Corriente Alterna - Pontificia Universidad Católica de Chile

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TEORIA ELECTROMAGNETICA
FIZ 0321
(12)
Ricardo Ramı́rez
Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile
2do. Semestre 2006
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Consideremos el circuito de la figura:
L
ε(t)
C
R
La fuente E(t) = Eo cos(ωt) es un generador de corriente alterna.
E(t) = RI + L
dI
q
+
dt
C
Primero derivamos la ecuación anterior con respecto al tiempo:
dE(t)
I
dI
d 2I
=R +L 2 +
dt
dt
dt
C
Ahora escribimos:
E(t) = Eo eiωt
Después de un largo tiempo la corriente tendrá la misma forma:
I(t) = Io eiωt
donde
Io = |Io |eiφ
Reemplazamos las expresiones para E(t) e I(t) en la ecuación anterior y
obtenemos:
»
–
1
iωEo eiωt = iωR − ω 2 L +
Io eiωt
C
Dividiendo por iω:
–
»
1
Io eiωt
Eo eiωt = R + iωL +
iωC
Luego
Eo = ZIo
donde
Z = R + iωL +
Similar a Ley de Ohm. Z se llama la impedancia del circuito.
1
iωC
Nótese que Io es en general complejo.
Si escribimos Z como:
Z = |Z |eiφ
donde:
"
φ = tan−1
ωL −
1
ωC
#
R
vemos que:
Eo −iφ
e
|Z |
Si el circuito es preponderantemente inductivo, i.e. φ > 0 ,entonces podemos ver que
Io =
la corriente va atrasada con respecto a la F.E.M. Eo . Lo opuesto ocurre en un circuito
preponderantemente capacititivo, i.e. φ < 0, en este caso la corriente va adelantada
con respecto a la F.E.M Eo .
Las impedancias se combinan en la misma forma que las
resistencias.
Z = Z1 + Z2
1/Z = 1/Z1 + 1/Z2
z1
z2
z1
z2
Potencia y factores de potencia
Consideremos el circuito con una fuente alterna que se muestra en la figura,
en el cual el amperı́metro tiene resistencia cero y voltı́metro resistencia
infinita.
A
V
Z
Elegiremos la fase de V (t) = Vo eiωt como cero e I(t) = Io eiωt , con
Io = |Io |eiφ , donde −φ es la fase de la impedancia Z de este circuito.
La potencia instantánea está dada por:
P(t) = ReI(t)ReV (t)
por lo tanto la potencia promedio se calcula de :
P̄ = ReI(t)ReV (t) =
1
1
1
Re(Io∗ Vo ) = Re(|Io |e−iωt−iφ |Vo |eiωt ) = |Io ||Vo | cos φ
2
2
2
Resonancia y sintonización de circuitos
Tomemos el módulo de la última expresión:
|Io | =
|Eo |
|Z |
y
r
|Z | =
R 2 + (ωL −
1 2
)
ωC
Ası́ vemos que la corriente Io es máxima cuando ω = √1LC , esta es la
frecuencia de resonancia ωo .
En la resonancia el potencial en la resistencia es igual a Eo y el voltaje en el
condensador es Vc = I/(iωo C) = Eo /(iωo CR).
La razón entre |Eo | y |Vc | se llama el factor de calidad Q del circuito y
está dado por:
r
|Eo |
1
1
L
ωo L
=
=
=
Q=
|Vc |
ωo CR
R C
R
Si tomamos una frecuencia levemente fuera de la resonancia ω = ωo + δω y
la reemplazamos en la expresión de Z y despreciamos los términos de orden
(δω)2 y superiores:
Z = R + i(ωo L + δωL −
1
δω
+ 2 ) = R + 2iδωL
ωo C
ωo C
Lo que se puede escribir como:
Z = R(1 + 2i
δω
Q)
ωo
y
s
|Z | = R
1 + 4Q 2
„
δω
ωo
«2
Entonces cuando la frecuencia se desvı́a de la resonancia
de modo que
√
δω/ωo = ±1/(2Q), la corriente cae en un factor 1/ 2 desde su valor
máximo.
1
I/Imax
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−4
−2
0
Qδω/ωο
2
4
Filtros
L
C
L
R
C
R
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