1 . S

1. SISTEMAS LINEALES DE DIMENSIÓN DOS
En este capítulo se va a realizar un estudio de las trayectorias del plano de fase.
Con este estudio se pretende asentar los conocimientos necesarios para proporcionar una mejor
comprensión de análisis de las trayectorias en el espacio de fase de dimensión tres.
Se pretende además presentar la terminología ( asentada en las fuentes bibliográficas )
para nombrar las formas de las trayectorias en el plano de fase. Esta terminología se extenderá
en el siguiente capítulo para las de las trayectorias en el espacio de fase de dimensión tres.
Como la dimensión es dos, tenemos dos autovalores  1 y  2 . Estos autovalores pueden
ser ambos reales o complejos . En el caso de que los autovalores sean reales, estos pueden ser
diferentes o iguales entre sí, dónde en este último caso pueden tener dos o un autovector
linealmente independiente. En el caso de que los autovalores sean complejos, estos pueden ser
imaginarios puros - parte real igual a cero- o complejos conjugados- parte real distinta de cero-.
1.1 CASO 1 : LOS AUTOVALORES SON REALES Y DISTINTOS ENTRE SÍ
 1

0
0

2 
   
 x 1    1
  0
x2 
0   x1 
. 
2  x2 

 x1   1 . x1

 x 2   2 . x 2
 s. x1 ( s )  x1 ( 0 )  1 . x1 (s )

 s. x 2 (s )  x 2 ( 0 )   2 . x 2 (s )

x1 ( 0 )
 .t
 x1 ( t )  x1 ( 0 ). e 1
 x1 (s ).(s  1 )  x1 ( 0 )  x1 (s ) 
( s  1 )

x ( 0)
 .t
 x ( s ).(s   )  x ( 0 )  x ( s )  2
 x1 ( t )  x1 ( 0 ). e 1
2
2
2
2

(s   2 )
Despejando e t de x1 ( t ) yllevandoloa x 2 ( t ) obtenemos:
 x (t) 
et   1 
 x1 ( 0 ) 
1
2
 x (t) 
x 2 ( t )  x 2 ( 0 ). 1 
 x1 ( 0 ) 
1
2
 1 
k  x 2 ( 0 ).

 x1 ( 0 ) 
1
x 2 ( t )  k. x1 ( t )
2
1
1
1.1.1 CASO 1.1. TIENEN EL MISMO SIGNO
El comportamiento de las órbitas es parabólico. Llamamos al punto crítico un nodo.
Si  1 .  2  0 entonces (0,0) es un nodo estable (“positive attractor”).
Si  1 .  2  0 entonces (0,0) es un nodo inestable (“negative attractor”).
Valor de los
autovalores
Tipo
de
punto de
equilibrio
Forma de las trayectorias
1 < 0
<0
2
Nodo
Estable
Figura 3.1.
1 > 0
>0
2
Nodo
Inestable
Serán igual a la Figura3.1 pero las flechas
tendrán el sentido opuesto
Tabla 3.1 : Caso de dos autovalores reales distintos entre si del mismo signo
Figura-3.1 Nodo Estable
1.1.2 CASO 1.2.: TIENEN DIFERENTE SIGNO
El comportamiento de las órbitas es hiperbólico. Llamamos al punto crítico un punto silla
( “saddle point” ).
Valor de los
autovalores
Tipo de
punto de
equilibri
o
Forma de las
trayectorias
1 < 0
>0
2
Punto
Silla
Figura 3.2.
1 > 0
<0
2
Punto
Silla
Será similar a
la Figura 3.2.
Tabla 3.2 : Caso de dos autovalores reales de diferente signo.
Figura-3.2 Punto Silla
1.2 CASO 2 : LOS AUTOVALORES SON REALES E IGUALES.
En este caso, dependiendo del número de autovectores linealmente independientes
tenemos dos tipos de matrices.
1.2.1 CASO 2.1.: DOS AUTOVALORES IGUALES CON DOS AUTOVECTORES
LINEALMENTE INDEPENDIENTES


0
0


   
 x 1   
  0
x2 
0   x1 
. 
 x2 

 x1  . x1

 x 2  . x 2
 s. x1 (s )  x1 ( 0 )  . x1 (s )

 s. x 2 (s )  x 2 ( 0 )  . x 2 (s )

x1 ( 0 )
 x1 ( t )  x1 ( 0 ). e .t
 x1 (s ).(s   )  x1 ( 0 )  x1 (s ) 
(s   )

x ( 0)
 x (s ).(s   )  x ( 0 )  x (s )  2
 x1 ( t )  x1 ( 0 ). e .t
2
2
2

(s   )
Despejando e .t de x1 ( t ) yllevandoloa x 2 ( t ) obtenemos:
 x (t) 
e .t   1 
 x1 ( 0 ) 
 x ( t )   x ( 0) 
x 2 ( t )  x 2 ( 0 ). 1    2 . x1 ( t )
 x1 ( 0 )   x1 ( 0 ) 
Como vemos, obtenemos la ecuación de una recta. Las órbitas en el plano de fase
serán líneas rectas a través del origen.
Lo mismo que en el caso anterior, si   0 entonces (0,0) es un nodo estable (“positive
attractor”). Si   0 entonces (0,0) es un nodo inestable (“negative attractor”).
Valor
del
auto
valor
Tipo
de
punto
de
equilibrio
Forma de las trayectorias
<0
Nodo
Estable
Será igual a la Figura 3.3 pero
con las flechas en sentido
contrario
>0
Nodo
Inestable
Figura 3.3.
Tabla 3.3 : Caso de dos autovalores reales e iguales con dos autovectores linealmente
independientes.
Figura 3.3 Nodo Estable
1.2.2 CASO 2.2. : DOS AUTOVALORES IGUALES CON UN AUTOVECTOR LINEALMENTE
INDEPENDIENTE.


0
1


   
 x 1   
  0
x2 

 x1  . x1  x 2
 
 x 2  . x 2
1   x1 
. 
 x2 
 x1 (s ).(s   )  x 2 (s )  x1 ( 0 )

x 2 (s ).(s   )  x 2 ( 0 )

x1 (s ).(s   ) 
x1 ( 0 ) 
x 2 ( 0)
(s   )
 s. x1 (s )  x1 ( 0 )  . x1 (s )  x 2 (s )

 s. x 2 (s )  x 2 ( 0 )  . x 2 (s )
 x 2 (s ) 
x 2 ( 0)
(s   )
 x 2 ( t )  x 2 ( 0 ). e .t
 x1 ( 0 )
x 2 ( 0)
x ( 0)
( s   ) x1 ( 0 )

 2 2  x1 ( t )  x1 ( 0 ). e .t  x 2 ( 0 ). t. e .t
(s   )
(s   ) (s   )
x1 ( s ) 
 x1 ( t )  x1 ( 0 ). e .t  x 2 ( 0 ). t. e .t

 x 2 ( t )  x 2 ( 0 ). e .t
Si   0 entonces (0,0) es un nodo estable (“positive attractor”).
Si   0 entonces (0,0) es un nodo inestable (“negative attractor”).
Valor
del
autovalo
r
Tipo
de
punto de
equilibrio
Forma de las trayectorias
<0
Nodo
Estable
Serán figuras similares a
las del apartado anterior,
pero
>0
Nodo
Inestable
en vez de rectas serán
parábolas
Tabla 3.4 : Caso de dos autovalores reales e iguales con un autovector linealmente
independiente.
1.2.3 CONCLUSIONES.
Las curvas de fase resultantes son idénticas a las del caso anterior, la única diferencia
es que en vez de rectas son curvas.
1.3 CASO 3 : LOS AUTOVALORES SON COMPLEJOS CONJUGADOS.



 


   
 x 1   
  
x2 

 x1  . x1  . x 2

 x 2  . x1  . x 2
    x1 
. 
  x2 
 s. x1 (s )  x1 ( 0 )  . x1 (s )  . x 2 (s )

 s. x 2 (s )  x 2 ( 0 )  . x1 (s )  . x 2 (s )
 x1 (s ).(s  )  . x 2 (s )  x1 ( 0 )

 x 2 (s ).(s  )  . x1 (s )  x 2 ( 0 )
x 2 (s ) 
 x ( 0 )  . x1 (s ) 
x1 (s ).(s  )   2
  x1 ( 0 )
(s  )


x 2 ( 0 )  . x1 (s )
(s  )
x1 (s ).(s  ) 2  . x 2 ( 0 )   2 . x1 (s )  x1 ( 0 ).(s  )


x1 (s ). (s  ) 2   2  x1 ( 0 ).(s  )  . x 2 ( 0 )
x1 ( s ) 
x1 ( 0 ).(s  )
 (s  )
2

2
. x 2 ( 0 )

  (s  )
2
 2

x1 ( t )  x1 ( 0 ). e .t .cos . t  x 2 ( 0 ). e .t .sen . t  e .t  x1 ( 0 ).cos . t  x 2 ( 0 ).sen . t 
x 2 (s ) 

x 2 ( 0 )  . x1 (s )
x 2 ( 0)
(s  )
(s  )

 x ( 0 ).(s   )
. x 2 ( 0 )


. 1

2
2
(s  ) (s  )  (s  )  
(s  ) 2   2
. x1 ( 0 )
(s  )
2
 2

x 2 ( 0)



 2 . x 2 ( 0)

(s  ) (s  ) 2   2
 





x 2 ( t )  x1 ( 0 ). e .t .sen . t  x 2 ( 0 ). e .t .cos . t  e .t  x1 ( 0 ).sen . t  x 2 ( 0 ).cos . t 
 x ( t )  e .t  x ( 0 ).cos . t  x ( 0 ).sen . t 
1
1
2

.t
 x 2 ( t )  e  x1 ( 0 ).sen . t  x 2 ( 0 ).cos . t 
Las órbitas son espirales que se dirigen hacia o se alejan del (0,0) y lo llamamos un
foco.
Si   0 el punto crítico es un foco estable (“positive attractor”).
Si   0 el punto crítico es un foco inestable (“negative attractor”).
Valor de
la parte
real del
autovalo
r
complej
o
Tipo
de
punto de
equilibrio
Forma de las trayectorias
<0
Foco
Estable
Serán Figuras idénticas a la 3.4
pero con las flechas en sentido
contrario
>0
Foco
Inestable
Figura 3.4.
Tabla 3.5 : Caso de dos autovalores complejos conjugados.
Figura-3.4 Foco inestable
1.4 CASO 4 : LOS AUTOVALORES SON IMAGINARIOS PUROS.
0


 

0
    0    x 
1
 x 1   
.
    0   x 2 
x2 

 x1  . x 2  s. x1 (s )  x1 ( 0 )  . x 2 (s )
 

 x 2  . x1  s. x 2 (s )  x 2 ( 0 )  . x1 (s )
x1 ( s ) 
. x 2 (s )  x1 ( 0 )
s
 . x 2 (s )  x1 ( 0 ) 
s. x 2 (s )  x 2 ( 0 )  .



s
s 2 . x 2 (s )  s. x 2 (s )   2 . x 2 (s )  . x1 ( 0 )
x 2 (s )(s 2   2 )  s. x 2 ( 0 )  . x1 ( 0 )
x 2 (s ) 
s. x 2 ( 0 )
(s   )
2
2

. x1 ( 0 )
(s 2   2 )
x 2 ( t )  x 2 ( 0 ).cos . t  x1 ( 0 ).sen . t
x 2 (s ) 
. x1 ( s )  x 2 ( 0 )
s
 . x1 ( s )  x 2 ( 0 ) 
s. x1 ( s )  x1 ( 0 )  .



s
s 2 . x1 ( s )  s. x1 ( s )   2 . x1 ( s )  . x 2 ( 0 )
x1 ( s )( s 2   2 )  s. x1 ( 0 )  . x 2 ( 0 )
x1 ( s ) 
s. x1 ( 0 )
(s   )
2
2

. x 2 ( 0 )
(s 2   2 )
x1 ( t )  x1 ( 0 ).cos . t  x 2 ( 0 ).sen . t
Quedando como ecuaciones :
 x1 ( t )  x1 ( 0 ).cos . t  x 2 ( 0 ).sen . t

 x 2 ( t )  x 2 ( 0 ).cos . t  x1 ( 0 ).sen . t
Las órbitas en el plano de fase son círculos.
El punto (0,0) es un centro.
Valor de
la parte
imagina
Tipo
de
punto de
equilibrio
Forma de las trayectorias
ria
<0
Centro
Será una Figura igual a la 3.5
pero el sentido de giro será el
contrario
>0
Centro
Figura 3.5.
Tabla 3.6 : Caso de dos autovalores imaginarios puros.
Figura-3.5 Centro
1.5 CONCLUSIÓN
Como conclusión al estudio del plano de fase se ha llegado a las siguientes
conclusiones en cuanto al tipo de puntos de equilibrio .
Nodo : Los nodos se caracterizan por ser todas las raíces del polinomio reales y ser
todas ellas del mismo signo. Si las raíces reales son negativas denominaremos al punto de
equilibrio nodo estable. Esto quiere decir que la trayectoria tiende hacia el punto de equilibrio en
todas las direcciones.
Si en cambio, las raíces son positivas denominaremos al punto de equilibrio nodo
inestable. Esto quiere decir que la trayectoria diverge del punto de equilibrio, es decir, se aleja de
él.
Punto Silla : Los Punto Silla se caracterizan por tener raíces reales de diferente signo.
La trayectoria divergirá en una dirección del punto de equilibrio, mientras que en la otra dirección
convergirá hacia el punto de equilibrio.
Foco . Los focos se caracterizan por ser las raíces del polinomio son un par de
complejos conjugados. Si la parte real del complejo es negativa, es decir están en el semiplano
izquierdo, denominaremos al punto de equilibrio foco estable. Esto quiere decir que la trayectoria
tiende hacia el punto de equilibrio describiendo una espiral.
Si en cambio, la parte real del par de complejos es positiva denominaremos al punto de
equilibrio foco inestable. Esto quiere decir que la trayectoria se aleja del punto de equilibrio
formando una espiral.
Centro : Los centros se caracterizan por ser las raíces del polinomio característico
imaginarias puras, es decir, la parte real del complejo es igual a cero. La trayectoria tiende a
permanecer alrededor del punto de equilibrio describiendo una órbita.