Ecuación para circuitones en líneas de transmisión con carga

Ecuación para cirquitones en líneas de transmisión con carga eléctrica discreta.
K. J. Candía
Departamento de Electrónica, Universidad de Tarapacá, Arica, Chile
Email: [email protected]
Resumen
En esta Charla se muestra un mecanismo de análisis para el estudio de circuitos cuánticos a
escala nanométrica. Se incorpora la presencia de carga discreta lo cual modifica las
ecuaciones usuales de los circuitos estudiados, incrementando la complejidad debido a la
aparición de términos no lineales. Finalmente se presenta el hamiltoniano para una línea de
transmisión con carga discreta, además se plantean las ecuaciones de movimiento
finalizando con la presentación de la ecuación para los cirquitones.
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Introducción
Hace algún tiempo la posibilidad de construir circuitos cada vez más pequeños era cosa de
ciencia ficción. Hoy, gracias al avance de la tecnología, ya es posible construir circuitos
microscópicos o incluso llegar a circuitos de escala nanométrica. La ciencia encargada de
construir circuitos o dispositivos a esa escala se conoce como nanociencia. La construcción
de dichos circuitos hace posible soñar con la construcción de dispositivos que monitoreen
el estado de salud de las personas, los cuales serán implantados en el cuerpo a través del
torrente sanguíneo, pero además de imaginar la amplia variedad de aplicaciones que la
nueva tecnología puede tener, debemos también realizar las siguientes preguntas ¿Cómo
vamos a estudiar estos circuitos?, ¿Serán válidas las metodologías utilizadas en los circuitos
macroscópicos?, ¿Ocurrirán nuevos fenómenos físicos en dichos sistemas?, etc. Para
estudiar sistemas de escala microscópica utilizar mecánica cuántica surge como una
alternativa. En esta charla nos referiremos a circuitos cuánticos L-C con carga discreta y
además estudiaremos la línea de transmisión, en la cual encontraremos la ecuación para los
cirquitones.
Circuitos L-C con carga discreta
El circuito L-C es quizás uno de los más estudiados debido a su simpleza y analogía con el
oscilador armónico. Al estudiar un circuito en el ámbito macroscópico la carga eléctrica es
considerada como un continuo, lo cual no es cierto ya que la carga está cuantizada, es decir
que la carga es múltiplo de alguna carga elemental (la carga del electrón), lo anterior obliga
a considerar este factor. En mecánica cuántica usualmente se estudian sistemas sin
disipación, razón por la cual no trataremos sistemas con resistencias, además utilizaremos
el formalismo de Heisenberg en el cual se considera que tanto la carga y el flujo son
operadores dependientes del tiempo (matrices de dimensión infinita eventualmente), esta
forma de análisis es equivalente a trabajar en el cuadro de Schrödinger con la salvedad de
que en el formalismo de Heisenberg se considera que los observables, es decir, los
operadores son los que evolucionan con el tiempo, mientras que en el cuadro de Heisenberg
se considera que son los vectores, los cuales representan el estado del sistema, los que
evolucionan con el tiempo. En la figura 1 se muestra el circuito L-C:
Figura 1: Circuito L-C
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El operador hamiltoniano para un circuito L-C [1] se presenta a continuación:
φˆ 2 Qˆ 2
+
Hˆ =
2 L 2C
(1)
La relación de conmutación esta dada por [Qˆ ,φˆ] = i=Iˆ . Dado que el flujo y la carga son
operadores (matrices), tienen asociado valores propios y vectores propios. Además como la
carga está cuantizada podemos suponer que se cumple la siguiente relación:
Qˆ n = nq e n
(2)
donde q e es la unidad de carga elemental, la carga del electrón.
Pasando a representación de flujo obtenemos la ecuación para determinar las funciones
propias del operador carga:
i=
dϕ (φ )
= nqeϕ (φ )
dφ
Las funciones propias del operador carga están dadas por ϕ (φ ) = ϕ0e
entero. El término magnético del hamiltoniano está dado por:
φˆ 2
Tˆ =
2L
(3)
−
inq eφ
=
con n un número
(4)
Debemos tener en consideración que al pasar a representación de carga, habitualmente el
operador flujo actúa de la siguiente manera:
φˆ → i=
∂
∂q
(5)
La expresión anterior es válida si la carga fuese continua, luego es necesario escribir esa
derivada como una diferencia finita, esto representa un punto de conflicto ya que no existe
una manera única para representar a la derivada [2]. Se utilizará diferencias finitas en el
punto medio para representar, pero debe quedar claro que es solo una elección, existen
muchas otras. El operador flujo en representación de carga queda de la siguiente manera:
φˆ → i=
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ϕ l +1 − ϕ l
qe
(6)
El término cinético, en representación de carga es:
− = 2 ϕl +1 + ϕl −1 − 2ϕl
Tˆ →
2
2L
qe
Si definimos f ( φ ) =
∑ϕ
l
e
ilq e φ
=
(6)
se puede reescribir el término cinético, el cual se
l
muestra a continuación:
q
2= 2
ˆ
T→
sen 2 ( e φ )
2
2=
Lq e
(7)
De lo anterior podemos reescribir el operador hamiltoniano de un circuito L-C:
2= 2
Qˆ 2
2 ⎛ qe ˆ ⎞
Hˆ =
sen
φ
+
⎜
⎟
2
Lqe
⎝ 2= ⎠ 2C
(8)
Cabe destacar que la discretización de la carga provoca que el hamiltoniano sea complicado
ya que no se tienen términos simples para el operador de flujo, en el caso sin carga discreta
el término correspondiente al flujo era cuadrático, en el caso de carga discreta se tiene una
función sinusoidal al cuadrado, sin embargo, la relación de conmutación entre Qˆ y φˆ se
sigue manteniendo. La ecuación para la corriente se calcula según la regla de Heisenberg en
1
donde Qˆ = [Qˆ , Hˆ ] . Realizando dicho cálculo se obtiene lo siguiente:
i=
=
⎛q ⎞
Qˆ =
sen⎜ e φˆ ⎟
Lqe
⎝= ⎠
(9)
1
La ecuación para la variación del flujo, la que está dada por φˆ = [φˆ, Hˆ ] se muestra a
i=
continuación:
φˆ = −
Q̂
C
(10)
Las anteriores ecuaciones son no-lineales, esta no linealidad es producida por la inserción
de la discretización de la carga. De las ecuaciones anteriores se obtiene que:
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φˆ = −
=
⎛q ⎞
sen⎜ e φˆ ⎟
LCq e
⎝ = ⎠
(11)
Se obtiene una ecuación cerrada para el flujo, donde φˆ representa el voltaje tanto en la
inductancia como en el condensador.
Líneas de transmisión con carga discreta
Las líneas de transmisión son circuitos muy estudiados en ingeniería, estos permiten la
modelación de medios de comunicación en el ámbito de las redes de comunicación, además
permiten modelar líneas de distribución en el caso de la ingeniería eléctrica. En física las
líneas de transmisión representan una cadena de osciladores acoplados, se podría pensar en
modelar una cadena de ADN u otra configuración.
Figura 2: Línea de transmisión
En este caso estudiaremos la línea de transmisión (Figura 2) con carga discreta para lo cual
enunciamos su respectivo operador hamiltoniano [3]:
(
⎛ 2= 2
⎛q ⎞ 1 ˆ
Hˆ = ∑ ⎜⎜
sen 2 ⎜ e φˆl ⎟ +
Ql +1 − Qˆ l
2
⎝ 2= ⎠ 2C
l ⎝ Lqe
) ⎞⎟⎟
2
⎠
(12)
En el hamiltoniano, el índice l representa el número de la celda, Q̂l es la corriente en la
inductancia de la celda l y φˆ es el flujo en dicha inductancia. La regla de conmutación para
l
los operadores carga y flujo se muestra a continuación en la ecuación (13):
[Qˆ l ,φˆs ] = i=Iˆδ ls
(13)
En este caso la parte cinética del hamiltoniano no es cuadrática en φl debido a la presencia
de carga discreta. Las ecuaciones de movimiento serán las siguientes:
=
⎛q ⎞
Qˆ l =
sen⎜ e φˆl ⎟
Lqe
⎝= ⎠
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(14)
φˆl =
1 ˆ
[Ql +1 + Qˆ l −1 − 2Qˆ l ]
C
(15)
Las ecuaciones anteriores representan la corriente de la inductancia y la variación del flujo
con respecto al tiempo. Combinando las ecuaciones (14) y (15) se tiene lo siguiente:
φˆl =
= ⎛ ⎛ qe ˆ ⎞
⎛q
⎞
⎛ q ⎞⎞
⎜⎜ sen⎜ φl +1 ⎟ + sen⎜ e φˆl −1 ⎟ − 2sen⎜ e φˆl ⎟ ⎟⎟
LCqe ⎝ ⎝ =
⎠
⎝=
⎠
⎝ = ⎠⎠
(16)
Esta ecuación representa los modos normales de de propagación, se le denomina ecuación
de Cirquitones [3]. Esta ecuación es muy compleja para tratar de resolverla en forma
analítica, por lo cual se debe intentar buscar soluciones estacionarias con el fin de aplicar
métodos perturbativos.
Referencias
[1] You-Quan Li and Bin Chen, Phys. Rev. B 53, 4027 (1996)
[2] J. C. Flores, Europhys. Lett. 69, 116 (2005)
[3] J. C. Flores, Phys. Rev. B, 64, 235309 (2001)
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