Análisis histórico de los fundamentos lógicos de la Matemática para

“ Análisis histórico de los fundamentos lógicos de la Matemática para la clase de Bachillerato“ –
Mª Remedios Macías Hernández – ISSN: 1989-9041, Autodidacta ©
ANÁLISIS HISTÓRICO DE LOS FUNDAMENTOS
LÓGICOS DE LA MATEMÁTICA PARA
LA CLASE DE BACHILLERATO
Mª Remedios Macías Hernández
Licenciada en Matemáticas y en
Ciencias y Técnicas Estadísticas
INTRODUCCIÓN.
La Matemática, como todas las ciencias, ha pasado en su largo desarrollo por
numerosas crisis, las cuales ha podido superar felizmente, resurgiendo de cada una de
ellas más sólida y pujante, y mostrando en su acervo metodológico nuevos y más
refinados instrumentos de investigación.
Estas crisis a que aludimos han seguido invariablemente, como inevitable secuela,
a las innovaciones más radicales experimentadas por la Matemática en el curso de su
historia. Una de las más importantes, merecedora de ser siquiera mencionada aquí, fue la
gran crisis epistemológica que siguió a la creación de la Geometría analítica por Renato
Descartes, hacia 1637, y del Cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz (hacia fines del
siglo XVII) y que prolongándose durante todo el siglo XVIII, sólo vino a ser superada en el
pasado siglo por obra de Cauchy, Weierstrass, Dedekind y otros, al lograr estos
matemáticos establecer, por primera vez, con claridad y precisión, los conceptos de
número real, de límite, de infinitesimal, de continuidad, de convergencia... Los
matemáticos del siglo XVIII, ocupados en desarrollar las consecuencias del nuevo cálculo
y sus múltiples e importantes aplicaciones a la Geometría, a la Mecánica, a la Física y a la
Astronomía, casi no se preocuparon por sus fundamentos y una densa niebla metafísica
invadió sus concepciones básicas.
A finales del siglo XIX, un grupo de importantes matemáticos alemanes, franceses,
americanos, etc. estuvo inmerso en una discusión a fondo sobre los fundamentos de las
matemáticas. Se trataba de eliminar una serie de paradojas que habían surgido en Teoría
de Conjuntos (a partir de ahora, TC), explicar la aparición de ciertas geometrías “no
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euclídeas” y ciertas “curvas monstruosas” que llenan un cuadrado, etc.; pero también se
discutió sobre lo que es o no aceptable en matemáticas.
Existe el mito de que la matemática es una ciencia exacta y más precisamente, que
se distingue del resto de las ciencias por expresar “verdades absolutas” (signifique esto lo
que signifique). Gozamos, pues, de este privilegiado prestigio de pureza. Sin embargo,
hemos pasado (como el resto de ciencias) por nuestras propias “crısis”. Detallo algunos
ejemplos bien conocidos:
Aparición de números irracionales.
Creación de Geometrías No-Euclídeas y Geometrías Fractales.
Crisis de los fundamentos asociada al desarrollo de la teoría de conjuntos.
En los ejemplos mencionados hay dos tipos de “crisis” bien diferenciados. De una
parte, están aquellas que, como en el caso del descubrimiento de los números
irracionales o de la necesidad de introducir el rigor en numerosas partes del Cálculo
Infinitesimal, se pueden resolver completamente mediante la introducción de nuevos
conceptos matemáticos o, simplemente, mediante una revisión cuidadosa de lo que se
conocía en la época.
De otra parte, están las crisis que deben su origen a la aparición de paradojas
lógicas y semánticas, y cuya solución, en algunos casos, aún no es completa. En
particular, podemos destacar en este punto la crisis debida a la aparición de paradojas en
el seno de la teoría de conjuntos.
1-. LAS PARADOJAS.
1.1-. Conjeturas.
Las matemáticas ofrecen un conocimiento seguro basado en el razonamiento
deductivo. Para probar un resultado en matemáticas es válido no basta con probar que se
cumple para unos serie de casos particulares, aunque estos casos sean numerosos.
Las conjeturas son juicios que se forman de una cosa por señales o indicios que se
tienen de ellas. En matemáticas formulamos en ocasiones enunciados de forma
conjetural, es decir, proponemos resultados que nos parecen verdaderos porque se
cumplen en muchas ocasiones. Algunas veces los resultados formulados resultan ser
ciertos, pero, en otras ocasiones, concluimos que son falsos.
A lo largo de la historia de las matemáticas se han formulado muchas conjeturas,
voy a destacar unas pocas conjeturas numéricas debido a que vamos estudiar una
conjetura partiendo de la observación de la sucesión de los números impares.
a) Conjetura de A. De Polignac (1817-90): Todo número impar se puede poner como
suma de una potencia de dos y un número primo 5= 4+1,
7=4+3,
9=4+5,
11=8+3, 13=8+3 15=8+7 .....
b) Conjetura de Christian Goldbach (1690-1764) Fue mencionada por primera vez en
una carta de Christian Goldbach, profesor de matemática de San Petersburgo y tutor del
zar Pedro II de Rusia, a Euler en 1742. La conjetura afirma que cualquier número par y
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mayor que 2 se puede expresar como suma de dos números primos 4 =3+1, 8= 5+3, 10
=3+7, 18 = 13 +5, 36 =31+5 50 = 3 + 47 …
c) Conjeturas para fórmulas polinómicas generadoras de números primos: El
polinomio 2x2 + 29 produce números primos para valores enteros de x comprendidos
entre 0 y 28. El polinomio x2 + x + 41 de Euler podía transformarse en y2 - 79y + 1601, con
el cambio de variable x = y - 40 y podía dar números primos para ochenta números
consecutivos.
d) Conjetura de Pierre Fermat: No es posible descomponer un cubo en suma de dos
cubos, ni una cuarta potencia en suma de dos cuartas potencias, ni en general ninguna
potencia de exponente de exponente mayor que dos en suma de dos potencias del
mismo exponente. Equivalentemente, no existen enteros no nulos a, b, c tales que
satisfagan la ecuación a n + b n = c n , para cualquier n mayor que 2.
1.2-. Concepto de “paradoja”.
El término paradoja viene del griego (para y doxos) y significa "más allá de lo creíble". En
la actualidad la palabra "paradoja" tiene numerosos significados:
1) Afirmación que parece falsa, aunque en realidad es verdadera.
2) Afirmación que parece verdadera, pero en realidad es falsa.
3) Cadena de razonamientos aparentemente impecables, que conducen sin
embargo a contradicciones lógicas. (Las paradojas de esta clase suelen llamarse
falacias.)
4) Declaración cuya veracidad o falsedad es indecible.
La paradoja antigua más famosa es la paradoja de Epiménides: el filósofo cretense
Epiménides (s. IV a.C.) afirmó que “los cretenses siempre mienten”; pero como él era
cretense, también mentía, y así la frase es falsa. Por otra parte, la frase no puede ser
falsa, pues entonces se deduciría que los cretenses son veraces y que Epiménides dice la
verdad.
Después del descubrimiento de las geometrías no euclídeas, ningún hecho ha
influido de forma tan importante en el desarrollo de los fundamentos de la Matemática
como la aparición de las paradojas, pues estimularon los esfuerzos de los matemáticos
para que las explicaran y superaran.
1.2.1-. Paradojas lógicas.
a-. La paradoja de Cantor.
Entre las primeras, cronológicamente hablando, tenemos la
paradoja de Cantor (1895), creador de la teoría de conjuntos. En su obra
“Teoría de Conjuntos”, presenta como idea más novedosa la existencia de
diferentes “infinitos”, a través del concepto de “cardinal”: demostrando que
el cardinal de R es mayor que el de N, apareciendo el concepto de infinito
no numerable.
La paradoja de Cantor aparece cuando se trata la imposibilidad de considerar el
cardinal del conjunto de todos los conjuntos. Sea U el conjunto universal, es decir, el
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conjunto formado por todos los conjuntos. Sea P(U) el conjunto de las partes de U, o lo
que es lo mismo, el conjunto formado por todos los subconjuntos de U. El teorema de
Cantor dice que el cardinal de un conjunto es menor que el cardinal del conjunto formado
por todos los subconjuntos de dicho conjunto. Es decir
|U| < |P(U)| (1)
Pero como P(U) es un conjunto se debe verificar que P(U) U, verificándose que |P(U)| |U| (2)
Y aquí nos encontramos con la paradoja, ya que no puede suceder de forma
simultánea (1) y (2). En 1897, Burali-Forti (que era asistente de Peano), descubrió una
paradoja análoga a la de Cantor, pero esta vez relativa a los números ordinales.
b-. La paradoja de Russell (Antinomia de Russell).
En 1902 Russell escribía una carta a Frege en la que argumentaba lo siguiente:
Existen clases (i.e., extensiones de conceptos) que no se pertenecen a sı mismas (e.g., la
clase de los animales de granja no es un animal de granja) y otras que sı (e.g., la clase de
los conceptos abstractos es un concepto abstracto).
Probablemente esta es la paradoja más conocida, y que ha dado lugar a numerosas
variantes. Para que se pueda entender la paradoja, tengamos en cuenta que existen
clases o conjuntos que pueden pertenecer a sí mismos. Por ejemplo, el conjunto de todos
los conjuntos debe ser un elemento de sí mismo, al ser otro conjunto. De forma análoga,
podemos indicar que si colocamos en un armario un catálogo de tapas azules que
cataloga todos los libros de tapas azules, deberá catalogarse a sí mismo. La paradoja es
la siguiente:
Sea W el conjunto de todos los conjuntos C que no se pertenecen a sí mismos.
entonces tendremos que: CW CC. Pero entonces WW lo cual significa que WW.
Recíprocamente, si WW, ha de verificarse que WW. En cualquier caso, ha de
verificarse de forma simultánea que W pertenece y no pertenece a W. Para entendernos,
expondremos la “paradoja del barbero”: el barbero de Sevilla afeita a todas y sólo a
aquellas personas de Sevilla que no se afeitan a sí mismas; la paradoja surge al averiguar
si el barbero se afeita a sí mismo o no.
1.2.2 -. Paradojas semánticas.
a-. Paradoja de Richard.
La paradoja de Richard (1905) se refiere a la imposibilidad de una enumeración de
las funciones de la teoría de números, a pesar de la aparente posibilidad de llevarlo a
cabo.
Se consideran las funciones f tales que a todo número natural n se le hace
corresponder un número natural f(n). Supongamos que para escribir correctamente en
castellano sean necesarios y suficientes 35 signos (entre letras, acento, espaciado y
demás símbolos de puntuación). Entonces, una expresión con m signos no es más que
una combinación con repetición de los 35 signos. Es claro que todas estas expresiones
(con una cantidad finita de signos) se pueden ordenar, comenzando con los formados por
un solo signo, después los de dos, y así sucesivamente, siguiendo el orden lexicográfico.
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Una vez ordenadas todas las expresiones en correcto castellano hacemos una lista,
es decir, numeramos (manteniendo el orden) con E1, E2, ... todas aquellas que definan
una función en la teoría de números y suprimimos todas las demás expresiones.
Llamemos fk(n) la función definida por la expresión Ek. Dado que la sucesión E1,
E2, ... es infinita, la correspondiente a funciones f1(n), f2(n), ... también lo es.
Consideremos ahora la siguiente expresión de Richard:
“La función que para todo número natural toma, aumentando en una unidad,
el valor que para ese mismo número natural toma la función que ocupa en la
lista el lugar indicado por este mismo número natural”
Es claro que esta expresión es equivalente a la expresión matemática: “La función
que para todo número natural n toma el valor fn(n)+1”
Ahora bien, la expresión de Richard define una función y, por tanto, ocupa un lugar
en la lista. Sea la expresión Ep y sea fp(n) la función correspondiente. Entonces en virtud
de la misma definición, resulta que para todo n, fp(n) = fn(n)+1, lo cual es imposible, pues
para n=p tendría que ser fp(p)=fp(p)+1.
Ejemplo: supongamos que cualquier número natural puede definirse de varias formas
utilizando un cierto número de letras. Podemos clasificar ahora todos los números
naturales en dos grupos, el primero de los cuales estará formado por aquellos números
naturales que puedan definirse con 100 letras o menos, y el segundo los que necesiten
101 letras o más. Por ejemplo: 4 es del primer grupo, pues “cuatro” tienes 6 letras.
Es evidente que solo hay un número finito de naturales que puedan definirse con sólo 100
letras o menos, ya que hay exactamente 27100+2799+…+27 expresiones con 100 letras o
menos (variaciones). Si definimos n= “menor natural del segundo grupo que no se puede
definir con 100 letras o menos” expresión que tiene 58 letras, tenemos la paradoja: el
menor natural n definible con 100 letras o menos se puede definir con 58 letras!.
b-. Paradoja de Berry.
Hay otras paradojas. Una de las mas conocidas (y curiosas) se debe a Berry (un
amigo de Russell, que era bibliotecario y aficionado a la lógica). Dice lo siguiente:
Consideremos el conjunto A de los números naturales que no pueden definirse (en
español) utilizando menos de cien palabras. (Este conjunto es no vacío porque el número
de posibles definiciones en español que poseen menos de 100 palabras, es finito).
Sea n el mínimo de dicho conjunto. Entonces n es “el menor número natural que no
puede definirse (en español) utilizando menos de cien palabras” y, como lo hemos
definido con menos de 100 palabras,
ordenado.
, pero esto contradice que N está bien
Esta paradoja es interesante porque su formulación no requiere (a primera vista)
una alusión directa a conjuntos demasiado grandes... ya que se basa completamente en
la aritmética clásica.
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Russell propuso una teoría para evitar las paradojas
anteriores: la teoría de los tipos. Se trata de un argumento un
tanto enrevesado, que permite clasificar los diferentes conjuntos
que se puedan definir en términos de “tipos”, de manera que se
eviten definiciones que den lugar a círculos viciosos (las
definiciones circulares tienen como efecto aumentar “el tipo” de
los conjuntos que definen).... Pero a pesar de que, con la ayuda
de Whitehead, Russell desarrollo su teoría bastante en sus
famosa obra “Principia Mathematica”, ésta siempre despertó
cierta desconfianza en la comunidad matemática. La verdadera
“solución” al problema de las paradojas ha sido la creación de
las diferentes Teorías axiomáticas de conjuntos, desarrolladas a
principios del S. XX por Zermelo, Fraenkel, y luego por
Neumann y Gödel.
2-. ESCUELAS DE PENSAMIENTO MÁS INFLUYENTES.
La aparición de las paradojas tuvo como consecuencia una nueva revisión de los
fundamentos de la matemática, y se llegó a la conclusión de que el camino mas firme
para avanzar en matemáticas pasaba por el establecimiento de una axiomática. En Teoría
de Conjuntos, paradojas como la de B. Russell obligan a utilizar dos caminos:
1) Hay que fijar condiciones sobre que propiedades son admisibles para
“determinar” conjuntos.
2) Ensayar, como ocurre en las teorías axiomáticas de conjuntos, la creación de un
sistema de principios a través de los cuales la noción primitiva de conjunto sea en
cierta forma “iluminada” (“definida implícitamente”, como se dice en ocasiones).
Este segundo camino conlleva la obligación de dar una prueba de consistencia del
sistema axiomático en cuestión. Dos de tales sistemas son cultivados hoy día
preferentemente: Zermelo-Fraenkel (abreviado, ZF) y Von Neumann-Bernays-Gödel
(abreviado, NBG). Para ninguno de los dos ha sido dada una prueba tal de consistencia.
Todo lo más que puede decirse es que en ellos no ocurren las paradojas de tipo ruselliano
por evitarse en ellos la posibilidad de afirmar como existentes los conjuntos
omnicomprehensivos (el conjunto de todos los conjuntos que ...). Pero ello no significa
que tales sistemas se hayan librado en general de paradojas. Esta vía es la fundamental
seguida por la escuela Logicista.
Por otra parte, D. Hilbert (que en 1899 había publicado una axiomática completa
para la Geometría Euclídea, mucho mas sólida que la ofrecida por Euclides en la antigua
Grecia), desarrolló los conceptos necesarios para el estudio de las propiedades formales
de las axiomáticas: es lo que entonces se llamo “teoría de la prueba” y actualmente
conocemos como “metamatemática”. Siendo el principal representante de la escuela
Formalista.
2.1-. El Logicismo.
El Logicismo es una doctrina sobre los fundamentos de la matemática que
considera la lógica como anterior o más fundamental que la matemática, y efectúa la
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reducción de los conceptos y métodos de inferencia matemática a los correspondientes
de la lógica, concluyendo que la matemática no es más que una rama de la lógica, sin
duda extensa y con vida propia, pero cuyo método se identifica con el propio método de la
lógica.
El primero en desarrollarla con considerable extensión y con todo
rigor fue G. Frege (1848-1925), en su obra “La fundamentación de la
Aritmética” (1884), en la que construye toda la aritmética en términos
puramente lógicos. Frege introduce los números naturales en términos
puramente lógicos: el “0” corresponde al concepto “no idéntico a sí
mismo” (a≠a); el “1” es el número correspondiente al concepto “idéntico
a cero” (1={0}); el “2” es el número correspondiente al concepto “idéntico
a cero o a uno” (2 ={0,1}), etc.
En esta obra Frege hace frecuente uso de la noción de conjunto
de todos los conjuntos, lo que le conduce a un completo fiasco en sus propósitos, debido
a la aparición de la paradoja de Russell. Esta paradoja estaba enraizada directamente en
la suposición por parte de Frege de que dado un concepto (o propiedad), éste delimita
perfectamente un conjunto, que es llamado su extensión y que consta precisamente de
los objeto que poseen dicha propiedad. Al final de su vida, Frege –representante del
logicismo- escribía:
“Me he visto obligado a abandonar la idea de que la aritmética sea una rama
de la lógica y por tanto que todo pueda ser demostrado lógicamente.”
Con mayor extensión aun, lo hizo J. Peano (1858-1932), y finalmente también
Whitehead (1861-1947) y B. Russell (1872-1970): en su importante obra Principia
Mathematica (1910-1913), escrita en colaboración con Whitehead, trata de probar que la
Matemática es reducible a un pequeño número de conceptos y de
principios lógicos fundamentales. Según estos autores: “Toda
matemática pura trata exclusivamente de conceptos definibles en
términos de un número muy reducido de conceptos
fundamentalmente lógicos, tales que todas sus proposiciones son
deducibles de un número muy reducido de principios lógicos”.
B. Russell.
2.1.1-. El principio de círculo vicioso.
Un somero examen de las paradojas nos sugiere inmediatamente que no se ha de
poder permitir utilizar, por lo menos en matemáticas y lógica, conjuntos tan grandes y con
elementos tan arbitrarios como los conjuntos U y W de Cantor y Russell, que sin embargo
satisfacen las precisas condiciones de conjuntos, que estableció Cantor. Sin duda alguna,
el análisis del concepto de conjunto, de sus estrictas y justas limitaciones para su empleo
en lógica y matemáticas parece ser un problema más difícil que el de evitar las paradojas.
Poincaré y Russell vieron que en todas las paradojas hay una especie de círculo vicioso
en cuanto que, en todas ellas, hay una definición que contiene lo definido.
Para evitar las antinomias Russell propone el llamado principio del círculo vicioso,
que expresa así: «Aquello que presupone la totalidad de un conjunto no debe formar parte
del conjunto», el cual tiene el inconveniente de que obliga a prescindir de algunos
conceptos matemáticos sumamente útiles, como el de extremo superior de un conjunto
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(cuya definición exige la consideración de todos los elementos del conjunto). Lo que, en la
lógica, se diría: “una función lógica no puede tener, como uno de sus argumentos, nada
que esté definido en términos de la función misma”.
Para atenuar el alcance del principio del círculo vicioso, Russell introduce el
llamado principio de reducibilidad, que ha sido muy combatido por su carácter artificial.
2.1.2-. La reducción de los términos matemáticos en términos lógicos.
Los logicistas, en su afán de aislar los
elementos lógicos del razonamiento, crearon la
lógica simbólica. Mediante un simbolismo especial
se traduce el discurso en fórmulas análogas a las
matemáticas, las cuales ponen de relieve las
estructuras lógicas.
Los símbolos más importantes, de frecuente
uso hoy día aún en libros no especializados de
lógica matemática, son los siguientes:
Como se indica precedentemente, en la obra “Principia Matemática” de Russell y
Whitehead, se establece un sistema axiomático formalizado de la lógica bivalente,
constituido por un conjunto de axiomas, definiciones, reglas y teoremas. Sin restar la
importancia de precisar, previamente, el lenguaje apropiado y característico del sistema.
Las entidades primitivas en las que termina la reducción lógica son en primer lugar
las del cálculo proposicional, es decir:
“Proposición”: cualquier sentencia que afirma un estado de cosas o una relación, y
que tiene el valor de “verdadero” o “falso”.
“Función proposicional”: expresión que contiene, al menos, una variable, de modo
que al sustituirla por un valor se obtiene un proposición.
“Conectivas lógicas” de conjunciónp ∨ p, disyunción ∧ , negación ¬ p e implicación
→ y variables proposicionales; luego los cuantificadores y las variables del cálculo
funcional, es decir, propiedades y relaciones con sus argumentos y finalmente la
relación de igualdad.
Axiomas del sistema:
1.
2.
3.
4.
( p ∨ p) → p
q → ( p ∨ q)
( p ∨ p ) → (q ∨ p )
[(q → r )] → [( p ∨ q ) → ( p ∨ r )]
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Definiciones del sistema:
1.
2.
3.
p → q = ¬p ∨ q
( p ∧ q ) = ¬(¬p ∨ ¬q )
p ↔ q = [( p → q ) ∧ (q → p )]
Reglas del Sistema:
A-. Regla de estructura de expresiones bien formadas
1. p es una expresión bien formada
2. Si p es una expresión bien formada entonces ¬ p es una expresión bien
formada
3. Si p, q,..., son expresiones bien formadas entonces p ∨ q es una
expresión bien formada
4. Si p, q,.., son expresiones bien formadas entonces p ∧ q es una expresión
bien formada
5. Si p, q,..., son expresiones bien formadas entonces p → q es una
expresión bien formada
6. Si p, q,..., son expresiones bien formadas entonces p ↔ q es una
expresión bien formada
B-. Regla de sustitución
Si p es una variable, que aparece en una expresión bien formada, p puede
sustituirse, toda vez que aparece p en la expresión, por una expresión bien formada en
toda y cada aparición de p.
C-. Regla de derivación
i-. Modus ponens (lógica clásica). Esta se esquematiza de la manera siguiente:
Si p → q es una expresión que representa un enunciado válido y además se
tiene que p es un enunciado válido entonces q es un enunciado válido.
También suele utilizarse la siguiente regla esquemática y que es
derivable de la anterior: Si p → q es una expresión que representa un enunciado
válido y además se tiene que ¬ q es un enunciado válido entonces ¬ p es un
enunciado válido.
ii-. Modus Tollendo Tollens. (lógica clásica).
Una manera de presentar el modus tollens es:
Los autores de Principia pretenden logificar todos los teoremas matemáticas en el
sentido de reducirlos a proposiciones lógicas verdaderas, formadas exclusivamente por
símbolos primitivos lógicos y por otros signos definidos explícitamente, los cuales a su vez
pueden ser sustituidas por otras y así sucesivamente hasta poder conseguir que las
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proposiciones lógicas equivalentes a los teoremas matemáticos contenga solamente los
símbolos lógicos primitivos.
Es precisamente en el cálculo de funciones proposicionales en donde Russell
introduce su discutido axioma de reducibilidad; en su Introducción de 1918 así lo formula:
“Existe un tipo de funciones “-a” tal que, dada cualquier función “a”, ella es formalmente
equivalente a una función del tipo en cuestión”.
Para sortear la paradoja, Russell y Whitehead eligen la “teoría (simple o
ramificada) de los tipos” creando una jerarquía acumulativa, en cuya base se
encuentran los individuos, en el segundo nivel los conjuntos, en el tercero los conjuntos
de conjuntos, etc. Mediante este artilugio pueden establecerse predicados que se
cumplan, pero sólo para objetos dentro de un mismo nivel jerárquico, evitando así las
contradicciones. En definitiva, lo que hacen Russell y Whitehead es definir lógicamente
los números como clases de clases y, de esta manera, pueden reducir todas las
proposiciones numéricas a cuantificadores e identidad.
Habiendo separado las funciones proposicionales en tipos de acuerdo con los
valores permisibles de x, se postula ahora que cada función proposicional en cualquiera
de los tipos mencionados es equivalente a alguna función proposicional de un tipo inferior.
El mejor argumento en favor del axioma de reducibilidad es el haberse logrado evitar con
él las antinomias. Aquí es claro que no se trata de un axioma lógico, pero “podría muy
bien ser expresado como una hipótesis cada vez que se lo emplea, en lugar de admitirlo
como realmente verdadero”.
Por sus numerosas críticas, el axioma de reducibilidad fue abandonado
posteriormente por Russell y Whitehead. El sistema lógico de los Principios ha sufrido
modificaciones varias en los últimos años, sin que se haya logrado establecer su
consistencia, la cual muchos consideran improbable.
2.2-. El Formalismo.
La doctrina Formalista trata esencialmente de conseguir una completa
formalización de la matemática (en particular, de la TC o de la Aritmética), de manera
que, al unir al cálculo lógico una correcta interpretación formal de los axiomas de una
teoría matemática concreta, podríamos formalizar completamente cualquier afirmación de
dicha teor´ıa (en particular, cualquier demostración) como una ristra finita de fórmulas
abstractas, cuyos símbolos, aislados y sin interpretación, carecen de significado por sí
mismos.
La conocida intervención de David Hilbert (1862-1943) en el
Congreso Internacional de París de 1900, en la que planteó los 23
problemas matemáticos a resolver durante el siglo XX, iba mucho más
allá de la mera relación de dichos problemas. La convicción claramente
expresada por Hilbert de que todo problema ha de tener su solución
basada en la pura razón: "En las matemáticas no existe el ignorabimus".
Hilbert no se propone demostrar que la Matemática sea verdadera, sino
consistente. De haber triunfado el “programa de Hilbert” la Matemática y la Lógica
habrían quedado como disciplinas autónomas, independientes de la Filosofía. Este ideal
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parece hoy inasequible, debido a los trabajos recientes de K. Gödel acerca de los cuales
trataremos más adelante.
Hilbert era platónico, al considerar el ente matemático como existente en sí, como
una idea que existe aparte de lo real, independiente de los procesos a partir de los cuales
se conoce (por el contra, el resto de escuelas de pensamiento son de corte totalmente
empirista). Para él, la Lógica es simplemente una herramienta al servicio de la
Matemática. Llevó a cabo la fundamentación de la geometría euclídea en su obra
“Fundamentos de la Geometría”, especificando claramente su axiomatización, y
haciendo patente su consistencia relativa respecto de la aritmética y el análisis. En esta
obra establece los axiomas a partir de los cuales podía desarrollarse, mediante pura
deducción, toda la disciplina en todas sus variantes, tanto euclídeas como no euclídeas.
Mediante este ideal axiomático podía construir un raciocinio sobre objetos que no
necesitaba definir; al contrario de Euclides que había precisado de una definición
(intuitiva) de los objetos básicos (punto, línea, plano, etc.). El hecho de prescindir de las
definiciones de los objetos básicos, hace que se le haya reprochado la reducción de
las matemáticas al estudio de las simples relaciones entre objetos abstractos: un puro
juego con símbolos. La combinación del ideal axiomático con la convicción de que todo
problema debe tener solución, conducirá en los años sucesivos a la idea de completad del
sistema axiomático. En los primeros años del siglo XX, esta idea es todavía vaga, pero
está claro que Hilbert considera que desde un reducido grupo de axiomas pueden
derivarse la totalidad de los teoremas aceptados en las matemáticas ordinarias. También
está presente la idea de simplicidad: el conjunto de axiomas ha de ser lo más reducido
posible y deben ser independientes unos de otros.
Todas las dificultades en los fundamentos de la matemática nacen del hecho de
que en las matemáticas a menudo se hace uso del infinito actual, es decir, que se
suponen como existentes y manejables conjuntos que contienen infinitos elementos. No
obstante, en la deducción de los teoremas matemáticos si bien es verdad que se maneja
el infinito el número de pasos lógicos que se realizan en cualquier demostración de
cualquier teorema es necesariamente finito.
2.2.1. El programa de Hilbert. Elaboración del sistema formal.
La idea fundamental de Hilbert al crear la teoría formalista para la fundamentación
de la matemática consiste en el concepto de “sistema formal”, es decir, el
establecimiento de un conjunto de teoremas engendrados mediante reglas precisas y
objetivas dando leyes constructivas y/o deductivas. Cada uno de estos sistemas contará
con sus propios conceptos primitivos, axiomas, reglas deductivas, teoremas, etc.
Luego, mediante el establecimiento de un criterio, a saber, la consistencia del
sistema formal, se establecerá a través de razonamientos finitos y, por tanto, fuera de
toda duda, la validez del contenido de todos los teoremas matemáticos. Hilbert y la
escuela formalista pretendían crear un nuevo orden matemático para alcanzar dos
objetivos:
1-. Que la reglamentación de los métodos usados sea tan rígida que evite toda
discusión.
2-. Que no se tropiece con contradicciones ni paradojas.
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En un sistema axiomático formal los elementos primitivos (símbolos o términos)
carecen en absoluto de contenido esencial explícito y son las piezas de un puro juego sin
sentido material en sí mismo, cuyo manejo o único sentido formal viene definido
implícitamente por las reglas del juego constituidas por los axiomas y las reglas de
inferencia. Por tanto, en un sistema formal tendremos términos, fórmulas,
demostraciones, teoremas que son diversas combinaciones de los elementos primitivos
de acuerdo con ciertas reglas fijas, pero carece de sentido hablar de verdad o falsedad.
En la elaboración de un sistema formal en orden a demostrar la validez de los
métodos matemáticos clásicos, podemos distinguir tres etapas que podemos caracterizar
con estas tres palabras: axiomas, fórmulas y teoremas del sistema. El método de
Hilbert, llamado formalismo, comprende esencialmente los siguientes puntos:
1) Axiomatización. Las propiedades primeras no se demuestran sino se postulan y
este sistema de axiomas o postulados proporciona al mismo tiempo una definición
indirecta de los conceptos primarios que intervienen en ellos. Los axiomas tienen un
carácter puramente arbitrario o convencional (como las reglas del ajedrez), estando
sujetos únicamente a una condición esencial: su consistencia o compatibilidad (es
decir, no deben ser contradictorios).
Hay que determinar en primer lugar cuales son los símbolos a emplear. Podrán
ser de diversas clases: símbolos que representan variables o constantes, funciones y
predicados que corresponden a entidades matemáticas y luego símbolos que
correspondan a las conexiones lógicas del discurso matemático y a los
cuantificadores. Con estos símbolos formales se podrán formar sucesiones finitas
que llamaremos expresiones formales.
2) Formulación. Los axiomas se expresan mediante el lenguaje simbólico, con
objeto de desarrollar la teoría con los métodos de la lógica matemática, métodos que
permiten asegurar que en estas deducciones no se apela a recursos extraños al
sistema.
Las fórmulas constituyen una parte de las expresiones formales. Son aquellas
en las que la sucesión de símbolos guarda ciertas reglas. Pero dichas fórmulas no
siempre serán expresiones verdaderas (Ej.: = + + =).
3) Demostración de la compatibilidad de los axiomas. Esta es la cuestión
fundamental en el formalismo, la cual permite decidir si el sistema construido es
legítimo o si carece de sentido.
Para resolver el problema de la compatibilidad crea Hilbert la Metamatemática
o doctrina destinada a establecer la compatibilidad de la Matemática mediante un
limitado número de proposiciones. Evidentemente sería ilegítimo intentar establecer
la compatibilidad haciendo uso de toda la Lógica y toda la Matemática, pues se
estaría entonces dando por probada la compatibilidad que se trata de demostrar.
Finalmente, tras especificar los axiomas y reglas de inferencia, obtendremos
sucesiones de fórmulas de modo que cada una sea un axioma o una inferencia
lógica de fórmulas precedentes. A tales sucesiones de fórmulas formales las
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llamaremos demostraciones (formales) de la última fórmula de la sucesión, la cual se
llamará teorema (formal).
Dicho todo lo anterior de manera más exacta, un sistema formal consta de:
Un sistema formal se dice que es consistente si en él no se pueden derivar
(sintácticamente) proposiciones contradictorias. El sistema se dice coherente si las
consecuencias sintácticas de éste son tanbien consecuencias semánticas. El sistema se
dice adecuado si todas las consecuencias semánticas son a su vez consecuencias
sintácticas (i.e., si todas las verdades son deducibles) Finalmente, el sistema se dice
completo si para cada proposición p de éste se tiene que bien p es deducible o bien
es deducible.
2.2.2-. Teoría de la prueba.
Hilbert admite que el empleo del infinito actual en las matemáticas puede, en efecto,
representar un salto en lo incomprensible y carecer de evidencia y ser la razón primitiva
de la aparición de paradojas. Por consiguiente hay que emplear una teoría de la
demostración que, empleando exclusivamente razonamientos evidentes y, por tanto,
finitarios, demuestre teóricamente que los métodos de las matemáticas conducen a
teoremas verdaderos y son por tanto métodos válidos. Hilbert utilizaba razonamientos
concretos y finitos muy sencillos, sin aplicar principios cuestionables como la reducción al
absurdo, la inducción transfinita o el axioma de elección. Por tanto, las demostraciones
debían ser constructivas.
De este modo, la pieza fundamental de la teoría de la pruebaes la noción de
consistencia de un sistema formal. Supongamos que, en efecto, se ha construido un
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sistema formal, cuyos teoremas formales se corresponden mutuamente con los teoremas
matemáticos de una cierta rama de la matemática. Si los teoremas matemáticos son
verdaderos y tienen un sentido objetivo innegable y el método empleado para obtenerlos
es válido, entonces será necesario que el sistema formal sea consistente. Pues a cada
teorema matemático deberá corresponder uno formal y a la fórmula contradictoria de la
que expresa un teorema tendrá que corresponder una fórmula formalmente
indemostrable, de tal manera que en el sistema formal no sea posible que una fórmula y
su negación sean al mismo tiempo formalmente indemostrable (condición de
consistencia).
Inversamente, Hilbert estima que si se demuestra que un sistema formal es
consistente y en dicho sistema formal son demostrables formalmente las fórmulas que
corresponden a los teoremas de una rama de las matemáticas, ello es suficiente garantía
de que los teoremas de esta rama de la demostración de consistencia del sistema formal
constituye la clave de la fundamentación formalista de las matemáticas.
De lo dicho se desprende el propósito de la teoría de la demostración: demostración
de la absoluta veracidad de las matemáticas. Hoy día hay que admitir que la teoría de la
demostración de Hilbert no ha conseguido sus fines. Ello ha contribuido a quitar
importancia a la propiedad de consistencia de un sistema formal, más a partir de los
resultados de Gödel.
2.3-. El Constructivismo.
El máximo exponente del constructivismo es el matemático Leopold Kronecker
quien, a pesar de haber muerto en el siglo XIX, seguirá manteniendo una notable
in.uencia en los periodos posteriores. Dos son las tesis funda mentales del
constructivismo de Kronecker: la posibilidad de aritmetización estricta de toda la
matemática y la no admisión de definiciones que no permitan decidir lo definido.
Esta segunda tesis le había llevado a rechazar, no solo la teoría de conjuntos de
Cantor, sino también la caracterización del análisis de Weierstrass y la teoría de los
números de Dedekind ya que en ninguno de ambos casos existe un procedimiento para
decidir si un número, construido mediante un conjunto infinito, es o no es irracional. Su
oposición a Cantor tenía la misma base, ya que no aceptaba el principio de inducción
transfinita.1
Pocos matemáticos de su tiempo siguieron las ideas de Kronecker; sin embargo, sus
planteamientos pasaron a una nueva escuela matemática: el intuicionismo que afirmará
que no existen objetos matemáticos si no existen procedimientos para su construcción.
Bien conocida es la frase de Kronecker: "Dios creó los naturales, todo lo demás es obra
del hombre", es decir, los objetos de la aritmética y del álgebra, los números enteros
positivos, son entidades que .existen.; mientras que los objetos del análisis matemático,
los racionales, los irracionales, los imaginarios, los trascendentes, etc. son meros
símbolos.
1
Extensión de la inducción matemática a (grandes) conjuntos bien ordenados, tales como conjuntos de
ordinales o cardinales.
115
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2.4-. El intuicionismo.
Las aspiraciones de los logicistas y formalistas fueron vigorosamente combatidas
por Poincaré, Borel, Lebesgue, Klein, Enriques y otros distinguidos matemáticos de la
escuela intuicionista. Aunque en general la filosofía kantiana no tiene más que interés
histórico en la matemática actual, debe, sin embargo, hacerse remontar a Kant el origen
de la tendencia intuicionista puesto que se admite en ella la subjetividad de los
fundamentos de la Matemática. Aunque ninguno de ellos formulará una filosofía coherente
de las matemáticas, sí que pondrán a debate algunos conceptos básicos, que encon
traremos en la raíz del intuicionismo matemático. En primer lugar la clara distinción entre
lógica y matemáticas (en abierta oposición a Russell): Si las matemáticas están enlazadas
con la realidad, el papel de la lógica se reduce a proporcionar un número ilimitado de
posibilidades entre las que elegir. En segundo lugar la existencia de los objetos
matemáticos: no aceptan que la consistencia sea un requisito suficiente (aunque sí
necesario) de la existencia; no obstante, tampoco definen con claridad cuál debiera ser la
condición de suficiencia
Los intuicionistas afirman que en los comienzos de nuestra ciencia existen ciertas
nociones y proposiciones provenientes de la intuición (intelectual), e irreductibles a la
Lógica. Tales son la intuición de la iteración o aptitud de nuestra mente para concebir la
repetición indefinida de los actos del pensamiento, y el llamado principio de inducción
completa, considerado por Poincaré como un juicio sintético a priori (“La Science et
l’Hypothese”, cap. I), de carácter matemático, no demostrable experimentalmente ni por
procedimientos lógicos.
Otra objeción que ponen los intuicionistas a diversas partes de la matemática, es
que no se dan reglas o criterios constructivos para determinar, en un número finito de
pasos, los objetos que se manejan. Por ejemplo, Poincaré rechazaba los conceptos que
no se pueden definir con un número finito de palabras: con el axioma de elección en la
teoría de conjuntos (“si X es una colección arbitraria de conjuntos {A, B, C…}, no vacíos,
existe un conjunto formado por un elemento tomado de cada uno de los conjuntos A,
B,…”) surgen problemas sobre su validez al considerar X como colección infinita.
Para los intuicionistas, la Matemática es una libre creación del hombre, el cual no
descubre sino crea la Matemática. No se desestima el papel de la Lógica como
legitimadora del razonamiento matemático pero es impotente ella sola para establecer la
compatibilidad de los axiomas fundamentales y para llegar a las generalizaciones y
abstracciones que caracterizan a la Matemática actual.
Brouwer, fundador del Intuicionismo con su obra “Sobre
los fundamentos de las matemáticas” (1907), estableció el principio
de construcción o de constructibilidad, que es el principio básico del
intuicionismo matemático: la matemática es el estudio de un cierto
tipo matemático de construcción mental; no pueden existir
matemáticas, si no han sido construidas intuitivamente. Brouwer
defiende que las matemáticas son una li bre creación mental, desarrollada a partir de una
intuición primordial (la del tiempo) e independiente de la experiencia; cualquier
construcción lógica de las matemáticas conduce a una construcción lingüística que nunca
podrá identificarse con las matemáticas reales.
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El trabajo del intuicionista consiste en desarrollar esa construcción mental,
descubrirla, suscitarla en otras, incluso estructurarla y formalizarla lo mejor posible, pero a
sabiendas de que todo eso no es más que un proceso de aproximación. La construcción
mental matemática no puede ser reducida o fundada en algo matemático anterior, que
sea más radical o primitivo.Partiendo del número entero, Brouwer construye una definición
de continuidad y de conjunto, que le permite interpretar ciertas partes del Análisis clásico
y de las Teorías de Conjuntos de Cantor. Concibe el pensamiento matemático como un
proceso constructivo limitado por la obligación de reconocer con sumo cuidado qué tesis
son aceptables y cuáles no.
Pero lo que ofrece más novedad en la posición filosófica de Brouwer es su ataque a
la Lógica clásica al negar validez universal al principio del tercero excluido (PTE) (tertium
non datur). Según este principio, toda proposición con significado es verdadera o falsa;
Brouwer encontró un contraejemplo al hallar un número real que no es ni positivo, ni
negativo ni nulo (contra la ley de tricotomía):
2.4.1. La lógica intuicionista.
En primer lugar recordemos que la lógica clásica es la lógica de lo verdadero y lo
falso; en ella se impone la alternativa entre lo verdadero y lo que no lo es, o dicho de otro
modo, una proposición es siempre verdadera o falsa. La lógica brouweriana es la lógica
de lo verdadero y lo absurdo, sin que se imponga una alternativa entre una y otra cosa.
En la nueva lógica lo verdadero es lo efectivamente demostrable y lo absurdo es lo
efectivamente reducible a una contradicción. Lo absurdo implica lo falso pero lo falso no
implica necesariamente lo absurdo. De ahí que la ausencia de contradicción en una teoría
no implique su verdad pues, como dice Brouwer utilizando un símil, la imposibilidad de
demostrar la culpabilidad de un acusado no prueba su inocencia.
Si A y B son dos proposiciones, la notación A → B se lee: A implica B, y significa: si
A es verdadera, B es verdadera. Se dice que dos proposiciones son equivalente (A ≡ B)
cuando se implican mutuamente.
A continuación enumeramos los principios fundamentales de la lógica brouweriana:
1. Principio del silogismo. Si A → B y B → C, entonces A → C.
2. Principio de la deducción. Si A es verdadera y A → B, se puede afirmar que B
es verdadera aisladamente.
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3. Principio de contradicción. Una proposición no puede ser verdadera y
absurda. (El enunciado clásico es: una proposición no puede ser verdadera y
falsa).
4. Principio de implicación de lo absurdo. Lo que implica lo absurdo es absurdo.
(El enunciado clásico es: lo que implica lo falso es falso).
Representando por A’ la verdad de una proposición, por à su falsedad y por A* su
absurdidad. El cuarto principio de lógica brouweriana se puede interpretar en la
siguiente forma:
(A → B) → (B* → A**) (γ)
es decir, si A implica B, entonces la absurdidad de B implica la absurdidad
de A.
Como A’ → A** según (α), en virtud de (γ) resulta:
(A’ → A**) → (A*** → A*)
y como la implicación A*** → A* se puede considerar aisladamente (2º
principio) y además A* → A***, se obtiene la siguiente conclusión
interesante: en la lógica brouweriana la absurdidad tercera equivale a la
absurdidad primera.
5. Principio del predicado de la absurdidad. La verdad de una proposición
implica la absurdidad de la absurdidad de esta proposición. (El enunciado clásico
es: la falsedad de la falsedad de una proposición implica la verdad de esta
proposición). Este principio puede expresarse así en lógica brouweriana: A’ → A**
(α)
En la lógica brouweriana no son aceptados los principios siguientes:
1’. Una proposición es verdadera o absurda.
2’. La absurdidad de la absurdidad de una proposición implica la verdad de esta
proposición: A** → A’
3’. Una proposición es absurda, o bien, es absurdo que ella sea absurda.
2.4.2. Comparación con el logicismo.
El logicismo presenta la lógica como fundamento exclusivo de la matemática clásica.
Pero para el intuicionismo, la lógica matemática desarrollada por Frege, Peano y Russell
no es sino una continuación de la de Platón y Aristóteles. Y la reducción lógica de la
matemática llevada a cabo por los logicistas conserva todavía una esencial referencia al
mundo y a un realismo muy elaborado, pero conservando rasgos de ingenuidad. Russell
llegó a escribir:
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“La lógica se ocupa del mundo real tan verdaderamente como la zoología, aunque
de sus rasgos más abstractos y generales”
Por el contrario, el intuicionismo, lejos de reducir la matemática a la lógica, considera
esta como una elaboración posterior. Para la matemática intuicionista, el mundo exterior
no es sino ocasión o aplicación.
2.4.3. Comparación con el Formalismo.
Para los formalistas, la matemática empieza en los símbolos, en el papel. En su
aspecto esencial la matemática se identifica con la ciencia de los sistemas formales: El
formalista desea como definición de la actividad matemática algo claro, bien definido y
bien cortado.
El intuicionista aplica su intuición, elabora con cierta imprecisión y oscuridad la
noción de número natural y luego finalmente empieza su actividad. El intuicionista es
impreciso y oscuro en sus primeras actividades todavía prematemáticas, pero nunca
arbitrario. Busca lo que haya y descubre lo que encuentre en su actividad constructiva.
3-. INDECIBILIDAD. TEOREMAS DE GÖDEL.
Gödel (1906-1978) había dado a conocer poco antes lo que ha
sido calificado como el resultado más decisivo de la lógica matemática
moderna. Gödel demuestra por un procedimiento de carácter
constructivo (es decir, no meramente existencial), que en ciertos
sistemas (más concretamente, en el cálculo restringido de las funciones
proposicionales) hay aserciones que no pueden ser demostradas o
impugnadas.
Utilizando un procedimiento original Gödel construye un teorema verdadero y tal que
una demostración formal del mismo conduce a contradicción. El procedimiento de Gödel
consiste en sustituir los símbolos del cálculo de proposiciones por los símbolos de los
números enteros, resultando así un algoritmo numérico que aplicado a los teoremas de la
Aritmética conduce a un círculo vicioso.
Gödel ha obtenido resultados aun más generales de los cuales resulta la
imposibilidad de demostrar la consistencia en ninguna teoría formal que comprenda la de
los números naturales mediante un procedimiento cualquiera susceptible de ser
expresado en términos de dicha teoría. La conclusión de Gödel, que ha valido a éste una
cita obligada en todos los escritos recientes sobre lógica matemática, invalida el
propósito principal de la obra de Hilbert, de tal modo que la compatibilidad de la
Aritmética está todavía por demostrarse.
Teorema de incompletitud de Gödel. No existe ningún algoritmo cuya salida contenga
todos los enunciados verdaderos de la aritmética y ninguno falso.
Si una teoría formal axiomatizable T, que incluya la Aritmética, es consistente, entonces T
es incompleto (ie, existe una afirmación S tal que ni “S” ni “No S” son teoremas de T. Por
tanto, la proposición P= “o bien S o bien no S” es verdadera pero indemostrable.
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Por tanto, ningún sistema axiomático puede deducir todas las verdades relativas a
la Aritmética, salvo que sea un sistema no coherente.
3.1-. Implicaciones en la Física.
Por su cercanía a las matemáticas, la física, tan cuidadosamente axiomatizada es la
más afectada por el teorema de Gödel. Los físicos han comprendido a la fuerza que sus
mayores limitaciones no serán económicas o tecnológicas, ni siquiera las asociadas a la
capacidad humana. Su mayor limitación radica en que nunca alcanzarán solución a todos
los problemas que puedan plantearse, ya que todo sistema racional de conocimientos es
esencialmente incompleto.
Para entenderlo, consideremos que la física no existe a parte del universo, forma
parte de él y su objeto es modelarlo. El hombre también forma parte del mismo. Dado que
tanto el sistema como sus creadores forman parte del universo, parece evidente pensar
que el universo trata de hacer un modelo de sí mismo. Por tanto, una pequeña parte del
universo (el hombre y su sistema) tratan de modelar una realidad completa (el universo).
Este es un claro ejemplo de autoreferencia, y como tal aparece una paradoja: el modelo
como parte del universo tendría que ser mayor que el universo que pretende
modelar.¿Una parte mayor que el todo?
Junto al teorema de Gödel surgen una serie de teoremas cuya suma establece una
gran limitación sobre el alcance del conocimiento científico. Muere por tanto el ideal, u
objetivo esencial de la ciencia en sí, consistente en establecer un sistema axiomático que
explique los fenómenos de la naturaleza/universales.
Podemos relacionar el teorema de incompletitud con tres de los grandes principios
o leyes fundamentales: la relatividad, la incertidumbre y la indecibilidad, estudiados
por Albert Einstein,Werner Heisenberg y Alan Turing respectivamente. Expliquemos a
grandes rasgos dichos principios:
El principio de relatividad nos explica que no existen puntos de vista
privilegiados para observar la realidad. Posición, tiempo y velocidad son relativos y
según el punto de vista obtenemos resultados diferentes igualmente válidos.
El principio de incertidumbre asevera: Medir implica interactuar y por tanto cierta
alteración. Pero aunque la medida sea ideal, la posición de una partícula es sólo la
probabilidad de obtener una medición, no una cantidad absoluta. Se antoja
imposible por tanto conocer exactamente a la vez dónde está y a qué velocidad se
mueve una partícula.
El principio de indecibilidad: No es posible escribir un programa que decida si
otro programa cualquiera está correctamente escrito (en el sentido de que nunca
quedará colgado). La verificación algorítmica por tanto queda limitada.
Una vez introducidos todos los principios,
¿qué relación podemos encontrar entre ellos?
Todos ellos supusieron el descubrimiento de
diferentes limitaciones que existen en la lógica
formal que empleamos para llegar a las verdades
más profundas, ya sea en física, matemáticas, o
cualquier otra aplicación. Pero éstas no son
limitaciones a la ciencia en sí, sino a la forma en
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que la observamos. No debe ser por tanto fuente de desánimo sino llamada de
atención.
Tanto la relatividad como la incertidumbre se originan en la física, mientras que la
incompletitud y la indecidibilidad aparecen en la matemática. La incertidumbre y la
indecidibilidad, a su vez, tienen que ver con la incapacidad de hacer predicciones,
mientras que la relatividad y la incompletitud con el hecho de que las referencias son
necesarias, pero impiden ciertas operaciones. No quisiera intentar llevar estas relaciones
demasiado lejos: es probable que en el futuro descubramos nuevas limitaciones al
quehacer científico, que completen esta imagen.
Las reglas del juego científico incluyen relatividad, incertidumbre, incompletitud e
indecibilidad. Desde el punto de vista de la ciencia, el entender estas limitaciones nos
puede llevar a nuevos descubrimientos acerca de cómo funciona el universo. Aún a través
de este punto ciego, podemos ver.
BIBLIOGRAFÍA
Alberto Dou. Fundamentos de la Matemática. Edit.: NCL
D. W. Barnes, J.M. Mack. Una introducción algebraica a la lógica matemática, EUNIBAR.
Kline, M. El Pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial.
Madrid.
Kleene, S. introducción a la metamatemática. Ed. Tecnos. Madrid.
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