Multiplicación de matrices y transformaciones lineales.
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Algebra Lineal XVII: Multiplicación de matrices y transformaciones lineales. José Marı́a Rico Martı́nez Departamento de Ingenierı́a Mecánica Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: [email protected] En la nota anterior se mostró la relación estrecha entre la suma y multiplicación escalar de transformaciones lineales y la suma y multiplicación escalar de matrices. En estas notas se mostrará la relación, igualmente estrecha, entre la multiplicación de matrices y la composición de transformaciones lineales. El objetivo final es la definición del álgebra de matrices. Figura 1: Representación Gráfica de la Composición de Transformaciones Lineales. 1. Matriz representativa de la composición de transformaciones lineales. En las notas Álgebra Lineal XIII: Operaciones con Transformaciones Lineales se definió la composición o producto de transformaciones lineales. De manera mas especı́fica sean S : V → V′ y T : V′ → V′′ dos transformaciones lineales. El producto o composición de transformaciones lineales, T S, es el mapeo T S : V → V′′ (T S)(~v ) = T [S(~v )] ∀~v ∈ V. La figura 1 provee de una representación gráfica de la composición o producto de transformaciones lineales. Note que, en general, el producto ST no está definido. ′ } y BV′′ = {~v1′′ , ~v2′′ , . . . , ~vr′′ } bases de V, V′ y V′′ Sean BV = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn }, BV′ = {~v1′ , ~v2′ , . . . , ~vm respectivamente. Estas suposiciones implican que dimV = n, dimV′ = m, dimV′′ = r. Mas aún, sea M 1 ′ } donde la matrı́z representativa de S respecto a las bases BV = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn }, BV′ = {~v1′ , ~v2′ , . . . , ~vm M viene dado por m11 m12 . . . m1n m21 m22 . . . m2n M = . .. .. .. .. . . . mm1 mm2 · · · mmn Entonces, S(~v1 ) ′ = m11~v1′ + m21~v2′ + . . . + mm1~vm = m X mi1~vi′ ′ = m12~v1′ + m22~v2′ + . . . + mm2~vm = m X mi2~vi′ i=1 S(~v2 ) i=1 .. . S(~vm ) .. . .. . .. . .. . .. . ′ = m1n~v1′ + m2n~v2′ + . . . + mmn~vm = m X min~vi′ i=1 Similarmente, sea N la matriz representativa de T respecto {~v1′′ , ~v2′′ , . . . , ~vr′′ } donde N viene dado por n11 n12 . . . n21 n22 . . . N = . .. .. .. . . nr1 nr2 · · · ′ } y BV′′ = a las bases BV′ = {~v1′ , ~v2′ , . . . , ~vm n1m n2m .. . nrm Entonces, T (~v1′ ) = n11~v1′′ + n21~v2′′ + . . . + nr1~vr′′ = r X ni1~vi′′ = n12~v1′′ + n22~v2′′ + . . . + nr2~vr′′ = r X ni2~vi′′ i=1 T (~v2′ ) i=1 .. . ′ T (~vm ) .. . = .. . n1m~v1′′ .. . + .. . n2m~v2′′ .. . + ... + nrm~vr′′ = r X nim~vi′′ i=1 Entonces, se tiene que (T S)(~vj ) = T [S(~vj )] = T [m1j ~v1′ + m2j ~v2′ + . . . + mnj ~vn′ ] = m1j T (~v1′ ) + m2j T (~v2′ ) + . . . + mnj T (~vn′ ) = m1j [n11~v1′′ + n21~v2′′ + . . . + nr1~vr′′ ] + m2j [n12~v1′′ + n22~v2′′ + . . . + nr2~vr′′ ] + . . . + mnj [n1n~v1′′ + n2n~v2′′ + . . . + nrn~vr′′ ] = [m1j n11 + m2j n12 + . . . + mnj n1n ]~v1′′ + [m1j n21 + m2j n22 + . . . + mnj n2n ]~v2′′ + . . . + [m1j nr1 + m2j nr2 + . . . + mnj nrn ]~vr′′ Entonces, la matriz representativa de la transformación lineal T S, respecto a las bases BV = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vm }, del espacio vectorial V y BV′′ = {~v1′′ , ~v2′′ , . . . , ~vr′′ } del espacio vectorial V′ denotada por P , tendrá en la 2 columna j los siguientes elementos p1j = m1j n11 + m2j n12 + . . . + mnj n1n = k=n X mkj n1k , k=n X mkj n2k , k=n X mkj nrk , k=1 p2j = m1j n21 + m2j n22 + . . . + mnj n2n = k=1 .. . prj .. . .. . .. . .. . .. . = m1j nr1 + m2j nr2 + . . . + mnj nrn = k=1 De manera mas general, el elemento de la matriz P localizado en la i-ésima fila y la j-ésima columna estará dado por k=n X nik mkj , pij = m1j ni1 + m2j ni2 + . . . + mnj nin = k=1 este elemento es el resultado de multiplicar la i−ésima fila de la matriz N con la j−ésima columna de la matriz M . Definición de multiplicación de matrices. Sea M ∈ Mm×n y N ∈ Mn×r . Entonces, la multiplicación de matrices P = N M es una matriz perteneciente a Mm×r , tal que el elemento de P localizado en la i−ésima fila y la j−ésima columna, denotado pij está dado por pij = ni1 mj1 + ni2 mj2 + . . . + nin mjn = k=n X nik mkj , k=1 Este resultado se obtiene multiplicando la i−ésima fila de N por la j−ésima columna de M . Además, esta definición implica que si N y M son las matrices representativas de T y S entonces P = N M es la matriz representativa de la transformación T S. Es importante notar que para que la operación de multiplicación de matrices pueda definirse, es necesario que el número de filas de la matriz N sea igual al número de columnas de la matriz M . Si esta condición se satisface, las matrices se dice que son conformables. Teorema. Suponga que las operaciones de suma y multiplicación de matrices indicadas a continuación pueden realizarse, entonces, se tienen las siguientes propiedades. 1. La multiplicación es asociativa (AB)C = A(BC). 2. En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa AB 6= BA. 3. La multiplicación es distributiva respecto a la adición. (A + B)C = AC + BC, 4. y C(A + B) = CA + BA. La multiplicación conmuta con la multiplicación por escalar λ(AB) = (λA)B = A(λB). 3 Finalmente, se probará un último resultado que permite emplear la matriz representativa de una transformación lineal para determinar la imagen de un vector bajo la transformación lineal. Teorema. Sea T : V → V′ una transformación lineal y sea M la matriz representativa de T respecto ~ el vector a la base BV del espacio vectorial V y a la base BV′ del espacio vectorial V′ . Entonces, si X coordenado de un vector ~v ∈ V respecto a la base BV del espacio vectorial V, entonces ~ = MX ~ Y es el vector coordenado de T (~v ) respecto a la base BV′ del espacio vectorial V′ .1 ′ } entonces, M , la matriz representativa de Prueba. Sea BV = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn }, BV′ = {~v1′ , ~v2′ , . . . , ~vm T respecto a las bases BV y BV′ est´a dada por m11 m12 . . . m1n m21 m22 . . . m2n M = . .. .. .. .. . . . mm1 mm2 Entonces ~v = x1~v1 + x2~v2 + . . . + xn~vn ··· mmn x1 x2 ~ = donde X .. . xn Por lo tanto T (~v ) = x1 T (~v1 ) + x2 T (~v2 ) + · · · + xn T (~vn ) ′ ′ = x1 (m11~v1′ + m21~v2′ + · · · + mm1~vm ) + x2 (m12~v1′ + m22~v2′ + · · · + mm2~vm ) ′ ′ ′ + · · · + xn (m1n~v1 + m2n~v2 + · · · + mmn~vm ) = (m11 x1 + m12 x2 + · · · + m1n xn )~v1′ + (m21 x1 + m22 x2 + · · · + m2n xn )~v2′ ′ + · · · + (mm1 x1 + mm2 x2 + · · · + mmn xn )~vm Por lo tanto, el vector coordenado de T (~v ) respecto a la base BV′ está dado por m11 x1 + m12 x2 + · · · + m1n xn m11 m12 · · · m1n x1 m21 x1 + m22 x2 + · · · + m2n xn m21 m22 · · · m2n x2 ~ = ~ Y = .. .. .. .. .. .. = M X . . . . . . mm1 x1 + mm2 x2 + · · · + mmn xn mm1 mm2 · · · mmn xn 2. Problema Resuelto. Considere bases, R2 y BR2 = {(1, 2), (2, 1)}, P2 (x) © los siguientes espacios vectoriales y sus2respectivas ª 2×2 2 y BP (x) = p1 (x) = 1, p2 (x) = 1 + x, p3 (x) = 1 + x y M y ½· ¸ · ¸ · ¸ · ¸¾ 1 0 0 1 0 0 0 0 BM2×2 = , , , 0 0 0 0 1 0 0 1 1 Debe notarse que X ~ puede considerarse como una matriz de una columna y tantas filas como la dimensión de V, ~ puede considerarse como una matriz de una columna y tantas filas como la dimensión de V′ . similarmente, Y 4 Considere las siguientes transdormaciones lineales S : R2 → P2 (x) S(a1 , a2 ) = (a1 − a2 ) + a2 x + a1 x2 · ¸ a2 a1 2 T (a0 + a1 x + a2 x ) = a0 a2 − a1 T : P2 (x) → M2×2 Determine: 1. La transformación lineal compuesta T S : R2 → M2×2 . 2. La matriz representativa, M, de la transformación lineal S : R2 → P2 (x) respecto a las bases BR2 y BP2 (x) . 3. La matriz representativa, N, de la transformación lineal T : P2 (x) → M2×2 respecto a las bases BP2 (x) y BM2×2 . 4. La transformación lineal compuesta T S : R2 → M2×2 . 5. La matriz representativa, P, de la transformación lineal T S : R2 → M2×2 respecto a las bases BR2 y BM2×2 . 6. Verifique que la matrix P está dada por N M. Resultados. Para la matriz M, se tiene que S(1, 2) = −1 + 2 x + x2 = −4(1) + 2(1 + x) + 1(1 + x2 ) S(2, 1) = 1 + x + 2 x2 = −2(1) + 1(1 + x) + 2(1 + x2 ) Por lo tanto, la matriz M está dada por −4 −2 1 M= 2 1 2 Para la matriz N, se tiene que · ¸ · ¸ · ¸ · ¸ · ¸ 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 T (1) = =0 +0 +1 +0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 · ¸ · ¸ · ¸ · ¸ · ¸ 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 T (1 + x) = =0 +1 +1 −1 1 −1 0 0 0 0 1 0 0 1 · ¸ · ¸ · ¸ · ¸ · ¸ 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 T (1 + x2 ) = =1 +0 +1 +1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 Por lo tanto, la matriz N está dada por 0 0 N= 1 0 0 1 1 −1 1 0 1 1 Respecto a la transformación lineal compuesta T S : R2 → M2×2 , se tiene que · ¸ ¤ £ a1 a2 (T S)(a1 , a2 ) = T [S(a1 , a2 )] = T (a1 − a2 ) + a2 x + a1 x2 = a1 − a2 a1 − a2 5 Para la matriz P, se tiene que · ¸ · 1 2 T (1, 2) = =1 −1 −1 ¸ · · 1 2 1 =2 T (2, 1) = 0 1 1 ¸ · 1 0 +2 0 0 ¸ · 0 0 +1 0 0 ¸ · 0 1 −1 0 0 ¸ · 0 1 +1 1 0 0 1 0 0 0 0 ¸ ¸ −1 · 0 +1 0 · 0 0 0 1 0 1 ¸ ¸ Por lo tanto, la matriz P está dada por 1 2 P= −1 −1 2 1 1 1 y puede probarse que 1 2 P= −1 −1 3. 0 0 2 0 1 1 = 1 1 1 0 −1 1 1 −4 −2 0 2 1 = N M. 1 1 2 1 Problemas Propuestos. Problema 1. Considere la transformación lineal T : P3 → R3 dada por T (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = (a0 − 2a3 , a1 + 2a2 , a2 − a3 ) y considere las bases BP3 = {1, 1 + x, x2 , x2 + x3 } y BR3 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. 1. Pruebe que T es realmente una transformación lineal. 2. Pruebe que BP3 = {1, 1 + x, x2 , x2 + x3 } y BR3 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} son realmente bases de los espacios vectoriales P3 y R3 . 3. Determine M la matriz representativa de T respecto a las bases BP3 y BR3 . 4. Encuentre la imagen bajo T del polinomio p(x) = 3 − x + x2 − 5x3 . 5. ~ el vector coordenado de p(x) respecto a la base BP3 = {1, 1 + x, x2 , x2 + x3 }. Encuentre X 6. ~ = M X. ~ Determine el vector Y 7. ~ es el vector coordenado de T (p(x)) respecto a la base BR3 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. Verifique que Y Problema 2. Considere la transformación lineal T : P2 → P2 dada por T (p(x)) = p(x+2) T (a0 +a1 x+a2 x2 ) = a0 +a1 (x+2)+a2 (x+2)2 = (a0 +2 a1 +4 a22 )+(a1 +2 a2 ) x+a2 x2 y considere la base BP2 = {1, x, x2 }. 1. Pruebe que T es realmente una transformación lineal. 2. Pruebe que BP2 = {1, x, x2 } es realmente una base de los espacios vectoriales P2 . 3. Determine M la matriz representativa de T respecto a la base BP2 = {1, x, x2 }. 4. Encuentre la imagen bajo T del polinomio p(x) = 3 − x + x2 . 5. ~ el vector coordenado de p(x) respecto a la base BP2 = {1, x, x2 }. Encuentre X 6. ~ = M X. ~ Determine el vector Y 7. ~ es el vector coordenado de T (p(x)) respecto a la base BP2 = {1, x, x2 }. Verifique que Y 6
