expresiones algebraicas

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS
ACTIVIDAD ACADEMICA: LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO
DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA
UNIDAD Nº 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son
desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones
aritméticas: adición (+), sustracción (-), multiplicación, división y potenciación.
TERMINO ALGEBRAICO
Un término algebraico es una expresión en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el
producto y la potencia de exponente natural. Consta de:
a) signo: ( + ó - )
b) coeficiente numérico o número
c) factor literal o letra
d) Exponente
GRADO DE UN TÉRMINO
Grado absoluto: Es la suma de los exponentes del factor literal
Grado relativo: de un término respecto a una letra está dado por el exponente de la parte literal
indicada
Ejemplo:
2 3
En el término 4x y
Tiene grado absoluto 5 (2 + 3, la suma de los exponentes)
Tiene grado relativo 2 respecto a x y 3 respecto a y
TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
De acuerdo al número de términos pueden ser:
2
4
5x yz
;
x2
a
y5
;
MONOMIO: tiene un término
Ej.
BINOMIO: tiene dos términos
Ej. 7 xy
TRINOMIO: tiene tres términos
Ej. x + 3x - 5
y2
b
p+q
2
POLINOMIO O MULTINOMIO: En general son los que tienen varios términos.
LENGUAJE ALGEBRAICO COMO UNA MANIFESTACION DEL LENGUAJE COMUN
En general se utilizan expresiones compuestas por números y letras y las diferentes operaciones para
representar modelos matemáticos de situaciones concretas de la cotidianidad
Ejemplo: Escribe para cada situación una expresión algebraica:
a.
b.
a.
El producto de dos números desconocidos
El incremento en $5000 en el precio de un artículo
Solución
Considérense los números x e y: El producto de estos dos números se representa como:
b.
Llámese x el precio del artículo; El incremento en $5000 en el precio se representa:
Elaboró Rosmiro Fuentes Rocha Docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
xy
x + 5000
Página 1
GRADO DE UN POLINOMIO
Grado absoluto de un Polinomio: es la mayor suma de los exponentes, en las partes literales, de cada
uno de los términos.
Grado relativo de un Polinomio: es el mayor exponente respecto a una letra
Ejemplo:
3
5
En la expresión 3x + 5y tiene grado 5 (por el grado del segundo termino)
2 3
3 2 7
En el término 4x y – 4b y z tiene grado 12 (por el grado del segundo termino)
ORDEN DE UN POLINOMIO.
Los polinomios pueden ordenarse en forma ascendente ( de menor a mayor) o descendente ( de mayor a
menor), con respecto al exponente de una letra
TERMINOS SEMEJANTES
Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden sumar o restar, sumando
o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal.
2
2
Ejemplo: El término 3x y y el término 2x y , son semejantes. (tiene factor literal iguales) y al sumarlo da
2
5x y
VALOR NUMERICO O EVALUACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
A cada letra o factor literal se le asigna un determinado valor numérico.
Ejemplo:
Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión:
3 a – 2b – 5a + 4b – 6a
+ 3b =
3 3 - 2 2 -5 3+4 2-6 3+3 2 =
9
4
- 15 + 8 - 18 + 6
= -14
Veamos ahora un ejemplo con números racionales: Si a =
3a
- 2b
- 5a
+ 4b
2
3
3
1
2
- 2
- 5
+ 4
2
3
10
2- 1 + 2 - 4 +
3
- 6a
2
3
+ 3b
1
2
- 6
2
3
3
=
2
1
+ 3
2
y
1
, evaluemos la expresión:
2
b=
=
=
17
6
ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS
Para resolver paréntesis se debe seguir por las siguientes reglas:
a) si el paréntesis está precedido por signo positivo, se consideran los términos por sus respectivos signos,
b) si el paréntesis está precedido por signo negativo, se debe Sumar su opuesto, es decir, cambiar el signo de
los términos que están dentro del paréntesis que vas a eliminar.
TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE Nº 1
I) En cada término algebraico, determina cada una de sus partes
2
a) 3x y
h)
2
a
3
b) m
i)
1 3
x
2
2
c) mc
j)
7a2
3
d) –vt
k)
e) 0,3ab
3m
4
l)
5
f) 3
3 2 4
g) -8x y z
3 4 2
a b
4
II. Escribe una expresión algebraica para cada una de las expresiones matemáticas
a. La tercera parte del precio de un lote
b. Se vendió la mitad de un lote de computadores
Elaboró Rosmiro Fuentes Rocha Docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 2
c. La suma de un número con el doble de otro
d. El cuadrado de una cantidad
e. El cuadrado de la suma de dos cantidades
f. Un número incrementado en la tercera parte
g. El cociente de dos números
h. La suma del producto de dos números y el triple del cociente de los números
i. El precio de un artículo disminuido un 30%
j. El 40% del cubo de un número
III) Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones:
2
2
a) 7x y + xy
f)
a
b
2
b) -3 + 4x – 7x
c
c) -2xy
2
g) x + 8x + 5
d) vt +
1 2
at
2
2
h) 2(3x + 4y)
2
e) 7m n – 6mn
2
i) 2x (3x + 6y)
j)
b2
2
c 3h4
4
IV) Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:
2
2
2
a. 5m + 2m
b. x+2x+9x
c. m – 2m – 7m
d. 15c+13c -12b-11c-4b-b
e.
a2 b
5
2ab 2
3
3ab 2
2
6 a2 b
5
V) En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes y luego reemplaza en cada caso
por a = -2 y b = 7, para valorar la expresión.
2
a) 3ab – b + 2ab + 3b
2
2
d) ab – b a + 3ab
2
2
2
b) 3a b – 8 a b – 7a b + 3a b
2
e)
3
a
2
4
b
5
5
a
4
7
b
10
2
c) 2a b –
b2
f)
3 2
a b–1
2
2
1 2
b
b
7
5
1
b
14
VI) Calcula el valor numérico de las siguientes Expresiones Algebraicas, considera para cada caso a = 2;
b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0
2
2
a) 5a – 2bc – 3d
d)
3
a
4
2
c
5
3
3
b) 2a – b – c – d
1
b
2
7
f
8
e)
a
b
5
c) b
c ( 2 a 3d ) f
f)
c
c
d
a
a
2
b
7
2
VII) Evalúa la expresión x + x + 41 para los valores de x = 0, 1, 2, 3, 4,…, 40. ¿Qué característica tienen los
números que resultan?
VII) Elimina los paréntesis
1) 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c )
3) -( x - 2y ) -
2) 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z )
{ 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) }
4) 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c )
5) 9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } =
6) 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
7) 8x - ( 1
1
3
3
3
y + 6z - 2 x ) - ( -3 x + 20y ) - ( x +
y+z)=
2
4
5
4
8) 9x + 3
1
y - 9z - 7 x
2
9) 2m
10)
1
a
5
3n
2m
1
a
2
2
a
3
n
1
y
2
m
2z
5
1
x
3
9y
5z
3z
n
a
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1. ADICION O SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Elaboró Rosmiro Fuentes Rocha Docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 3
Para sumar dos o más polinomios se tiene en cuenta lo siguiente
Se ordenan los polinomios ya sea en forma ascendente o descendente (siempre y cuando sea posible)
Se escriben los términos de los polinomios uno debajo del otro, de manera que coincidan los semejantes
Se procede como en la suma de monomios
3x 3
Ejemplo: sumar
4x 2
2 x con
5x 3
2x 2
3x
Solución
3x 3
4x 2
2x
5x
3
2x
2
3x
2x
3
6x
2
x
2. SUSTRACCION O RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para restar dos polinomios se procede de la siguiente forma:
Se ordena los polinomios de ser posible ascendente o descendentemente
Se le cambian los signos a los términos del polinomio sustraendo
Se procede como en la suma de polinomios
Ejemplo: de
3x 3
4x 2
2 x restar
5x 3
2x 2
3x
Solución
3
2
3
2
El sustraendo es 5x -2x -3x, su inverso aditivo es -5x +2x +3x , luego la operación queda
3x 3
4x 2
5x 3
2x 2
3x
8x
2x
5x
3
2
2x
3. PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar dos polinomios se procede de la siguiente forma
Se ordenan los polinomios respecto a la misma letra ya sea en forma ascendente o descendente
Se multiplica cada uno de los términos de polinomio multiplicador, por cada uno de los términos del
polinomio multiplicando
Se reducen los términos semejantes que hayan
Ejemplo: multiplicar
3x 2
5x
6 con
4x 3
Solución
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio
3x 2
5x
6
4x 3
12x 5
20 x 4
24 x 3
Ejemplo: Multiplicar
3x 2
4x
2 x 3 con
3
2x 2
Solución
3
Se ordenan ambos polinomios en forma descendente ( 2 x
3x 2
4x ) ( 2x 2
3)
Se organizan para efectuar la multiplicación término a término Se multiplica -3 con cada uno de los términos del
primer polinomio: obteniéndose:
3( 2 x 3
3x 2
4x )
6x3
9x 2
12x
La operación completa sería:
Elaboró Rosmiro Fuentes Rocha Docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 4
4. COCIENTE O DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para dividir dos polinomios se tienen en cuenta los siguientes pasos:
a. Se ordenan en forma descendente ambos polinomios, con respecto a una misma letra.
b. Si en el polinomio dividendo hacen falta términos, se completan esas casillas con cero.
c. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término de divisor y este resultado se escribe
en el cociente
d. Este resultado se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el resultado se le resta al
dividendo
e. Se coloca el resultado de la resta y se bajan los siguientes términos
f. Se repite nuevamente el proceso
Ejemplo: dividir
x2
2x
1
x 4 entre
x
1
x2
Solución
4
Se ordenan los polinomios x
x2
2x
1
x2
x
1
En el polinomio dividendo hay un espacio con respecto al exponente de la x, observe la secuencia de los
3
3
exponentes 4, 2, 1, 0, este espacio corresponde a x , se rellena este espacio con 0x , con lo que la
expresión anterior puede escribirse
Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
4
2
2
x ÷x =x
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio
dividendo:
3
2
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor –x ÷ x = -x, y
el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Se repite nuevamente el proceso, se divide el primer término del nuevo polinomio
–x2 ÷ x2 = -1 y se multiplica por cada uno de los términos del divisor.
La división es exacta, púes su residuo es cero
Elaboró Rosmiro Fuentes Rocha Docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 5
5. DIVISION SINTETICA
Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división,
llamado regla de Ruffini.
Ejemplo: Resolver por la regla de Ruffini la división:
x4
1.
2.
3.
4.
3x 2
x
2
3
Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
Se colocan los coeficientes del dividendo en una línea.
A la derecha colocamos el opuesto del término independiente del divisor.
Se traza una raya y bajamos el primer coeficiente.
5. Se multiplica ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. (1×3 = 3)
6. se suman los dos coeficientes. (0+3 = 3)
7. Se repite el proceso anterior.
Se repite el proceso hasta obtener el último número.
8. El último número obtenido, 56, es el residuo o resto
9. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que
hemos obtenido.
x3
3x 2
6x
18 , residuo 56
TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N° 2
I.
1. 3a
3. 3 x
4.
2b
2
5 2
a
3
resolver las siguientes adiciones
c con
4 xy
2a
y ,
3ab
5. Sumar 5a x 1
2
3b
5 xy
con
6ax
6x
2
1 2
a
2
12a x
4
2. x
c
3y ;
2
6y
2
8 xy
9x
3x 2
2 con
5 x4
12x 2
3x
2
1
ab
6
1
con
7ax
1
2 x
a
5
2a x
1
Elaboró Rosmiro Fuentes Rocha Docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 6
5
1 4
x
4
6. Sumar x 5
2
2
5x 3
2
3
x
5
7x 2
2
2
2
5
8
con
4x 5
1
x
2
6x4
2
3
7. x – y ,
2x – 3y ,
–x ; 2x – 3y
2
2
8. Si P = x + 3x – 2 y Q = 2x – 5x + 7, obtener P + Q.
3
2
2
3
9. Si P = x – 5x – 1; Q = 2x – 7x + 3 y R = 3x – 2x + 2, obtener P + Q y P+ R
a
10. Si P
b
2
II.
1. De
3a
3. De
4. De
5 xy
, obtener P + Q
2
c restar
6x2
3ab
5. De 5a x 1
1 2
a
2
12a x
4
2. Re star x
c
6y 2
3
x
5
7x 2
2
8 xy
3x 2
2 de
5 x4
12x 2
3x
9x 2
1
ab
6
7ax
restar
1
5x 3
2
3b
restar
restar
1 4
x
4
2
2a
3y 2 ;
6ax
6. Re star x 5
2
b
Resolver las siguientes sustracciones
2b
5 2
a
3
a
y Q
5
8
1
2 x
a
5
de
2a x
4x 5
1
1
x
2
6x4
3
7. (x – y ) - (2x – 3y ),
2
2
8. Si P = x + 3x – 2 y Q = 2x – 5x + 7, obtener P - Q.
3
2
2
3
9. Si P = x – 5x – 1; Q = 2x – 7x + 3 y R = 3x – 2x + 2, obtener P – Q, Q-R y P- R
a
10. Si P
b
2
a
y Q
III.
b
, obtener P - Q
2
Resolver los siguientes productos
1 4
x
2
3
1. ( 8 x
5x 2
6 )( 7 x 4
8x 3
2x )
2. (
5
3. ( 5 x
3x 2
4 )( 7 x 3
2x 2
2)
3
4. ( 25 x
(x3
1.
7. (
3x 2
2 3 2
x y
5
6x
18 )( 3 x 4
1 2
x y
3
2
5x 3
2 xy )( 3x 4 y 2
2
4x 2
3 3
x y
4
7 2
5 4
x )(
x
6
2
1 3
x
3
3)
5x 2
3x 3
3)
2 )( x 4
4)
6. ( 3x 2a 1
5x a
3y )
2
8. ( 2 x y
5 x 2 a )(
2
2. x
20
x
46x
xy
y
x )(
1 a
x
3
7x a
3
3 xy 3
4
7x)
9. Si P = x + 3x – 2 y Q = 2x – 5x + 7, obtener P . Q.
a b
y Q
2
10. Si P
IV.
1. a
2a
2
3. 2 x
3
a b
, obtener P - Q
2
Resolver las siguientes divisiones
3 entre a
4x
2
1 entre 2
5. m
6
6 m3
2m 5
7. x
5
5x
20 x y
5
9. x
4
2
12x 2
5x
V.
7m2
5entre x
3. x
3
x
2x
7. x
3x
4
4
9. 3 x
4x 3
4
6 entre m 4
1 entre x
2x
2
3m 2
2 xy
2
8y
2
2
x 3
6. a
8. x
4
10. y
5
entre y
a x entre a
x
4
3 entre x
2
2x
2
y2
5
2x .
1
1 entre x 2
2y
1 entre y 2
x
y
1
1
Efectúa las siguientes divisiones por división sintética
7x
3x 2
4m
1 entre x 2
1. x
3
5. x
2x
16 xy
3
2
2
3
2
2. m
3
2 entre x
6 entre x
5 entre x
4x 2
1
4
6. m
3
8. y
1
10 x
4. x
3
8 entre 3 x
5
1 10. x 5
5m
1 entre m
2x
x
2
5m 3
3y
3
2 entre x
4m
4y
208x 2
2
2
48 entre m
6 entre y
2076 entre x
2
2
5
Elaboró Rosmiro Fuentes Rocha Docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 7
)
5