RELACIÓN 2: RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES 1

RELACIÓN 2: RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES
1.-
Un cierto día pusieron por televisión una película a las 9 y un debate a las 11. Se ha
encuestado a 3.820 personas obteniéndose los datos siguientes:
Vieron el debate No vieron el debate
Vieron la película
2.712
No vieron la película
1.041
1.187
3.820
Completa la tabla.
2.-
La talla media de una muestra de padres es de 1’68 m, con una desviación típica de
5 cm, y la talla media de una muestra de sus hijos es de 1’70 m, con una desviación
típica de 7’5 cm. El coeficiente de correlación entre las tallas de hijos y padres es
0’7. Estimar la talla de dos hijos si la talla de sus padres fuera 1’80 y 1’60 m,
respectivamente.
3.-
Un resorte se alarga cuando en el extremo se coloca un peso. La longitud del resorte
en cm y el peso en g colgado viene dado por la siguiente tabla:
Peso
0
2
5
11
17
Longitud 11
22
31
49
67
a) Haz la nube de puntos y a la vista de ésta, di si existe correlación entre las
variables e interpreta su valor.
b) Calcula el coeficiente de correlación lineal. ¿Qué longitud se supone que tendrá
el resorte al colgarle un peso de 6 g?
4.-
Se considera la variable estadística bidimensional (X,Y) que toma los valores (xi,yi)
de la siguiente tabla:
xi
0’42
0’74
0
0’30
0’86
0’63
0’53
0’11
0’21
yi
0’65
–0’86
0
–0’55
0’93
0’79
–0’73
–0’33
0’46
Halla la covarianza y el coeficiente de correlación de la anterior distribución
bidimensional. ¿Hay correlación lineal fuerte o débil entre ambas variables? Dibuja
la correspondiente nube de puntos y estima si entre X e Y hay una correlación (no
necesariamente lineal) fuerte.
5.-
La siguiente tabla recoge las calificaciones de 40 alumnos en Matemáticas y Física:
Matemáticas X 3
4
5
6
6
7
7
8
10
Física Y
2
5
5
6
7
6
7
9
10
Nº de alumnos
4
6
12
4
5
4
2
1
2
a) Escribe las distribuciones marginales de X e Y. Halla las respectivas medias y
desviaciones típicas.
b) Calcula el coeficiente de correlación lineal.
c) ¿Qué nota de Matemáticas se puede esperar que saque un alumno que ha
obtenido 7’5 en Física? ¿Es fiable el resultado?
6.-
Las edades de los novios en las bodas celebradas durante una semana en una ciudad
quedan reflejadas en la siguiente tabla:
Edad del novio
25
27
31
34
36
40
45
Edad de la novia 18
29
25
27
27
30
36
a) Determinar la intensidad de la interrelación lineal entre ambas variables.
b) Predecir la edad del novio que se casa con una mujer de 20 años.
c) Predecir la edad de la novia que se casa con un hombre de 30 años.
7.-
Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre el número
de conciertos dados por 15 grupos musicales y las ventas de discos de estos grupos
(expresados en miles), obteniendo los datos siguientes:
Conciertos
(1,5]
CD (5,10]
(10,20]
(10,30]
(30,40]
(40,80]
3
0
0
1
4
1
0
1
5
a) Calcular el número medio de CD vendidos por estos grupos.
b) Obtener la recta de regresión del número de conciertos respecto al número de
CD vendidos.
c) Si un grupo musical ha vendido 18.000 CD, ¿qué número de conciertos es
previsible que dé?
8.-
A través de una encuesta se sabe que los 13 alumnos de un curso de enseñanza
primaria dedican a ver la televisión las horas semanales identificadas con la variable
X. Los valores de la variable Y son las calificaciones medias obtenidas por estos
alumnos.
X
16
25
12
10
24
11
20
15
8
23
18
15
12
Y
5
2
6
8
5
10
4
6
9
2
4
8
9
a) Representa la nube de puntos.
b) Halla el coeficiente de correlación lineal entre las referidas variables.
c) Halla la recta de regresión de Y respecto de X.
d) Estima la calificación media de un alumno que dedique 3 horas diarias a ver la
televisión.
RELACIÓN 2: RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES
(SOLUCIÓN)
1.Vieron el debate No vieron el debate
Vieron la película
No vieron la película
1120
1592
2.712
67
1.041
1108
1.187
2633
3.820
2.-
X: Talla padres
x = 168
σx = 5
Y: Talla hijos
y = 170
σ y = 7'5
0'7 =
σ xy
Y−y=
r = 0’7
σ xy
5 ⋅ 7'5
Y−y=
σ xy
σx
2
σx
2
(X − x )
⇒ σ xy = 26'25
( X − x ) ⇒ Y − 170 = 26'25 ( X − 168) ⇒ Y = 1'05 X − 6'4
25
Y = 1'05 ⋅ 180 − 6'4 ⇒ Y = 182'6
Y = 1'05 ⋅ 160 − 6'4 ⇒ Y = 161'6
3.80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18
Debe ser correlación positiva y fuerte, es decir cercana a 1.
b)
xi yi fi xi ·yi · fi
0
0 11 1
44
2 22 1
155
5 31 1
539
11 49 1
17 67 1 1139
5 1877
σ xy =
1877
− 7 ⋅ 36 = 123'4
5
r=
123'4
= 0'996
6'23 ⋅ 19'88
Y − 36 =
4.-
123'4
( X − 7 ) ⇒ Y = 32'82 cm.
38'81
σ xy = 0'0323
r = 0'1805
La correlación lineal es bastante débil.
1.5
1
0.5
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.5
-1
No hay una correlación no lineal fuerte, pues aparecería la gráfica de algo que no es
una función.
5.xi
3
4
5
6
7
8
10
x = 5'5
σ x = 1'612
fi
4
6
12
9
6
1
2
40
xi · fi
12
24
60
54
42
8
20
220
2
xi ⋅ f i
36
96
300
324
294
64
200
1314
yi
2
5
6
7
9
10
y = 5'6
b) σ xy =
2
yi · fi y i ⋅ f i
8
16
90 450
48 288
49 343
9
81
20 200
224 1378
σ y = 1'758
1336
2'6
− 5'5 ⋅ 5'6 = 2'6 ⇒ r =
= 0'917
40
1'612 ⋅ 1'758
c) X − 5'5 =
6.-
fi
4
18
8
7
1
2
40
2'6
(7'5 − 5'6) ⇒ X = 7'09
3'09
Novio X
Novia Y
x = 34
σ x = 6'547
y = 27'43
σ y = 5'038
σ xy =
6718
− 34 ⋅ 27'43 = 27'09
7
a) r =
27'09
= 0'821
6'547 ⋅ 5'038
b) X − 34 =
27'09
(20 − 27'43) ⇒ X = 26'069 ⇒ X = 26
25'381
c) Y − 27'43 =
7.-
27'09
(30 − 34) ⇒ Y = 24'90 ⇒ Y = 25
42'86
a)
xi
(1,5] 3
(5,10] 7.5
(10,20] 15
fi xi · fi
3
9
6 45
6 90
15 144
x = 9'6
b) Y − 41 =
63'4
( X − 9'6)
22'14
c) Y − 41 =
8.-
63'4
(18 − 9'6) ⇒ Y = 65'05 ⇒ Y = 65 conciertos.
22'14
a)
12
10
8
6
4
2
0
0
b) r = –0’87
c) Y = −0'413 X + 12'639
d) Y = −0'413 ⋅ 21 + 12'639 = 3'966 ≈ 4
5
10
15
20
25
30