página 187 - yoquieroaprobar.es

9
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 187
Pág. 1
■ Problemas “+”
55
El dueño de un vivero tiene una plantación de arbolitos, colocados cada uno a
un metro de distancia de los más próximos.
En el punto M hay una arqueta de
riego en la que se conectan dos tuberías enterradas y rectas, AB y CD.
Averigua la longitud del tramo de
tubería AM.
C
A
M
B
D
C G
H
A
M
K
B
Los triángulos AHM y AKB son semejantes.
El triángulo AGB es rectángulo. Por
tanto:
AB = √AG 2 + GB 2 = √92 + 32 ≈ 9,49 m
D
AH = AK 8 7 = 12 8 AM ≈ 5,54 m
AM AB
AM 9,49
56
Observa la primera figura en forma de huevo (compuesta por un semicírculo,
una semielipse y dos circulitos de 1 cm de diámetro), y la segunda figura en forma
de corazón (compuesta por dos semicírculos, una semielipse y dos circulitos de
1 cm de diámetro):
14 cm
10 cm
7 cm
10 cm
Halla los radios, x e y, de los dos semicírculos de la segunda figura para que la superficie del “corazón” sea el 80% de la superficie del “huevo” (con los dos circulitos
incluidos en las dos figuras).
☞ Ten en cuenta que 2x + 2y = 14 cm.
A1.a  = A1/  + A1/   + 2A 
14 cm
10 cm
A1/  = π · 10 · 7 ≈ 109,96 cm2
2
7 cm
2
cm
A1/ 10
= π · 7 ≈ 76,97 cm2
2
A  = π · 0,52 ≈ 0,79 cm2
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
9
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
A1.a  = 109,96 + 76,97 + 2 · 0,79 = 188,51 cm2
Pág. 2
A.a  = A1/  + A1/   + A1/   + 2A 
A1/  ≈ 109,96 cm2
14 cm
7 cm
10 cm
10 cm
A1/   = π · x
2
A1/   =
2
π · y2
2
A  = 0,79 cm2
A.a  = 0,8 · 188,51 ≈ 150,81 cm2
Por tanto, sabemos que:
2
150,81 = 109,96 + π · x +
2
y además sabemos que:
π · y2
+ 2 · 0,79
2
2x + 2y = 14
Resolvemos el sistema y nos queda x = 3, y = 4 o x = 4, y = 3.
Solución: los radios de los dos semicírculos miden 3 cm y 4 cm.
57
Tres amigos deciden compartir una pizza. Uno de ellos, experto geómetra, la
parte siguiendo el procedimiento de la figura, después de haber dividido el diámetro en tres partes iguales. ¿Es equitativo el reparto? Justifícalo.
A
Veamos si las superficies A, B y C son o no iguales.
B
C
Tomamos 3R como radio de la pizza.
S = S = 1 [π(3R)2 – π(2R)2 + πR 2] = 1 π(9R 2 – 4R 2 + R 2) = 3πR 2
2
2
S = 1 [π(2R)2 – πR 2] · 2 = π(4R 2 – R 2) = 3πR 2
2
Los tres reciben la misma cantidad de pizza.
58
Calcula el área de cada uno de los tres triángulos en que se ha
dividido un pentágono regular de 10 cm de lado.
La apotema del pentágono es 0,688 · 10 = 6,88 cm.
R
5
6,88
Radio del pentágono, R = √52 + 6,882 ≈ 8,5 cm
S = 10 · 5 · 6,88 = 172 cm2
2
S ≈ 10 · (6,88 + 8,5) = 76,9 cm2
2
S = S ≈ 172 – 76,9 = 47,55 cm2
2
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
A
B
10 cm
C
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
59
El profesor de Matemáticas ha encargado a sus alumnos, como trabajo para el
fin de semana, el cálculo de la longitud del cable que baja desde el pararrayos que
está colocado en el viejo torreón medieval. La única medida accesible es el diámetro
del torreón: 10 m. En la figura adjunta puedes observar cómo han enfocado el trabajo dos alumnos, que se han provisto de un espejo (E ), un triángulo rectángulo
de catetos 30 cm y 40 cm, construido con listones de madera, y una cinta métrica.
A
M
B
CABLE
9
K
C
P
S
E
52 m
1,70 m
2m
Teniendo en cuenta todo lo anterior, calcula:
a) La altura, PS, de la pared vertical.
b) La altura, AC, a la que está la base del pararrayos.
c) La longitud del cable, AMK.
A
M
P
B
0,3 m
K
C
5m
S
52 m
G
F
0,4 m
a) Los triángulos EPS y EFG son semejantes. Por tanto:
GE = FG 8 0,4 = 0,3 8 PS = 39 m
52 PS
SE
PS
b) Los triángulos ERN y EAC son semejantes. Por tanto:
EN = RN 8 2 = 1,70 8 AC = 48,45 m
57
AC
CE AC
c) AB = AC – BC = AC – PS = 48,45 – 39 = 9,45 m
AM = √ AB 2 + 52 = √9,452 + 52 ≈ 10,69
Longitud del cable AMK = AM + MK = AM + PS = 10,69 + 39 = 49,69 m
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
1,70 m
E
2m
R
N
Pág. 3
9
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
■ Profundiza
60
Pág. 4
Se llama excentricidad de una elipse o de una hipérbola al resultado de dividir
la distancia focal (distancia entre sus focos) entre el eje mayor:
F
F'
c
a
F
F'
c
a
excentricidad = 2c = c
2a a
En la circunferencia, los focos coinciden con el centro; por tanto, su excentricidad
es 0. La excentricidad de la parábola es 1. Razona, mirando los dibujos anteriores,
que la excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1; y que la
de una hipérbola es mayor que 1.
En una elipse, c < a. Por tanto, la excentricidad, c , siempre va a ser un número mea
nor que 1 y mayor que 0 porque tanto c como a son números positivos.
En la hipérbola, a < c siempre. Por tanto, la excentricidad, c , siempre va a ser un
a
número mayor que 1.
Unidad 9. Problemas métricos en el plano