Pude usarse tambien el Teorema de Bayes y el
Principio de Maxima Entropia.
6.4.2 Distribucion Rectangular
6.4.4 Distribucion Trapezoidal
6.4.5 Distribucion Triangular
6.4.7 Distribucion Gauseana
6.4.9 Distribuciones t
6.4.9 Distribuciones t
6.4.9 Distribuciones t
6.4.9 Distribuciones t
6.4.9 Distribuciones t
6.4.9 Distribuciones t
6.4.9 Distribuciones t
7 . IMPLEMENTACION DEL METODO DE
MONTE CARLO
7.2 Numero de corridas M
7.2.2 Se debe elegir un valor de M que sea
suficientemente grande comparado con 1/(1-p).
M debe ser al menos 104 veces mayor que dicho
valor .
Se espera que G provea una representacion
razonablemente discreta de
en las
regiones cercanas a los extremos del intervalo
de cobertura al 100p% para Y .
7.2.3 Como no hay garantia que un número
especifico preasignado sea suficiente, puede
usarse un proceso que seleccione M
adaptativamente, es decir, conforme las
corridas progresan.
7.2.3 MUESTREO DE LAS DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Al implementar el MCM se obtienen M vectores
de las PDFs
Para las N magnitudes de entrada Xi . Si es
apropiado debe usarse las PDFs conjuntas
El anexo C da las recomendaciones para
realizar este muestreo para las distribuciones
mas comunes. Ver tambien 6.4
7.4 EVALUACION DEL MODELO
7.4.1 Al evaluar el modelo para cada uno de los
M vectores
donde el r-esimo vector contiene
con
obtenido de la PDF para Xi , se calcula
ios respectivos valores para Y:
7.5 REPRESENTACION DISCRETA DE LA
FUNCION DE DISTRIBUCION PARA LA MGNITUD
DE SALIDA
7.5.1 Se sigue el sgte. proceso:
7.5.2 Al usar los yr para formar un histograma
se forma una distribucion de frecuencia que al
ser normalizada para tener area 1 provee una
buena aproximacion a la forma de la PDF
buscada
7.6 ESTIMACION DE LA MAGNITUD DE SALIDA
Y SU INCERTIDUMBRE ESTANDAR ASOCIADA
El estimado de y es el promedio de los yr :
La incertidumbre estandar es estimada como la
desviación estandar de la distribución:
7.7 INTERVALO DE COBERTURA PARA LA
MAGNITUD DE SALIDA
7.7.1 Se puede determinar un intervalo de
cobertura pra Y a partir de la representacion
discreta de G en una manera analoga a lo
explicado en 5.3.2 .
7.7.2 Sea q=pM un entero. De otro modo tomar
q como la parte entera de pM+1/2 . Entonces
es un intervalo de cobertura al
100p% para Y donde para cualquier r= 1,2,...M-q
y
El intervalo de cobertura probabilisticamente
simetrico al 100p% se obtiene tomando:
r= (M-q)/2 si (M-q)/2 es un entero
O la parte entera de (M-q)/2 +1/2.
El mas corto intervalo de cobertura al 100p% se
obtiene determinando r* tal que :
EJEMPLO
7.8.3 Si el modelo es simple y las magnitudes
de entrada son independientes el tiempo total
de computación es tipicamente de unos pocos
egundos para M=106 usando una PC a varios
GHz .
7.9 PROCEDIMIENTO ADAPTATIVO DE MONTE
CARLO
Las corridas deberian hacerse hasta que los
varios resultados de interes se hayan
estabilizado en un sentido estadistico.
Esto se considera logrando que el doble de la
desviación estandar asociada sea menor que la
tolerancia numerica (ver 7.9.2) asociada con la
incertidumbre estandar u(y) .
7.9.2 Tolerancia Numerica asociada con un
Dato Numerico.
Sea ndig el numero de digitos decimales
significativos considerados con pleno sentido
en un valor nuemrico z .
La tolerancia numerica δ asociada con z se da
como sigue:
7.9.3 OBJETIVO DEL PROCEDIMIENTO
ADAPTATIVO
El objetivo es suminstrar:
a)Un estimado y de Y
b)Una incertidumbre estandar asociada u(y)
c)Los puntos extremos ylow yhigh de un intervalo
de cobertura para Y correspondiente a una
probabilidad de cobertura estipulada tal que
cada uno de estos 4 valores pueda esperarse
que cumpla con la tolerancia numerica
requerida.
7.9.4 PROCEDIMIENTO ADAPTATIVO
9.- EJEMPLOS
9.2 MODELO ADITIVO
Este ejemplo considera el modelo aditivo
como un caso especial del modelo lineal
generico considerado en la GUM, para 3
diferentes conjuntos de PDFs
asignados a las Xi consideradas
independientes.
Las Xi y por consiguiente Y tienen dimension 1 .
Para el primer grupo cada
es una PDF
gauseana (con Xi teniendo expectacion cero
y desviacion estandar 1 ).
Para el segundo grupo cada
es una PDF
rectangular (con Xi teniendo expectacion
cero y desviacion estandar 1 ).
El tercer grupo es igual al segundo excepto que
la PDF para
tiene una desviación
estandar de 10 .
9.2.2 Xi Normalmente Distribuidas
9.2.2.1 Asigne una PDF gauseana a cada Xi .
Los mejores estimados de los Xi son xi = 0 para
i= 1,2,3,4 con incertidumbres asociadas u(xi)=1
9.2.2.2 Los resultados obtenidos se resumen en
las primeras cinco columnas de la Tabla 2 con
los resultados reportados con 3 dígitos
significativos para facilitar su comparación.
9.2.2.3 La ley de propagacion de la
Incertidumbre GUM da el estimado y=0,0 de Y ,
con una incertidumbre asociada u(y)= 2,0
usando una tolerancia numerica de dos digitos
decimales significativos para u(y) (δ=0,05) .
El intervalo de cobertura probabilisticamente
simetrico para Y ,basado en un factor de
cobertura de 1,96 es
9.2.2.4 La aplicacion del MCM con M=105
coridas da y=0,0 con u(y)= 2,0 y con un
intervalo de cobertura al 95%
probabilisticamente simetrico para Y de
Se hicieron dos aplicacione adicionales del
MCM con M= 106 corridas las cuales
concordaron con estos resultados dentro de la
tolerancia numerica usada.
Estas dos aplicaciones adicionales (con
diferentes muestreos aleatorios en las PDFs) se
hicieron para demostar la variacion en los
resultados obtenidos.
El cuarto y el quinto valor de M (1,23 x 106 y
1,02 x 106 )son los numeros de las corridas para
las dos aplicaciones adaptativas del MCM con
el uso de una tolerancia numerica δ /5 .
La fig. 6 muestra la PDF gauseana para Y
resultante de la GUMF. Muestra tambien una de las
aproximaciones (histograma) de M=106 valores del
modelo para Y constituyendo la representacion
discreta de G.
Los puntos extremos del intervalo de cobertura al
95% probabilisticamente simetrico suministrados
por ambos metodos se muestran en lineas
verticales.
La PDF y la aproximacion son visualmente
indistinguibles asi como los respectivos intervalos
de cobertura.
Esto se esperaba para un numero suficientemente
grande de M ya que todas las condiciones para la
aplicacion del GUMF se cumplen.
Como se espera para una PDF simetrica el intervalo toma
su longitud mas corta cuando se localiza simetricamente
con respceto a su expectacion.
9.2.3 Xi Rectangularmente Distribuidas
9.2.3.1 Asigne una PDF rectangular a cada Xi de
modo que cada Xi tenga una expectacion de cero
y una desviacion estandar de 1.
9.2.3.2 Los resultados obtenidos se resumen en
las primeras cinco columnas de la Tabla 3.
La solucion analitica para los extremos del
intervalo de cobertura al 95% probabilisticamente
simetrico se obtienen como se describe en el
anexo E :
La fig. 8 muestra la contraparte de la figura 6 .
Puede verse algunas modesta diferencias entre las
aproximaciones para las PDFs .
El GUMF provee exactamente la misma PDF para Y
cuando las Xi son gauseanas o rectangulares , ya
que las expectaciones de estas magnitudes son
identicas asi como sus desviaciones estandar .
La PDF del MCM toma valores menores que los del
GUMF en la vecindad de la expectación y en menor
intensidad hacia las colas .
Toma valores ligeramente mayores en los flancos.
Los extremos de los intervalos de cobertura
suministrados son otra vez visualmente
indistinguibles
9.2.3.4 El intervalo de cobertura al 95%
probabilisticamente simetrico determinado en el
GUMF es en este caso ligeramente mas
conservador que el obtenido analiticamente.
9.2.4 Xi Rectangularmente Distribuidas con
diferentes anchos
9.2.4.1 Considere el ejemplo de 9.2.3 excepto que
X4 tiene una desviacion estandar de 10 en vez de 1.
La tabla 4 contiene los resultados obtenidos .
Los numeros M tomados segun el metodo
adaptativo son mucho mas pequeños
que los que fueron para los dos casos previos de
este ejemplo.
La principal razon es que ahora δ=0,5 la tolerancia
numerica requerida ,como antes, dos digitos
decimales significativos para u(y) es diez veces el
valor previo.
Si los valores previos fueran usados M deberia
estar en el orden de 100 veces mayor.
9.2.4.3 La fig. 9 muestra los extremos del intervalo
de cobertura al 95% probabilisticamente simetrico
para Y obtenido de estas aproximaciones.
Las lineas verticales internas indican los extremos
de dicho intervalo determinado por el MCM.
Las lineas verticales externas indican los
extremos de dicho intervalo determinado por el
GUMF con un factor de cobertura k=1,96 .
9.2.4.5 El intervalo de cobertura al 95%
probabilisticamente simetrico determinado en el
GUMF es en este caso mas conservador que el
obtenido usando el MCM.
ANEXO C
MUESTREO DE DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Se puede obtener un resultado aleatorio de
cualquier función de distribución continua,
estrictamente creciente, univariada
a partir de un resultado aleatorio de una
distribucion rectangular :
La tabla C1 define aspectos relevantes para el
funcionamiento de un pseudo generador de
numeros aleatorios a partir de la distribucon
rectangular R(0,1) especificando los parametros
de netarda , entard –salida y salida con su
determinación
Un pseudo numero aleatorio x obtenido a partir de
R(0,1) es dado por :
x= a+ (b-a) z
donde z es el pseudo numero aleatorio obtenido de
R(0,1)
C.3.2 TEST DE ALEATORIEDAD
Cualquier pseudo generador de numeros aleatorios
debe:
C.3.3 Procedimiento para generar pseudonumeros
aleatorios a partir de una distribucion rectangular
C.3.3.1 El generador Wichmann-Hill ampliado es
una combinacion de generadores congruenciales.
Este nuevo generador combina 4 de estos
generadores y tiene un periodo de 2 121 que es
aceptable para cualquier aplicacion concebible .
La Tabla C.2 define este generador Wichmann-Hill
ampliado a partir de una distribucion R(0,1).
En la hoja Excel adjunta se muestra un ejemplo de
la aplicacion del uso de este Generador WichmannHill ampliado .
GRACIAS POR SU ATENCION !