Corriente Alterna - Pontificia Universidad Católica de Chile

TEORIA ELECTROMAGNETICA
FIZ 0321
(12)
Ricardo Ramı́rez
Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile
2do. Semestre 2006
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Consideremos el circuito de la figura:
L
ε(t)
C
R
La fuente E(t) = Eo cos(ωt) es un generador de corriente alterna.
E(t) = RI + L
dI
q
+
dt
C
Primero derivamos la ecuación anterior con respecto al tiempo:
dE(t)
I
dI
d 2I
=R +L 2 +
dt
dt
dt
C
Ahora escribimos:
E(t) = Eo eiωt
Después de un largo tiempo la corriente tendrá la misma forma:
I(t) = Io eiωt
donde
Io = |Io |eiφ
Reemplazamos las expresiones para E(t) e I(t) en la ecuación anterior y
obtenemos:
»
–
1
iωEo eiωt = iωR − ω 2 L +
Io eiωt
C
Dividiendo por iω:
–
»
1
Io eiωt
Eo eiωt = R + iωL +
iωC
Luego
Eo = ZIo
donde
Z = R + iωL +
Similar a Ley de Ohm. Z se llama la impedancia del circuito.
1
iωC
Nótese que Io es en general complejo.
Si escribimos Z como:
Z = |Z |eiφ
donde:
"
φ = tan−1
ωL −
1
ωC
#
R
vemos que:
Eo −iφ
e
|Z |
Si el circuito es preponderantemente inductivo, i.e. φ > 0 ,entonces podemos ver que
Io =
la corriente va atrasada con respecto a la F.E.M. Eo . Lo opuesto ocurre en un circuito
preponderantemente capacititivo, i.e. φ < 0, en este caso la corriente va adelantada
con respecto a la F.E.M Eo .
Las impedancias se combinan en la misma forma que las
resistencias.
Z = Z1 + Z2
1/Z = 1/Z1 + 1/Z2
z1
z2
z1
z2
Potencia y factores de potencia
Consideremos el circuito con una fuente alterna que se muestra en la figura,
en el cual el amperı́metro tiene resistencia cero y voltı́metro resistencia
infinita.
A
V
Z
Elegiremos la fase de V (t) = Vo eiωt como cero e I(t) = Io eiωt , con
Io = |Io |eiφ , donde −φ es la fase de la impedancia Z de este circuito.
La potencia instantánea está dada por:
P(t) = ReI(t)ReV (t)
por lo tanto la potencia promedio se calcula de :
P̄ = ReI(t)ReV (t) =
1
1
1
Re(Io∗ Vo ) = Re(|Io |e−iωt−iφ |Vo |eiωt ) = |Io ||Vo | cos φ
2
2
2
Resonancia y sintonización de circuitos
Tomemos el módulo de la última expresión:
|Io | =
|Eo |
|Z |
y
r
|Z | =
R 2 + (ωL −
1 2
)
ωC
Ası́ vemos que la corriente Io es máxima cuando ω = √1LC , esta es la
frecuencia de resonancia ωo .
En la resonancia el potencial en la resistencia es igual a Eo y el voltaje en el
condensador es Vc = I/(iωo C) = Eo /(iωo CR).
La razón entre |Eo | y |Vc | se llama el factor de calidad Q del circuito y
está dado por:
r
|Eo |
1
1
L
ωo L
=
=
=
Q=
|Vc |
ωo CR
R C
R
Si tomamos una frecuencia levemente fuera de la resonancia ω = ωo + δω y
la reemplazamos en la expresión de Z y despreciamos los términos de orden
(δω)2 y superiores:
Z = R + i(ωo L + δωL −
1
δω
+ 2 ) = R + 2iδωL
ωo C
ωo C
Lo que se puede escribir como:
Z = R(1 + 2i
δω
Q)
ωo
y
s
|Z | = R
1 + 4Q 2
„
δω
ωo
«2
Entonces cuando la frecuencia se desvı́a de la resonancia
de modo que
√
δω/ωo = ±1/(2Q), la corriente cae en un factor 1/ 2 desde su valor
máximo.
1
I/Imax
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−4
−2
0
Qδω/ωο
2
4
Filtros
L
C
L
R
C
R